Программа - Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________2011 г.
Рабочая программа дисциплины
Математический анализ II
Направление подготовки
010300 - «Фундаментальная информатика и информационные
технологии»
Профиль подготовки
«Информатика и компьютерные науки»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов, 2011 год
1. Цели освоения дисциплины «Математический анализ II»
Целями освоения дисциплины «Математический анализ II» являются знакомство
студентов с теорией и практикой дифференциального исчисления функций многих
переменных и понятием аналитической функции. Эта фундаментальная дисциплина служит
базисом для всех математических и прикладных курсов, основанных на концепции
непрерывности. Освоение математического анализа вооружает обучающихся мощным
классическим и современным аппаратом исследования и решения широкого круга задач
механики, физики, химии, биологии, экономики и других отраслей знания.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный
цикл. Базовая часть» ФГОС-3 и является частью модуля «Высшая математика».
Дисциплина «Математический анализ 2» включает в себя основные разделы
классического дифференциального исчисления функций многих переменных и понятие
аналитической функции комплексного переменного. Методы математического анализа
используются в теории функций действительного и комплексного переменного, теории
дифференциальных и интегральных уравнений, математической физике, вариационном
исчислении, теории оптимального управления, теории вероятностей и математической
статистике, теории меры, топологии, дифференциальной геометрии, теории операций и игр,
системном анализе, численных методах вычислительной математики. Содержание курса
имеет классическую терминологию и методологию, сходную с другими областями
классической и современной математики. Его изучение требует предварительной
подготовки, водящей в рамки курса «Математический анализ 1». В свою очередь, знание
математического анализа необходимо для освоения перечисленных дисциплин, каждая из
которых применяет в своем изложении методы и содержание математического анализа и
умение решать исследовательские задачи и осуществлять грамотную постановку задачи.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины «Математический анализ II»:
способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК 10);
понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые
математические дисциплины (ПК 15).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать: постановку задач и основное содержание математического анализа,
методологию исследования функций многих переменных.
•Уметь: вычислять частные производные явных и неявных функций, производные по
направлению, делать замену переменных в дифференциальных выражениях, исследовать
функции и решать экстремальные задачи.
•Владеть: методами постановки, анализа и решения задач дифференциального
исчисления, навыками самостоятельного решения задач теоретического и прикладного
характера.
4. Структура и содержание дисциплины «Математический анализ II»
Общая трудоемкость дисциплины составляет ___5_____ зачетных единиц
Лекции – 32 часа.
Практические занятия – 48 часа.
Самостоятельная работа 55 часов.
Продолжительность курса – 1 семестр.
№
п/п
Раздел
дисциплины
Семестр
Неделя
семестра
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)
Лекц
Тема 1.1
Тема 1.2
Тема 2.1
Тема 2.2
Тема 3.1
Тема 3.2
Промежуточ
ная
аттестация
ИТОГО
1
2
3
4
5
6
7
2
2
2
2
2
2
1
2,3
4-12
13,14
15
16
Практ
КСР
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
СРС
2
4
18
4
2
2
4
4
16
16
4
4
6
6
20
14
4
5
32
48
55
180 часов.
контр. раб.
контр. раб.
экзамен
45
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. Предел и непрерывность функций многих переменных
Тема 1. 1. Евклидово пространство Rn.
Пространство Rn, операция сложения, умножения на число, скалярное произведение,
неравенство Коши, норма вектора и ее свойства. Топология пространства Rn.
Последовательности в Rn: ограниченные, бесконечно малые, сходящиеся. Теоремы о
соответствующих свойствах координатных последовательностей. Непрерывность
операций сложения, умножения на число и скалярного произведения. Теорема БольцаноВейерштрасса. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.
Тема 1.2. Функции многих переменного.
Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке. Операции над
непрерывными функциями, непрерывность композиции.
Непрерывность функции на множестве. Равномерная непрерывность и теорема
Кантора. Теорема о непрерывном образе компакта и ее следствия. Теорема о непрерывном
образе линейно связного множества и ее следствия.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Тема 2.1..Дифференцирование функций многих переменных.
Дифференцируемость в точке. Частные производные и дифференциал. Достаточное
условие дифференцируемости. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность
формы первого дифференциала. Производная по направлению и вектор градиент. Теорема
о среднем. Частные производные высшего порядка. Теорема о равенстве смешанных
производных. Дифференциал высшего порядка. Непрерывно дифференцируемые и kнепрерывно дифференцируемые функции. Формула Тейлора с остаточным членом в
интегральной форме, в форме Лагранжа и форме Пеано.
Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие локального
экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
Дифференцируемые вектор-функции, матрица Якоби и якобиан.
Тема 2.2. Неявные функции и условный экстремум.
Неявные функции. Теорема о неявной функции.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа и необходимое условие условного
экстремума.
Раздел 3. Комплексные числа и функции комплексного переменного.
Тема 3.1. Комплексные числа и функции комплексного переменного.
Поле комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи
комплексного числа, формулы Эйлера.
Функции комплексного переменного, предел и непрерывность в точке.
Тема 3.2. Аналитические функции
Дифференцируемость и производная в точке. Теорема Коши-Римана. Понятие
аналитической функции.
5. Образовательные технологии
Лекции, разбор конкретных ситуаций, обсуждение возможностей практического
применения получаемых знаний и навыков, мозговой штурм, мастер-класс.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
«Математический анализ II»
Основная литература
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учеб.
пособие для вузов. - М. : АСТ : Астрель, 2005. - 558с. - ISBN 5-17-010062-0. Экз-ры:
ОУОЕН(10), ОХФ(2)
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [учебник в 2 ч.] - 8-е изд., М. ;
Краснодар : Лань, 2006. – 463 с. - ISBN 5-9511-0010-0. Экз-ры: ОХФ(2), ОУОЕН(10)
Дополнительная литература
3. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ т.1-2, Издательство
Московского университета, 2004.
4. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ. т.1-3, Высшая школа, 1988.
5. С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т.1-2, Наука, 1973.
6. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Наука,
1977.
7. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.13.Физматгиз, М.:1958.
8. С.Ф.Лукомский, Л.В.Сахно, П.А.Терехин, В.И.Шевцов Практические занятия по
математическому анализу. Ч.3. Функции многих переменных. Теория поля. РядыФурье.
Изд-во Сарат. ун-та. 2005.
9. Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. ГИТТЛ, М., 1977.
10. Евграфов М.А. Сборник по теории аналитических функций. Наука, 1972.
8.
Материально-техническое
«Математический анализ II»
обеспечение
дисциплины
Аудитория с возможностью демонстрации электронных презентаций при уровне
освещения, достаточном для работы с конспектом.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению подготовки 010300Фундаментальная информатика и информационные технологии.
Автор
доцент _____________________Л.В.САХНО
Программа одобрена на заседании кафедры математического анализа
от 2011_года, протокол № 7.
.
Подписи:
Зав. кафедрой
профессор доктор _____________________________ Д.В.ПРОХОРОВ
Декан
механико-математического факультета
доцент
_____________________________ А.М.ЗАХАРОВ
Декан
факультета КНиИТ
доцент
_____________________________ А.Г.ФЕДОРОВА