Пример 1 - Natalymath.ru

1
Вариант № 17.
Содержание:
1. Установить чётность (нечётность) функции f (x)  x  2
2. Найти пределы:
1  cos 5x
sin 3x  sin x
; б) lim
; в) lim  arcsin x  ctg x 
а) lim
x

0
x 0
x 0
1  cos 3x
ln(x  1)
3. Найти производные функций:
1
2
1
а) y  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x
3
5
7
б) y  0, 5  x    x 2  2x      2  ln x    x 2  2x   




в) y  arctg
3x  x 3
1  3x 2
4. Исследовать функцию и построить график: y  ln
x
x 1
5. Найти интегралы:
а)  x 3 1  2x 4  dx ;
3
в) 
б)  sin xdx ;
ln 5
6. Вычислить интеграл
 xe
x
dx
x2  x  1
;
г) 
ln x
dx
x3
dx
0
7.

Решить уравнения: а) y  sin x  y cos x  1; y    0 ;
2
б) y 
y
y
 3z
8. z  cos  ax  e  . Найти
xy2
2.1. Составить уравнение гиперболы, если её эксцентриситет равен 2 и фокусы
x 2 y2
совпадают с фокусами эллипса

1
25 9
2x1  x 2  x 3  5

2.2. Решить систему уравнений  x1  2x 2  2x 3  5
7x  x  x  10
 1
2
3
 1 1 3
2.3. Найти характеристич. числа и собственные векторы матрицы  1 5 1 


 3 1 1


3.1. В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Вынимают подряд 4 шара, возвращая
каждый раз вынутый шар в урну и перемешивая в ней шары. Какова вероятность
того, что среди 4-х вынутых шаров окажется 2 белых?
y
3.2. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервалы
(1; 2,5) и (2,5; 3,5), если случайная величина X задана функцией распределения
0, если x < 2,


2
F  x  =  x - 2 , если 2  x < 3

1, если x > 3

3.3. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить сверху вероятность того, что частота
появления герба от вероятности его появления отклонится меньше, чем на 0,1.
2
1. Установить чётность (нечётность) функции f (x)  x  2 .
Функция называется чётной, если для любых значений Х из области определения
) нечётной, если f (  x)  f (x) . График
функции выполняется равенство f ( x ) f ( x, и
чётной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия), а график
нечётной
функции
симметричен
относительно
начала
координат
(центральная
симметрия).
f (x)  x  2  x  2  f (x)
Функция является чётной, её график симметричен относительно оси ОУ.
y
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
2. Найти пределы.
3x  x
3x  x
2 sin
 cos
sin 3x  sin x  0 
2
2  lim 2 sin x  cos 2x  2 lim cos 2x 
а) lim
    lim
x 0
x 0
x 0
ln(x  1)
ln(x  1)
ln(x  1)
 0  x 0
sin x
x
1
2
2
2
 lim
 lim
 2  1  1  lim



2
1
1
x 0
x

0
x

0
1
x
ln(x  1)
ln
e
ln(x  1) lim ln(x  1) x ln lim(1  x) x
1 й
x 0
x 0
x
замечательный
предел
2й
замечательный
предел
3
2
2
2
1  cos 5x  0 
2 sin 2 2, 5x
 sin 2, 5x 
 1, 5x   2, 5 
б) lim
    lim
 lim 
 lim 

 
 
2
x  0 1  cos 3x
x

0
x

0
x

0
2 sin 1, 5x
0
 2, 5x 
 sin1, 5x   1, 5 
2
25
7
5
 1 1    
 2  2, 778
9
9
 3
2
2
arcsin x  0 
 
tg x
0
Далее применим правило Лопиталя:
f (x)
f (x)
пусть lim f (x)  lim g(x)  0 (или ). Тогда lim
 lim
x a
x a
x  a g(x)
x  a g (x)
1

2
 arcsin x 
arcsin x
1
lim
 lim
 lim 1  x   1
x 0
x 0
x 0
1
tg x
1
 tg x 
2
cos x
в) lim  arcsin x  ctg x    0     lim
x 0
x 0
3. Найти производные функций.
1
2
1
а) y  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x
3
5
7
1
1
2
1
1
1
y   3sin 2 x  cos x 
  5sin 4 x  cos x 
  7 sin 6 x  cos x 

