Открытый урок в 10 классе по теме: «Производная»

Предмет: алгебра и начала анализа, обобщающий урок.
Тема: «Производная» (слайд 1)
Продолжительность: 1 урок, 45 минут
Класс: 10 класс
Технологии:
 компьютер с ОС MS Windows;
 проектор;
 экран (интерактивная доска);
 презентация “Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями”;
 учебник –Алгебра и начала анализа – 10 класс. А.Н. Колмогоров
 Раздаточный материал для станции цветы.
Конспект урока:
Цели и задачи: закрепление и обобщение знаний по данной теме
- повторение определения производной, правила нахождения производной;
- закрепление умения нахождения производной суммы, произведения и частного функции,
производной степенной и тригонометрических функций. (слайд 2)
Ход урока.( слайд 3)
1. Организационный момент.
Учитель сообщает цель урока и рассматривает план работы урока.
2. Фронтальная работа.
Устный счет:
Задания 1. Найти производную функции.
2. Составь пару.
1. Найти производную (слайд 4)
1)Что называется производной функции f(х) в точке х0?
2)Укажите, для какой из функций
f ( x)  9 x 2  cos x
f ( x)  4,5 x 2  sin x
f ( x)  18 x  sin x
Функция f ( x)  9 x  cos x является производной.
Ответ: f(x)= 4,5x2 – sin x
Примечание.
На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания
становятся проще.
3)– 9) Найдите производную функции: (слайд 5)
подсказка
ответ
6
5
x x
3) ó 
;
y= x4-x3
y´=4x3- 3x2
õ2
4) ó  ( x 2  1)( x 2  1) ;
y=x4-1
y´=4x3
1
1
1
5) ó  x  ;
y´=
 2
x
2 x õ
2
2
6) ó  cos x  sin x ;
y=1
y´=0
2
2
7) ó  cos x  sin x ;
y=cos2x
y´=-2sin2x
2
3
8) ó  ( x  2)( x  2 x  4) ;
y=x -8
y´=3x2
1
x
9) ó 
.
y= х
y´=
x
2 x
3 2
10) Найдите скорость изменения функции h(x)=4x -x в х 0=0
подсказка
v(x)=h´(x)= 12х2-2х;
ответ
v(0)=0.
Фронтальную работу оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист.
2. Составь пару (один из вариантов).(слайд 6)
Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите
5
4
производную и запишите соответствие клеток. Например: ( х )'  5 x ,следовательно ответ:1- 9;
и т.д.
Вариант 1
1.
6.
11.
16.
2
5
а
õ
1
х
х2
2.
Х
7.
-3
х
3.
2x
12.
8.
sin x
17.
cos x
13.
- sin x
18.
1
2 х
4.
1
9.
5х
4

10.
5.
14.
19.
0
2
х3
15.
20.
2
ах
 3х
12 х
Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. (слайд 6)
Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ.
4
5
3. Групповая работа.
Эта работа проводится с целью подготовки к программированному контролю.
1 группа и 2 группа работают под руководством ученика, ответственного за данную группу. 3
группа (менее подготовленная) работает под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2
группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у
ответственного за группу или учителя. После выполнения работы учитель проверяет работы у
ответственных, а ответственные у членов своей группы.
Вариант № 1
Вариант № 2
1. Найдите производную функции:
а)y=x6 - 13x4+11;
(1б)
3
б)y=x + sinx.
(1б)
2. Найдите значение производной функции y=

12 cosx в точке x0 = - .
(1б)
6
3. Найдите точки, в которых значение
1
производной функции y= х3 – 6x2 + 27x -21
3
равно 0. (2б)
4. Дополнительное задание.
Найдите скорость изменения функции y=xsinx

в точке х0 =
(3б)
4
1. Найдите производную функции:
а) у  27 x 5  19 x  61;
(1б)
б) у 
x
.
cos x
(1б)
2. Найдите значение производной функции
у  19 sin x в точке х0  

4
.
(2б)
3. Найдите точки, в которых значение
производной функции
1
у  х 3  7 x 2  38 x  1 равно  2 . (2б)
3
4. Дополнительное задание.
Найдите скорость изменения функции в точке
х0.
у  ( х  1) 2 в х0 = 1. (2б)
А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:
Учитель предлагает задания. (слайд 7)
1. Найдите производную функции
у  3х 4  4 х 3  5х 2  8х в точке х0 = 0
2. Найдите производную функции:
x2  1
2
3
а) у 
; б) y  x  1; в) y  (2 x  4) ;
х3
Один из учеников третьей группы решает его на доске. Затем каждый ученик выполняет
аналогичные задания на месте (карточки уже на руках у учеников).
Задания 3 группы
Вариант№1
Вариант№2
Вариант№3
Вариант№4
1. Найти производную
1. Найти
1. Найти производную
1. Найти производную
функции в х0 = 1
производную
функции в х0 = 0
функции в х0 = 2
3
2
5
2
1
1
функции
в
х
=
1
.
(2б)
.
(2б)
ó

