Математика, Информатика

Темы исследований по направлениям
_______________________________________________________________
Математика
Математика через искусство
Представьте, что вы в национальном музее Рима: перед вами статуя
куроса. Нетрудно заметить, что скульптор соблюдал особые пропорции.
Какие? Почему именно эти? А соблюдал ли вообще?
В этой работе можно посмотреть на творения архитекторов,
живописцев, скульпторов какого-либо периода и попытаться увидеть какой
была математика в выбранное Вами время. Время и место старта выбираете
вы…
Математические модели и объекты на практике
Знаете ли вы, что математические структуры используются при
составлении расписания движения поездов? При составлении оптимального
маршрута, когда необходимо посетить несколько мест?
Разобраться в том, как это делается, а возможно и составить
расписание занятий в школе с использованием математической модели, вы
сможете, написав работу.
Кривые на плоскости и в пространстве
Эту работу можно отнести к разным жанрам, она может быть как
исследовательской, так и реферативной. Здесь все зависит от вашего
желания.
Например, вы можете описать, что такое кривая на плоскости, как ее
можно построить. А возможно ли записать уравнение кривой, которая бы
описывала линию берега моря или реки?
А может у Вас возникли вопросы?
Знаменитые задачи: древности, именные
Эх, вот придумаю задачу…и назовут ее задача ______ (вставь Ваше
имя). Наверняка вы знаете, что в математике есть задачи, которые
придумали, решили конкретные люди, поэтому они и названы в их честь.
Выполняя это исследование можно найти старинную задачу, например,
японскую, решить ее самому. И задать себе вопрос: а как эту задачу могли
решить в то время?
Многоликие геометрии
- А у нас параллельные прямые пересекаются. А у вас?
- Постойте, пятая аксиома Евклида говорит об обратном.
- Я живу на сфере, а вы?
Да, да есть геометрии, в которых возможно и такое. Как они
называются, каково их значение? какие задачи можно решить с их помощью?
Об этом вы узнаете, если начнете писать эту работу.
Прогрессии
Это один из видов закономерностей, который на алгебраическом языке
описывается формулами, а геометрически - ?
А где можно обнаружить прогрессии?
«Мой любимый математик»
Геометрия Евклида, задача Эйлера, проспект Ломоносова…мало таких
известных и именитых…а может быть и обо мне напишут в энциклопедии
так: «_____
родился та-то, жил тогда-тогда-то, сделал он
много…хорошего…открыл…доказал…, но его последний великий труд так и
был опубликован. К сожалению скоропостижно….»
Мой замысел был следующий: выбрать математика, описать его
основные математические открытия, историю его жизни. Ответить на вопрос:
почему я выбрал именно его? Заметим, что «любимым» может оказаться и
ныне живущий математик.
Главное – попытаться понять: кто такой математик? В чем вклад выбранного
Вами математика в науку? На примере конкретной личности обосновать
свою точку зрения.
Математические загадки, пословицы, задачки в стихах
Расшифруйте пословицу: Максимальное приближение к N-му
количеству объектов с целью их захвата и удержания не имеет смысла при
N≥2.
А можете ли Вы составить свои?
Вы наверняка встречали математические загадки, стихи, анекдоты.
Есть желание написать свои? А встречается ли математический фольклор у
Вас в школе? Каков он?
Математика в литературе
Эта тема для тех, кто любит Читать художественную литературу.
Если прочитать книгу Н. Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома», то
можно на примере Вити научиться решать простые задачи. Наверняка,
существуют книги, где авторы описывают математические задачи, ситуации.
Вспомните, сколько вопросов задавала себе Алиса. А можно ли найти
на них ответ в математике?
Груки Пита Хейна представляет интереснейший пример этого
направления.
Математика и шахматы
Эта тема не только для любителей играть в шахматы, но и людей
просто знающих как делают ходы шахматные фигуры. Много встречается
задач, в которых требуется установить закономерность совершения ходов
теми или иными фигурами.
