2. Элементы теории матриц

3088289851
§2. Элементы теории матриц
В предыдущем разделе было введено определение матрицы A размерности
p  q как прямоугольной таблицы чисел, состоящей из р строк и q столбцов:
 a11 a12 a13 ... a1q 


 a 21 a 22 a 23 ... a 2 q 
(1)
A 
...
...
... ...
...


 a p1 a p 2 a p3 ... a pq 


где aij будем называть элементом матрицы, стоящим в i-й строке и в j-м столбце.
Можно пользоваться сокращенной формой записи:
A = (aij); i = 1, 2, 3, , p; j = 1, 2, 3, , q
или
Аpq = (aij)
Для квадратной матрицы размерности р введём обозначение Аp = (aij). В тех
случаях, когда размерность не существенна или очевидна, индекс в обозначении
матрицы будем опускать.
Две матрицы одинаковой размерности p  q называются равными, если в
них одинаковые места заняты равными числами (на пересечении i-й строки и
j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., p;
j=1, 2, ..., q ).
Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к нижнему
правому углу, то есть образованная элементами a11 , a 22 , , a nn называется
главной диагональю.
Пусть A = (aij) – некоторая матрица и  – произвольное число, тогда A =
( aij), то есть при умножении матрицы A на число  все числа, составляющие
матрицу A, умножаются на число .
Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (aij), B = (bij), тогда их
сумма A + B – матрица C = (cij) той же размерности, определяемая формулой
cij = aij + bij.
Если A и B – матрицы одинаковой размерности, а r и s – числа, то
справедливы следующие равенства:
3088289852
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
А + В = В + А;
А + (В + С) = (А + В) + С;
если М – нулевая матрица, то А + М = А;
для любой матрицы А существует такая матрица –А, что А + (–А) = М;
r(А + В) = rА + rВ;
(r + s)А = r А + sА;
(r s)А = r(sА);
1А = А.
Справедливость этих равенств легко доказать.
Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB,
если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом
матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько
столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C
определяется формулой
n
cij   aik bkj .
k 1
Элемент cij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i-й
строки первой матрицы-сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца
второй матрицы-сомножителя.
Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то
произведение BA, вообще говоря, не определено.
Приведем примеры перемножения матриц:
5
 3

2
3
4
1

 1  4
1  1  3 
1)  2
=
6
2
4  2

3
1 


3

1


1  5  2   4  3  2  4   1
1  2  2  1  33  6  4   3



=  2  3  1  1   1  6   3   3 2  5  1   4   1  2   3   1 =
 4  5   2   4  3  2  1   1 4  5   2   4  3  2  1   1 


 11  1


7 ;
=  10
 25 31


3088289853
Если AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти
произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно.
Продемонстрируем это на примере.
 1 2  5 6   19 22   5 6  1 2   23 34 



; 


 .
 3 4  7 8   43 50   7 8  3 4   31 46 
Для алгебраических действий над матрицами справедливы следующие
законы:
1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + C) = AB + AC;
3)  (АВ) = (А)В = А( В)
Докажем равенство 1).
Пусть A = Apq; B = Bqr; C = Crs. Строка с номером f матрицы AB имеет
вид
q
 a fg bg1 ;
g 1
q
 a fg bg 2 ;
g 1
q
q
g 1
g 1
 a fg bg 3 ; ;  a fg bgr
Выпишем элемент, стоящий в строке f и в столбце h матрицы (AB)C
q
q
q
q
g 1
g 1
g 1
g 1
 a fg bg1c1h   a fg bg 2 c 2h   a fg bg 3c3h    a fg bgr c rh

r
 c zh
z 1
q
r
 a fg b gz  
g 1

q
 a fg b gz c zh
(2)
z 1g 1
Столбец с номером h матрицы BC имеет вид
r
 b1z c zh
z 1
r
 b2 z c z h
z 1

r
 bqz c zh
z 1
Выпишем элемент, стоящий в строке f и в столбце h матрицы A(BC)
3088289854
r
r
r
z 1
z 1
z 1
a f 1  b1z c zh  a f 2  b2 z c xh  a f 3  b3z c zh    a fq

q
 a fg
g 1
r
 bgz c zh 
z 1
r
r
 bqz c zh

z 1
q
  a fg bgz c zh
(3)
z 1g 1
Полное совпадение выражений (2) и (3) доказывает справедливость равенства 1).
Справедливость равенств 2) и 3) читателю рекомендуется доказать самому.
Транспонированием матрицы называется такое преобразование этой
матрицы, при котором её строки делаются столбцами с тем же самым номером, то
есть переход от матрицы (1) к матрице
 a11

 a12
a
 13

a
 1q
a 21  a p1 

a 22  a p 2 
a 23  a p3 

   
a 2q  a pq 
Можно сказать, что транспонирование есть поворот матрицы около главной
диагонали. Матрицу, полученную из матрицы А транспонированием будем
обозначать АТ.
Читателю предлагается доказать справедливость формулы (АВ)Т = ВТАТ.
Матрица А = А1п, состоящая из одной строки, называется п-мерным
вектором-строкой. Матрица А = Аk1, состоящая из одного столбца, называется kмерным вектором-столбцом. В дальнейшем изложении, говоря о векторе Х, по
умолчанию будем предполагать, что это вектор-столбец. Вектор-строка будет
обозначаться ХТ.
Пусть имеется матрица A = (aij) размерности m  n, n-мерный вектор X и
mмерный вектор B:
 x1 
 b1 
 
 
 x2 
b 
X   ; B 2  .
...
...
 
