Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу

Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр)
1. Определение неопределённого интеграла.
Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) – ее первообразная, т.е. F’(x) =
f(x) при a  x  b , то  f(x)dx  F(x)  C , a  x  b , где С – произвольная постоянная.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
а.
 f(x)dx   f(x)dx производная от интеграла равна подынтегральной функции.
б.  dÔ(x)  Ô(x)  C интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная
интегрирования.
в.  Af(x)  A  f(x) , (A=const) постоянную можно выносить за знак интеграла.
г.
 f(x)  g(x)   f(x)dx   g(x)dx
интеграл суммы равен сумме интегралов.
3. Табличные простейшие интегралы.
I.  x n dx 
x n 1
,(n  1)
n 1
dx
 ln x  C,(x  0)
x
arctx  C,
dx
III. 

2
1 x
arcctgx  C.
II.

1 1 x
ln
 C.
2 1 x
arcsinx  C,
dx
V. 

2
1x
arccosx  C.
dx
VI. 
 ln x  x 2  1  C.
2
x 1
ax
x
VII.  a dx 
 C (a  0, a  1) ;  ex dx  e x  C
lna
VIII.  sinxdx  cosx  C
dx
1 x
IV.
2

IX.  cosxdx  sin x  C
X.
dx
 sin x  ctgx  C
2
dx
 cos x  tgx  C
XII.  shxdx  chx  C
XIII.  chxdx  shx  C
XI.
XIV.
XV.
2
dx
 sh x  -cthx  C
2
dx
 ch x  thx  C
2
и табличные интегралы
dx
1
x
 arctg  C (a  0)
2
x
a
a
dx
1
ax

ln
 C (a  0)
II.  2
2
a x
2a
a-x
xdx
1
  ln a 2  x 2  C
III.  2
2
a x
2
dx
x
 arcsin  C (a  0)
IV. 
2
2
a
a x
dx
 ln x  x 2  a 2  C (a  0)
V. 
2
2
x a
xdx
  a 2  x 2  C (a  0)
VI. 
2
2
a x
x 2
a2
x
2
2
2
a

x
VII.  a  x 
arcsin  C (a  0)

2
2
2
2
x
a
x 2  a2 
VIII.  x 2  a2 
ln x  x 2  a 2  C (a  0)
2
2
I.
a
2
4. Основные методы интегрирования.
а. Метод введения нового аргумента. Если
 f(x)dx  F(x)  C , то  f(u)du  F(u)  C , где u   (x) -
непрерывно дифференцируемая функция.
б. Метод разложения. Если f(x)  f1 (x)  f2 (x) , то  f(x)dx   f1 (x)dx   f 2 (x)dx .
в. Метод подстановки. Если f(x) непрерывна, то, пологая x   (t) , где  (t) непрерывная вместе со
своей производной x   ' (t) , получим  f(x)dx   f( (t)) ' (t)dt .
г. Метод интегрирования по частям. Если u и v – некоторые дифференцируемые функции от х, то
 udu  uv   vdu .
1
a
В этом случае интеграл можно упростить с помощью естественной замены z  ax  b , откуда
1
1
x  ( z  b) и dx  dz . Пусть известна первообразная F (z ) для f (z ) :  f ( z )  F ( z )  C .
a
a
1
1
1
Выполняя подстановку, получаем:  f (ax  b) =  f ( z ) dz z  axb = F ( z )  C z  axb = F (ax  b)  C
a
a
a
5. Доказать, что если  f(x)dx  F(x)  C , то  f(ax  b)dx  F(ax  b)  C .
6. Интегрирование рациональных функций (метод неопределенных
коэффициентов, метод Остроградского).
Формулы Остроградского
P(x)
 Q(x) dx
P(x)
Пусть
- правильная дробь, где Q(x) = (x  a1 )n  (x  a2 )n2  ...  (x  ak )nk  (x 2  p1x  q1 )m1
Q(x)
 ...  (x 2  pe x  q e )me .
Простейшие дроби (4 вида):
A
A
B
B
,
, 2
, 2
, где (x 2  px  q) - не имеет действительных корней.
n
(x  a) (x  a) (x  px  q) (x  px  q)m
P(x)
 Q(x) dx
=
P1 (x)
+
Q1 (x)
P2 (x)
 Q (x) dx .
2
7. Интегрирование иррациональных функций.
Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной,
позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций
эта цель достигается с помощью стандартных замен.

