Открытый урок по теме Теорема Виета в 8 классе.

Открытый урок по теме Теорема Виета в 8 классе
Цели урока:
• познакомить учащихся с теоремой Виета;
• научить применять теорему Виета для составления квадратных уравнений;
• сформулировать теорему, обратную теореме Виета, и научить применять ее
к решению квадратных уравнений.
Развивающие цель:

содействовать развитию познавательного интереса, творческих
способностей, волевых качеств, памяти,

обобщать и систематизировать полученные знания.
Воспитательная цель:

воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и
настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении
корней квадратного уравнения.
Задачи урока:
Обучающие: научить применять теорему Виета.
Развивающие: новые способы решения квадратных уравнений и их
количество в зависимости от коэффициентов a, b, c.
Воспитательные: воспитывать коммуникабельность, внимательность.
Актуальность использования средств ИКТ: визуальные и другие сложные
образы существенно повышают пропускную способность информационных
каналов учебного процесса.
Оборудование: 1) аппаратные средства: компьютер; мультимедийный
проектор, интерактивная доска.
2) программные средства:Microsoft Office Word, Microsoft
Office Exel,
Microsoft Office Power Point.
Тип урока: Урок объяснения нового материала.
Ход урока
1. Организационный этап.

приветствие;

проверка готовности учащихся к уроку;

организация внимания учащихся.
2. Этап проверки домашнего задания.

выявление факта выполнения домашнего задания;

выявление причин невыполнения задания.
Проверяем домашнюю работу следующим образом:
Замените целые корни уравнений
1) 5х2-18х+16=0,
2)8х2+х-75==0,
3) 4х2+7х+3=0,
4) х2-х-56=0,
5) х2-х-1=0
на соответствующие буквы и отгадайте фамилию ученого, французского
математика.
и н в е
т
3 1 2 -1 8
(Виет).
Историческая справка. “Франсуа Виет - французский математик”. (Можно
вывести на экран с помощью проектора.)
3. Этап актуализации знаний.
-Что значит решить уравнение?
-Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
-Заметили ли вы зависимость между корнями квадратного уравнения?
4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению
нового материала.

постановка целей и задач изучения нового материала;

мотивация учащихся к его усвоению;

