Министерство образования и науки Республики Марий Эл Государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и науки Республики Марий Эл
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Республики Марий Эл
«Автодорожный техникум»
Методическая разработка
учебного занятия по математике
по теме «Уравнение касательной»
План урока
1. Фамилия имя отчество преподавателя Малькова Лилия Петровна
2.
Группа
Т2,
специальность
23.02.03
«Техническое
обслуживание
автомобильного транспорта»
3. Дисциплина Математика
4. Тема урока Уравнение касательной
5. Форма организации обучения урок – конференция
6. Цель урока формирование умений записывать уравнение касательной,
проведенной к графику функции
7. Задачи урока
7.1 Образовательные
7.1.1 Актуализировать знания об уравнении прямой
7.1.2 Сформировать понятие коэффициента прямой
7.1.3 Сформировать умение применять дифференцирование функций к
вычислению коэффициента прямой и записи уравнения касательной
7.2 Развивающие
7.2.1 Развивать познавательный интерес
7.2.2 Развивать мыслительную деятельность
87.2.3 Развивать умение самоконтроля в процессе выполнения упражнений
7.2.4 Развивать способность ведения записей, используя взаимоинформацию
7.3 Воспитательные
7.3.1 Способствовать воспитанию научного мировоззрения
7.3.2 Воспитывать доброжелательное отношение к окружающим людям
7.3.3 Воспитывать трудовые навыки
8. Тип урока изучение нового материала
9. Формы обучения групповая, индивидуальная
10. Средства обучения дидактические карточки, презентации
11. Методы обучения рассказ, беседа, тест, сообщения
12. Междисциплинарные связи «Устройство двигателей»
13. Внутридисциплинарные связи
13.1 Геометрия «Расположение прямой в прямоугольной системе координат»
13.2 Начала математического анализа «Дифференцирование элементарных
функций»
14. Студент должен знать уравнение касательной в общем виде,
зависимость коэффициента прямой и знака производной от угла наклона
Студент должен уметь вычислять коэффициент прямой, записывать
уравнение касательной
15. Опережающие задания студентам сообщения и презентации: «Понятие
касательной», «Уравнение прямой в декартовых координатах», «Лейбниц и
его математическое наследие»
16. Продолжительность занятия 45 минут
17. Место проведения кабинет №12 «Математика»
18. Список используемой литературы
18.1 Башмаков М. И. Математика. [Текст]: Учебник для учреждений
начального и среднего профессионального образования / М. И. Башмаков. М.: «Академия», 2013. - с.170 – 173
18.2 Богомолов Н. В. Сборник задач по математике. [Текст]: Учебное
пособие для ссузов / Н. В. Богомолов. - М.: Дрофа, 2013. - с. 45 – 46
18.3 Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. [Текст]: Учебник для 10 11 классов общеобразовательных учреждений / А. Н. Колмогоров. – М.:
Просвещение, 2013. – с. 121
19. Оборудование: ПК, проектор, мультимедийный экран.
Хронокарта занятия
№
Этапы и содержание занятия
п/п
Время
1
Организационный момент
1 мин
2
Целеполагание, мотивация
1 мин
3
Тест
7 мин
4
Сообщение
с
презентацией
«Понятие
5 мин
Сообщение с презентацией «Уравнение
5 мин
касательной»
5
прямой в декартовых координатах»
6
Сообщение с презентацией «Лейбниц и его
7 мин
математическое наследие»
6
Решение задач
16 мин
6
Итог урока
1 мин
7
Рефлексия
1 мин
8
Задание на дом
1 мин
Ход урока
1.
Организационный момент. Объединить в группы. Раздать учебный
материал
2.
Целеполагание, мотивация.
Девиз урока: «Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку
математических понятий, раскрывается тем умением, с которым эти понятия
используются» Е. Вагнер
3.
Тест по теме «Дифференцирование функции» (с самопроверкой: все
ответы В – «5»; 7 ответов «В» - 4; меньше 5 ответов «В» - 2 )
Указание: Выделите один правильный вариант ответа:
1. Операция взятия производной называется …
А. Сложение; Б. Интегрирование; В. Дифференцирование;
Г. Потенцирование.
2. Производная функции у = f (х) обозначается ….
А. ← ; Б. |𝑓(х)|; В. f ΄(х); Г. ∫ 𝑓(х).
𝑓(х)
3. Производная функции у = хn равна …
А. у΄ = nх; Б. у΄ = хn-1; В. у΄ = nхn-1; Г. у΄ = 5.
