otu_rasch_skorininx

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Нижегородский государственный технический университет
им. Р. Е. Алексеева
Кафедра «Вычислительные системы и технологии»
Курсовая работа
по дисциплине “Основы теории управления”
Вариант № 58
Выполнилт:
Студенты группы 10-В-1
Скорынин С.С.
Маясов Д.А
Проверил:
Никулин.Е.А
г. Нижний Новгород
2013 г.
1
Содержание
2
1.
Построение всех частотных характеристик блоков структурной схемы
разомкнутой системы и принципиальных схем моделирования каждого блока
каскадом на операционном усилителе.
Структурная схема устройства
Типовые звенья
W2 (K) = Ks
K
W3 (K) =
s
W6 (K, T, ξ) =
K
1 + 2ξTs + T 2 s2
Передаточная функция:
y
W(s) = x, где
- измерение или выходной сигнал измерительного устройства
- управление или входной сигнал регулятора
1. Блок W2 (K) = Ks
.Функциональное уравнение
y
W s   - передаточная функция, где x – управление или входной сигнал регулятора, y –
x
измерение или выходной сигнал измерительного устройства (ИУ);
d
y  W ( s) * x , заменяем s  , далее приводим к конечному виду
dt
Функциональное уравнение для блока W2:
W2 k   k * s - интегратор (интегрирующее устройство), где k – коэффициент усиления, [k] = сек,
d
s
- оператор дифференцирования, [s] = сек-1
dt
k  0.25
W2  0,25  0.25 * s
y
 0.25 * s 
x
y  0.25 xs
yt   0.25x - Алгебраическое уравнение. Звено не имеет переходного режима.
1.1
1.2.
Синтез схемы моделирования на ОУ
Для блока W2:
a) W2 s   ks
k=-0.25
Эскизная схема:
3
Запишем как
W2 s   ks
k=0.25
Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам
S1 s   0
S 2 s   0.25s
S1 s   1 S 2 s 
0  1  0.25s
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и
𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию.
S1  W10  1  S 2  W20
0  W10  1  0.25s  W20
Получим
W10  1  0.25s
W10  1  0.25s , W20=0
Операторная схема:
z10W10  const
z11W11  0 , z11  0 - провод
Так как входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, то входной ток
будет равен нулю, поэтому 𝑧10 - любой элемент. Примем его за проводник, z10 – провод (R10=0)
Для инверсного входа:
z
z 21  0
0.25s
z 21 * 0.25s  z 0
1
За z21 возьмем z 21 
, т.е конденсатор, так как при выборе конденсатора в уравнении
C 21 s
z 21 * 0.25s  z 0 сократится 𝑠 и схему нужно будет дополнить резистором, что является
оптимальным решением.
0.25s
 z0
C 21 s
4
0.25
C 21
1
z0 
 R0
4C 21
z0 
Для того, чтобы реальный операционный усилитель можно было с достаточной точностью считать
идеальным, нужно выбирать сопротивления всех навесных резисторов хотя бы на порядок (в 10
раз) меньше паспортного значения Rвх и на порядок больше значения Rвых. Таким образом, с
учетом параметров реальных операционных усилителей разных серий рекомендуемый диапазон
номиналов всех сопротивлений схемы составляет [1 кОм, 10 МОм].
C21 = 1 мкФ → R0 = 250 КОм
Итоговая схема:
b)
k = -2,5
Аналогичные рассуждения.
Получим, z10W10  const
z11W11  0
Так как входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, то входной ток
будет равен нулю, поэтому 𝑧10 - любой элемент. Примем его за проводник, z11 – провод (R11=0)
k
, подставим k
z0 
C 21
2 .5
z0 
C 21
C21 = 2.5 мкФ → R0 = 1 Мом
Итоговая схема
c) k=0.25
W2 s   ks
Эскизная схема:
5
k=0.25
Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам
S1 s   0.25s
S 2 s   0
S1 s   1 S 2 s 
0.25s  1
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и
𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
0.25s  W10  1  W20
Получаем, что W20 = 0.25s, W10 = 1
Операторная схема:
Для прямого входа:
W11z11 = W10z10
0.25s* z11 = z10
1
За z11 
примем конденсатор, так как при выборе конденсатора в уравнении сократится 𝑠 и
C11 s
схему нужно будет дополнить резистором, что является оптимальным решением.
0.25
z10 
C11
z10  R10 – резистор
0.25
R10 
C11
R10 = 1 МОм
С11 = 0.25 мкФ
Для инверсного входа:
z
W20  0
z 20
Подставим значение W20 = 0.25s
0.25s*z20 = z0
6
Примем за z 20 
1
C 20 s
конденсатор, тогда
z 0  R0
0.25
z0 
 R0
C 20
R0 = 1 МОм
С20 = 0.25 мкФ
Итоговая схема:
1.3. Полный набор частотных характеристик (7 штук)
Каждое из звеньев структурной схемы имеет следующие частотные характеристики:
1) Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) P   ReW  j 
2) Мнимая частотная характеристика (МЧХ) Q   ImW  j 
3) Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A   W  j   P 2    Q 2  
 Q  

