Тема 14. Логарифмические неравенства. Используя методы решения логарифмических уравнений, логарифмическое неравенство свести к простейшему, вида log a f ( x) b (log a f ( x) b) Полученное неравенство записываем в виде log a f ( x) log a a b (log a f ( x) log a a b ) и делаем выводы: f ( x) a b ( f ( x) a b ) и решаем это неравенство; b b 2) если 0 a 1, то f ( x) a ( f ( x) a ) и решаем это неравенство. При выписывании ответа необходимо учитывать ОДЗ: f ( x) 0, a 0, a 1. 1) если a 1, то Примеры. Решить неравенство. 1) log 02,5 x log 0,5 x 2 0 . Решение. ОДЗ: x 0. Обозначим log 0,5 x t . Тогда получим уравнение log 0,5 x 2, t 2, t 2 t 2 0 (t 2)(t 1) 0 t 1 log 0,5 x 1 1 2 x ( ) 4, 2 log 0,5 x log 0,5 0,5 , 2 С учетом ОДЗ ( x 0) , получаем 1 log x log 0 , 5 0 , 5 0 , 5 x 2 //////////////////// 0,5 4 х //////////////////////////////////////////////////// 0 х Ответ: x 0,5;4 . 2) log x 3x 1 0. x2 1 Решение. ОДЗ: x 0, x 0, 1 1 x , x 1, 3 x ( ;1)U (1;) x 1, 3 3x 1 x 1 1 2 0 x 3 x 1 3x 1 log x 1 . Это неравенство равносильно Исходное неравенство записываем в виде log x 2 x 1 совокупности двух систем 1 3 x 1, 3 x 1 1 x 2 1 x 1, 3 x 1 2 1 x 1 1 3 x 1, 2 x 3 x 2 0 x2 1 x 1, 2 x 3 x 2 0 x2 1 1 3 x 1, 2 x 3 x 2 0 x 1, x 2 3 x 2 0 Изобразим решение системы (1) //////////////////// 1 3 1 /////////////////////////////////// 1 Изобразим решение системы (2) х ////// 2 х 1 x ( ;1) 3 1 3 x 1, (1) ( x 1)( x 2) 0 x 1, ( 2) ( x 1)( x 2) 0 ///////////////////////////////////// х x (1;2) ////////////////// 1 2 х Объединяя решение систем (1) и (2), получаем ответ. 1 1 x ( ;1) (1;2). 3 2 3 2 3) log 7 x log 18 x 3 log 18 x log 7 x log 7 18 log 18 7 . Ответ: Решение. Решение, как обычно, начнем с нахождения ОДЗ: x 0, x 0. x 0 Перенесем все члены неравенства в левую часть, получим (log 7 x 2 log 18 x 3 log 18 x 3 ) (log 7 x 2 log 7 18 log 18 7) 0, log 18 x 3 (log 7 x 2 1) (log 7 x 2 1) 0, (log 7 x 2 1)(log 18 x 3 1) 0. Полученное неравенство решим методом интервалов log 7 x 2 1 0 x 7 или log 18 x 3 1 0 x 3 18 . Заметим, что 3 7 3 18 , так как ( 7 ) 6 343 (3 18 ) 6 324. + ////////////////////////////// 3 - + //////////////////// х /////////////////////////////////////////////////////////////////// 0 х С учетом ОДЗ получаем ответ. 7 18 Ответ: x (0; 3 18 ]U [ 7 ;). 1 . x x 2 log2 x log2 x 2 4) 2 Решение. Данное неравенство – показательно-логарифмическое, так как содержит неизвестное в основании и показателе степени. Найдем ОДЗ: 2 2 x 0, x 0 . Перепишем исходное неравенство в виде x 2log2 x log2 x x 1 . x 0 1. Если 0 x 1, то Обозначим log 2 + /////////////////// -3 2 log 22 x 2 log 2 x 1; log 22 x 2 log 2 x 3 0, x t , тогда t 2 2t 3 0 (t 3)(t 1) 0. - + ///////////////// 1 t 1 1 log 2 x log 2 x , log 2 x 3, t 3, Итак 8 8 t 1 log 2 x 1 log 2 x log 2 2 x 2 //////////////////// 1 0 ////////////////// 2 8 х /////////////////////// 1 1 x (0; ] 8 х x 1 , то 2 log 22 x 2 log 2 x 1; log 22 x 2 log 2 x 3 0, 2 Так как log 2 x t , то t 2t 3 0 (t 3)(t 1) 0. 2. Если + - + -3 //////////////////// 1 t 1 1 log 2 x 3, t 3, 1 log 2 x log 2 , x , Итак 3 t 1 8 8 x2 8 t 1 log 2 x 1 log 2 x log 2 2 x 2 ///////////////////// 1 2 8 х x (1;2] /////////////////////////// 1 х 3. Так как мы имеем показательно-логарифмическое неравенство, то проверим, является ли решением х=1. При х=1 неравенство принимает вид 1 1 , которое верно. Добавим найденное решение в ответ. Ответ: 1 x (0; ]U [1;2]. 8 5) Найти область определения функции log 0,3 ( x 1) y x 2 2x 8 . Решение. log 0,3 ( x 1) x 2 2x 8 0 log 0,3 ( x 1) 0, 0 x 2 2 x 8 0 x 2 2x 8 log 0,3 ( x 1) log 0,3 ( x 1) log 0,3 1, 2 x 2 x 8 0 x 1 1, x 2, ( x 2)( x 4) 0 ( x 2)( x 4) 0 ////////////////////////////////////// 2 х /////////////////////// -2 4 х Ответ: x [ 2;4). Решить неравенства. 3 log0 , 5 x ( x ) 4 1) 3 2) log 2 ( x 2 5 x 4) 2. 3 ( ;1) (2;3). 4 Ответ: (0;1) ( 4;5). 3) log 1 x log x 3 2,5. Ответ: (0;1) ( 3;9). 9. Ответ: 3 4) 5) 6) 3 x 2 16 x 21 0. log 0,3 ( x 2 4) Ответ: 7 (; ) (3;). 3 log 22 x log 2 x 2 3. 1 1 (;8) ( ;0) (0; ) (8;). 2 2 Ответ: 1 log 5 x log 3 3 x log 3 x log 5 x . 6 Ответ: (0; 3 5 ] [ 3;). 7) log 2 x ( x 2 5 x 6) 1. 8) log 9) log 21 x log 1 x 2. 7 3 1 (0; ) (1;2) (3;6). 2 3 5 3 5 . Ответ: ;1) (2; 2 2 1 Ответ: (0; ) (9;). 3 Ответ: ( x 2 3x 2) 0. 3 3 6 lg x 3. 2 lg x 2 4 10) (;1) ( Ответ: 1 1 ;0) (0; ) (1;). 10 10 11) Найти область определения функции y log 3 (2 logx 3 0 , 5 1) 1 . log 3 (2 x 6) Ответ: (3;3,5) (3,5;4). 12) Найти количество целых решений неравенства 13) Найти наибольшее целое решение неравенства ( 2 ) log3 ( x 2 8 x 7 ) 2 2. Ответ: 6 . Ответ: 3 . log 1 ( x 2 4 x 4) 1. 2 14) Найти множество целых значений x , удовлетворяющих неравенству log 0,3 ( x 5 x 1) 0. Ответ: 3 .