постановки перед учащимися учебной проблемы.
- Мы с вами на уроке постараемся ответить на вопрос о зависимости между
корнями квадратного уравнения и решении квадратного уравнения другими
способами.
5. Этап формирования новых знаний.
Учащиеся должны сформулировать закономерность между корнями и
коэффициентами приведённого квадратного уравнения
Решить приведённое квадратное уравнение, найти сумму и произведение
корней, записать ответы в таблице
Уравнение
Корни х1 и х2
х1 + х2
х1 . х 2
х 2– 2х – 3 = 0
х 2+ 5х – 6 = 0
х 2– х – 12 = 0
х 2+ 7х + 12 = 0
- Какие квадратные уравнения вы решили? (Приведенные.)
- Какую зависимость между корнями и коэффициентами вы заметили?
- Да, действительно, сумма корней приведенного квадратного уравнения
равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их
произведение – свободному члену. Вы сами сделали открытие! Вот в этом и
заключается теорема Виета. Сформулируйте эту теорему.
Теорема. (Ребята формулируют самостоятельно.)
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно
свободному члену.
1) Докажем теорему Виета для приведенных уравнений:
Дано: х2+рх+q=0
Доказать: х1+х2=-р, х1х2=q.
Доказательство: (На доске написана схема доказательства. Ученики
выполняют данную схему шаг за шагом.)
D 0 D=0
Найти D
Найти корни х1 и х2;
Найти сумму х1 и х2;
Найти произведение х1и х2.
Выводы: (Повторяем еще раз формулировку теоремы.)
2) Докажем теорему Виета для квадратных уравнений общего вида
ax2+bx+c=0. Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:
x2+ х+ с=0 .
По теореме Виета: х1+х2=-
, х1х2=
.
3) Справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируйте эту
теорему.
Теорема.
Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а их произведение равно q,
то эти числа являются корнями уравнения х2+bх+с=0.
(Доказательство разобрать дома.)
6. Этап формирования умений и навыков.
1.Работа с учебником. (фронтальный опрос)
№ 29.1 У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а
произведение - 11:
а) х2 - 6х + 11 = 0;
б) х2 + 6х - 11 = 0;
в) х2 - 11х - 6 = 0;
г) х2 + 11х - 6 = 0.
(Ответ: б)
2. (Устно). № 29.2 (а,б)
Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Для уравнений,
имеющих корни, найдите их сумму и произведение.
a) х2+2х-5=0,
б) х2-15х+16=0
№29.3
а) 2х2+9х-10=0.
б) 5х2+12х+7=0.
3. (Письменно). Определите корни квадратного уравнения методом подбора:
х1 х2
a) х2+7х+6=0,
б) х2-8х+12=0,
в) х2-х-6=0,
г) х2-15х-16=0,
д) х2=11х-12=0.
(Самопроверка проводится с помощью вынесения решений на экран.)
4) Зная, что х1 и х2- корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета,
составьте квадратные уравнения:
а) х1=4, х2=-3,
б) х1=5, х2=2.
(х2-х-12-0) (х2-7х+10=0)
х1
х2
а) х1=4,
х2=-3,
б) х1=5,
х2=2,
х1+х2 х1 х2 уравнение
в) х1=-3, х2=-6,
г) х1=8,
х2=12.
(Самопроверка проводится с помощью вынесения решений на экран.)
7. Этап первичной проверки.
1) Учащиеся выполняют самостоятельно по группам. Класс разбит на 4
группы. Каждая группа решает задания своего варианта по карточкам. Дана
инструкция с алгоритмом решения.
1 группа.
Пусть х1 и х2- корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в
указанном порядке.
1) х2-25=0,
(х1,х2)
2) х2-3х=0,
(х1,х2)
3) х2-5х+6=0,
(х2,х1)
4) х2-12х+35=0,
(х2,х1)
5) х2-6х=0,
(х2,х1)
6) х2-2х-35=0,
(х2,х1)
7) х2-х-6=0,
(х2,х1)
8) х2+3х=0,
(х2,х1)
9) х2+10х+25=0, (х1,х2)
10) х2+10х=0.
(х1,х2)
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную
плоскость, и последовательно соедините все точки отрезками. При
правильном выполнении вы получите рисунок.
2-я группа.
Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в
указанном порядке.
1) х2-4х-21=0,
(х1,х2)
2) х2-10х+21=0,
(х1,х2)
3) х2-7х+12=0,
(х1,х2)
4) х2-6х=0,
(х2,х1)
5) х2+4х-32=0,
(х2,х1)
6) х2+6х-55=0,
(х2,х1)
7) х2+16х+55=0, (х2,х1)
8) х2+12х+32=0, (х2,х1)
9) х2+6х=0,
(х1,х2)
10) х2-х-12=0.
(х1,х2)
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную
плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном
выполнении вы получите рисунок.
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную
плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном
выполнении вы получите рисунок.
Рисунки проектируются на экран. И учитель, и ученики сразу увидят
ошибки.
(Физкультпауза.)
2) 1-е три группы выполняют следующие задания:
1-я группа.
В уравнении х2+pх-35=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и
коэффициент p.
2-я группа.
Один из корней уравнения х2-13х+q=0 равен 12,5. Найдите другой корень
уравнения и коэффициент q.
3-я группа (группа сильных учащихся).
Не решая уравнение х2-2х-8=0, применяя теорему Виета, вычислите сумму
квадратов его корней.
8. Этап информирования о домашнем задании.
п.24 ( разобрать доказательство теоремы Виета и теоремы, обратной теореме
Виета),
1, 2 уровень: №№965-967 (в,г) о каком событии говорят коэффициенты
уравнения
12х2 + 4х + 1961 = 0. Найти корни уравнения.
3 уровень: №997,
Творческое задание: придумать рисунок на координатной плоскости и
составить квадратные уравнения, приняв координаты точек за корни
квадратного уравнения. (Необязательное задание.)
9. Подведение итогов. Рефлексия.
1) Ответьте на вопросы.
1) Какие уравнения мы сегодня рассматривали?
2) Чему равна сумма корней квадратного уравнения?
3) Чему равно произведение корней квадратного уравнения?
2) Рефлексия урока.
Продолжите фразу:
“Сегодня на уроке я узнал...”;
“Сегодня на уроке я научился...”
“Сегодня на уроке я познакомился...”
“Сегодня на уроке я повторил ...”
“Сегодня на уроке я закрепил...”
каждый получает оценку.
3) Заключительное слово учителя.
Франсуа Виет (сообщение).
Его жизнь развивалась по двум направлениям. С одной стороны – он
занимался научной деятельностью. Но занимался он не математикой, а
астрономией. Зарождение научного мировоззрения, формирование нового
взгляда на строение Солнечной системы не могли не увлечь его как ученого.
Для научного обоснования точки зрения ученых, необходимо было сделать
расчеты. Вот поэтому, попутно с астрономией, Виет углубился в математику
и достиг в этом больших успехов. Виет первым придумал буквенные
обозначения для известных чисел, так называемых, параметров. До него
процесс решения квадратных уравнений излагался в словесной форме, т.е.
без записи формул. Правда, записи Виета были громоздкими, позже их
упростил французский математик Рене Декарт. Но идея введения букв
принадлежала Виету, именно поэтому его называют “отцом математики”.
Рассмотренная в начале урока теорема, явно свидетельствует о преимуществе
использования связи корней с их коэффициентами над решением уравнений
по формулам. Это справедливо для уравнений второй степени. Для
приведенного уравнения третьей степени, применяются еще более
громоздкие формулы (речь идет о так называемых формулах Кордано).
Впоследствии мы познакомимся с этой теорией более подробно, изучим
возможности применения теоремы Виета для решения полиномиальных
уравнений, для исследования заданий, содержащих параметр.
Школьники всего мира знают имя Франсуа Виета в связи с изучением данной
теоремы. Это ли не честь ученому? Лучшего памятника трудно придумать!
Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также
участником исторических событий. Во время затяжной войны между
Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской
церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими
шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для
разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и
они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они
узнали о том, что их шифр расшифрован. Разгадал тайну шифра Франсуа
Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог
разгадать шифр, и обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая
якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время
произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV
взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть
определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор был со
временем исполнен.
– Что же двигало ученых в такое непростое время заниматься наукой, даже
под угрозой смерти? Наверное, прежде всего, это – пытливость
человеческого ума. Знак “?”, который является ключом к развитию науки, не
давал покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Кто я?
Человек. Разум – это мне дано. Понять себя, свою сущность, свое место в
мире люди стремились во все времена.
Загляните в себя, может, страдает ваша природная любознательность, потому
Вы что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых –
примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны.
Каков я для окружающих меня близких людей? Их мнение “конечно” не
безразлично. Но самое главное – как я сам к себе отношусь?, достоин ли
уважения? Подумайте об этом…