Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования
«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»
(Финуниверситет)
Калужский филиал Финуниверситета
Кафедра «Бизнес-информатика и высшая математика»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Математика»
Вариант «3»
Выполнили студентки 1 курса,
группы 1ЭББ1, формы обучения
очной
Прохорова Елизавета Дмитриевна
Чепелева Софья Андреевна
Проверил преподаватель:
Дробышев Юрий Александрович профессор кафедры «Бизнес-информатика
и высшая математика», д.пед.н.,
профессор
Дата поступления работы на кафедру:
Оценка:
________________ _____________
(зачтено/не зачтено)
подпись преподавателя
___ _____________ 2024 г.
____ ____________2024г.
Калуга 2024
Вариант №3 Прохорова Елизавета, Чепелева Софья номер группы 1эбб1
1) Найдем приближающую функцию в виде линейной функции f(x, a, b) =
a∙x + b.
По заданной таблице значений xi и yi составим точечный график.
Методом наименьших квадратов найдем и уточним приближающую функцию
в виде линейной функции f(x, a, b) = a∙x + b.
S(a,b)=∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)2
𝑛
𝑛
𝑆`𝑎 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)`𝑎 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(−𝑥𝑖 ) = 0
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑆`𝑏 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)`𝑏 = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏) = 0
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
{
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏𝑛 = ∑ 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=1
Составим таблицу для нахождения суммы слагаемых:
Подставим полученные значения в систему:
𝑎 ∗ 125,9282 + 𝑏 ∗ 34,58 = 2590,836
{
𝑎 ∗ 34,58 + 𝑏 ∗ 10 = 740,26
Выразим а через b и посчитаем их значения:
2590,836 − 𝑎 ∗ 125,9282
∗ 10 = 740,26
34,58
2590,836 − 𝑎 ∗ 125,9282
𝑏=
34,58
𝑎 ∗ 34,58 +
{
С помощью Exсel посчитаем значения:
𝑎 = 4,884
{
𝑏 = 57,134
Таким образом уравнение y=ax+b имеет вид: y=4,884x+57,134
Подставим вместо х значения xi из таблицы и заполним последний столбик
таблицы.
Дальше найдем σ=(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)2. Добавим столбик с этим значением в
таблицу, найдем сумму.
Сумма квадратов отклонений равна 1530,439
Построим
график
линейной
функции
y=4,884x+57,134,
используя
графическую программу.
Ответ:
приближающая
функция
y=4,884x+57,134;
сумма
квадратов
отклонений равна σ=1530,439.
2) найдем приближающую функцию в виде квадратичной функции f(x, a, b, c)
= a∙x2 + b∙x + c.
По заданным точкам построим точечный график.
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑎 ∗ ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑏 ∗ ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑐 ∗ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∗ ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑏 ∗ ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑐 ∗ ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
{
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∗ ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ∗ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ∗ 𝑛 = ∑ 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
Составим таблицу для нахождения суммы слагаемых:
Подставим полученные значения в систему:
𝑎 ∗ 1843,217 + 𝑏 ∗ 475,4619 + 𝑐 ∗ 125,9282 = 9484,889
{ 𝑎 ∗ 475,4619 + 𝑏 ∗ 125,9282 + 𝑐 ∗ 34,58 = 2590,836
𝑎 ∗ 125,9282 + 𝑏 ∗ 34,58 + 𝑐 ∗ 10 = 740,26
С помощью Exсel посчитаем значения:
𝑎 = −5,9514
{ 𝑏 = 42,372
𝑐 = 2,4481
Таким образом, уравнение имеет вид: y=-5,9514x^2+42,372*x+2,4481
Подставим вместо х значения xi, x2 значения xi2 из таблицы и найдем
значение y и сумму квадратов отклонений:
Сумма квадратов отклонений равна 1337,357
Построим график квадратичной функции y=-5,9514x^2+42,372*x+2,4481,
используя графическую программу.
Ответ:
приближающая
функция
y=-5,9514x^2+42,372*x+2,4481;
сумма
квадратов отклонений равна 1337,357
3) Вывод: квадратичная функция y=-5,9514x^2+42,372*x+2,4481 наилучшим
образом описывает данную зависимость, так как сумма квадратов отклонений
меньше, чем у линейной функции. (1337,357<1530,439).
