исследовательские задания 4-го турнира - ЮНИ-центр-XXI

Задания Четвертого республиканского турнира юных математиков
7 – 11 февраля 200 года
1. Задача о спичках.
Шесть спичек разложили в несколько кучек. Из каждой кучки взяли по одной спичке и из них сделали новую
кучку, затем снова из каждой кучки взяли по одной спичке и сделали новую кучку и т.д. Докажите, что в конечном итоге
получится три кучки с числом спичек 1, 2 и 3. Что будет, если спичек 10, или 45, или n (n - произвольное натуральное
число)? Исследуйте различные свойства описанного процесса, попробуйте его обобщить.
2. Наборы чисел.
Пусть даны n действительных положительных чисел, каждое из которых не превосходит некоторого
заданного значения N.
1) Для n = N = 8 докажите, что эти числа можно разбить на две группы так, что суммы чисел в этих группах
будут отличаться не более чем на 8. Докажите, что существуют такие 8 чисел, которые нельзя разбить на две группы
так, что суммы чисел в них будут отличаться менее чем на 8.
2) Для n = N = 8 покажите, что среди данных чисел можно найти два непересекающихся набора, не
обязательно составляющих вместе весь исходный набор, так что суммы чисел в этих наборах будут отличаться менее
чем на 4. Можно ли улучшить эту оценку?
3) Рассмотрите задачу с дополнительными ограничениями, например, с ограничениями на числа снизу, или
задачу для натуральных чисел. Какова в этом случае минимальная разница между суммами в группах чисел, на которые
можно разбить исходные числа?
4) Попробуйте развить тему исследования, например, разбивая все числа на три группы и рассматривая
наибольшую и наименьшую из трех сумм чисел в этих группах. Насколько малой можно сделать разницу между этими
суммами?
3. Задача о количестве решений уравнений.
1) Показать, что количество решений в целых неотрицательных числах a1, a2, … an уравнения a1 + a2 +… + an
= k, n,k  N равно Ckn+k-1.
2) Обозначим g(n,k) - количество решений уравнения a1 + 2a2 +… + nan = k, n,k  N, aiZ, ai0, i = 1,2, …, n.
Пусть f(n) = g(n,n). Покажите, что 0,25n2  f(n)  2n, n N. Попробуйте сделать более точные оценки для функции f(n).
3) Попробуйте изучить свойства функции g(n,k) при фиксированных n или k.
4) Попробуйте исследовать аналогичные вопросы для других уравнений подобного вида.
4. Задача о прямоугольниках в прямоугольниках.
Пусть задан квадрат 88, разбитый на единичные квадраты. Какое минимальное число клеток необходимо
закрасить так, чтобы среди незакрашенных клеток нельзя было выделить прямоугольник площадью 4?
Общая постановка. В прямоугольнике mn закрасить минимальное число клеток так, чтобы в любом
прямоугольнике с площадью k была бы хоть одна закрашенная клетка.
5. Числа и расстояния.
Для каждого натурального n найдите натуральное число N такое, что для любых положительных n чисел на
плоскости можно расставить N точек так, чтобы среди отрезков с концами в этих точках нашлись n, длины которых
равнялись бы заданным числам. Докажите, что минимальное значение N в этом случае равно n + 1.
1) Докажите, что если на исходные числа накладываются ограничения, а именно, что эти числа должны
находиться между фиксированными числами d и D, то существует такое действительное число k, 0 < k < 1, и
действительное число b, что значение N=kn+b будет удовлетворять заданному условию.
2) Исследуйте задачу в частных случаях:
 все указанные n чисел равны между собой;
 заданные n чисел принимают одно из двух фиксированных значений a и b;
 расставьте минимальное количество точек на плоскости так, чтобы среди отрезков с концами в этих точках
нашлись бы отрезки с длинами 1, 2, 3, 4, …, 2000 (возможен вариант другого набора чисел);
 рассмотрите отдельно случаи малых чисел n (n = 3, 4, 6, 8, 10, …). Вполне вероятно, что вы получите более точную
оценку на количество точек, чем в общем случае.
