Условия задач математической олимпиады

Задания командной олимпиады
V Областного студенческого турнира по математике
март 2010 г.
1. Какое из двух чисел больше: (2012 ) 2010  (2010 ) 2012 или (2011) 2 2011 ?
2. Дрожжевые грибки при благоприятных условиях размножаются с большой
скоростью, увеличиваясь в объеме в 2 раза за каждую минуту. В колбу
поместили 1 гриб, который заполнил ее за 30 минут. За сколько минут
заполнят колбу помещенные в нее два гриба?
3. Найдите d 2 y , считая известными du , d 2u, dv, d 2 v : y  u 2  v 2 .
4. В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидкостей:
бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что одна бочка и 20
ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, одна насадка и
15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Определить на
основании этих данных, сколько насадок содержится в бочке.
5. Задача Софи Жермен. Доказать, что каждое число вида a 4  4 есть
составное, где a  1.
6. На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых
несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках.
7. Пусть А, B, C, D – произвольные точки плоскости. Докажите, что
AB, CD  BC , AD  CA, BD  0 .
4
log11 ( x  1)
15
8. Решите неравенство:
.

log x 1 11
log123 11
9. Имеется три карточки. На одной с обеих сторон нарисована буква А, на
другой – В. На третьей карточке с одной стороны А, а с другой – В. Одна из
карточек выбирается наугад и кладется на стол. Предположим, что на
видимой стороне оказывается буква А. Какова вероятность, что на другой
стороне карточки тоже будет А?
10.Найти самую высокую и самую низкую точки кривой x 2  y 2  xy  27 .

 
 

1
11.Функция y  y (x) задана с помощью уравнения y  xy  2 . Найти  y ( x)dx .
5
0
12. Существует ли тетраэдр, все грани которого равнобедренные треугольники,
причем никакие два из них не равны?