Я предлагаю остановиться вам на одной из них, решить ее,
ПРИДУМАТЬ РАЗВИТИЕ задачи.
Перегибая лист бумаги
Эта тема для тех, кто любит мастерить из бумаги, но и здесь есть над
чем задуматься. Например, как с помощью перегибания бумажного
треугольника продемонстрировать тот факт, что сумма углов при его
вершинах равна 1800.
А может, Вы найдете таким образом способ проиллюстрировать
теоремы планиметрии, стереометрии? Почему не доказать, а только
проиллюстрировать?
Золотое сечение и числа Фиббоначи
Много слов можно сказать о золотом сечении. Его примеры можно
найти и в природе, и в музыке. Интересно было бы найти задачи, которые
«приводят» к золотому сечению. А действительно ли «божественная
пропорция» существует в природе?
Геометрия на шаре
Направление весьма увлекательно. Если заглянуть в книгу Б. А.
Кордемского «Математическая смекалка», то там можно найти интересные
задачи, связанные с «геометрией на мяче». Например, построения… Для
этих задач можно придумать развитие.
Геометрические построения
Конечно, на уроках математики мы разобрали не все задачи на
построение. Их еще очень-очень много. Некоторые из них имеют и
практическое применение.
Замысел: выбрать задачу (задачи) решить, придумать их развитие
(обобщение, добавить новые условия)
Решение задач по геометрии
Какие способы решения задач вы знаете? Может стоит остановиться
подробнее на одном? А может, есть общий метод решения всех задач по
геометрии? (только это скрывают от школьников)
Походная геометрия
Некоторые задачи из этого цикла предлагает Я. И. Перельман, но я
уверенна, что вы сможете придумать свои задачи и решить их.
1. Задачи о хорде, окружности, биссектрисе, треугольниках, квадратах
Я предполагаю, что этот цикл тем не нуждается в пояснении. Требуется
просто найти интересную для вас исследовательскую задачку про отношения
между перечисленными объектами, решить ее, оформить.
2. Фигура в фигуре (например, задачи о цилиндре в конусе).
Наверняка, вы сталкивались с задачей: «Найти центр окружности
описанной около треугольника». Это совсем просто, да и теорема такая есть.
Выберете задачу об объемных фигурах, которые вложены друг в друга.
Попробуйте на основании задачи выполнить ваше исследование.
Какие цифры встречаются чаще?
Название говорит само за себя…
Вычисление
суммы
арифметической
прогрессии,
бесконечные
последовательности
Когда Барону Мюнхаузену надоело летать на ядре, он изобрел новый способ
узнавать что делается во вражеской крепости. Для этого Мюнхаузен решил
построить кирпичную лестницу, кладя один кирпич на другой ступеньками. Барону
повезло – кирпичей у него было неограниченное количество. К несчастью,
цемента в его распоряжении не оказалось, так что кирпичи могли держаться
только за счет силы тяжести. Барону предложили построить что-нибудь
понадежнее, но он заявил, что и без цемента сможет построить лестницу, чтобы
преодолеть «несколько жалких миль». Сильно ли заврался барон Мюнхаузен?
Исследование связи между алгоритмом Евклида и цепными дробями
Существует ли связь между алгоритмом Евклида и цепными дробями?
Определение высоты предметов и расстояний до недоступных мест
В этом году мы вместе с группой школьников и взрослых ходили в поход в горы.
Проходили мы через болота, горные перевалы и, конечно, леса. Некоторые
математические вопросы посетили меня. И вот один из них:
как измерить высоту кедра, который стоит передо мной, не срубая его и не
взбираясь на его верхушку?
А можно ли изобретенный вами способ применить для нахождения высоты горы и
определения расстояния до нее?
Если у вас рядом нет кедра, то можете измерить высоту любого дерева (столба).
Можно ли обхватить дерево?
Найдите способ определения «ширины» кедра. В тайге ещё можно встретить
деревья, которые обхватить один человек вряд ли сможет. А как, не имея
сантиметровой ленты и других специальных приспособлений найти длину обхвата
дерева?
