Итеративный игровой алгоритм в задачах управления коалиции

ИТЕРАТИВНЫЙ ИГРОВОЙ АЛГОРИТМ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
КОАЛИЦИИ ИПОТЕЧНЫХ ЗАЁМЩИКОВ
Ерешко А.Ф.
Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН, г. Москва
fereshko@ccas.ru
Ключевые слова: экономические агенты, коалиция заёмщиков, общая модель, функция Лагранжа, декомпозиция.
Введение
Объемы жилищных инвестиций составляют существенную часть внутреннего валового
продукта в развитых и развивающихся странах, при этом активно используется схема ипотечного кредитования, ключевой идеей которой является принцип использования актива экономическим агентом до полной его оплаты при условии его залога и выплаты финансовых средств,
полученных в кредит, с процентами до полной оплаты приобретаемого актива. Так экономический агент сокращает время ожидания до потребления актива, но увеличивает собственные
расходы на его приобретение. Очевидно, что многообразные факторы, сопутствующие процессу получения кредитов и его возврату, требуют соответствующего вычислительного арсенала.
С точки зрения банков – это обычный кредит с достаточной гарантией, для потребителя –
возможность досрочного обладания активом. Но для всех участников процесса методы оценки,
базирующиеся на формальных моделях и вычислительных методах, остаются едиными.
1. Модель одного из вариантов Коалиции
Рассмотрим ситуацию, когда в свободной экономической среде функционируют экономические агенты, имеющие возможность свободного финансового выбора в желании приобрести
жилье. Обозначим номера агентов k  1,...K , время принимает дискретные значения t  0,..., T .
Положим, что некоторый финансовый институт предлагает агентам набор договоров со следующими условиями: на первом этапе происходит накопление средств на счету агента с заданным ставками процентов на депозит. Затем через некоторое число шагов агент получает возможность получить в пользование жилье и заключает договор на получение кредита для
приобретения данного жилья, и принимает на себя условия по возврату полученного кредита.
На следующем шаге происходит объединение участников в пул (Коалицию) при их согласии. Инициатор (финансовый институт) создания пула в управлении финансами Коалиции
располагает возможностями использовать различные финансовые инструменты и, в частности,
организовывать выпуски облигационных займов под залог жилья Коалиции и суммарного
потока платежей отдельных участников Коалиции.
Введем соответствующие обозначения.
k
t 1k – момент начала депозитного договора агента номера k с банком, z t – процентные
ставки на депозитный вклад агента k в момент t , d tk – вклады агента k в моменты времени t ,
Dtk2 – накопленная сумма на депозите агентом k в момент t  t k2 ,
k
Dtk1
 Dtk (1  0.01z tk )  d tk , t  0,..., t k2  1
t k2 – момент передачи жилья в пользование агента, начало кредитного договора, C tk2 – веk
личина получаемого кредита = H t 2 (стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2 (накопленная
k
k
сумма на депозитном счете).
1
g tk – процентные ставки на полученный агентом кредит, ctk – выплаты кредита по приня-
той схеме, t k3 – момент времени завершения участником выплат по кредиту и получения жилья
в собственность.
Таким образом, возможности и обязательства агента определяются набором следующих
параметров: {t1k , tk2 , tk3 , dtk , ctk } .
В ситуации, когда агенты объединяют свои возможности и обязательства, у них появляются возможности в улучшении своего положения по сравнению с независимым поведением,
поскольку появляется возможность для членов объединения (коалиции) воспользоваться средствами, собранными остальными членами на счетах Коалиции. Эта возможность, естественно,
не должна допускать ущемления положения других участников: основной принцип объединения состоит в том, что выигрыш участника, который он может обеспечить себе автономно, не
может быть уменьшен. Будем предполагать, что финансовый институт – инициатор объединения решает лексикографическую задачу: во-первых, стремится согласовать финансовые потоки
всех участников и Коалиции с заданным уровнем обеспеченности и затем, во-вторых, решает
задачу максимизации собственного капитала.
Выпишем в целях иллюстрации общего подхода фрагмент соотношений для Коалиции в
промежуточный момент времени. Динамику финансовых средств компании запишем в виде:
S t  S t 1  f t   t  C t  l t  cf t  H t – Qt – qt ,
здесь S t – суммарные финансовые средства Коалиции в кассе и на расчетном счете, f t –
объем изъятия с депозитного счета Коалиции,  t – объем размещения средств на депозитном
счете Коалиции, Ct – объем средств, взятых Коалицией в кредит в момент t , lt – объем возвращаемых Коалицией кредитов, Qt – объем средств, полученных коалицией за счет выпуска
облигаций, qt – объем возвращенных коалицией средств по облигационным займам.
Поток платежей k -го участника выглядит следующим образом:
 0, 0  t  t 1k
 k 1
2
d , t  t  t k
cf t   tk 2k
, где t 1k – момент времени заключения договора участника с Коалицией, t k2
3
c
,
t

