Фомина Людмила Михайловна Г.Когалым, ХМАО-Югра, МБОУ «Средняя школа № 5».

Фомина Людмила Михайловна
Г.Когалым, ХМАО-Югра,
МБОУ «Средняя школа № 5».
Усвоение понятий экстремума, наибольшего и наименьшего значений функции
Для усвоения данных понятий прежде всего надо сформировать у учащихся верные
знания об экстремумах. К сожалению, во всех школьных учебниках по алгебре и началам
анализа (в том числе и для школ с углублённым изучением математики) рассматриваются
экстремумы лишь непрерывных функций. Но существуют и экстремумы разрывных
функций, в том числе с разрывом в точке экстремума, поэтому полезно предлагать
учащимся такие упражнения:
1.Укажите все точки максимума и минимума функций, графики которых заданы на
рис.1.
2. Постройте график функции, у которой имеется минимум, больший максимума.
При выполнении последних упражнений учащиеся лучше усваивают локальный
смысл экстремума и определения максимума и минимума.
Существенно, чтобы учащиеся отличали экстремумы от наибольшего и наименьшего
значений функции.
3. Приведите пример функции, у которой наибольшее значение на некотором
промежутке области определения не является максимумом.
4. Приведите пример функции, для которой её максимум не является наибольшим
значением в области определения. Укажите интервал, в котором он является наибольшим
значением.
5. Может ли функция иметь: а) два различных максимума; б) два различных
наибольших в своей области определения значения; в) одно наибольшее значение,
принимаемое в различных точках? Приведите графические примеры.
Следующий шаг - изучение сочетаний различных свойств функций со свойством
"иметь экстремум".
6. Пусть нечётная функция f имеет в точке х=а максимум. Имеет ли она в точке х=-а
экстремум и какой?
7. Может ли иметь чётное число экстремумов: а) чётная функция;
функция? Приведите примеры, можно графические.
б) нечётная
8. Приведите пример функции, которая: а) непрерывна на (а;b), но не ограничена в
этом интервале; б) непрерывна и ограничена на интервале (а;b), но не имеет на нём
наибольшего и наименьшего значений;
в) определена на (а;b), но не имеет на нём
наибольшего и наименьшего значений.
9. Постройте график функции, непрерывной на отрезке [0;3], принимающей
наибольшее значение в трёх точках и минимум в двух точках указанного отрезка.
Возможно ли это?
10. Постройте график функции, непрерывной на отрезке [0;3], принимающей
наибольшее значение в двух точках, минимум в одной точке данного отрезка и не
имеющей на нём наименьшего значения. Возможно ли это?
11. а) Может ли функция, возрастающая на каждом из промежутков [-∞ ;0] и [0;+∞],
иметь экстремум в точке х=0? (см. Рис.2а,б). б) Может ли функция, возрастающая на
(-∞ ;0) и убывающая на (0;+∞), не иметь в точке, х = 0 максимума? (см. рис. 2 б,в). в)
Может ли функция, возрастающая на (-∞ ;0) и убывающая на (0;+∞), иметь в точке х=0
минимум? (см. рис.3).
12. Верно ли, что если функция имеет максимум, то она необратима? (см. рис.4).
13.Приведите пример обратимой функции, определённой на [0;1] и имеющей две точки
экстремума.
14.Докажите, что непрерывная обратимая функция не может иметь экстремумов.
15.Пусть 𝑓 ′ (х) > 0 при х<х0 и 𝑓 ′ (х) < 0 при х >х0. Верно ли утверждать, что в точке х0
функция f имеет максимум?
16. Приведите пример функции, дифференцируемой на ]0;1[ и имеющей на нём
бесконечное множество точек экстремума.
17. Начертите графики функций, определённых и непрерывных на множестве R и
имеющих ровно: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 10; е) бесконечно много точек экстремума.
18. Может ли нечётная функция иметь ровно две противоположного знака точки
максимума?