Полёт бабочки
Приятно наблюдать за полётом бабочки. Каждый взмах крыльев переносит ее из
одной точки пространства в другую. Есть ли закономерность в ёё движениях
бабочки?
Изучение музыкального аспекта в пифагорейской научной системе учения о
числе
Не секрет, что пифагорейцы искали закономерности «в музыке». Среди известных
музыкальных пропорций можно назвать: кварту, квинта. Сравните с точки зрения
математики два музыкальных произведения: классическое и современное. Как вы
понимаете выражение «Математика является вполне подходящим средством для
описания музыкальных моделей»? Какие математические открытия можно
сделать в музыке?
Задачи на разрезание…
Всегда ли можно так сложить лист бумаги, что любой многоугольник,
нарисованный на нем, будет вырезаться одним прямолинейным разрезом?
Превращение многоугольника в квадрат
Можно ли 2 каких угодно квадрата превратить в один? Это означает, что если я
нарисую два произвольных квадрата, то найдете ли Вы способ разрезать их на
части, из которых можно составить один квадрат?
Превращение правильного шестиугольника в равносторонний
треугольник
Как разрезать правильный шестиугольник прямолинейными разрезами, чтобы из
его частей можно было составить сплошной правильный треугольник?
Признаки делимости
Наверняка вам знакомы признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10. Не
представляет труда обнаружить признак делимости на 7, 11, 13. Существует ли
универсальное правило- признак делимости?
Кривые постоянной ширины
Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина.
Проведем две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между
ними. Начнем вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается
обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая имеет
постоянную ширину.
Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?
О механическом доказательстве геометрических теорем
Некоторые теоремы геометрии можно наглядно доказать с помощью простых
шарнирных механизмов. Например, признаки равенства треугольника. Шарнирные
механизмы, которые используются для механического доказательства теорем,
также применяются для построения простых кривых. Самый простой механизм —
циркуль.
Геометрические места точек различных центров треугольника
На сегодняшний день, начиная школой и заканчивая олимпиадами
«высокого» уровня достаточно часто стали встречаться задачи по нахождению
ГМТ различных центров треугольника. В математической литературе не
встречается однозначного алгоритма, конкретных формул по нахождению этих
множеств, этот вопрос актуален на сегодняшний день.
Задача: Определить местоположения центров в треугольнике (центра масс,
ортоцентра, центра вписанной, описанной и вневписанной) при одной
«бегающей» вершине (по окружности, прямой, параболе и т.д.) и 2-х
фиксированных.
Свойства медианы
Медиана, высота, биссектриса частые участницы геометрических задач.
Известно, что в школьном курсе рассматриваются далеко не все их свойства.
Возможно, вам удастся открыть свойство, которое еще не известно.
Вокруг биссектрисы
В школьном курсе геометрии мы имеем дело с таким понятием как
биссектриса. Что собой представляет множество точек плоскости, для каждой из
которых отношение расстояний для двух данных точек есть величина постоянная?
— Окружность Апполония. А что если вместо точек взять прямые?
Исследование кредитных условий банков Красноярска
В настоящее время банками предлагаются всевозможные предложения по
вкладыванию денежных средств, кредитованию на различные сроки и под
различные проценты. В каждом банке свои процентные ставки по срокам
вложения. Как сориентироваться в этом море предлагаемой информации? Что
такое кредит, ипотечный кредит? Как грамотно вложить свои сбережения и при
этом получить прибыль? Каким образом с помощью прогрессий производится
простое и сложное начисление процентов на денежные вклады? Какие из банков
Красноярска предлагают самые выгодные условия кредитов?
Вопросы о «золотом сечении»
В течении многих лет на краевой форум поступают работы, связанные с
освещением частных вопросов о золотом сечении. Есть ли общие моменты в
работах? Какие вопросы остаются за кадром? Требуется прочтение и критическое
отношение к текстам.
Удивительные объемы многогранников
Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники?
Конечно можно, скажете Вы. Пусть из одинаковых наборов граней удалось
сложить выпуклый и невыпуклый многогранник. У какого из них объем будет
больше?