4) Фазочастотная характеристика (ФЧХ)     arctg 
 P  
5) Годограф A(φ) или амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится как
параметрическая функция частоты по значениям пары {P(ω), Q(ω)}
6) Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) L   20 lg  A 
7) Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) Ф(ω) строится в логарифмическом
масштабе по оси частот и равномерном масштабе по оси фазового угла
Временные характеристики
1) Временные (импульсная w(t) , переходная h(t)) характеристики.
Для блока W2:
Этот блок имеет буквенный параметр в передаточной функции. Поэтому каждая частотная
характеристика будет строиться для трех значений параметра с разными модулями и знаками.
Передаточная функция: W2 s   ks
Частотные характеристики
а) k=-0.25, поэтому W2 s   0.25 * k
ВЧХ: P   ReW  j   0
МЧХ: Q   ImW  j   Im 0.25 * j   0.25 *
АЧХ: A   W  j   P2    Q2    0.25
 Q  
  arctg     90
ФЧХ:     arctg 


P



ЛАЧХ: L   20 lg  A   20 lg 0.25   12,04  20 lg  
b) k=0.25, поэтому W2 s   0.25 * k
ВЧХ: P   ReW  j   0
МЧХ: Q   ImW  j   Im2.5 * j   0.25 *
АЧХ: A   W  j   P 2    Q 2    0.25 *
7
 Q  
  arctg    90
ФЧХ:     arctg 
 P  
ЛАЧХ: L   20 lg  A   20 lg 0.25   12  20 lg  
c) k= -2.5, поэтому W2 s   2.5 * k
ВЧХ: P   ReW  j   0
МЧХ: Q   ImW  j   Im 2.5 * j   2.5 * 
АЧХ: A   W  j   P 2    Q 2    2.5
 Q  
  arctg     90
ФЧХ:     arctg 
 P  
ЛАЧХ: L   20 lg  A   20 lg  2.5   7,96  20 lg  
Временные характеристики
ℎ(𝑡)-переходная характеристика
𝑤(𝑡)-импульсная характеристика
𝑊2 (𝑠) = 𝐾𝑠
𝑊2 (𝑠)
ℎ(𝑡) = 𝐿−1 (
) = 𝐿−1 (𝐾) = 𝐾𝐿−1 (1)
𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
изображение 𝐹(𝑠) = 1
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡)
ℎ(𝑡) = 𝐾𝛿(𝑡)
𝑤(𝑡) = 𝐾𝛿′(𝑡)
ВЧХ
ВЧХ нулевой из-за отсутствия вещественной части передаточной функции. ВЧХ не зависит ни от
модуля, ни от знака параметра k.
МЧХ
8
С ростом модуля коэффициента K, происходит растяжение графика характеристики МЧХ по оси
Q.
Изменение знака коэффициента приводит к отражению графика МЧХ относительно оси ω.
АЧХ
Увеличение модуля К приводит к растяжению графика АЧХ по оси Q.
Знак коэффициента на АЧХ не влияет.
Годограф
Представление на 3 графиках для обеспечения большей наглядности.
Увеличение модуля K приводи к увеличению скорости движения точек по годографу и
уменьшению их плотности. График строится на ограниченном диапазоне частот, поэтому
годограф на графике ограничен. Годограф начинается в начале координат и стремится к ∞ при
К>0 и к -∞ при К<0 по оси ω.Изменение знака K отражает годограф от начала координат.
ФЧХ
9
Изменение знака K смещает характеристику ФЧХ на 180 градусов. Модуль коэффициента на ФЧХ
не влияет.
ЛАЧХ
Увеличение модуля К приводит к параллельному сдвигу характеристики ЛАЧХ вверх.
Знак коэффициента на ЛАЧХ не влияет.
ЛФЧХ
Изменение знака коэффициента сдвигает ЛФЧХ на 180 градусов. Модуль коэффициента на эту
характеристику не влияет.
Временные характеристики
10
Переходная h(t) характеристика
k= -2.5
k=0.25
k=-0.25
Увеличение модуля растягивает график характеристики по оси h.
Изменение знака коэффициента приводит к отражению переходной характеристики от оси
времени.
Импульсная w(t) характеристика
Увеличение модуля коэффициента К растягивает импульсную характеристику по оси w.
Изменение знака К отражает характеристику от оси времени.
K
Блок W3 (K) = s
2.1 Функциональное уравнение для блока W3:
k
W3 k  
s
k 2
2
W3 2  
s
2 y

