Document 68794

Приложения к выступлению Н.В. Гороховой
«Технология обучения математике в профильных классах»
1. Типы практикумов
I тип. Практикум "по вертикали и горизонтали", суть которого в том, что если
ученик справляется с заданием "с ходу", то получает право двигаться к следующему
заданию по вертикали вниз. Если задание вызвало затруднение и потребовалась
консультация учителя, то ученик берет задание аналогичное по горизонтали.
Например, в 9 классе предлагается практикум по теме "Преобразование
выражений, содержащих радикалы":
1. Упростите:
7  4 3  19  8 3
4 3
 3  2 + 17  12 2 
5  2 6 - 52 6

2. Упростите:
3
2
5 +
3
2
5  3 20  14 2 + 3 20  14 2

3. Упростите:
3
1
3

3

2 1 
3

2 1  4  3 1 2 3  3
2 3 1
11

4. Доказать тождество:
7  4 3  19  8 3
4 3
 32 
3  3  3 10  6 3  3  1

5. Чему равна сумма выражений  Если
24  t 2 и
8  t 2 , если
8  а  5  а  5 , то чему
равен
8  a   5  a 
известно, что их разность равна 2 ?

6. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
?
3 2  3
2 2  3

3 2  3
2 2  3
III тип. "Стандартный блок" и "нестандартный блок". Под соответствующими
названиями учащимся предлагается 2 варианта заданий, ориентируясь на которые каждый
выбирает для себя уровень трудности. Например, в 10 классе при изучении темы
"Тригонометрические уравнения" был предложен "стандартный" блок:
1) sin4 х + 5 соs2х + 4 = 0
2) 3 sin2х - sin2х - соs2х = 2
3 sin3х – соs3х =
3)
2
4) соs2х = tgx ctgx
5) sin3x + 3 sin4x + sin5х = 0
6) sin4х – sin3х - 2 sin2x + 3 sinх = 0
7) sin2х + sin22х + sin23х + sin24х = 2
8) (1-tgx)(1+sin2x) = 1+tgx
"Нестандартный блок":
1) (соs2 х + sес2х) • (1 + tg22y) • (3 + sin3z) = 4
2)
3)
1  tgx  tg 2 x  ...  tg n x  ...
= 1+sin2x, где tgx < 1
n
1  tgx  tg 2 x  ...   1 tg n x  ...
3
sin 2 x  3 cos2 x  3 4
4) sin103x + cos103x = 4
sin 6 3x  cos6 3x
4 cos 2 6 x  sin 2 6 x
5) cos z tg 2 z  sin 2 z  sin z ctg 2 z  cos 2 z  2 sin z
6) tg(   ctgt)  ctg (  tgt )
7) sin t  cos t  1,4
2. Пример теста (обязательного уровня) 10 класс:
№
Задание
№
Решить
1
уравнение
2
2
Ответы
А
0
В
с
0
другой ответ

агсin(-х) + = 
4
-
10
0
5
2
Вычислить
2
10 sin 40 0 sin 50 0
cos 10 0

n, n  z

3
Решить
уравнение
3
sin 2 x
0
1  cos 3 x
1
4
5
6
7
2
2
Найти
D (f), где f (x)= [π/6 + 2πn;  
4

 

  2n;
  2n, 

5π/6
+
2πn],
2 sin x  1
3
 n  6

n z
 2

2

 2n 
 2n 



 3
 3

z
n z
Вывчсислить
sin 180 3
3
cos360
4
Решить
уравнение sin 0
6
(cosx)=0
Найти
Е (у), где
7
  ;0
у=arccos x- 
1
9
У= 6 arccos x 
2
1
4

 n , n  z
2
 2 ;0
n , n  z
  ; 
2 3
3
3
1  tg 2 15 0
tg15 0
Найти
D (у), где
9
10
n.n  z ,