t

t
k
k
 t
 0, t 3  t  T
k

– момент времени завершения участником периода накопления средств, t k3 – момент времени
завершения участником выплат после получения жилья в пользование и получения жилья в
собственность.
Динамика средств на депозитном счете компании во внешнем банке запишется в виде:
Dt  (1  zt 1 ) Dt 1  ft  t , где z t – процентная ставка на депозитный вклад Коалиции во внешних банках. Динамика обязательств Коалиции на кредитном счете компании во внешних
банках запишется в виде:
Lt  (1  gt 1 ) Lt 1  lt  Ct  Qt  qt , где g t 1 – процентная кредитная ставка для Коалиции во
внешних организациях.
Ограничения на выбор f t и  t : f t  Dt  0 ,  t  S t  0 , lt  St  0 .
Функционал относится к конечному финансовому состоянию Коалиции и имеет вид:
ST  DT  max
Для решения сформулированной оптимизационной задачи можно применить различные
методы. В частности, вполне стандартно можно выписать соотношения динамического программирования и построить алгоритмы переборного характера, как это предложено в [5]. Так
2
же вполне традиционно использовать методы решения задач линейного программирования,
учитывая их обширную проработанность и наличие доступных стандартных библиотек.
Остановимся здесь на втором подходе. Для этих целей необходимо привести задачу к
стандартному виду задач линейного программирования:
В общем виде соотношение можно записать в виде:
Ax  b , где x  {St , Dt , f t ,t , Ct1 ,..., CtL } , t  1,..., T , b  (cft  H t ) , cf t – суммарный поток
платежей участников компании, H t  0 , t  tk2 , H t 2 – стоимость квартиры k -го участника.
k
(c, x)  ST  DT  max
2. Схема анализа
Воспользуемся приемом преобразования исходной оптимизационной задачи к задаче поиска седловой точки функции Лагранжа и построения итеративных игровых методов.
Соотношения игрового метода, основанного на поиске седловой точки функции Лагранжа, имеют вид:
L( x, y )  (c, x)  y ( Ax  b) , x  X , y  Y ,
где X , Y – параллелепипеды, определяемые из условия совпадения решения исходной задачи и поиска седловой точки функции Лагранжа и
x – исходные переменные,
y – двойственные переменные.
Итеративный алгоритм запишется в виде:
xn 1  xn   n xn , xn  ~
xn  xn ,  n  0 ,  n  0
yn  yn ,  n  0 ,  n  0 ,
yn 1  yn   n yn , yn  ~
~
где xn определяется из решения задачи max [(c  yn A) x] ,
x X
~
и y из решения задачи max [ y( Ax  b)] .
n
yY
Фрагменты данных задач имеют вид:
Для задачи max [(c  yn A) x] :
x X
[...  ( y
S
t ,n
 yt, n  ytS1, n ) St  ( ytD, n  ytf, n  ytD, n (1  zt )) Dt 
 ( ytS, n  ytD, n  ytf, n ) f t  ( ytS, n  ytD, n  yt, n )t  ...]  max
Для задачи max [ y( Ax  b)] :
yY
[...  ( y
S
t,n
 ytS1, n g 1 )Ct1  ( ytS, n  ytS1, n g 2  ytS 2, n g 2 )Ct2 
 ...  ( ytS, n  ytS1, n g l  ...  ytS l , n g l )Ctl  ( ytS, n  ytS1, n g L  ...  ytS L , n g L )CtL  ...]  max
при условиях:
0  St  S max , 0  Dt  D max , 0  ft  f max , 0  t   max , 0  Ctl , l  1,..., L
Литература
1. Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием. //
Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2008. 60с.
1. Ерешко А.Ф. Устойчивость очереди ипотечных заёмщиков. / Материалы Второй международной
конференции “Управление развитием крупномасштабных систем”. М.: ИПУ РАН, 2008.
3