s x
sy  2 x
dy
 2x
dt
y  2x

y t   2 x d алгебраическое уравнение.
0
11
2.2 Синтез схемы моделирования на ОУ
k
W3 s  
s
k=2
Эскизная схема
Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам
2
S 1 s  
s
S 2 s   0
S1 s   1 S 2 s 
2
1 0 
s
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и
𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
S1  W10  1  S 2  W20
2
 W10  1  W20
s
Получим
W10  1
2
W20 
s
Операторная схема
zijWij = const
Для прямого входа:
z11W11 = z10W10
W z
z11  10 10
W11
2
* z11  1 * z10
s
12
1
примем конденсатор , так как при выборе конденсатора в уравнении сократится 𝑠 и
C10 s
схему нужно будет дополнить резистором, что является оптимальным решением.
1
s
z11 
z10  z10
2
2
s
1
Выберем z10 
- конденсатор
C10 s
s 1
z11  
2 C10 s
1
z11 
 R11 - резистор
2C10
Для инверсного входа:
z
z 20  0
W20
1
Примем z 0 
- конденсатор, тогда
C0 s
z
s
z 20  0   z 0
2
2
s
s 1
1
; z 20 
z 20  
 R20
C0 * 2
2 C0 s
1
R20 
2C 0
1
R11 
2C10
C10 = 0.5 мкФ, C0 = 0.5 мкФ, R11 = 1 МОм, R20 = 1 МОм
Для того, чтобы реальный операционный усилитель можно было с достаточной точностью считать
идеальным, нужно выбирать сопротивления всех навесных резисторов хотя бы на порядок (в 10
раз) меньше паспортного значения Rвх и на порядок больше значения Rвых. Таким образом, с
учетом параметров реальных операционных усилителей разных серий рекомендуемый диапазон
номиналов всех сопротивлений схемы составляет [1 кОм, 10 МОм].
Итоговая схема.
За z10 
Частотные характеристики для W3:
k
Передаточная функция: W3 s  
s
2
k=2, поэтому W3 s  
s
ВЧХ: P   ReW  j   0
13
МЧХ: Q   ImW  j   Imk   
2

АЧХ: A   W  j   P 2    Q 2    2

ФЧХ:     arctg Q    arctg Q    arctg   90


 P  
 0 
2
ЛАЧХ: L   20 lg  A   20 lg    6  20 lg(  )
 
Временные характеристики
ℎ(𝑡)-переходная характеристика
𝑤(𝑡)-импульсная характеристика
𝑊3 (𝑠) =
2
𝑠
𝑊3 (𝑠)
2
1
) = 𝐿−1 ( 2 ) = 2𝐿−1 ( 𝑛 )
𝑠
𝑠
𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
1
изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑛
ℎ(𝑡) = 𝐿−1 (
𝑡 𝑛−1
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = (𝑛−1)! , где n=2
𝑡 2−1
= 2𝑡
(2 − 1)!
2
1
𝑤(𝑡) = 𝐿−1 (𝑊3 (𝑠)) = 𝐿−1 ( ) = 2𝐿−1 ( )
𝑠
𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
1
изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑛
ℎ(𝑡) = 2
𝑡 𝑛−1
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = (𝑛−1)! , где n=1
𝑤(𝑡) = 2
𝑡1−1
=2
(1 − 1)!
ВЧХ: P   ReW  j   0
МЧХ: Q   ImW  j   Imk   
2