2  n,n  z
n  4k, k  z
Вычислить
8
8
,n z
В
-1
1 
 2 ;1

 k ,
(-1) 6
kz
k
1
2

 2n, n  z
2
 1;1
3
2
 12 ;
0
1

 1; 2 
0
-2
- 2
3
Найти
наименьшее 2
1
значение выражения
sin  + cos 
3. В 11 классе при изучении темы «Степенные функции»
предлагается практикум (по задачнику А.Г. Мордковича):
1 вариант.
1 уровень: №1263, 1273(а), 1274(а), 1275(а), 1276(б), 1277(а), 1279(а),
1280(б), 1282(в), 1283(в)
2 уровень: 1288(а), 1292(б), 1293(в), 1296(а), 1298(а)
3 уровень: 1294(б), 1299(а), 1295(а)
2 вариант.
1 уровень: №1264, 1273(б), 1274(г), 1275(б), 1276(г), 1277(б), 1279(б),
1280(в), 1282(г), 1283(г)
2 уровень: 1288(г), 1292(г), 1293(г), 1296(б), 1298(б)
3 уровень: 1294(а), 1299(б), 1295(б)
4.
Готовимся к ЕГЭ (Задачи, предложенные в ЗФТШ при МФТИ,
аналоги задач В-9, В-10, В-11 ЕГЭ).
1. Дан ромб АВСД с острым углом В, sinB = 0,8. Площадь ромба равна
320. Высота СН пересекает диагональ ВД в точке К. Найти длину
отрезка СК.
2. В равнобедренном треугольнике АВС площади 135 боковые стороны
АВ и ВС равны 15 2 . Высоты ВВ' и СС' пересекаются в точке О.
Найдите площадь треугольника ВОС'.
3. В треугольнике АВС со сторонами АВ= 39, ВС = 42, АС = 45
биссектрисы ВК и СL пересекаются в точке О. Найдите площадь
треугольника ОКС.
4. Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются друг друга в точке
А. Касательная к ним, проходящая через точку А, пересекает их общие
касательные в точках Р и К, а обе внешние касательные пересекаются в
точке Д. Найти периметр треугольника РКД.
5. В выпуклом четырехугольнике АВСД серединные перпендикуляры к
сторонам АВ и СД пересекаются в точке К, являющейся серединой
стороны АД. Найти длину стороны АВ, если АД = 12, а угол ВСД
равен 120º.
5. В методическую копилку.
Горохова Н.В. предлагает в 10А классе массив задач по планиметрии на 1
полугодие.
Цель: повторение курса планиметрии и углубление знаний.
Подведение итога работы - зачет, состоящий из трех этапов:
-сдача письменного решения всех получившихся задач до 15 декабря;
-защита этой работы путем решения одной из этих задач;
- решения новой задачи по планиметрии из сборников для поступающих в
вузы.
Задачи по планиметрии
1. Найдите площадь трапеции, если ее острый угол равен  , и расстояния
от точки пересечения диагоналей до неравных сторон равны а и в.
2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника,
равна h, а радиус вписанной окружности равен ч. Найти стороны
треугольника.
Отв.
hч
h  2ч
h(h  2ч) ,
2ч
h  2ч
h(h  2ч) .
3. на стороне ВС треугольника АВС отмечены точки Д и Е так, что
ВД:ДЕ:ЕС = 1:2:3. Точка F делит сторону АС этого треугольника в
отношении 162. Найти отношение площади четырехугольника ДЕКТ к
площади треугольника АВС, где К и Т – точки пересечения прямой ВF
с прямыми АЕ и АД соответственно.
отв.
5
.
24
4. Периметр данного параллелограмма АВСД, где АВ  СД, равен 26 см,
а  АВС = 1200. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСД
равен 3 см. Найти стороны параллелограмма.
Отв. 5см, 5см,8см,8см.
5. в треугольник АВС, площадь которого равна 1, вписана окружность,
которая касается сторон АВ,ВС соответственно в точках Д и Е.
Перпендикуляры ДН и ЕF, проведенные к прямой АС, равны, и
площадь четырехугольника НДВС равна S. Найти  ВСА.
Отв. аrссоs 2(1  S ) .
6. В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность радиуса
которая касается катета АВ в точке Д. Найти СД. Если  В = 30
Отв. 15  6 3 .
3,
7. Окружность радиуса 3 с центром 0, лежащем на гипотенузе АС
прямоугольного треугольника АВС. Касается его катетов. Найти
площадь треугольника АВС, если
ОС = 5 .
Отв. 18
3
8
8. Треугольник А В1 С1 получен поворотом прямоугольного
равнобедренного треугольника АВС с катетами АВ и АС, равными а,
на угол 900. Найти площадь четырехугольника. Являющегося общей
частью треугольников АВС и АВ1С1.
Отв.
2
а
( 2 - 1).
2
9. Найти стороны равнобедренного
вписанного в окружность радиуса R.
Отв. А,
а
а
,
, где а = 2R (2 +
3
3
треугольника
с
углом
1200,
3 ).
10.Средняя линия трапеции равна 8, отрезок, соединяющий середины
оснований равен 2, а углы при одном из оснований равны 40 0 и 500.
Найти основание трапеции.
Отв. 10 и 6.
11.Трапеция АВСД с основаниями АД и ВС вписана в окружность. На
дуге СД взята точка Е так, что СЕД = 1200,а  АВЕ -  ВАЕ = 420.
Найти отношение периметра треугольника АВЕ к радиусу вписанной
окружности.
1
Отв. 2 ( tg (300  l 0 ) +
1
+
tg (300  l 0 )
3 ).
12.В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана
окружность радиуса 5 см. Из точки Д прямой ВС проведены
перпендикуляры к прямым АВ и АС, равные соответственно 12 см и 2
см. Доказать, что точка Д лежит на стороне ВС и найти cos ДСА.
Отв. 0,4