Urok11kl

Методическая разработка урока обобщения темы «Показательные
уравнения и неравенства» в 11 профильном классе
Тема урока: «Показательные уравнения и неравенства»
Цели урока:
Обучающие:
 повторить свойства показательной функции, применение свойств при решении
показательных уравнений и неравенств;
 решение комбинированных уравнений и неравенств, сводящихся к решению
тригонометрических, дробно-рациональных уравнений и неравенств, неравенств с
модулем;
 повторить возможные случаи потери корней при решении уравнений, а также
случаи приобретения посторонних корней.
Развивающие:
 развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной
ситуации;
 учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические
выводы.
Воспитательные:
 формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности,
чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;
 формировать навыки коллективного труда.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний.
3. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения и
неравенства
4. Решение комбинированных уравнений и неравенств.
5. Подведение итогов. Задание на дом.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний:
Проводится в форме фронтальной работы с классом.
Задания устного опроса можно разделить на две части: повторение теоретического
материала и умения применять эти знания при выполнении различных заданий.

Какую функцию называют монотонной?

Какую функцию называют возрастающей? Какую функцию называют убывающей?

Какая функция называется показательной? Каковы область определения и
множество значений показательной функции?

Какую показательную функцию называют возрастающей? (убывающей?)

Важен ли характер монотонности показательной функции при решении уравнений?

Как используется характер монотонности при решении показательных неравенств?
Устные упражнения:
1) Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими,
и какие убывающими:
у 
х
у  49
;

х
2


у   cos 
6

;
х
;
2) Сравните:
0,2 7,8 и 56, 4 ;
16 2
1,33 и 1,5 0 .
42 ;
и
3) Решите уравнения:
а) 5
2 х 1
1

5
б) 2
х-2
2
в)  
3
= -2
х
х
3
  1
2
4) Решите неравенства:
1х 2
а)
2
х2
2
б)  
3
1
27

8
в)
1
х
3 0
3. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения и
неравенства
Учащиеся выполняют тест на подготовленных бланках, в таблице ответов ниже номера
задания записывают цифру, которая соответствует правильному ответу.
Вариант 1
1) Решите уравнение:
9 1  3 х  81
1) 6
3) 5
2) 2
1
 
5
2) Решите неравенство:
1)  ;3
5

2)   ; 
3

3) Решите уравнение:
1) 4
4) 1
3 х 7
 0,04
3)
3;
4)
5

  ; 
3

2 х 1  3  2 х 3  76
2) 5
3) 3
4) 6
4) Решите неравенство:
25 х  6  5 х  5
2) (1;+  )
1) (1;5)
3)
 ;0  1;
4) (0;1)
Вариант 2
1) Решите уравнение:
1) 6
4 1  2 х  8
2) 2
3) 5
2) Решите неравенство:
1
2 
7
3) Решите уравнение:
1)
16  2 х 3
2) [7;+∞)
1) -3
5
3
3) (-∞;-1]
3 х7
2) -3
1
 7 
7
3) -
4) Решите неравенство:
5
3
4) [1;+∞)
3 х 8
 49
4) 3
4х  2  3  2х
2) (-∞;1)  2;
1) (0;1)
4) 1
3)
 ;0  1;
4) (1;2)
Фронтальная проверка теста:
ученики по порядку называют задание и дают на него ответ с обоснованием. Во время
проверки ученики корректируют свои знания по этой теме. По окончании проверки
каждый выставляет себе оценку и сдает бланк учителю.
4. Решение комбинированных уравнений и неравенств
Каждое задание решает группа учащихся. Затем один из группы записывает решение на
доске и поясняет его.
1).
1 1 1
1    ...
2 4 8
0,3
3х 2 5 х
 0,3
3
Решение:
Преобразуем показатели степеней:
(в n ) : 1 
1 1 1
   ...
2 4 8
геометрическая прогрессия, q  
b1
1
, S
,
1 q
2
1
S
1
2
1
2
3

2
3
0,3  0,3
Получим:
( 3 х 2  5 х )
2 1
  (3 х 2  5 х) ,
3 3
1
3
2  3х 2  5 х ,
3х 2  5 х  2  0
1
3( х  2)( х  )  0
3
1

х    2; 
3

1

Ответ:   2; 
3

х 4
2).
х
5
4
 0,2
х 2
х 2
 125  0,04
х2
х4
Решение:
Перейдем к одному основанию и воспользуемся свойствами степеней:

5


5
4
х
х 2
 0,2
х 4 1

х  2 х 4
1
х 2

х 2




32
5
1
х 4
 5 5
3
х 2
х 4
 2
х 2
х 4
Из монотонности показательной функции следует:
3х  4  2х  2
х4
х  2  3 х  12  2 х  4
0
х4
х х 6
0
х4




х 3 х 2
0,
х4
Ответ: 9
 х 3

 х  2
Решением системы является: х = 9
2 х 1
3
3
3).
4
3
х 1
х 1
4,
Решение:
2 х 1
3
3
4
Пусть
3
3
х 1
у
у2  3  4у  0
 у 1 у  3  0
Тогда
у  3

у  1
3 x 1  3
 х 1
3
1
x  0;1  1;2
Ответ:
4).
 х  1  1  х  1  1

 x  1  1
 x  1  0 
x  1
x  2

x  0
x  1

0;1  1;2
1  22ctgх  5  4


sin  х 
4 
2 sin х
Решение:
Перейдем к одному основанию и воспользуемся формулами тригонометрии:


sin   x  sin  cos x  cos  sin x
1
4

4
4
 ctgx  1
2
2 sin x
2 sin x
1  2 2 ctgx  5  2 ctgx1  0
5
1  2 2 ctgx   2 ctgx  0
2
Пусть
2 ctgx  y , тогда уравнение примет вид
 y1  2

 y2  1
2

2 ctgx  2

2 ctgx  1

2
y2 
5
y 1  0
2


 x  4  k , k  

 x     n, n  

4
ctgx  1
ctgx  1

х
Ответ:

4
 2х 
 4 
 х 1
2
5).
k

2

4

k
2
,k Z
,k  Z
3х2  х
 х 1

 
2 
 2х 
4
2 х2 2
Решение:
 2 х 2  3 х
 4 
 х  1 

х  0
2
х
 2х 2 
  4 
 х 1
2 2 х
Воспользуемся условием равносильности:
a( x)  1 f ( x)  g ( х)   0,
а ( х) f ( x )  a ( x) g ( x )  
a( x)  0
2х 2
0,
Так как 4
х 1
то данное неравенство равносильно системе:
 2 х 2

 1 3 х 2  х  2  2 х  0,
 4
 х  1 
х  0



2

2

2
 3 х  1 х  1 х    0,
3


х  0



 2
х   1;0   0;   1
 3



 2 х 2  х 4  2 3х 2  х  2
 0,

х4 1

х  0


2
2
3
 х  1 х  1  х    0,
3


х  0



2
Ответ:  1;0    0;   1
3

5. Подведение итогов. Задание на дом
Выводы, оценки.
Решить уравнения и неравенства:
а)
в*)
1
х
3 9
1 х
х
4,
4х  2х  4
2
б)
х 1
27sin х  2  32sin х1  4  3sin х  9  2  3sin х  3