ax  b 
dx , где R (u,v) - рациональная функция своих аргументов,
Интегралы вида  R x, n

cx

d


вычисляются заменой t  n
ax  b
.
cx  d

a
a
Интегралы вида
или x 
.
x  a dx вычисляются заменой x 
cos t
sin t
Интегралы вида  Rx, x  a dx вычисляются заменой x  atgt или x  asht .
Интегралы вида
 Rx,
 Rx,
n
n
a 2  x 2 dx вычисляются заменой x  a cos t или x  a sin t .
2
2
2
2
Дифференциальный бином  x m (a  bx n ) p dx .
Интеграл от дифференциального бинома  x m (a  bx n ) p dx , где m, n и p – рациональные числа, может
быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема
Чебышева):
Случай 1. Пусть p – целое. Тогда полагаем x  z N , где N – общий знаменатель дробей m и n.
Случай 2. Пусть m  1 - целое. Тогда полагаем a  bx n  z N , где N – общий знаменатель дроби p.
n
m
 1  p - целое. Тогда применяем подстановку ax -n  b  z N , где N – знаменатель
Случай 3. Пусть
n
дроби p.
Если n=1, то эти случаи эквивалентны следующим:
а. р – целое
б. m – целое
г. m + p – целое.
8. Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование рационально-тригонометрических функций  r (sin x, cos x)dx всегда рационализует
2t
2dt
1 t 2
 x
универсальная подстановка tg   = t( sin x 
, cos x 
, dx 
).
2
2
1 t
1 t2
1 t
2
Вычисление интегралов вида  R(sinx,cosx)dx ,
где R – рациональная функция, в общем случае приводится к интегрированию рациональных функций
x
с помощью подстановки tg  t .
2
а. Если выполнено равенство R(-sinx, cosx)  R(sinx,cosx) или R(sinx,-cosx)  R(sinx, cosx) , то
выгодно применить подстановку cos x = t или соответственно sin x = t.
б. Если R(-sinx,-cosx)  R(sinx, cosx) , то полезно применить подстановку tg x =t.
Вычисление интегралов вида
dx
 asinx  bcosx .
приведя знаменатель к логарифмическому виду (хз каг)
9. Интегрирование трансцендентных функций.
10. Определенный интеграл как предел суммы.
а. Интеграл (в смысле Римана). Если функция f(x) определена на a, b и a  x 0  ...  x n  b , то
b
интегралом функции f(x) на сегменте a, b называется число  f(x)dx 
a
n 1
lim  f(ξ )Δx , где
max Δxi 0 i o
i
i
x i  ξ i  x i 1 и Δxi  x i 1  x i .
Для существования предела необходимо и достаточно, чтобы нижняя интегральная сумма
n 1
n 1
i 0
i 0
S   m i Δx i и верхняя интегральная сумма S   M i Δx i , где mi  inf f(x) и M i  sup f(x) ,
x i x x i1
x i  x  x i 1
имели общий предел при max Δxi  0 .
Функции f(x), для которых предел в правой части равенства существует, называются интегрируемыми
(собственно) на соответствующем промежутке. В частности,
а) непрерывная функция;
б) ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва;
в) ограниченная монотонная функция, - интегрируема на любом конечном сегменте.
Если функция f(x) не ограничена на сегменте a, b , то она собственно не интегрируема на a, b .
б. Условие интегрируемости. Необходимым и достаточным условием интегрируемости на данном
сегменте a, b функции f(x) является выполнение равенства
функции f(x) на сегменте x i , x i 1  .
lim
max Δx i 0
n 1
 w Δx
i
i 0
i
 0 , где wi - колебания
11. Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте a, b и F(x) – ее первообразная, то
b
 f(x)dx  F(b)  F(a)
a
b
a
.
Формула интегрирования по частям.
b
b
b
Если f(x), g(x)  C(1) [a, b] , то  f(x)g' (x)dx  f(x)g(x)   g(x)f' (x)dx .
a
a
a
Формула замены переменной.
Если: 1) функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b] ; 2) функция  (t) непрерывна вместе со своей
производной  ' (t) на сегменте [a, b] , где a   ( ) , b   (  ) ; 3) сложная функция f( (t)) определена и
b