С.Н. Михалев. Изометрические реализации октаэдров Брикара 1-го и 2-го типов с
известными значениями объема // Фундаментальная и прикладная математика.
2002. Т. 8, N 3. С. 755-768.
Тактика и стратегия в математических играх
Любая игра – это наука побеждать. В игре вырабатываются такие жизненно
важные качества, как внимательность, усидчивость, память, настойчивость в
достижении цели умение логически мыслить, предвидеть последствия своих
поступков. На примере выбранной Вами или предложенной нами игры
необходимо описать стратегию математической игры. В процессе написания
работы Вы познакомитесь с известными стандартными стратегиями
математических игр.
Основные понятия тропической арифметики и геометрии
Тропическая арифметика – это одна из арифметик, так называемая «max-плюс».
Такая арифметика возникла в асимптотической теории в физико-математических
исследованиях В.П. Маслова и его учеников в 90-ых годах прошлого столетия и в
настоящее время активно используется в компьютерной биологии
биоинформатике. А чем тропическая арифметика отличается от обычной?
и
Классификация и взаимное расположение некоторых тропических
кривых
Теория тропических алгебраических кривых достаточно новая и одной из
основных задач построения этой теории является изучение свойств и
классификации аналогов классических геометрических объектов. Когда мы
рассматриваем привычные для нас прямые, заданные уравнениями вида y=kx+b,
то говорим, что их расположение зависит от коэффициентов k и b.
А как расположены прямые, которые заданы так:
Тропическая прямая – это множество точек x; y  , в которых график кусочно-линейной
функции F x, y   max a  x; b  y; c, где a, b, c действительные числа, соответствующей
тропическому полиному первой степени F x, y   a  x  b  y  c .
Для исследования расположения прямых, необходимо рассмотреть основные понятия
тропической арифметики и геометрии.
Построение по заданным числовым последовательностям
геометрической модели филлотаксиса
Филлотаксисом называется «своеобразное, решётчатое расположение листьев,
семян, лепестков многих видов растений». Биологи заметили, что в подсолнухе и
некоторых других растениях разворачивание рядов семян по спиралям
выражается числами ряда Фибоначчи. Биологи наблюдают за растениями и
животными и на практике в результате своих наблюдений замечают числовые
закономерности. Математики решают обратную задачу: как по любым числовым
последовательностям восстановить форму соцветия. А уже после этого можно
задавать вопрос о существовании такого цветка в природе.
Для того, чтобы решить поставленную задачу необходимо: сопоставить числовой
последовательности угол, под которым будут располагаться семена. Как это
сделать?
Знакомая и незнакомая таблица Пифагора
Известная каждому школьнику таблица Пифагора – один из многочисленных
вариантов таблицы умножения, она обладает многими любопытными свойствами.
Не нарушая построения таблицы Пифагора — её можно расширить вправо и вниз
— и изучить ее интересные свойства чисел, входящих в таблицу. Вот лишь одно
из них: «Если рассмотреть четыре числа, стоящих в вершинах квадрата
параллельных сторонам таблицы, то оказывается, что произведение
диагональных чисел будут равны». Если вы внимательно и терпеливо будете
изучать эту таблицу, то, несомненно, отыщите новые, не менее интересные
свойства простой таблицы.
Нахождение площади фигур, построенных как множество точек,
заданных неравенствами и уравнениями
В задачниках встречаются задания следующего содержания: «На координатной
плоскости ОХУ изобразите множество точек, заданных условием…и найдите
площадь полученной фигуры». В геометрии часто возникает потребность
выделить из всех точек плоскости или пространства те точки, которые обладают
некоторым специальным свойством. Все точки плоскости или пространства
разбиваются при этом на два множества: одно множество включает в себя те и
только те точки, которые обладают указанным свойством; другое множество
состоит из всех остальных точек, и следовательно, ни одна точка этого второго
множества не обладает рассматриваемым свойством. Работа посвящена
классификации способов построения фигур, которые определены некоторыми
условиями, и нахождению площади этих фигур.
