Lecture 2

ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ
При планировании экстремального эксперимента очень важно определить параметр,
который нужно оптимизировать. Сделать это совсем не так просто, как кажется на первый
взгляд. Цель исследования должна быть сформулирована очень четко и допускать
количественную оценку. Будем называть характеристику цели, заданную количественно,
параметром оптимизации. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на
воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной вами системы. Реакция
объекта многогранна, многоаспектна. Выбор того аспекта, который представляет
наибольший интерес, как раз и задается целью исследования.
При традиционном нематематическом подходе исследователь стремится как–то учесть
разные аспекты, взвесить их и принять согласованное решение о том, какой опыт лучше.
Однако разные экспериментаторы проведут сравнение опытов неодинаково.
Прежде чем сформулировать требования к параметрам оптимизации и рекомендации
по их выбору, познакомимся с различными видами параметров.
Виды параметров оптимизации
В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть
весьма разнообразными. Чтобы ориентироваться в этом многообразии, введем некоторую
классификацию. Реальные ситуации, как правило, сложны. Они часто требуют
одновременного учета нескольких, иногда очень многих, параметров. В принципе каждый
объект может характеризоваться сразу всей совокупностью параметров. Движение к
оптимуму возможно, если выбран один–единственный параметр оптимизации. Тогда
прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а
служат ограничениями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации
как некоторой функции от множества исходных.
Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль, себестоимость и
рентабельность, обычно используются при исследовании действующих промышленных
объектов, тогда как затраты на эксперимент имеет смысл оценивать в любых
исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на
эксперимент пропорциональны числу опытов, которые необходимо поставить для
решения данной задачи. Это в значительной мере определяет выбор плана эксперимента.
Среди технико–экономических параметров наибольшее распространение имеет
производительность. Такие параметры, как долговечность, надежность и стабильность,
связаны с длительными наблюдениями. Имеется некоторый опыт их использования при
изучении дорогостоящих ответственных объектов, например радиоэлектронной
аппаратуры.
Почти во всех исследованиях приходится учитывать количество и качество
получаемого продукта. Как меру количества продукта используют выход, например,
процент выхода химической реакции, выход годных изделий.
Показатели качества чрезвычайно разнообразны. Характеристики количества и
качества продукта образуют группу технико–технологических параметров.
Под рубрикой «прочие» сгруппированы различные параметры, которые реже
встречаются, но не являются менее важными. Сюда попали статистические параметры,
используемые для улучшения характеристик случайных величин или случайных функций.
В качестве примеров назовем задачи на минимизацию дисперсии случайной величины, на
уменьшение числа выбросов случайного процесса за фиксированный уровень и т.д.
Последняя задача возникает, в частности, при выборе оптимальных настроек
автоматических регуляторов или при улучшении свойств нитей (проволока, пряжа,
искусственное волокно и др.).
С ростом сложности объекта возрастает роль психологических аспектов
взаимодействия человека или животного с объектом. Так, при выборе оптимальной
организации рабочего места оператора параметром оптимизации может служить число
ошибочных действий в различных возможных ситуациях. Сюда относятся задачи
выработки условных рефлексов типа задачи «крысы в лабиринте».
При решении задачи технической эстетики или сравнении произведений искусства
возникает потребность в эстетических параметрах. Они основаны на ранговом подходе.
Давайте рассмотрим следующий пример.
Пример 1. Во время второй мировой войны несколько сот английских торговых судов
на Средиземном море были вооружены зенитными орудиями для защиты от вражеских
бомбардировщиков. Поскольку это мероприятие было достаточно дорогим (требовалось
иметь на каждом судне боевую команду), через несколько месяцев решили оценить его
эффективность. Какой из параметров оптимизации более подходит для этой цели?
Число сбитых самолетов.
Потери в судах, оснащенных орудиями, по сравнению с судами без орудий.
Если Вы считаете, что эффективность установления орудий на торговые суда можно
оценить числом сбитых самолетов, то Вы вряд ли смогли бы занять пост командующего
английским флотом на Средиземном море. Выбранный Вами параметр оптимизации
оценивает эффективность уничтожения самолетов. В то же время ясно, что значения
параметра оптимизации в этом случав будут низкими, так как существуют куда более
эффективные средства для этой цели (авиация, боевой флот), чем зенитные орудия на
торговых судах.
Если же Вы полагаете, что эффективность установки орудий на торговые суда можно
оценить сопоставлением потерь в судах, оснащенных орудиями, с потерями в судах без
орудий, то это разумный выбор параметра оптимизации, потому что основной задачей при
установке орудий была защита судов. Самолеты вынуждены были теперь использовать
противозенитные маневры и бомбометание с большой высоты, что уменьшало потери. Из
числа атакованных самолетами торговых судов с зенитными орудиями было потоплено
10% судов, а потери в судах без орудий составили 25%. Затраты на установку орудий и
содержание боевых расчетов окупились очень быстро.