3
õ

15
õ

4
õ
0
у  4х  5х  3х  4
ó  õ 3  õ 2  2 õ  3 . (2б)
4
3
2
y=4x +3x +2x +x-1. 2. Найдите производную
3
4
2. Найдите производную
(2б)
2.
Найдите
производную
функции
функции
2
2. Найдите
функции
x  3 . (3б)
x 5
. (3б)
ó
у 2
5 x  1 . (3б)
производную
ó
õ 2
х 2
õ 4
функции
Дополнительное
Дополнительное
задание.
задание.
Дополнительное задание. y= 102õ  1 . (3б)
õ 2
3. Найдите производную
Дополнительное
3. Найдите производную
3. Найдите производную
функции.
задание.
функции.
функции.
y  x 2  1  (5 õ  1) 5 .
y  2 x  ( х 2  1) 3 . (3б)
y  x 2  1  ( õ3  5)4 . (3б)
3. Найдите
(3б)
производную
функции.
y= sinx+4 2 х  1
(3б)
В помощь ученикам 3 группы дается образец решения.(слайд 8)
Образец.
1. Найдите производную функции
у  3х 4  4 х 3  5х 2  8х в точке х0 = 0
y'  12 x 3  12 x 2  10 x  8;
y' (0)  12  0  12  0  10  0  8  8;
2. Найдите производную функции:
2
а) у  x  1 ;
х3
у' 
( x 2  1)'( x  3)  ( x 2  1)  ( x  3)'

( х  3) 2
2 x  ( x  3)  ( x 2  1)  1


( х  3) 2

2x2  6x  x2  1 x2  6x  1

;
( х  3) 2
( х  3) 2
б) y  x3  1;
y' 
1  ( x 3  1)
3x 2

;
2 x3  1 2 x3  1
в) y  (2 x  4) 2 ;
y'  2(2 x  4)1  (2 õ  4)'  2  (2õ  4)1  2  8x  16.
Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2 группы.
Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение и сверяют
ответы. (слайд 9)
Вариант №1
Вариант №2
4
5
3
1.
а)
y´=135x
+
19;
1.а). y´ = 6x - 52x ;
cos x  x sin x
б). y´= 3x2 + cosx.
б) y' 
cos 2 x
2. y´= -12sinx; y ' (  )  12sin(-  )  6
2. y´=19cosx;
6
6
2
3. y´= x – 12x +27; y´= 0.

 19 2
y ' ( )  19  cos(- ) 
x2 – 12x + 27= 0; Д =36; x1=9; x2 =3
4
4
2
4.v(x)=y´=x´sinx+ x(sinx)´=sinx + xcosx;
3. y´= x2 – 14x + 38; y´= -2;
2  (4   )
x2 -14x + 38=-2; Д=36; x1=10; x2=4.

 

2 
2
ó' ( )  sin   cos 
 

4. v(x)=y´=2(х+1); v(1)=4.
4
4 4
4
2
4 2
8
Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных
заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и выставляет баллы в
оценочный лист.
4. Программированный контроль.
Повторив определение производной и правила нахождения производной, учащиеся проверяют
свои знания с помощью программированного контроля.
У каждого ученика на столе приготовлена карточка программированного контроля. Карточки
приготовлены индивидуально (по уровню сложности).
Карточки находятся в Приложении1.
Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике. Учитель объясняет на
данном примере. (слайд 10)
Образец .
Ответ
Задание
f ( x)  (1  x) x  1; f ' (2)  ?
а
с
р
у
и
д
-1
14
4
1
3
-3
3
1
1
3
1
1
1  2x2



h( x ) 
; h' (1)  ?
2
2
4
2
2
4
2x
2
 ( x)  ( x  2)( x  2x); ' ( x)  ? 3x 2  4x  3x 2  4 x  3x 2  4x 3x 2  4 3x 2  4 x 3x 2  4
f ( x)  7 x 3  3sin x; f ' (0)  ?
f ( x)  6x 2 (5x 3  1); f ' (0)  ?
-24
24
18
-18
3
-3
24
-36
1
0
-1
36
f (t )  t 4  t 3  t 2  3; f ' (2)  ?
-4
4
40
-42
36
-36
Ответ: радиус.
После выполнения работы учащиеся сверяют свои ответы и выставляют баллы в оценочный лист.
Ответы: №1-куб; №2- луч; №3-час; №4-шар; №5-знак; №6-метр; №7-угол; №8-плюс;№9-тело; №
10-конус; №11-точка; №12-число; №13-минус.(слайд 11)
5. Дополнительные задания.
Для тех кто, выполнил своё задание, выполняют задания:
- дружная четвёрка.(приложение 2.)
Задание: Установите соответствия между функцией, записанной в строке А, её изображение в
строке Б, производной функции в строке В и графиком производной в строке Г.(слайд 12)
Ответы: (слайд 13)
А
1
2
3
4
5
6
7
Б
3
4
1
2
6
7
5
В
3
5
1
7
2
4
6
Г
2
4
7
5
6
1
3
6.Домашнее задание:
уч. стр.171, работа №3.(слайд 14)
7. Подведение итогов урока. (слайд 15)
Выставление оценок.
Примечание: все записи решения заданий выполняются в рабочих тетрадях, а баллы выставляются
в оценочный лист (оценочный лист для каждой группы).
№п/п
ФИ
Устный счет
учашегося (оценивается
Оценочный лист
Составь
Групповая
пару
работа
Программированный
Дружная
четверка
Итог
учителем)
1
2
3
4
5
Руководитель
группы
(оценивается (оценивается
контроль
учеником) руководителем (оценивается (оценивается
группы или
учеником)
учеником)
учителем)