3
2 x 5
2 x 7
2 x

cos x
cos x  sin 2 x
 sin 2 x  2 sin 4 x  sin 6 x 
1  2 sin 2 x  sin 4 x 
2 x
2 x

cos x  sin 2 x
1  sin 2 x
2 x




2



cos5 x  sin 2 x
2 x


б) y  0, 5  x    x 2  2x       2  ln x    x 2  2x   


2x  2


1


2
2 x  2x   
2x  2
y  0, 5  x 2  2x     x    
    2  


2 x 2  2x  
x    x 2  2x   




 2
2
x  2x     x   
x 2  2x    x  
2

 0, 5
     

x 2  2x  
x 2  2x   x    x 2  2x  







 2x 2  4x    2

  2
2x 2  4x  2
x 2  2x  
 0, 5 

 0, 5 



x 2  2x  
x 2  2x   
x 2  2x  
x 2  2x  

 x 2  2x  
4
в) y  arctg
y 
3x  x 3
1  3x 2
 3x  x 3 
1 
2 
 1  3x 
 3  3x   1  3x    3x  x   6x   3  3x  9x  9x  18x  6x

1  3x 
1  3x    3x  x 
2
1
2
2
3
2
2 2
2
4
2
2 2
3 2
4

3  x 4  2x 2  1
3  x 2  1
3x 4  6x 2  3
3

 6

 2
3
2
4
2
4
6
4
2
1  6x  9x  9x  6x  x
x  3x  3x  1  x 2  1
x 1
2
4. Исследовать функцию и построить график:
y  ln
x
x 1
● Область определения.
Так как должно выполняться неравенство
x
 0, то
x 1
D(y)  ( ; 0)  (1; )
● Точки пересечения с осями координат.
С осью ОУ не пересекается, т.к. х ≠ 0.
С осью ОХ:
у = 0, если
x
 1; x  x  1; 0  1. Равенство ложное, поэтому с осью ОХ график функции
x 1
также не пересекается.
● Асимптоты (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
x
  ; x  0  горизонтальная асимптота.
x  00
x 1
x
lim ln
  ; x  1  горизонтальная асимптота.
x  1 0
x 1
x
1
lim ln
 lim ln
 ln1  0 ; y  0  вертикальная асимптота
x 
x  1 x  1  1
x
f (x)
Наклонные асимптоты : y  kx  b, где k  lim
; b  lim f (x)  kx 
x  x
x 
x  0
1
k  lim  ln
     0; наклонных асимптот нет
x  x
x 1   

lim ln
●Стационарные точки.
x 
1
x 1 x
1

 1
y   ln


   ln x  ln  x  1   
x x  1 x  x  1 x 1  x 
 x 1
y  0, стационарных точек нет.
5
● Точки, в которых может быть перегиб.
2
  x  1  x 2 x 2  2x  1  x 2
1
1 
1
1
2x  1

y   


 2
  2 
2
2
2
2
2
2
x
 x x 1
x  x  1
x  x  1
x  x  1
 x  1
y  0, если x  0, 5.
Эта точка не входит в область определения функциии, поэтому точек перегиба нет.
● Знаки первой и второй производных.
y  0 на всей области определения, функция убывает.
 ; 0 
1;  
y  0 на
y  0 на
функция вогнутая
функция выпуклая
 ;
 .
● Строим график функции.
y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
x
6
5. Найти интегралы.
а)  x 3 1  2x 4  dx  
3
3
3
1
1
1
8x 3 1  2x 4  dx    1  2x 4  d 1  2x 4     t 3dt 


8
8
8
4
1 t4
1
    C   1  2x 4   C
8 4
32
Проверка :
1
1
 1

4 4
4 3
4 
4 3
3
3
4 3

1

2x

C



    4 1  2x  1  2x     1  2x   8x   x 1  2x 
32
8
 32

б)  sin xdx
x  t, x  t 2 , dx  2tdt.
Заменим переменную :
 sin
xdx   sin t 2tdt  2  t  sin tdt
Далее используем формулу интегрирования по частям :


 udv  uv   vdu


2  t  sin tdt  2 t    cos t      cos t  dt  2t cos t  2 sin t  C  2 sin x  x cos x  C
Проверка :
2 sin

 

