diskr_raschx

Сочетания:
1. Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо
составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать,
если имеется 7 бегунов?
Решение задачи:
Т.к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5 (т.е. часть элементов) и порядок выбора не
важен, то это сочетания.
Применим формулу сочетаний:
. Получаем,
.
Ответ. 21
2. Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из
которых входят 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими
способами они могут это сделать?
Решение задачи:
Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок
значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти
элементов 3, существует С 320 способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5
5
элементов - С 17
способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов.
Это можно сделать С 12
12 = 1, т.е. одним способом. Используя принцип произведения,
3
5
получаем: С 20  С 17  С 12
12 .
5
 С 12
Ответ: С 320  С 17
12 .
3. Сколько существует способов выбрать 3 согласных и 2 гласных буквы из букв
слова «уравнение»?
Решение задачи:
Уравнение: 3 согласных и 4 гласных буквы. Чтобы посчитать количество требуемых
пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х
заданных и двух гласных из четырех заданных: С 33 и С 24 .
Ответ: С 33  С 24
4. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы
так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?
Решение задачи:
Чтобы разделить эту группу, достаточно выбрать 4 человека из 15, а оставшиеся сами
образуют другую группу. А выбрать 4 человека из 15 можно С154 способами.
Ответ: 1365
5. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны,
эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7
пирожных?
Решение.
Задача сводится к выбору мест для 7 пирожных. Особенность в том, что они могут
повторяться. Пусть заданы два числа: — число выбираемых элементов, и — число
типов элементов, из которых производится выбор. Число
сочетаний с повторениями из
элементов типов равно числу способов выбора мест для собственно выбираемых
элементов различных классов.
Ответ: 120
, т.е. С107
Размещение:
1. Из 7 человек надо выбрать 5 человек и разместить их на пяти
занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это
можно сделать?
Решение задачи:
Т.к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5и порядок следования элементов имеет
значение, т.к. стулья пронумерованы, то это размещение. Воспользуемся формулой
размещений:
.
Ответ. 2520
2. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова «сапфир»
так, чтобы они начинались с буквы «с» и оканчивались буквой «р»?
Решение задачи:
На первое место поставить букву «с» можно только одним способом. На последнее место
поставить букву «р» можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые
4!
необходимо разместить по двум местам: А 24 
 12 .
(4  2)!
Ответ: 12
3. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких
расписаний при выборе из 11 дисциплин.
Решение задачи:
Размещение по 5 из 11 элементов, т.к. необходимо учитывать порядок следования уроков.
Ответ: 55440
4. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных
комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния:
"красный", "желтый", "зеленый"?
Решение задачи:
Порядок элементов существенен, т.к. если поменять местами «красный» и «жёлтый» на
двух светофорах, то ситуация на дороге будет другой. Также элементы могут повторятся,
поэтому применяем формулу размещений с повторениями из 3 по 6:
Ответ: 729
5. Сколько восьмибуквенных последовательностей можно составить из 2х
определённых букв?
Решение задачи:
Допустим, что существует 2 каких-либо символа, из которых, по условию задачи
необходимо составит последовательность. При этом порядок символов существенен и они
должны повторятся. Значит, это - размещения с повторениями из 2 по 8 букв.
Ответ: 256
Перестановки:
1. Сколькими способами могут восемь человек встать в очередь к театральной
кассе?
Решение задачи:
Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой
из 8 человек, т.е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек стал на
первое место, осталось 7 мест и 7 человек, т.е. 7 способов занять второе место и т.д. Т.е.
это перестановка 8 элементов. Применим формулу перестановок: Pn=n!
Ответ: 40320
2. Сколькими способами можно разместить на странице 5 различных заметок?
Решение задачи:
Т.к. имеются 5 заметок, и все они участвуют в выборе, то это перестановки. Получаем, P5=
5! = 120.
Ответ. 120
3. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?
Решение задачи:
Каждая расстановка будет отличаться порядком следования книг - перестановка из семи
элементов. Р7 = 7!= 5040.
Ответ: 5040
4. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова
«перестановка»?
Решение задачи:
Перестановка: 12 букв, из них повторяются 2 буквы «е» и две буквы «а». Число
перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы, но среди этих
перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы «е» или «а» меняются местами.
Поэтому используется формула для перестановок с повторениями:
12!
~
 3  11! 119 750 400 .
P212, 2 =
2!2!
Ответ: 119 750 400
5. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней она
выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой
выдачи?
Решение. Последовательности выдачи имеют один и тот же состав и отличаются только
перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с
повторениями
Ответ: 1260
.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА
ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА "ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ"
Дисциплина "Дискретная математика"
Расчётная работа
Тема: "Комбинаторика"
Выполнил: Сидоренко О.О.
студент группы: 10-В-1
Проверил:
Нижний Новгород
2011