14
АЧХ: A   W  j   P 2    Q 2    2

Годограф
A(φ) строится как параметрическая функция частоты по значениям пары {P(ω), Q(ω)}
ФЧХ:
 2
 Q  
 Q  
  arctg
    arctg
  arctg    arctg    90
 0 
 P  
 0 
15
2
ЛАЧХ: L   20 lg  A   20 lg   =6-20lg(  )
 
ЛФЧХ
Переходная h(t) характеристика
16
Импульсная w(t) характеристика
5
1  4s 2
3.1 Функциональное уравнение для блока W6:
K
W6 ( K , T ,  ) 
1  2Ts  T 2 s 2
k  5, T  2 ,  0
5
y
W6 (5,2,0) 

2
x
1  0  4s
5
y
W6 (5,2,0) 

1  4s 2 x
5
y

2
x
1  4s
5 x  1  4s 2 y
Блок W6 


5 x  y  4 ys 2
d2y
dt 2
5 x  y  4 y  - дифференциальное уравнение 2 порядка. Система имеет переходные процессы.
5x  y  4
17
2.2 Синтез схемы моделирования на ОУ
Для блока W6:
𝑊6 (𝑠) =
5
1 + 4𝑠 2
Эскизная схема
Вычислим суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам
5
𝑆1 (𝑠) =
1 + 4𝑠 2
𝑆2 (𝑠) = 0
𝑆2 (𝑠) + 1 = 1
5
≠1
1 + 4𝑠 2
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции 𝑊10 (𝑠) и
𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠)
Получим
5
+ 𝑊10 (𝑠) = 1 + 𝑊20 (𝑠)
1 + 4𝑠 2
Возьмем
20 * s 2
20 * s 2
- годится, т.к все коэффициенты >0
5