1
1
1

x  x cos x  C  2  cos x 

 cos x  x   sin x 
2 x 2 x
2 x








1
cos x  cos x  x  sin x  sin x
x
в) 
dx
x  x 1
2

dx
x  2  0, 5x  0, 25  1, 25
2
 x  0, 5
 ln t  t 2  1, 25  C  ln x  0, 5 

2
d(x  0, 5)
 x  0, 5
2
 1, 25

dt
t  1, 25
2

 1, 25  C  ln x  0, 5  x 2  x  1  C
Проверка :

ln x  0, 5  x 2  x  1  C

г) 


x  0, 5 

 
x  0, 5  x 2  x  1
x 2  x  1  x  0, 5

x 2  x  1 x  0, 5  x 2  x  1


ln x
dx
 1
dx   ln x  3  ln x    2
3
x
x
 2x
U
U
dV
x2  x  1
V
1
2x  1
2 x2  x  1 
x  0, 5  x 2  x  1
1
x2  x  1

 1
    2

 2x
V
ln x 1 dx
ln x
1
 dx
 2   3  2  2 C

2x
2 x
2x
4x
 x
dU
2 ln x  1
C
4x 2
Проверка :

1
2 ln x  1 2 ln x ln x
2 1
 2 ln x  1

 1 


C

 3

     2   2 ln x  1    3     3 
2
4x
2x
2x 3
2x 3
x


 2x  
 x 4x
7
6. Вычислить интеграл:
ln 5
 xe
x
dx
0
Формула вычисления определённого интеграла (формула Ньютона – Лейбница):
b
 f (x)  F(x)
 F(b)  F(a) , где F(x) – первообразная функции f(x).
b
a
a
Формула вычисления определённого интеграла по частям:
b
b
 udv  uv a  vdu
b
a
a
ln 5
ln 5

0 U

ln 5
x e  x dx  x   e  x 
dV

U
V
  e   dx  xe
0
0
x
x
dU
 e  x 
ln 5
0
  e  x (x  1) 
ln 5
0

1
 ln 5  1  1 
5
V
4  ln 5
 0, 478
5
7. Решить уравнения.

а) y sin x  y cos x  1; y    0
2
cos x
1
y  y 

sin x sin x
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом
Бернулли.
Представим y в виде произведения двух неизвестных функций от х: у = u(x)v(x).
y  u v  uv 
Тогда
1
sin x
1
u v  u  v   v  ctgx  
sin x
u v  uv   uv  ctgx 
Приравняем скобку нулю : v   v  ctgx  0
Найдём частное решение уравнения при С  0 :
dv
dv
dv
 v  ctgx ;
 ctgx dx ; 
 ctgx dx ; ln v  ln sin x
dx
v
v 
1
1
dx
u   sin x 
; u 
; u   2  ctgx  C
2
sin x
sin x
sin x
Отсюда
y   ctgx  C  sin x  С sin x  cos x

; y 0  0, то 0  C  1  0; C  0.
2
Частное решение уравнения : y   cos x
Если
x0 
; v  sin x
8
б)y 
y
y
Уравнение не содержит независимой переменной х. Понизим порядок уравнения,
применив подстановку у  t(y). Тогда
y  t (y)  y  t   t
После подстановки получим уравнение:
t  t 
t 
t
y
1
y
 dt  
dy
y
t  2 y  C1
y  2 y  C1
dy
 2 y  C1
dx
dy
 dx
2 y  C1
2
dy
  dx
y  C1
Пусть
y  z, y  z 2 , dy  2z dz

C1 
C1
dy
2z dz

  1 
dz  z  ln 2z  C1  C 2 
2z  C1
2z  C1 
2
y  C1

C
 y  1 ln 2 y  C1  C2  x
2
C
x  y  1 ln 2 y  C1  C2  общее решение.
2
2
8) z  cos  ax  e y  . Найти
 3z
xy2
z
 a sin  ax  e y 
x
2z
 a cos  ax  e y   e y
xy
 3z
 a  sin  ax  e y  e y e y  cos  ax  e y   e y  ae y e y sin  ax  e y   cos  ax  e y 
xy 2




9
2.1. Составить уравнение гиперболы, если её эксцентриситет равен 2 и фокусы
совпадают с фокусами эллипса
x 2 y2

1
25 9
Фокусы эллипса: F1  c;0 , F2  c;0  , где c  a 2  b2
c  25  9  16  4
Фокусы гиперболы: F1  c;0 , F2  c;0  , где c  a 2  b2
a 2  b2  4
a 2  b2  16
b  16  a 2
Эксцентриситет гиперболы

с 4
 2
a a
Отсюда a  2, b  16  2 2  12  2 3
Уравнение гиперболы :
x 2 y2

1
4 12
y
8
6
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
x
10
2.2. Решить систему уравнений
2x1  x 2  x 3  5

 x1  2x 2  2x 3  5
7x  x  x  10
 1
2
3
Преобразуем матрицу системы уравнений:
 2 1 1 5 
 1 2 2 5  2  S
1