Изобретательность в вычислениях и некоторые удивительные числа
В нашу жизнь прочно вошел калькулятор. Да, он нам помогает быстро и
надежно выполнять очень многие вычисления, позволяет не отвлекаться на
запоминание промежуточных результатов, освобождает от знания табличных
случаев вычислений. С одной стороны, это хорошо, так как мы избавляемся от
многих рутинных операций но, с другой стороны это лишает нас возможности
развивать наблюдательность и память, т.е., как говорится, поработать головой.
Использование калькулятора скрывает от нас свойства некоторых чисел, которые
вполне могли заменить бы нам его.
Свойства чисел
Напишите подряд четыре произвольных целых положительных числа.
Вычислим разности между первым и вторым числами, между вторым и третьим,
между третьим и четвертым, каждый раз вычитая из большего меньшее. Назовем
полученные разности первыми и расположим их в ряд по порядку их получения.
Аналогично вычислим вторые, третьи и т.д. разности. Пример:
Исходные числа: 8, 17, 3, 107
Первые разности: 9, 14, 104, 99
Вторые разности: 5, 90, 5, 90
Третьи разности: 85, 85, 85. 85
Четвертые разности: 0, 0, 0, 0
При любом ли наборе чисел на некотором шаге мы получим разность,
состоящую из нулей?
Напишите любое число, сложите квадраты его цифр. У получившегося
результата снова сложите квадраты цифр. Повторяя эту операцию некоторое
число раз, Вы непременно придете к числу 1, или к числу 89. Так, например, для
числа 31 имеем:
32 + 12=10
12 + 02=1
Докажите эти свойства. Наблюдая за числами постарайтесь сделать свои
открытия.
Список литературы:
1. Александров И. «Методы решения геометрических задач на
построение и сборник геометрических задач с полными и краткими
решениями», Москва, типография Г. Лисснер и А. Гешель, 1897
2. Бируни «Индия», М.: Наука, 1998
3. Бируни А. Индия, М.: Ладомир, 1995—727 с.
4. Большая математическая энциклопедия, «Советская энциклопедия»,
1974
5. Бурбаки Н. «Очерки по истории математики», М.: издательство
иностранной литературы, 1963, - 292
6. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. «Заочные математические
олимпиады», М.: Наука, 1986
7. Володарский А.И. «Индийская математика. История и методология
естественных наук», М.: МГУ, 1978
8. Волошинов А.В. Венок мудрости Эллады, М.: Дрофа, 2003 — 256 с.
9. Все задачи «Кенгуру», СПб: Левша, 2003, - 145
10.Кордемский Б.А. «Математическая смекалка», М.: Издательский дом
Оникс: Альянс - В, 2000, - 576
11.Кордемский Б.А. «Математические завлекалки», М.: Издательский дом
Оникс: Альянс - В, 2000, - 512
12.Гарднер М. Математические досуги, М.: Издательский дом Оникс:
Альянс - В, 1995, - 497
13.М. Гарднер «Математические новеллы», М.: Издательский дом Оникс:
Альянс - В, 1995, - 569
14.Мостллер Ф. «50 занимательных вероятностных задач», М.: Наука,
1971
15.Носовский А.М. Японские логические игры, М.: ООО «Издательство
АСТ», 2001
16.Перельман Я.И. «Занимательная алгебра. Занимательная геометрия»,
М.: ООО «Изд-во АСТ», 2003, - 474
17.Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения», Москва,
издательство иностранной литературы, 1957
18.Пойа Д. «Математическое открытие», М.: Наука, Главная редакция
физико-математической литературы, 1976, - 488с.
19.Попов «Примени математику»,
20.Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии: пособие для
учащихся 7—9 классов, М.: Просвещение, 1999, — 286 с.
21.Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: нестандартные и
исследовательские задачи: учебное пособие для 7—11 классов, М.:
Мнемозина, 2004—148 с.
