ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ФЗО, 1-й курс, весенне-летний семестр 2014/2015 учебного года 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Зачётка с собой? Производная функции в точке: определение. Производная функции в точке: геометрический и механический смысл. Производная функции на отрезке: определение, механический смысл. Производные элементарных функций. Вывести формулу производной функции sin x . Вывести формулу производной функции cos x . Вывести формулу производной функции e x . Основные методы дифференцирования. Доказать, что производная суммы функций равна сумме производных функций-слагаемых. Производная обратной функции. Вывести формулу производной функции arctg x . Сколько будет дважды два? Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. Дифференцирование неявно заданной функции. Найти производную y x функции y x ln 2 e x 1 . 5 x 4 Найти производную y x функции y 4 (5x) . 19. Найти производную y x функции y (sin x) ln sin x . 20. Найти производную y x функции y 45 x (5x)4 . x cost; 21. Найти производную y x функции . y ln sin t . 1 1 2x 22. Найти производную y x функции y . ln ln 4 1 2 x x2 y2 2. 4 8 2 24. Найти производную y x функции y (arctg e x )3 . 3 25. Найти производную y x функции x 4 y 4 x 2 y 2 . 23. Найти производную y x функции 26. Найти производную y x функции y ln cos2 5x . 27. Найти производную y x функции y (5 x) 1 x . 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. x et ; Найти производную y x функции . y arcsin t. Дифференцируемость функции: определение. Дифференцируемость функции: необходимое и достаточное условие. 4 Является ли функция y 2 дифференцируемой в точках x1 2 и x2 0 ? x Производные высших порядков: определение. N-раз и бесконечно дифференцируемые функции. Привести примеры. Дифференциал функции: определение. Дифференциал функции: геометрическая интерпретация. Применение дифференциала функции в приближённых вычислениях. Дифференциалы высших порядков. x 1 Найти дифференциал функции y 2 x 2 . x 1 Найти дифференциал функции y x 2 e x . 40. С помощью дифференциала вычислить приближённо x 2 5 в точке x0 1,97 . 41. Теорема Ферма (о производной функции в точке экстремума). 42. Теорема Ролля (о производной функции внутри интервала с одинаковыми значениями на краях). 43. Теорема Коши (о равенстве отношений приращений двух функций на интервале и их производных в некоторой точке). 44. Теорема Лагранжа (о среднем). 45. Условие постоянства функции на отрезке. 46. Условие монотонности функции на отрезке. 47. Правило Лопиталя. 1 48. Найти предел lim x sin с помощью правила Лопиталя. x x 1 2 49. Найти предел lim x 2 e x с помощью правила Лопиталя. x 0 50. Найти предел lim tg x sin x с помощью правила Лопиталя. x3 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена: sin x и e x . По формуле Тейлора разложить функцию y 3 x в окрестности точки x0 1 . x По формуле Тейлора разложить функцию y в окрестности точки x 1 x0 2 . Локальный экстремум функции: определение. Локальный экстремум функции: необходимое и достаточные условия. x 0 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 2 58. Глобальный экстремум функции на отрезке: алгоритм нахождения. 16 59. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x 2 4 x 9 на x2 отрезке [1; 2] . 60. Выпуклость и вогнутость функции на интервале: определение. 61. Выпуклость и вогнутость функции на интервале: необходимое и достаточное условия. 62. Точки перегиба функции: определение. 63. Точки перегиба функции: необходимое и достаточные условия. 2 64. Найти точки перегиба функции y e x 2 x . 3 ln x 65. Найти точки перегиба функции y . x 78. 79. Дифференциальное исчисление функции многих переменных Как зовут преподавателя, которому Вы сдаёте зачёт по высшей математике? Функция многих переменных: определение, область определения, область значений. Функция многих переменных: линии уровня, поверхности уровня. y 1 Найти область определения функции z arcsin . x Найти область определения функции z x y . Частные производные функции многих переменных. Частные производные высших порядков функции многих переменных. Смешанные производные функции многих переменных. z z Найти частные производные и для функции z x y . x y z z Найти частные производные и для функции z e xy . x y Дифференцируемость функции многих переменных: определение. Дифференцируемость функции многих переменных: необходимое и достаточное условия. Полный дифференциал функции многих переменных. Найти полный дифференциал функции z ln( x 2 y3 ) . 80. 81. 82. 83. Найти полный дифференциал функции z xy x e y / x . Производная функции многих переменных по направлению. Градиент. Найти производную функции z 5x 2 6 xy в точке M 0 ( 2;1) по направлению 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. вектора a i 2 j . 