3) Попробуйте развить исследование в других направлениях, например, рассмотреть расстановки точек с
заданным условием в пространстве и др.
6. Сложение многоугольников
1)
Рассмотрим всевозможные объединения двух произвольных треугольников. Какие m–угольники могут
получиться в результате (с точки зрения количества вершин, т.е. какие значения может принимать m)?
2)
Рассмотрим всевозможные объединения произвольного треугольника и произвольного
четырехугольника. Какие m–угольники могут получиться в результате?
3)
Рассмотрим всевозможные объединения двух произвольных четырехугольников. Какие m–угольники
могут получиться в результате?
4)
Общая постановка. Рассмотрим всевозможные объединения произвольного k-угольника и
произвольно n-угольника. Какие m–угольники могут получиться в результате?
Интерес представляет, конечно, разделение случаев: (а) объединяются выпуклые многоугольники, результат 
выпуклый многоугольник, (б) объединяются выпуклые многоугольники, результат  не обязательно выпуклый
многоугольник, (в) объединяются произвольные многоугольники. Хотя, возможно, вам удастся их объединить.
7. Дуги на окружности.
На окружности с центром в точке О зафиксирована точка А0, а точки А1, А2, …, А2000 расположены таким
образом, что угловые величины дуг А0ОАк равны к радиан ( фиксировано). Разрежем окружность в точках А0, А1, А2,
…, А2000. Сколько различных длин дуг получим в итоге?
Примечание. Некоторые из возможных направлений исследования:
 l, lN;
 p, pQ;
  - иррациональное число;
 вместо 2000 точек Ai рассмотреть n точек (для начала можно рассмотреть небольшие значения n);
 вместо точек Ai рассмотреть “маленькие” дуги i, где угловые величины дуг  i равны одному и тому же
значению  (2), точки Ai являются центрами соответствующих дуг, все дуги i закрашиваются, и
рассматривается задача изучения множества оставшихся незакрашенными участков окружности.
8. Максимум и минимум площади треугольника.
1) Пусть даны три окружности одного и того же радиуса r, которые попарно касаются друг друга внешним
образом. Внутри ограниченной части плоскости, которая не принадлежит ни одному кругу, построены два
треугольника. Стороны одного треугольника являются касательными к данным окружностям, а вершины второго лежат
на данных окружностях. Найти максимальную и минимальную площадь этих треугольников.
2) Решить эту задачу, если окружности разных радиусов.
3) Решить эту задачу для второго треугольника, если окружности пересекаются и треугольник построен
внутри общей части пересечения трех кругов.
9. Вот так числа!
1) Решите следующие уравнения в натуральных числах
а) x...xy... y  z ( n цифр х; n цифр y),
2
b) ( xx)  ( yy )  x...xy... y (n цифр х; n цифр y).
2) Найдите всевозможные наборы натуральных чисел (x,y,z) такие,что для любого натурального значения n
справедливо соотношение
n
n
( x...x) 2  y... y  z...z (n цифр х; n цифр y; 2n цифр z)
Предложите свои соотношения (или уравнения) между числами с одинаковыми цифрами и исследуйте их.
10. Удивительные кости.
Если на 12 гранях двух игральных костей А и В написать 12 различных натуральных чисел, то при
подбрасывании А и В на их нижних гранях может получиться 36 различных пар (a,b), где a – число на нижней грани
кости А и b - число на нижней грани кости В. Кость А будем считать сильнее кости В, если a>b в k случаях из 36, где
k>18.
Определим: d(A,B) = 2k-36.
1) Показать, что на 24 гранях четырех костей А, В, С, Д можно так, расставить числа 1, 2, 3, …, 24, что
выполняются неравенства:
d(A,B)>0, d(B,C)>0, d(C,Д)>0, d(Д,А)>0.
2) Можно ли это сделать с тремя костями.
3) В пункте 1) получить возможно большее значение
d(A,B) + d(B,C) + d(C,Д) + d(Д,А).
4) Рассмотреть аналоги пунктов 1) – 3) для тетраэдров.
5) Рассмотреть аналоги пунктов 1) – 3) для n одинаковых m-гранников, на гранях которых расставлены mn
различных натуральных чисел.