22.Стройк Д.Я. Краткий очерк по истории математики, под ред А.П.
Юшкевича, М.: Просвещение, 1976 — 320 с.
23.Щетников А.И. Алгоритм Евклида и непрерывные дроби,
Новосибирск, Артель «Напрасны труд», 2005 — 104 с.
24.Щетников А.И. Пифагорейская гармония: исследования и тексты,
Новосибирск, Артель «Напрасны труд», 2005 — 96с.
25.Щетников А.И. Пифагорейское учение о числе и величине,
Новосибирск, Артель «Напрасны труд», 2005 — 48с.
26.Щетников А.И. Показательные и логарифмические функции,
Новосибирск, Артель «Напрасны труд», 2005 — 24с.
27.Щетников А.И. Рациональные и действительные числа, Новосибирск,
Артель «Напрасны труд», 2004 — 24с.
28.Щетников А.И. Три прогрессии, Артель «Напрасны труд», 2004 — 24с.
29.Энциклопедия для детей: Математика, Т. 11,– М.: Издательство
«Аванта+», 2000. – 688с.
Периодические издания:
1. Журнал «Квант»
2. Приложение к газете «1сентября: Математика»
3. Радзюкевич А. Действительно ли пупок делит высоту человеческого тела
в
пропорции
«золотого
сечения»?
http://
www/a3d.ru/archi/stat/radz2006_1.php
Темы исследований по направлениям
Информатика
За последние годы произошло существенное изменение подхода к тематике
работ по информатике. Связано это с бурным развитием самой науки и
отрасли. Вал программного обеспечения существенно сужает возможности
его разработки и совершенствования. Поэтому сложно найти «нишу» для
разработки принципиально нового в информатике при подборе темы
учащемуся школы. Главное в этом процессе, чтобы тема была интересной
учащемуся, способствовала развитию его способностей, компетентностей и
по возможности имела прикладной характер.
1. WEB-дизайн: разработка сайта, юзабилити сайтостроения (на примере
своего сайта или набора разных), сайт моих увлечений, сайт школы, и
т.д., создание портала, обслуживание серверов, администрирование в
сетях.
2. Моделирование: можно рассмотреть классические задачи на движение,
менеджмент и т.д, составив к ним программы моделирующие процесс.
Можно сопроводить это анимационными примерами или моделями.
Важно обратить внимание на ключевые понятия и этапы
моделирования.
3. Автоматизация
процессов,
оптимизация:
классические
математические и информационные работы с использованием
программирования, электронных таблиц, баз данных. Например,
автоматизация рабочего места классного руководителя, оптимизация
расписания, движения транспорта и т.д.
4. Создание тестов по предметным областям в поддержку школьных
курсов или курсов дополнительного образования.
5. Игры: желательно чтобы алгоритм игры был разработан
специалистами и проверен временем. Можно брать сценарии
экономических игр, телеигр, популярных народных игр. Средство
реализации как правило на основе какого-нибудь языка
программирования с привлечение графики или мощный графический,
анимационный пакет с возможностями программирования.
6. Презентации, анимации, реклама: создание мультфильма, лучше с
обучающей или воспитательной функцией. Возможно использование
flash, 3d max и др. программ для анимации и презентаций.
7. Разработка баз данных: работа предполагает практическую
реализацию с целью программирования или разработку под
конкретные нужды потребителя баз данных. Например, для школы −
по учету посещаемости, выполнения заданий и т.д.
8. Презентации, анимация в поддержку школьного курса: можно создать
электронные экскурсии, модели и т.д. для сопровождения занятий по
конкретной учебной программе. Для примера можно посмотреть и
готовые, выпущенные на рынке энциклопедии, и др. варианты
сопровождения занятий.
9. Защита информации: можно рассмотреть классические методики
шифровки информации и современные подходы к ее защите.
10. Тренажер: как правило, интересно получаются тренажеры,
используемые в непривлекательных для учащихся учебных ситуациях.
Материал для тренажерных заданий, время, объем должен быть
определен учителем предметником.
__________________________________________________________________