84. Найти производную функции z x y x 2 y 2 в точке M 0 (3; 4) по направлению вектора a 2i j . 85. Касательная плоскость к поверхности, заданной функцией z f ( x, y) . 3 86. Нормаль к поверхности, заданной функцией z f ( x, y) . 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. Интегральное исчисление функции одной переменной Первообразная функции: определение. Какие темы по математике изучались в текущем семестре? Доказать, что две первообразные одной и той же функции различаются на константу. Неопределённый интеграл: определение. Свойства неопределённого интеграла. Записать неопределённые интегралы функций sin x , x n . Записать неопределённые интегралы функций cos x , a x . 1 1 Записать неопределённые интегралы функций , . x 1 x2 1 1 Записать неопределённые интегралы функций , . 1 x2 1 4x2 Метод непосредственного интегрирования: интеграл от функции вида f (ax b) . Интегрирование функции методом поднесения под знак дифференциала. Интегрирование функции методом замены переменной. Интегрирование функции методом подстановки. Метод интегрирования функции по частям. 102. Найти интеграл tg 5x dx . 1 103. Найти интеграл cos 2 dx . x 101. Найти интеграл e x dx . 105. Найти интеграл x cos 2 x dx . 106. Найти интеграл sin 3 2 x dx . 107. Найти интеграл sin 4 2 x dx . 2 104. Найти интеграл e x dx . 108. Интегрирование дробно-рациональной функции. 109. Интегрирование тригонометрических выражений. 110. Интегрирование иррациональных выражений вида ax b p1 ax b pk R x, , . mx n mx n 111. Интегрирование иррациональных выражений вида x m (a bxn ) 112. Найти неопределённый интеграл x3 4 x 2 4 x 2 ( x 1)2 ( x2 x 1) dx . 4 r s. 113. Найти неопределённый интеграл 114. Найти неопределённый интеграл 2 x3 40 x 8 dx . x( x 4)( x 2) 5 x 1 dx . ( x 1) 2 x 115. Записать интегральную сумму Римана для функции y x 2 на интервале [0;10] , если n 4 . 116. Определённый интеграл: определение. 117. Определённый интеграл: основные свойства. 118. Формула Ньютона-Лейбница. 119. Методы вычисления определённых интегралов. 16 120. Вычислить определённый интеграл 256 x 2 dx . 0 10 121. Вычислить определённый интеграл 6 122. Вычислить определённый интеграл 2 4 x dx . x 12 cos x 2 cos x dx . 0 123. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площади плоской фигуры, заданной в декартовой системе координат. 124. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площади плоской фигуры, заданной в полярной системе координат. 125. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление длины дуги, заданной в декартовой системе координат. 126. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление длины дуги, заданной параметрически. 127. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление объёмов тел. 128. Что такое криволинейная трапеция? 129. Где находится кафедра высшей математики? 130. Физические приложения определённого интеграла: вычисление массы неоднородного стержня. 131. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной линиями y ( x 2)3 и y 4 x 8 . 132. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной линиями y ( x 1)2 и y 2 x 1 . 133. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной линиями x 4 y 2 и x y 2 2 y . 134. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной x 6 cos t , линиями и y 2 3 ( y 2 3) . y 4 sin t , 5 135. Вычислить в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией r cos 2 . 136. Вычислить в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линиями r1 2 cos и r2 3 cos . 137. Несобственный интеграл 1-го рода: определение. 138. Несобственный интеграл 1-го рода: методы вычисления. 139. Несобственный интеграл 1-го рода: основные свойства. 140. Несобственный интеграл 1-го рода: исследование сходимости. 141. Несобственный интеграл 2-го рода: определение. 142. Несобственный интеграл 2-го рода: методы вычисления. 143. Несобственный интеграл 2-го рода: основные свойства. 144. Несобственный интеграл 2-го рода: исследование сходимости. 145. Вычислить несобственный интеграл 2 x ( x 3) 2 3 dx или доказать его расходимость. 0 146. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. dx или доказать его расходимость. 1 x2 147. Вычислить несобственный интеграл dx e2 1 x ln 3 x 148. Вычислить несобственный интеграл ln x dx или доказать его расходимость. 0 e 149. Вычислить несобственный интеграл x 1 1 150. Вычислить несобственный интеграл dx или доказать его расходимость. ln x dx 1 x3 или доказать его расходимость. 0 Примечание: Список содержит и теоретические, и практические вопросы (задачи). Ответ на теоретический вопрос должен быть кратким и конкретным. Ответ на практический вопрос засчитывается как правильный, если выбран подходящий метод решения и начат правильный расчёт. Преподаватель: доцент И. В. Дайняк 6