4. Производная постоянной С равна …
А. С; Б. 1; В. 0; Г. х.
5. Производная переменной х равна …
А. С; Б. 0; В. 1; Г. х.
6. Производная функции у = х2 равна …
А. у΄ = х3; Б. у΄ = х; В. у΄= 2х; Г. у΄ = 2х2.
7. Значение производной функции f (х) = х2 в точке х0 = 3 равно …
А. f ΄(3) = 9; Б. f ΄(3) = 4; В. f ΄(3) =6; Г. f ΄(3) = 0.
8. Значение производной функции f (х) = 5х в точке х0 = 0 равно …
1
А. f ΄(0) = 0; Б. f ΄(0) = 1; В. f ΄(0) = 5; Г. f ΄(0) = .
5
3. Презентация и сообщение «Понятие касательной»
Задание к сообщению: №1. Выпишите определение касательной.
Постройте касательные к графику функции у = х2 в точках (1;1) и (-1; 1).
4. Презентация и сообщение «Уравнение прямой в декартовых
координатах»
Задание
к
сообщению:
№2.
Запишите
уравнения
касательных,
проведенных в №1.
5. Презентация и сообщение «Лейбниц и его математическое наследие»
Задания к сообщению: №3. Выпишите алгоритм записи уравнения
касательной. Решить задачу №2 новым способом.
6. Решение задач (задачи решают по группам с последующей проверкой на
доске)
№4. Составьте уравнение касательной к параболе у = х2 + х + 1 в точке
х0 = - 1.
Решение. у΄ = 2х + 1, у΄(- 1) = -2 – 1 = -3, у (1) = 3, у = -3(х + 1) + 3.
№5. Составьте уравнение касательной к кривой у = √х в точке х0 = 4.
Решение. у΄ =
1
1
1
4
4
,, у΄(4) = , у = 2, у = (х – 4) + 2.
2 √х
№6. Составьте уравнение касательной к кривой у = 2х3 в точке х0 = 2.
Решение. у΄= 6х2, у΄(2) = 24, у(2) = 16, у = – 24(х – 2) + 16.
𝜋
№7. Составьте уравнение касательной к кривой у = cos х в точке х0 = .
3
𝜋
1
𝜋
3
2
3
Решение. у΄ = sin х, у΄( ) = , у ( ) =
√3
,
2
у=
√3
2
1
𝜋
2
3
+ (х - )
№8. Найдите координаты точки А, в которой касательная к параболе
у = х2 – х – 12 образует угол в 45° с осью ОХ.
Решение. tg 𝛼 = у΄ = 2х – 1, tg 45° = 1, 2х – 1 = 1, х = 1, у(1) = - 12, А(1; - 12)
6. Итог урока.
Сегодня на уроке вы научились записывать уравнение касательной к
графику функции с помощью производной. Угловой коэффициент прямой значение производной в точке х0.
Древний китайский философ Конфуций сказал: «Три пути ведут к
знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания
– это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький». Я
предложила вам сегодня благородный путь, но каждый выбрал для себя сам
свой путь в мир знаний.
7. Рефлексия.
Настроение в начале
урока
Работа на уроке
Настроение в конце
урока
8. Задание на дом: [19.3] с. 134 № 253 (г), 254 (а), 255
Приложение к уроку
Сообщение «Понятие касательной»
Понятие касательной – одно из самых древних понятий в математике. В
геометрии касательная к окружности – прямая, имеющая ровно одну точку
пересечения с этой окружностью. Древние математики с помощью линейки и
циркуля умели проводить касательные к окружности, а впоследствии – к
коническим сечениям, к элипсам, к параболе.
Интерес к касательным возродился в Новое время. Тогда были открыты
кривые, которых не знали ученые древности. Например, Галилей – циклоиду.
Декарт и Ферма построили к ней касательную.
В первой трети 17 столетия начали понимать, что касательная – прямая,
наиболее тесно прилегающая к кривой в малой окресности заданной точки.
Заметим, что модель касательной к циклоиде можно наблюдать в
длждливую погоду: циклоида – кривая, являющаяся траекторией точки на
ободе катящегося колеса. По такой траектории движутся капли воды,
находящиеся на ободе колеса. Оторвавшись от колеса, они продолжают
двигаться уже по касательной к циклоиде, а не к окружности – ободу колеса.