1 4* s2 1 4* s2
20𝑠2
𝑊10 (𝑠) = 1+4𝑠2 , тогда
𝑊20 (𝑠) = 4
5
20𝑠 2
5(1 + 4𝑠 2 )
1 + 𝑊20 (𝑠) =
+
=
=5
1 + 4𝑠 2 1 + 4𝑠 2
1 + 4𝑠 2
5=5
Операторная схема
Для прямого входа:
5
20𝑠 2
𝑧 (𝑠) =
𝑧 (𝑠) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
1 + 4𝑠 2 11
1 + 4𝑠 2 10
18
За 𝑧10 = С
1
10 𝑆
𝑧11 = 4𝑠 2 𝑧10
примем конденсатор, чтобы уменьшить степень s. Это позволит дополнить схему
индуктивностью, что является оптимальным решением.
4𝑠 2
4𝑠
𝑧11 =
=
С10 𝑠 С10
4
𝑧11 – индуктивность , L11 
С10
Если С10  1мкФ , то L11  4МГн
Для инверсного входа:
4𝑧20 (𝑠) = 𝑧0 (𝑠)
1
𝑧20 = 𝑧0
4
Пусть 𝑧0 = 𝑅0 - резистор с сопротивлением 𝑅0 , тогда
1
𝑧20 = 𝑅0
4
Если 𝑅0 = 4 кОм, то 𝑅20 = 1 кОм
Итоговая схема
Частотные характеристики для W6
K
Передаточная функция: W6 (K, T, ξ) = 1+2ξTs+T2 s2
k = 5, T=2,   0 поэтому W6 s  
5
1  4s 2
ВЧХ: P  
5
1  4 2
МЧХ: Q   0
АЧХ: A   P 2    Q 2   
5
1  4 2
 5 
ФЧХ:     arg W  j   arctg 
2 
 1  4 
 Q  
  (0, если w <1/T и pi, если w >1/T)
ЛФЧХ :     arctg 
 P  
5
ЛАЧХ :𝐿(𝜔) = 20𝑙𝑔 (1+4𝜔2)
Временные характеристики 𝑾𝟔
ℎ(𝑡)-переходная характеристика
𝑤(𝑡)-импульсная характеристика
𝑊6 (𝑠) =
5
1 + 4𝑠 2
19
𝑊6 (𝑠)
5
𝑠
) = 𝐿−1 (
) = 5𝐿−1 (
)
2
1
𝑠
1
+
4𝑠
𝑠 + 4𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
𝑠
изображение 𝐹(𝑠) = 1+2ξTs+T2𝑠2
ℎ(𝑡) = 𝐿−1 (
1
𝜔
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = − 𝜔𝑇 3 𝑒 −𝛽𝑡 sin(𝜔𝑡 − 𝜑), где 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝛽 ), 𝛽𝑇 = 𝜉, 𝑇 = 2, 𝜉 = 0
𝜉 0
= =0
𝑇 2
𝜔
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 90
0
1
ℎ(𝑡) = −
sin(𝜔𝑡 − 90)
8𝜔
5
1
𝑤(𝑡) = 𝐿−1 (𝑊6 (𝑠)) = 𝐿−1 (
) = 5𝐿−1 (
)
2
1 + 4𝑠
1 + 4𝑠 2
По таблице обратного преобразования Лапласа,
1
изображение 𝐹(𝑠) = 1+2ξTs+T2𝑠2
𝛽=
1
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = 𝜔𝑇 2 𝑒 −𝛽𝑡 sin(𝜔𝑡) , где 𝛽𝑇 = 𝜉, 𝑇 = 2, 𝜉 = 0
𝜉 0
𝛽= = =0
𝑇 2
1
𝑤(𝑡) =
sin(𝜔𝑡)
4𝜔
ВЧХ: P  
5
1  4 2
МЧХ: Q   0
20
АЧХ: A   P 2    Q 2   
5
1  4 2
Годограф
ФЧХ:
ЛАЧХ: L   20 lg  A   20 lg 
5 
2 
 1  4 
21
ЛФЧХ
Переходная h(t) характеристика
Импульсная w(t) характеристика
22
2. Получение передаточной функции разомкнутой системы Wр(s)
W s  
y
x
e1 = x – W3e2
e2 = W2e1 – y
y = e1W2W6 + e2W3
e2 = W2(x – W3e2) – (x – W3e2)W2W6 – e2W3
e2 = W2x – W2W3e2 – W2W6x + W2W6W3e2 – W3e2
e2 (1 + W2W3 – W2W6W3 + W3) = x (W2 – W2W6)
W2  W2W6
e2 
x
1  W2W3  W2W6W3  W3
Подставим полученное значение в первое уравнение системы:
W2W3  W2W6W3
1  W2W3  W2W6W3  W3  W2W3  W2W6W3
e1  x  W3 e2  x 
x
x
1  W2W3  W2W6W3  W3
1  W2W3  W2W6W3  W3
1  W3
=
x
1  W2W3  W2W6W3  W3
W W  W2W6W3  W2W3  W2W6W3
W2W6  W2W3
y  W2W6 e1  W3 e2  2 6
x
x
1  W2W3  W2W6W3  W3
1  W2W3  W2W6W3  W3
5
2
, W3 2  
W2 k   ks , W6 5,2,0 
2
s
1  4s
5
2
ks * (
)  ks *
2
W2W6  W2W3
y
5
1  4s
W р s   


2
5
2 2
x 1  W2W3  W2W6W3  W3
1  ks *  ks * (
)* 
5
1  4s 2 5 s
5ks
5ks  2k (1  4s 2 )
 2k
1  4s 2
1  4s 2



2 * 5 * k 2 (1  2k )( s (1  4s 2 ))  10ks  2(1  4s 2 )
1  2k 

1  4s 2 s
s (1  4s 2 )
(5ks  2k (1  4s 2 )) s (1  4s 2 )
5ks2  2ks(1  4s 2 )



(1  4s 2 )((1  2k )( s  4s 3 )  10ks  2  8s 2 ) s  4s 3  2ks  8ks3  10ks  2  8s 2

5ks2  2ks(1  4s 2 )
5ks2  2ks  8ks3

8ks3  4s 3  8s 2  8ks  s  2 s 3 (8k  4)  8s 2  s(1  8k )  2
Подставив k=-0.25, получим:
8s 3  5s 2  2 s
W р s    3
8s  32s 2  12s  8
Проверка с помощью MathCAD:
23
Ответы, полученные с помощью MathCAD и вручную, одинаковы
24