Требования к параметру оптимизации
Параметр оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать
процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Мы должны уметь его
измерять при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов. Множество
значений, которые может принимать параметр оптимизации, будем называть областью его
определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными,
ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это параметр
оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в
интервале от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число
кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью
определения, ограниченной снизу.
Уметь измерять параметр оптимизации – это значит располагать подходящим
прибором. В ряде случаев такого прибора может не существовать или он слишком дорог.
Если нет способа количественного измерения результата, то приходится воспользоваться
приемом, называемым ранжированием (ранговым подходом). При этом параметрам
оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной,
пятибалльной и т. д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область
определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо,
плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.
Ранг – это количественная оценка параметра оптимизации, но она носит условный
(субъективный) характер. Мы ставим в соответствие качественному признаку некоторое
число – ранг.
Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации можно построить
ранговый аналог. Потребность в построении такого аналога возникает, если имеющиеся в
распоряжении исследователя численные характеристики неточны или неизвестен способ
построения удовлетворительных численных оценок. При прочих равных условиях всегда
нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый подход менее
чувствителен и с его помощью трудно изучать тонкие эффекты.
Пример 2. Ваша жена решила испечь яблочный пирог по новому рецепту. Вам,
конечно, трудно остаться в стороне, и вы предлагаете ей свои услуги по оптимизации
этого процесса. Цель процесса – получение вкусного пирога, но такая формулировка цели
еще не дает возможности приступить к оптимизации: необходимо выбрать
количественный критерий, характеризующий степень достижения цели. Можно принять
следующее решение: очень вкусный пирог получает отметку 5, просто вкусный пирог –
отметку 4 и т.д.
Как вы полагаете, можно ли после такого решения переходить к оптимизации
процесса?
Давайте разберемся. Нам важно количественно оценить результат оптимизации.
Решает ли отметка эту задачу? Конечно, потому что, как мы договорились, отметка 5
соответствует очень вкусному пирогу и т.д. Другое дело, что этот подход, называемый
ранговым, часто оказывается грубым, нечувствительным. Но возможности такой
количественной оценки результатов не должна вызывать сомнений.
Другие примеры рангового подхода: определение чемпиона мира по фигурному
катанию или гимнастике, дегустация вин, сравнение произведений искусства и т. д. Или,
если хотите, из области химии: сравнение продуктов по цвету, прозрачности, форме
кристаллов.
Следующее требование: параметр оптимизации должен выражаться одним числом.
Иногда это получается естественно, как регистрация показания прибора. Например,
скорость движения машины определяется числом на спидометре. Чаще приходится
производить некоторые вычисления. Так бывает при расчете выхода реакции. В химии
часто требуется получать продукт с заданным отношением компонентов, например,
А:В=3:2. Один из возможных вариантов решения подобных задач состоит в том, чтобы
выразить отношение одним числом (1,5) и в качестве параметра оптимизации
пользоваться значениями отклонений (или квадратов отклонений) от этого числа.
Еще одно требование, связанное с количественной природой параметра оптимизации,
– однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно
соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра
оптимизации. (Однако обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут
соответствовать разные наборы значений факторов.)
Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр
оптимизации действительно оценивал эффективность функционирования системы в
заранее выбранном смысле. Это требование является главным, определяющим
корректность постановки задачи.
Представление об эффективности не остается постоянным в ходе исследования. Оно
меняется по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов.
Это приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так,
например, на первых стадиях исследования технологических процессов в качестве
параметра оптимизации часто используется выход продукта. Однако в дальнейшем,
когда– возможность повышения выхода исчерпана, нас начинают интересовать такие
параметры, как себестоимость, чистота продукта и т.д.
Говоря об оценке эффективности функционирования системы, важно помнить, что
речь идет о системе в целом. Часто система состоит из ряда подсистем, каждая из которых
может оцениваться своим локальным параметром оптимизации. При этом оптимальность
каждой из подсистем по своему параметру оптимизации «не исключает возможности
гибели системы в целом».
Мало иметь эффективный параметр оптимизации. Надо еще, чтобы он был
эффективный в статистическом смысле. Понятие статистической эффективности
достаточно сложное, и мы не будем здесь заниматься точными формулировками.
Фактически это требование сводится к выбору параметра оптимизации, который
определяется с наибольшей возможной точностью. (Если и эта точность недостаточна,
тогда приходится обращаться к увеличению числа повторных опытов.)
Пусть, например, нас интересует исследование прочностных характеристик
некоторого сплава. В качестве меры прочности можно использовать как прочность на
разрыв, так и макротвердость. Поскольку эти характеристики функционально связаны, то
с точки зрения эффективности они эквивалентны. Однако точность измерения первой
характеристики существенно выше, чем второй. Требование статистической
эффективности заставляет отдать предпочтение прочности на разрыв.
Следующее требование к параметру оптимизации – требование универсальности или
полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность
всесторонне характеризовать объект. В частности, технологические параметры
оптимизации
недостаточно
универсальны:
они
не
учитывают
экономику.
Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые
строятся как функции от нескольких частных параметров.
Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и
легко вычисляемым.
Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов
эксперимента. Не представляет труда объяснить, что значит максимум извлечения,
максимум содержания ценного компонента. Эти и подобные им технологические
параметры оптимизации имеют ясный физический смысл, но иногда для них может не
выполняться, например, требование статистической эффективности. Тогда рекомендуется
переходить к преобразованию параметра оптимизации. Преобразование, например типа
arcsin y, может сделать параметр оптимизации статистически эффективным (например,
дисперсии становятся однородными), но остается неясным: что же значит достигнуть
экстремума этой величины?
Второе требование часто также оказывается весьма существенным. Для процессов
разделения термодинамические параметры оптимизации более универсальны. Однако на
практике ими пользуются мало: их расчет довольно труден.
Пожалуй, из этих двух требований первое является более существенным, потому что
часто удается найти идеальную характеристику системы и сравнить ее с реальной
характеристикой. Иногда при этом целесообразно нормировать параметр с тем, чтобы он
принимал значения от нуля до единицы.
Кроме высказанных требований и пожеланий при выборе параметра оптимизации
нужно еще иметь в виду, что параметр оптимизации в некоторой степени оказывает
влияние на вид математической модели исследуемого объекта. Экономические
параметры, в силу их аддитивной природы, легче представляются простыми функциями,
чем физико–химические показатели. Не случайно методы линейного программирования,
основанные на простых моделях, получили широкое распространение именно в
экономике. Температура плавления сплава является, как известно, сложной,
многоэкстремальной характеристикой состава, тогда как стоимость сплава зависит от
состава линейно.
О задачах с несколькими выходными параметрами
Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные преимущества. Но на
практике чаще всего приходится учитывать несколько выходных параметров. Иногда их
число довольно велико. Так, например, при производстве резиновых и пластмассовых
изделий приходится учитывать физико–механические, технологические, экономические,
художественно–эстетические и другие параметры (прочность, эластичность,
относительное удлинение, способность смеси прилипать к форме и т. д.). Математические
модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать
несколько функций невозможно.
Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения цели
исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. Поэтому из многих
выходных параметров выбирается один в качестве параметра оптимизации, а остальные
служат ограничениями. Всегда полезно исследовать возможность уменьшения числа
выходных параметров. Для этого можно воспользоваться корреляционным анализом.
При этом между всевозможными парами параметров необходимо вычислить
коэффициент парной корреляции, который является общепринятой в математической
статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Если
обозначить один параметр через y1 а другой – через у2, и число опытов, в которых они
будут измеряться, – через N, так, что u=1, 2, . . ., N, где u – текущий номер опыта, то
коэффициент парной корреляции г вычисляется по формуле
Значения коэффициента парной корреляции могут лежать в пределах от –1 до +1. Если
с ростом значения одного параметра возрастает значение другого, у коэффициента будет
знак плюс, а если уменьшается, то минус. Чем ближе найденное значение корреляции к
единице, тем сильнее значение одного параметра зависит от того, какое значение
принимает другой, т.е. между такими параметрами существует линейная связь, и при
изучении процесса можно рассматривать только один из них. Необходимо помнить, что
коэффициент парной корреляции как мера тесноты связи имеет четкий математический
смысл только при линейной зависимости между параметрами и в случае нормального их
распределения.
Для проверки значимости коэффициента парной корреляции нужно сравнить его
значение с табличным (критическим) значением. Для пользования таблицей нужно знать
число степеней свободы f=N – 2 и выбрать определенный уровень значимости, например,
равный 0,05. Такое значение уровня значимости называют еще 5%–ным уровнем риска,
что соответствует вероятности верного ответа при проверке нашей гипотезы H=1 – а=0,95,
или 95%. Это значит, что в среднем только в 5% случаев возможна ошибка при проверке
гипотезы.
В практических исследованиях 5%–ный уровень риска применяется наиболее часто.
Но экспериментатор всегда свободен в выборе уровня значимости, и возможны ситуации,
в которых, например, требуется 1 %–ный уровень риска. При этом возрастает надежность
ответа. Проверка гипотезы сводится к сравнению абсолютной величины коэффициента
парной корреляции с критическим значением. Если экспериментально найденное
значение меньше критического, то нет оснований считать, что имеется тесная линейная
связь между параметрами, а если больше или равно, то гипотеза о корреляционной
линейной связи не отвергается.
При высокой значимости коэффициента корреляции любой из двух анализируемых
параметров можно исключить из рассмотрения как не содержащий дополнительной
информации об объекте исследования. Исключить можно тот параметр, который
технически труднее измерять, или тот, физический смысл которого менее ясен. При
планировании эксперимента целесообразно измерять все параметры, затем оценить
корреляцию между ними и строить модели для их минимально возможного числа или же
воспользоваться обобщенным параметром. Но бывают случаи, когда приходится
рассматривать и коррелированные параметры.