p - Институт Национальной Безопасности и Управления Рисками

ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №3 (а).
Решить неопределенные интегралы:
I.
3x
2
 14 x  37
2
x dx ;

 6x arctg 2xdx.
4 x
 x  1  4 x  13dx;
x


 27
dx
;  x ln x  2dx.
2.  2 x 9 x 3x
dx; 


9
x


9

9

x 6x
x
x
 40 x  96
dx
;  x cos 4 xdx.
3.  7 x
dx; 


x x  16
2 x 5x 12 x
1  x dx

 5
4.  4 x 4 x x dx; 
;  arccos 4 xdx. .


5
x
4x 4x
x
x2
dx
dx; 
;  x  1sin xdx.
5. 
2 x  3x 1
x x 4
 4x
x  4 dx;
6.  3x
dx ; 
 e sin xdx.
x
x 2 x  4
5dx
x dx ;  arctg 3xdx.
7. 
; 
x  2x  5x 9  x  9  x
2
dx
;  2e dx.
dx; 
8.  x
x

x
x
x x 1
dx
x dx ;  e cos xdx.
9. 
; 
2 x  18x  4 x  1 4  x  4  x
x
dx
34dx
;  x cos dx.
10. 
; 
2
x  2x  2 x  17  x x  4
1.
2
2
4
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
4
3
4
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
x
2
2
2
3
2
2
2
4
3 x
3
2
2
3
2
2
2 x
2
2
2
2
2
Вычислить определенные интегралы:
II.
2
1.  ln
x 
2
 3x
arctgxdx; 3.
2
 3x
0
2
x
ln  x  2 dx; 7.  arctg dx; 8.
2
0

4
2x
arcsin xdx; 4.  2 x  3e dx; 5.
 x sin 2 xdx;
1
0
2
2
1
x
3
0
0
6.
 4 dx; 2.

1
1
1
2
x
0 x cos 2dx; 9. 0 arcsin 2 xdx; 10.
2
0
e
2
x
 ln dx;
x
2
1
ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №3 (б).
Используя геометрический смысл определенного интеграла,
решить следующие задачи:
III.
y x
1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
yx
2
2
 x 1
и
2
2
 3x  6 .
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x  a cos t , y  b sin t .
3
3
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x  4 cos t , y  4 sin t
.
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной параболой y 
x
2
4
, прямой x=4 и осью Ох.
5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
6
x
ограниченной гиперболой y  , осью Оу и прямыми у=1, у=6.
6.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса
x  a cos t , y  b sin t .
1
3
7. Вычислить длину дуги кривой y  x x от
x =0 до x
1
2
=12.
3
до x 2 =2,4.
4
9. Вычислить длину одной арки циклоиды x  at  sin t , y  a1  cos t .
8. Вычислить длину дуги кривой y  ln x от
x
1

10. Вычислить длину кардиоиды r  2a1  cos  .
IV.
Дана функция z=f(x,y). Определить:
 полный дифференциал dz;
z
z
 частные производные второго порядка  и  ;
x  y
z
z
 смешанные частные производные  и  .
2
2
2
2
2
xy yx
2
1. z 
7. z 
y
tgx
; 2. z  arccos ; 3. z 
x
y
y
2
2
y
x ; 4. z  ln
x
2
 4 y ; 5. z  arcctg
2
x
ctg y .
x y
arctg
; 9. z  e y ; 10. z 
; 8. z  arcsin
x
x y
xy
y
xy
; 6. z 
;
x
x y
ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №3 (в).
V.
1. y  
Определить общее
первого порядка:
решение
дифференциальных
y
y
y
8x  5 y
; 2. y    tg ; 3. xy   y ln  0; 4. xy   y 
x
x
x
5x  2 y
2
2
6. 4 xyy   y  3x  0; 7. xy   y 
2
x  y ; 8. 2 x
2
2
y  x 
2
x y
2
y
2
2
уравнений
 0; 5. y  
 0; 9. y  
x y
;
x y
x y
;
x y
2
10. xyy   8x  y ;
2
VI.
Определить частное решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее указанным начальным условиям:


1. y  cos x  y  tgx, y 0  1. 2. 1  x y   y  arctgx, y0  1.
2
2
2
3. y  1  x  y  arcsin x, y0  1. 4. y  2 ytg2x  sin 4x, y0  0.
2


