На тему «Движение в центральном симметричном поле

Реферат
На тему «Движение в центральном симметричном поле»
Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001
Немного теории.
Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы
является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r).
Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и
направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра
поля.
Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему,
тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять
момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей
на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой
dL
точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению
 K отсюда следует,
dt
что L = const.
dL
(где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение
K
dt
получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем
dL d
dr
dp
 [ rp]  [ p]  [ r
].
dt dt
dt
dt
dr
- есть скорость V частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен
dt
нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во
dp
втором члене производная
- есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким
dt
Так как
образом,
dL
 [ rF ] .)
dt
Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из
постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен
оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L.
Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам,
лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.
Данное уравнение можно записать в виде:
ds
[ rds]
]m
,
dt
dt
L  m[ rv ]  m[ r
L
0
A’
r
ds
A
где ds - вектор перемещения материальной
точки за время dt. Величина векторного
произведешь двух векторов геометрически
представляет собой лощадь построенного на них
параллелограмма. Площадь же параллелограмма,
построенного на векторах ds и r, есть удвоенная
площадь бесконечно узкого сектора OAA’ ,
описанного радиусом-вектором движущейся
точки за время dt. Обозначив эту площадь через
dS, можно записать величину момента в виде
L  2m
dS
.
dt
Величина
dS
называется секториальной скоростью.
dt
Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней
сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом
материальных точек - так называемая задача двух тел.
Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой
системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:
m1v1+m2v2=0,
где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц
v = v1-v2.
Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы
v1 
m2
m1
v , v2  
v,
m1  m 2
m1  m 2
выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость.
Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим
m1v 12 m 2v 22
E

 U (r ),
2
2
где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного
расстояния r. После простого приведения членов получим
mv2
E
 U (r ) ,
2
где m обозначает величину
m
m1 m 2
,
m1  m 2
называемую приведенной массой частиц.
Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы
dr
в центральном внешнем поле с
dt
потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к
задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.
одна частица с массой m двигалась со скоростью v 
Постановка задачи.
Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.
mv 2
E
 U (r ) , представим
2
v (скорость) в полярных координатах
Рассмотрим треугольник ABD:
ds~AB, следовательно
ds
2
 dr  r
2
2
d
2
2
v  ds  r  r 
dt
2
2
2
2
2
,
откуда получаем
m r m r 
E  U (r ) 

2
2
2
2
Выразим r 
dr

dt
2
E  U (r )  r 2 2  [ L  mr 2 ] 
m
dt 
2
2
2
E  U (r )  L2 2
m
mr
dr
2
L2
E  U ( r )   2 2
m
mr
Осталось выразить характер траектории
L  mr 2
d
L

dt
mr 2
Ldt
d 
mr 2
Подставим выражение (*) в (**)
(**)
(*)
Ldr
d 
mr 2
2
L2
E  U ( r )   2 2
m
mr
Проинтегрируем
Ldr

c
2
L2
E  U ( r )   2 2
mr
m
mr
Ldr

c
L2
2
r 2 m E  U ( r )   2
r
Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном
симметричном поле.
2
Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.

qq
U ( r )   , где    1 2
r
40
 
d
L
r

L2

2m E    2
r r

c
Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену a 
 
 
 
da

2ma
2
2mE 
a
L
a  2

2m E 
a
L 

da
 
2ma m 2  2
m2  2
2
2mE  (a 
 2 ) 2
L
L
L
Сделаем замену
тогда
da
m
b
,
L
da  db
a
L
r
da
(2mE 
m2  2
m 2
)  (a 
)
2
L
L
  
db
(2mE 
m2  2
)  b2
2
L
Далее применим формулу
   arcsin

dx
a x
2
2
 arcsin
x
a
L2
L m
1

b
rm
r
L
 arccos
 arccos
m2  2
m 2  2 2mEL2
2 EL2
(2mE  2 )
(

1
)
1
L
L2
m2  2
m 2
В итоге получаем
P
1
  arccos r
e
где e 
,
2 EL2
L2

1
;
P

m 2
m
P
 1  e cos 
r
p  r (1  e cos )
P
r
1  e cos 
Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.
При e >1 – гипербола;
e =1 – парабола;
0< e <1 – эллипс;
e =0 – окружность;
Литература:
1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и
молекулярная физика» Москва 1965 г.
2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.