Такие капли образуют грязную полосу на спине велосипедиста – гонщика,
мчащегося по шоссе в сырую погоду.
Ремень на шкиве касается окружности шкива.
Колесо катится по плоскости и касается её в точке контакта.
Сообщение «Уравнение прямой в декартовых координатах»
Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в местечке Лаэ в дворянской
семье. Он воспитывался и получил образование в аристократическом
колледже, находившемся в ведении каталического монашеского ордена
иезуитов. Из всех преподаваемых дисциплин Декарт отдавал предпочтение
естествознанию, географии и математике.
По окончании колледжа Декарт жил несколько лет в Париже и вел
легеий образ жизни, как и все молодые люди того времени. В 1615 году он
резко порвал с друзьями и уединившись, изучает философию, математику.
Вся научно – филлософская деятельность Декарта направлена против
церковных учений. Вместо слепой веры он выдвинул на первое место силу
человеческого разума, способность познавать природу. Поэтому Декарт
указывал на математику как на образец для других наук.
Привлекая алгебру к решению геометрических задач, Декарт заметил,
что введение системы координат на плоскости и задание фигур их
уравнениями позволяют свести многие задачи геометрии к исследованию
уравнений геометрических фигур.
В честь Декарта, давшего развернутое изложение нового метода в
книгах «Геометрия» и «Рассуждения о методе», прямоугольная система
координат позднее была названа декартовой.
Любая прямая задается уравнением у = кх + в, где в – угловой
коэффициент. Угол наклона – это угол, откладываемый от полоржительного
направления оси абсцисс до прямой против часовой стрелки.
Угловой коэффициент прямой к равен тангенсу угла наклона.
11 февраля 1655 года на 9 день тяжелой болезни Декарт умер.
Сообщение «Лейбниц и его математическое наследие»
Готфрид Лейбниц родился 1 июля 1646 в Лейпциге. Отец Лейбница был
профессором философии морали Лейпцигского университета.
Отец Лейбница рано заметил гениальность своего сына и старался
развить в нем любознательность. Лейбницу не было семи лет, когда он
потерял отца. В семье после отца осталась большая личная библиотека,
котторую Лейбниц не просто перечитал, а серьезно изучил.
Пятнадцатилетним юношей Лейбниц стал студентом Лейпцигского
университета. По своей подготовке он значительно превосходил многих
студентов старшего возраста. Он читал все без разбора, богословские
трактаты наряду с медицинскими. Официально Лейбниц числился на
юридическом факультете. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно
посещал и по филослфии и математике.
В 1663 году под руководством известного немецкого мыслителя Я.
Томазия Лейбниц защитил тезисы работы «О принципе индивидуализации»,
что принесло ему степень бакалавра.
18 марта 1672 года Лейбниц выехал во Францию с важной
дипломатической миссией. Кроме этого он преследовал чисто научные цели.
Дипломатическая миссия не принесла непосредственных результатов, но
зато в научном отношении путешествие оказалось чрезвычайно удачным.
Школа Ферма, Паскаля, Декарта бала необходима будущему изобретателю
диффиренциального исчисления.
Первые результаты диффиренциального исчисления он получил под
влиянием Гюйгенса в 1675 году.
В 1689 – 1696 годах наряду с Гюйгенсом и Бернулли, решая задачи о
циклоиде и цепной линии, Лейбниц показал взаимно – обратный характер
дифференцирования и интегрирования. В 1702 – 1703 годах вывел правила
дифференцирования важнейших трансцедентных функций. Лейбниц сделал
немало открытий и в других областях математики: в комбинаторике, в
алгебре (начала теории определителей), в геометрии (основы теории
соприкосновения кривых).
Лейбниц вывел уравнение касательной к графику функции в том виде, в
котором мы его используем и по сей день.
Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно –
вычислительных
машин:
он
предложил
использовать
для
целей
вычислительной математики бинарную систему счисления, писал о
возможности машинного моделирования функций человеческого мозга.
Лейбницу принадлежит термин «модель»
В 1673 году Лейбниц представил модель в Парижскую академию наук.
«Посредством машины Лейбница любой мальчик может производить
труднейшие вычисления» - сказал об этом изобретении один из французких
ученых. Благодаря изобретению новой арифметической машины Лейбниц
стал иностранным членом Лондонской академии.
Два последних года жизни ученый провел в постоянных физических
страданиях. Готфрид Вильгельм Лейбниц скончался 14 ноября 1716 года.