Тема: «Основные понятия комбинаторики. Правила суммы и произведения. Бином Ньютона» Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. Например: Пароль на кодовом замке двери подъезда состоит из трех цифр от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций. Для определения количества комбинаций применяются следующие виды комбинаций: 1. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок: (произносится как n факториал, то есть это произведение чисел от 1 до n). Пример 1 . Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом? Решение Каждый способ рассадки отличается только порядком рассадки. Вариант 1 Гость 1 Вариант 2 Гость 2 Гость 3 Гость 4 Гость 5 Гость 5 Гость 2 Гость 3 Гость 4 Гость 1 Гость 3 Гость 2 Гость 5 Гость 4 Вариант 3 Гость 1 И так далее …. Количество способов рассадки гостей: способов 2. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо их порядком. Число всех возможных размещений Anm n! n m! Пример 2 . Сколькими способами из группы, в которой учатся 20 студентов, можно выбрать старосту группы и его заместителя? Решение Количество комбинаций: способов 3. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний: C nm n! m!(n m)! Пример 3. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из группы 17 студентов. Решение: Отличие решения данной задачи от предыдущей в том, что порядок элементов в выбранной комбинации не важен, то есть у обоих выбранных студентов одинаковые обязанности дежурных. В предыдущей задачи обязанности выбранных студентов различны: один староста, а другой его заместитель. Поэтому в первом случае используются размещения, где имеет значение не только состав элементов, но и их порядок. Во втором случае сочетания, где имеет значения только состав элементов. Искомое число способов: способов. Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение положительном целом n в виде многочлена: при Сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n. Пример: Числа коэффициентами. называются биномиальными Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля: Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение: мы можем получить результат моментально, используя таблицу: Правило произведения. Пусть объект А можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами. Тогда выбор пары (A,B) можно осуществить nm способами. Правило суммы. Пусть некоторый объект A можно выбрать n различными способами, а другой объект B можно выбрать m способами. Тогда существует (n+m) способов выбрать либо объект A , либо объект B . Однако при использовании правила суммы в данной формулировке необходимо следить за тем, чтобы ни один из способов выбора первого элемента не совпал с каким-либо способом выбора второго элемента (если такое совпадение имеется, то правило суммы нельзя применять, так как число способов выбора будет равно n + m − k, где k — число совпадений). Решение задач Задача 1. В соревнованиях участвовало 6 команд. Сколько вариантов распределения трех призовых мест между ними возможно? Решение Поскольку в выбранных комбинациях важен порядок элементов, то есть, вам же важно, первое вы место заняли или третье. Поэтому необходимо использовать вид комбинаций – размещения. способов Задача 2. Имеется набор из 8 видов овощей, сколько различных салатов из них можно приготовить, если для каждого использовать набор из 3 различных овощей. Решение Поскольку в выбранных комбинациях не важен порядок элементов, то есть нарезанные овощи будут перемешаны, и тогда в каком порядке вы их нарезали, совершенно неважно. Поэтому необходимо использовать вид комбинаций – сочетания. видов салатов. Домашнее задание: 1. Вычислить: 1. 2. ; 3. . 2. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.