2
2x
5. y   y  e y , y0  1. 6. xy   y  x cos x, y   .
7. xy   y   x
2
2 2
 
y 1  1. 8. y  sin x  y cos x  1, y   0.
2
2
y,
2
2
5
9. xy   2 y  3x y , y 1  1. 10. y   2 xy  3x e x , y 0  0.
2
VII. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами. Определить
частное решение, удовлетворяющее указанным начальным
условиям.
1. y   2 y   8 y  16 x  2, y0  0, y 0  5.
2. y  4 y  3 cos x, y0  1, y0  2.
2x
3. y   y   2 y  3e , y0  2, y 0  5.
4. y  2 y  2x  1, y0  1, y0  1.
2 x
5. y   2 y   y  9e  2 x  4, y0  1, y 0  1.
6. y  4 y  4 sin 2x, y0  2, y0  7.
2
7. y  y  3 cos x  sin x, y0  0, y0  1.
2
8. y   y   6 y  6 x  4 x  3, y0  3, y 0  5.
9. y   3 y   3e , y0  2, y 0  4.
10. y  4 y  5 y  5x  4, y0  0, y0  3.
3x
ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №4 (а).
I.
Решить задачи:
1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3
в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Определить вероятность
того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.
2. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Определить
вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три
вопроса.
3. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Определить
вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.
4. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Определить
вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.
5. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные.
Определить вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки
окажутся стандартными.
6. Одновременно бросаются две игральные кости. Определить вероятность
того, что на каждой кости появится нечетное количество очков.
7. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял
три детали. Определить вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей
окрашена.
8. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Определить вероятность
того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
9. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам
наудачу отобраны три человека. Определить вероятность того, что все
отобранные лица окажутся мужчинами.
10. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен равна 0,9, второй
экзамен – 0,85 и третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст не
менее двух экзаменов.
II.
Решить задачи, используя формулу Бернулли:
1. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми,
определить вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б)
не более двух девочек.
2. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение
смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один
от другого. Определить вероятность того, что за смену откажут: а) 2 узла; б)
не менее двух узлов.
3. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Определить вероятность того,
что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; б) не менее 4
карпов.
4. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятного того,
что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется: а) три; б) не более
двух.
5. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Определить вероятность
того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится
4 выстрела. Определить вероятность того, что цель будет поражена: а) три
раза; б) не более двух раз.
7. Монету бросают пять раз. Определить вероятность того, что «герб» выпадет:
а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
8. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный
момент включен, равна 0,6. Определить вероятность того, что в данный
момент: а) включено 4 мотора; б) выключены все моторы.
9. Определить вероятность того, что событие А появится в пяти независимых
испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность
появления события А равна 0,3. Какова вероятность появления этого же
события более 4 раз?
10.Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз.
Определить вероятность того, что наступит событие В, если будет
произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А равна 0,4.
III.
В задачах дана вероятность p появления события А в каждом из n
независимых испытаний. Определить вероятность того, что в этих
испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз.
1. n=360; p=0,8; k1=280; k2=300.
3. n=640; p=0,9; k1=500; k2=540.
5. n=810; p=0,4; k1=340; k2=400.
7. n=300; p=0,3; k1=110; k2=130.
9. n=100; p=0,5; k1=60; k2=80.
2. n=490; p=0,6; k1=320; k2=350.
4. n=225; p=0,2; k1=50; k2=60.
6. n=250; p=0,7; k1=150; k2=180.
8. n=625; p=0,8; k1=480; k2=500.
10. n=256; p=0,9; k1=200; k2=220.
ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №4 (б).
IV.
В задачах задан закон распределения дискретной случайной
величины Х (в первой строке указаны возможные значения
величины Х, во второй строке заданы вероятности р этих
значений). Определить:
 математическое ожидание М(Х);
 дисперсию D(X);
 среднее квадратическое отклонение σ.
1.
X
p
8
0,1
4
0,3
6
0,2
5
0,4
X
p
23
0,2
25
0,1
27
0,3
29
0,4
X
p
10
0,4
8
0,1
6
0,3
9
0,2
X
p
32
0,1
40
0,3
37
0,4
35
0,2
X
p
42
0,3
41
0,3
43
0,2
45
0,2
X
p
15
0,2
11
0,5
13
0,2
12
0,1
X
p
52
0,1
54
0,4
57
0,3
51
0,2
X
p
21
0,5
20
0,2
22
0,2
26
0,1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
X
p
34
0,2
30
0,4
32
0,3
36
0,1
X
p
50
0,3
48
0,2
51
0,2
53
0,3
10.
V.
В задачах случайная величина Х задана интегральной функцией
распределения F(x). Определить:
 дифференциальную функцию распределения f(x);
 математическое ожидание М(Х);
 дисперсию D(X).
 0 при х  0,
 0 при х  0,
 2
 2
1. F(x)=  x при 0  x  1, 2. F(x)=  x при 0  x  4,
 1 при x  1.
 16

 1 при x  4.
 0 при х  0,
 0 при х  2,
 2

3. F(x)=  x  2 при 2  x  3, 4. F(x)=  x при 0  x  2,
4
 1 при x  3.

 1 при x  2.
 0 при х  4,
5. F(x)=  x  4 при 4  x  5,
 1 при x  5.

 0 при х  0,
 2
7. F(x)=  x при 0  x  3,
9
 1 при x  3.
 0 при х  0,
 3
6. F(x)=  x при 0  x  2,
8
 1 при x  2.
 0 при х  1,
8. F(x)=  x  1 при 1  x  2,
 1 при x  2.

 0 при х  0,
 0 при х  0,
 3

9. F(x)=  x при 0  x  1, 10. F(x)=  x при 0  x  3,
 27
 1 при x  1.

 1 при x  3.