a

непрерывна на  ,  , то  f(x)dx   f( (t)) ' (t)dx .
12. Определение несобственного интеграла.
Если функция f(x) собственно интегрируема на каждом конечном сегменте [a, b] , то, по определению,

полагают
b
 f(x)dx  lim  f(x)dx (1).
a
b
a
Если f(x) не ограничена в окрестности точки b и собственно интегрируема на каждом сегменте
b-
b
[a, b   ] (  0) , то принимают  f(x)dx  lim  f(x)dx (2).
a
 0
a
Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий интеграл – сходящийся, в противном
случае – расходящийся (в элементарном смысле).
13. Геометрический смысл определенного интеграла.
b
Определенный интеграл  f(x)dx при f(x)  0 геометрически представляет собой площадь S,
a
ограниченную кривой y=f(x), осью Ох и двумя перпендикулярами к оси Ох: х=а и х=b.
14. Вычисление площади фигуры в прямоугольных координатах.
Площадь S плоской фигуры A1A 2B2B1 , ограниченной двумя непрерывными кривыми: y  y1 (x) и
b
y  y2 (x) ( y1 (x)  y2 (x) ) и двумя прямыми: х=а и х=b ( a  b ), равна S   [y 2 (x)  y1 (x)]dx .
a
Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
Площадь S сектора OAB, ограниченного непрерывной кривой r  r( ) и двумя полупрямыми    и

1
   (    ), равна s   r 2 ( )d .
2
Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в
параметрическом виде.
Если х=х(t), y=y(t), [0  t  T] - параметрические уравнения кусочно-гладкой просто замкнутой кривой
С, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью S,
T
T
T
1
то S    y(t)x' (t)dt   y' (t)x(t)dt , или S   y' (t)x(t) - y(t)x' (t)dt .
20
0
0
15. Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах.
Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой y=y(x) ( a  x  b ) равна
b
s   1  y'2 (x)dx .
a
Вычисление длины дуги в полярных координатах.
(1)
Если r  r( )      , где r( )  C [ ,  ] , то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна

s   r 2 ( )  r'2 ( )d

.
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически.
Если кривая С задана уравнениями х=х(t), y=y(t), [t 0  t  T] , где х(t), y(t)  C(1) [t 0 , T] , то длина дуги
T
кривой С равна s 

t0
x'2 (t)  y'2 (t)dt .
16. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям.
Если объем V тела существует и S=S(x) a  x  b есть площадь сечения тела плоскостью,
b
перпендикулярной к оси Ох в точке х, то V   S(x)dx .
a
Объем тела вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции a  x  b ,
b
0  y  y(x) , где y(x) – непрерывная однозначная функция, равен
Vx    y 2 (x)dx
a
.
В более общем случае объем кольца, образованного вращением воруг оси Ох фигуры a  x  b ,
y1 (x)  y  y2 (x), где y1 (x) и y2 (x) – непрерывные однозначные функции, равен
b