 7 1 1 10  S
1


 2 1 1 5  0, 4  S2
 5 0 0 5 : 5


 5 0 0 5  S
2


Получаем равносильную систему
 0 1 1 3 
1 0 0 1


0 0 0 0


уравнений :
x 2  x 3  3 x 3  x 2  3


 x1  1
 x1  1
Система
например,
имеет бесчисленное множество решений : 1; C; C  3 ,
1; 2;  1 , 1; 3; 0 
2.3. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы
 1 1 3
1 5 1


 3 1 1


Составим характеристическое уравнение:
1 
1
3
1
5
1 0
3
1
1 
1   5   1     3  3  9 5     1     1     0
1    5  6   2  2   6  45  9  0
3  3  6  6 2   2   3  39  9  0
36  7 2   3  0
 3  7 2  36  0
Очевидно, что 1  2, так как
 2 
3
 7  2   36  8  28  36  0
2
11

 3  7 2  36
2
 3  2 2
 2  9  18

 9 2  36
9 2  18
18  36

18  36
0
 3  7 2  36     2    2  9  18      2     6    3
 2  6,  3  3.
Найдём собственный вектор, отвечающий собственному значению 1  2 .
3 1 3 0
1 7 1 0


3 1 3 0


x 2  0

 x1   x 3
 0 20 0 0 
1 7 1 0


 0 20 0 0 


0 1 0 0
1 7 1 0


0 0 0 0


0 1 0 0
1 0 1 0


0 0 0 0


X1   C1 ; 0;  C1 
Найдём собственный вектор, отвечающий собственному значению  2  6 .
 5 1 3 0 
 1 1 1 0 


 3 1 5 0 


 x 2  2x1

 x 3  x1
3 0
 5 1
 4 0
4 0 

 8 0 8 0 


 5 1 3 0 
 1 0 1 0 


 0 0 0 0


 2 1 0 0 
 1 0 1 0 


 0 0 0 0


X 2   C2 ; 2C2 ; C2 
Найдём собственный вектор, отвечающий собственному значению  3  3 .
 2 1 3 0 
 1 2 1 0


 3 1 2 0 


x 2  x 3

 x1  x 3
X 3   C3 ;  C3 ; C3 
 2 1 3 0 
 5 0 5 0 


 5 0 5 0 


0 1 1 0
 1 0 1 0 


0 0 0 0


12
3.1. В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Вынимают подряд 4 шара, возвращая
каждый раз вынутый шар в урну и перемешивая в ней шары. Какова вероятность
того, что среди 4-х вынутых шаров окажется 2 белых?
Так как извлечённый шар возвращается каждый раз в урну, то вероятность
извлечения белого шара остаётся постоянной: р = 20/30 = 2/3, и результат каждого
испытания не зависит от результата предыдущего, т.е. проводимые испытания
независимы. Требуемую вероятность определим по формуле Бернулли:
Pn  m   Cnm  pm  q n m 
n!
 pm  q n m
m!  n  m  !
4!  2 
P4  2   C  p  q 
 
2!2!  3 
2
4
2
2
2
3 4 4 1 8
1
  
  
1  2 9 9 27
 3
2
3.2. Случайная величина X задана функцией распределения
0, если x  2,


2
F  x    x  2  , если 2  x  3

1, если x  3

Вычислить вероятность попадания случайной величины X
в интервалы (1; 2,5) и
(2,5; 3,5).
Вероятность попадания случайной величины X в интервал (α; β) находится по
формуле P    X     F    F   ,
где F(x) – функция распределения этой случайной
величины.
P (1 < X < 2,5) = F (2,5) – F (1) = 0,25 – 0 = 0,25
P (2,5 < X < 3,5) = F (3,5) – F (2,5) = 1 – 0,25 = 0,075
3.3. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить сверху вероятность того, что частота
появления герба от вероятности его появления отклонится меньше, чем на 0,1.
Воспользуемся теоремой Бернулли. Она устанавливает, что при неограниченном
увеличении количества испытаний частота случайного события сходится по вероятности к
вероятности события, причём, если вероятность события от испытания к испытанию не
изменяется, то
pq
m

P  p    1 2
n
 n

0, 5  0, 5
0, 25
 m

P
 p  0,1   1 
1
 0, 975
2
1000  0,1
10
 1000