 
 xn 
 bm 
3088289855
Тогда матричное равенство
AX = B,
(4)
если расписать его поэлементно, примет вид:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
.








a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Таким образом, формула (1) является записью системы m линейных
уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что,
записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и
другие очень важные преимущества.
Пусть Ап = (аij). Следом tr(A) называется сумма a11  a 22    a nn .
Если имеются две матрицы: Ап = (aij) и Вп = (bij) то
tr(AB) = tr(BA)
(5)
Доказательство
n n
tr(BA) =
  b pq a qp 
p 1q 1
n n
  a qp b pq  tr AB  ,
q 1 p 1
то есть равенство (5) справедливо.
В дальнейшем нам понадобится так называемый символ Кронекера ij,
который определим так:
1 при i  j ;
0 при i  j .
 ij  
Определим единичную матрицу Е
как квадратную матрицу Еп = (ij).
Таким образом, на главной диагонали единичной матрицы стоят единицы, а все
остальные её элементы равны нулю.
Пусть А = Аnm. Тогда ЕпА = А = АЕт
Доказательство последней формулы читателю предлагается провести самому.
Пусть А – квадратная матрица. Матрица А–1 называется обратной к
матрице А, если А–1А = А А–1 = Е.
3088289856
Очевидно, что A–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A.
Теорема. Если обратная матрица к матрице А существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что наряду с матрицей А–1 существует
другая матрица А*, такая, что А*А = АА* = Е. Тогда из свойств умножения матриц
следует:
А* = А*Е = А*(А А–1) = (А* А) А–1 =Е А–1 = А–1,
что и доказывает утверждение теоремы.
Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.
Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице
 1 2 3


A   1 1 1
 2  1 3


 x11

Пусть А–1 =  x 21
x
 22
x12
x 22
x32
x13 

x 23 
x33 
Условие
 1 2 3  x11 x12


1 4  x21 x22
1
 2  1 3  x

 31 x32
можно свести к трём системам уравнений:
x13   1 0 0 
 

x23   0 1 0  ,
x33   0 0 1
АХ1 = В1; АХ2 = В2; АХ3 = В3
(6)
Здесь ХiT = (x1i,x2i,x3i); BiT = (1i,2i, 1i); i = 1, 2, 3; ji – символ Кронекера.
Так как все три системы (6) имеют одну и ту же матрицу коэффициентов, их
можно решать одновременно следующим образом. Выпишем матрицу
 1 2 3 1 0 0


1
1
4
0
1
0


 2  1 3 0 0 1


(7)
Её первые четыре столбца образуют расширенную матрицу первой из систем
уравнений (6), первые три столбца с пятым столбцом образуют расширенную
матрицу второй системы уравнений из (6), первые три столбца с шестым
3088289857
столбцом образуют расширенную матрицу третьей системы уравнений из (6).
Очевидно, что матрица (7) получается, если к матрице А справа приписать
единичную матрицу той же размерности.
Элементарными преобразованиями приведём матрицу (7) к ступенчатому
виду.
3 1 0
0  1 0
5  1 2 0
1 2

 

1  1 0 
0 1  1 1  1 0   0 1  1
0 5
3 2
0  1  0 0
8  3 5 1

7
9
5


1 0 0

8
8
8

5
3
1
0 1 0

 

8
8
8

3
5
1
0
0
1




8
8
8

(8)
Как видно, матрица А преобразована в единичную матрицу. Если теперь учесть,
что первые четыре столбца матрицы (8) представляют собой расширенную
матрицу системы, эквивалентной первой системе из (6), первые три и пятый
столбцы представляют собой расширенную матрицу системы, эквивалентной
второй системе из (6) и т. д., то получается
 7/ 8 9/ 8 5/ 8 


. A   5 / 8  3 / 8  1 / 8 .
  3 / 8 5 / 8  1 / 8


Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к
1
квадратной матрице А размера n.
Нужно выписать матрицу размерности n  2n, первые n столбцов которой
образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е.
Построенная таким образом матрица преобразуется так, чтобы на месте матрицы
А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е
получается матрица А–1.
Если матрицу А нельзя элементарными преобразованиями привести к
единичной матрице, то А–1 не существует. Так матрица
3088289858
 1 2 3


2 1 1
4 5 7


не имеет обратной. Читатель может в этом убедиться самостоятельно.
Рассмотрим теперь систему (4) AX = B. Если матрица А коэффициентов
системы является квадратной матрицей и при этом существует матрица А–1, то
система имеет единственное решение, которое можно получить, умножив обе
части равенства (4) слева (!) на матрицу А–1:
А–1AX = А–1B
Левую часть последнего равенства преобразуем: (А–1A)Х = ЕХ = X. Отсюда
находим единственное решение системы (4)
X = А–1B. Метод решения
квадратных систем уравнений с помощью обратной матрицы эффективен в
случае, если приходится решать несколько систем с одинаковыми матрицами
коэффициентов, но с различными столбцами свободных членов.
Решить матричные уравнения
 1 2 3
0 0 1




1 3 
1 1
  1 1    2  1
1) 
X  
 2) X
  
 3)  2 3 1  X   1 0 0 
4
1 2 
1 1
 3  4  3
 3 1 2
0 1 0



