Применение показателей вариации в

Применение показателей вариации в статистическом исследовании
1
Содержание
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ВАРИАЦИИ В СТАТИСТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ .............................. 3
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ ....................................... 6
ВЫВОДЫ ................................................................................................................. 8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... 9
2
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ В СТАТИСТИЧЕСКОМ
ИССЛЕДОВАНИИ
Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации
относятся:
• размах колебаний;
• среднее линейное отклонение;
• среднее квадратическое отклонение;
• дисперсия;
• квартильное отклонение.
Размах колебаний (размах вариации)
где xmах , xmin - соответственно максимальное и минимальное значения
признака. Величина показателя зависит от величины только двух крайних вариант и не учитывает степени колеблемости основной массы членов ряда.
Среднее линейное отклонение
и среднее квадратическое отклонение
(σ) показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения
признака от среднего его значения. Среднее линейное отклонение определяется по формулам:
а) для несгруппированных данных (первичного ряда)
б) для п вариационного ряда
Среднее квадратическое отклонение (σ) и дисперсия (σ2) определяются
так:
а) для несгруппированных данных
3
б) для п вариационного ряда
Формула для расчета дисперсии может быть преобразована:
т. е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений
признака минус квадрат средней величины. Следовательно,
Среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством
мажорантности средних.
Квартильное отклонение (dk) применяется вместо размаха вариации,
чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:
где Q1 и Q1 - соответственно третья и первая квартили распределения.
Квартиль - значения признака, которые делят ранжированный ряд на
четыре равные по численности части. Таких величин будет три: первая квартиль (Q1), вторая квартиль (Q2), третья квартиль (Q3). Вторая квартиль является медианой. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы.
Сначала определяют положение или место квартили:
Затем по накопленным частотам в дискретном ряду определяют численное значение.
4
В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором лежит квартиль, затем определяют ее численное значение по формуле
где ХQ - нижняя граница интервала, в котором находится квартиль;
S(Q-1) - накопленная частота интервала, предшествующего тому, в котором находится квартиль;
fQ - частота интервала, в котором находится квартиль.
При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же
совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака
в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической
используются относительные показатели вариации. Они вычисляются как
отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической
(или медиане) и чаще всего выражаются в процентах.
Формулы расчета относительных показателей вариации следующие:
Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Его применяют
не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).
5
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ
Пример 1. При определении коэффициента вариации по статистическому ряду распределения числа рабочих по разрядам будем использовать
следующие формулы:
Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:
d
 xx  f
f
.
Дисперсия определяется по формуле:
 xx
Д
f
2
f
.
Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации:
G  Д ; 
G
100 .
x
Результаты расчетов представлены в таблице.
Таблица 1 – Распределение числа рабочих по тарифным разрядам и
вспомогательные расчеты
Тарифный раз- Число рабо-
xf
x x f xx2 f
ряд (xi)
чих (fi)
2
8
16
15,2
28,88
3
16
48
14,4
12,96
4
17
68
1,7
0,17
5
12
60
13,2
14,52
6
7
42
14,7
30,87
Всего
60
234
59,2
87,4
Среднее значение тарифного разряда определяется по формуле:
6
x
xf 234

 3.9
f
60

Среднее линейное отклонение равно:
59.2
 0.99
60
d
Дисперсия:
Ä
87,4
 1,46
60
Среднее квадратическое отклонение:
G  1.46  1.21
Коэффициент вариации:

1.21
100  31%
3.9
Пример 2. Из урны, содержащей 8 белых, 6 черных шаров наугад извлекают 2 шара. Пусть Х – число вынутых черных шаров. Найдем коэффициент вариации этой случайной величины.
Ряд распределения случайной величины Х:
Хi
2
1
0
Рi
0,165
0,527
0,308
Если оба вынутых шара черные:
Р1 
С62
6! 2!12!

*
 0,165
2
С14 2!4! 14!
Р2  С61 * С81 / С142 
Р3  С82 / С142 
6! 8! 2!12!
*
*
 0,527
1!5! 1!7! 14!
8! 2!12!
*
 0,308
2!6! 14!
Функция распределения имеет вид:
7
0, если х  0,

0,308, если 0  x  1,

F (x)  
0.835, если 1  x  2,
 1, если x  2.
Математическое ожидание:
n
М   xi pi  0.165 * 2  0.527 *1  0.857
i 1
Дисперсия:
n
D   ( xi  M ) 2 pi  (2  0.857) 2 * 0.165  (1  0.857) 2 * 0.527  (0  0.857) 2 *
i 1
* 0.308  0.4526
Коэффициент вариации:

D
100  0,4526 / 0,857 *100  52,8%
Ì 
ВЫВОДЫ
В лабораторной работе изучено применение показателей вариации в
статистическом исследовании. Для этого рассмотрены теоретические аспекты применения показателей вариации в статистическом исследовании, определены коэффициенты вариации на двух условных примерах.
В результате определения коэффициента вариации по статистическому
ряду распределения числа рабочих по разрядам получен коэффициент вариации, равный 31%, что свидетельствует об однородности совокупности.
Во втором примере нахождение коэффициента вариации числа вынутых из урны черных шаров дало его значение в размере 52,8%. Это свидетельствует о неоднородности совокупности, так как значение коэффициента
вариации больше 33%.
8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Статистика рынка товаров и услуг: Учебник / Под ред. И.К. Беляевского. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 432с.
2. Экономическая статистика: учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова. – М.:
ИНФРА-М, 1998. – 480с.
3. Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник. – М.:
Издательство „Дело и сервис”, 2000. – 464с.
4. Социально-экономическая статистика / Под ред. С.Р. Несторович. –
Минск: БГЭУ, 2000.
9