Vx  π  y22 (x) - y12 (x) dx .
a
17. Вычисление площади поверхности вращения. Дифференциал дуги.
B
Площадь поверхности, образуемой вращением гладкой кривой АВ вокруг Ох, равна
ds – дифференциал дуги.
P  2π  y ds
A
, где
18. Физический смысл определенного интеграла.
Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотности    ( y ) заполняет некоторый ограниченный
континуум  (линию, плоскую область) и    ( y ) - соответствующая мера (длинна дуги, площадь)
той части континуума  , ординаты которой не превышают у, то k-моментом массы М относительно
оси Ох называется число M k =
n
lim   ( y ) y ( y ) =  y d ( y ) , (k=0,1,2,…), где y
max yi 0 i 1
i
k
i
k
i
i
i
 yi  yi 1 и

 ( yi )   ( yi )   ( yi 1 ) .
Как частные случаи, получаем при k=0 массу М, при k=1 – статический момент, при k=2 – момент
инерции.
Аналогично определяются моменты массы относительно координатных плоскостей.
Если   1 , то соответствующий момент называется геометрическим (момент линии, плоской фигуры,
тела и т.д.).
Центр тяжести. Координаты центра тяжести ( x0 , y0 ) однородной плоской фигуры площади S
M 1( y)
M ( x)
, y0  1 , где M 1( y ) , M 1( x ) - геометрические статические
S
S
моменты фигуры относительно осей Оу и Ох.
определяются по формулам: x0 
19. Функция нескольких переменных. Определение предела функции.
Пусть функция f(P)  f(x1 , x2 ,...x n ) определена на множестве Е, имеющем точку сгущения P0 .
Говорят, что lim f(P)  A , если для любого   0 существует δ  δ(ε, P0 )  0 , такое что f(P)  A  ε
PP0
при P  E и 0  ρ(P, P0 )  δ , где ρ(P, P0 ) - расстояние между точками P è P0 .
Определение непрерывности функции.
Функция f(P) непрерывна в P0 , если lim f(P)  f(P0 ) . Функция f(P) непрерывна в данной области, если
PP0
она непрерывна в каждой точке этой области.
20. Частные производные.
Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка
дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление непрерывны.
Формула дифференциала функции.
df(x, y,z)  f x (x, y,z)dx  f y (x, y,z)dy  fz (x, y,z)dz
21. Символическая форма дифференциала высшего порядка.
d n f(x, y,z)  (dx



 dy
 dz ) n f(x, y,z)
x
y
z
22. Формула производной сложной функции.
Производная сложной функции:
w w x w y w z
,



u x u y u z u
w w x w y w z
.



v x v y v z v
Для вычисления производных второго порядка функции w полезно пользоваться символическими
формулами:
P1 w
R1 w
 2w



Q1 w
= (P1
+
+
 Q1
 R1 )2 w +
2
u z
u
x
y
z
u y
u x
и
P w
R1 w
2w






Q1 w
= (P1
+
+
.
 Q1
 R1 ) (P2
 Q2
 R 2 )w + 1
v x
v z
uv
x
y
z
x
y
z
v y
где
x
y
z
x
y
z
P1 
, Q1 
, R1 
. P1 
, Q1 
, R1 
.
u
u
u
v
v
v
Какие-то формулы:
f(x  y, xy)
f
'
= fx' y * (x  y)'x + fxy
* (xy)'x .
x
dano f(xy;x+y)
Pust' k=xy; l=x+y
df/dx=df/dk*dk/dx+df/dl*dl/dx=f'[k]*y+f'[l]*0=y*f'[k]
d^2f/dxdy=(P[1]*df/dk+Q[1]*df/dl)(P[2]*df/dk+Q[2]/df/dl)+dP[1]/dy*df/dk+dQ[1]/dl*df/dl=
gde P[1]=dk/dx; P[2]=dk/dy; Q[1]=dl/dx; Q[2]=dl/dy
=(y*f'[k])*(x*f'[k])+f'[k]=x*y*f''[kk]+f'[k]
d^2f/dx^2=(P[1]*df/dk+Q[1]*df/dl)^2+d*P[1]/dy*df/dk+d*Q[1]/dy*df/dl=y^2*f''[kk]+f'[k]