3. Задачи на делимость - air

Задачи на делимость.
Олимпиадные задания по математике. 9 класс.
1. Доказать, что из любых 5 целых чисел можно найти 3, сумма которых
делится на 3.
2. Доказать, что если р- простое число и р>3, то число р 2  1 делится на 24.
3. Если х 2  у 2 делится на 3 и х, у  целые, то х и у делятся на 3.
4. Доказать, что сумма квадратов трёх целых чисел не может при делении
на 8 дать в остатке 7.
5. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз,
если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.
6. Найти наибольший общий делитель чисел 2п+3 и п+7.
7. Некоторое двузначное число кратно 3. Если между его цифрами
вставить нуль и к полученному трёхзначному числу прибавить удвоенную
цифру его сотен, то получится число в 9 раз большее первоначального.
Найти исходное двузначное число.
8. Сумма цифр трёхзначного числа равна 7. Доказать, что число делится на
7 тогда и только тогда, когда равны его цифры десятков и единиц.
9. Может ли квадратное уравнение ах 2  вх  с  0 с целыми коэффициентами
иметь дискриминант, равный 23 ?
10. Числа р и 2р+1 простые и р>3. Доказать, что число 4р+1 составное.
11. В школе 953 ученика. Одни из них знакомы, другие не знакомы друг с
другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди
учеников этой школы чётно.
12. Доказать, что общее наименьшее кратное чисел 1, 2, 3,…,2п равно
общему наименьшему кратному чисел п+1, п+2,…,2п.
13. Доказать, что если s-число всех делителей натурального числа п, то
произведение всех делителей равно п s .
14. Сократите дробь
123456788...87654321
, если цифра 8 в числителе
1234567899...987654321
встречается 2000 раз, а цифра 9 в знаменателе -1999 раз (в результате
надо получить несократимую дробь).
15. Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители
которых- двузначные числа, упорядочили по возрастанию. Между какими
двумя последовательными дробями расположено число
5
?
8
16. Найти обыкновенную дробь с наименьшим положительным
знаменателем, лежащую между дробями
96
97
и
.
36
35