Кодыш - Расчет железобетонных конструкций из тяжелого бетона по прочности, трещиностойкости и деформациям

Э.Н. Кодыш, И.К. Никитин, Н.Н. Трекин
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
из тяжелого бетона по прочности,
трещипостойкости и деформациям
Издательство Ассоциации строительных вузов
Москва, 2010
Посвящается
нашему Учителю
Васильеву Борису Федоровичу главному конструктору Гипротиса, ЦНИИПромзданий, соавтору
основных нормативных докумен­
тов по железобетонным конст­
рукциям, многих типовых конст­
рукций и реальных проектов
(1903-1998 гг.).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Совершенствование железобетонных конструкций и разработка
новых конструктивных решений в числе прочих факторов зависит от
создания и внедрения новых методов расчета, обеспечивающих не­
обходимую надежность, снижающих трудоемкость возведения и по­
зволяющих получить максимальную экономию материалов. При
этом важная роль принадлежит реализации положений новых норм
по проектированию железобетонных конструкций (СНиП 52-012003), которые отражают достижения современной науки и практики
проектирования железобетонных конструкций.
Изменения, принятые в новых нормах, были вызваны, вопервых, развитием самих железобетонных конструкций, совершен­
ствованием технологии, нередко предъявляющей дополнительные
требования к конструкциям, широким внедрением монолитного до­
мостроения, а также появлением и распространением высокопроч­
ных бетонов и арматурных сталей, потребовавшим корректировки
расчетной базы, без которой применение этих материалов было бы
невозможно.
Второй причиной изменения норм является развитие теории же­
лезобетона. Эта теория нуждается в непрерывном совершенствова­
нии, осуществляемом усилиями многочисленных исследователей.
в результате разрабатываются новые методы расчета, приводящие к
снижению расхода арматуры и бетона в железобетонных конструк­
циях, либо к увеличению долговечности конструкций.
Подход к определению внутренних усилий в нормальных сече­
ниях претерпел принципиальное изменение по сравнению с прин­
ципами расчета, принятыми в предыдущих нормах. Это изменение
заключается в замене расчетов, основанных в основном на результа­
тах экспериментальных исследований, на расчеты, основанные на
нелинейной деформационной модели. Положения этой модели за­
ключатся в следующем:
- распределение относительных деформаций бетона и арматуры
по высоте сечения элемента имеет линейный характер (гипотеза
плоских сечений);
- связь между нормальными напряжениями и относительными
деформациями бетона и арматуры принята в виде диаграмм состоя­
ния (деформирования) бетона и арматуры;
- сопротивление бетона всей растянутой зоны не учитывается в
расчете, если краевые относительные деформации бетона превысили
предельные деформации растяжения.
Раньше все работы по совершенствованию методов расчета же­
лезобетона строились на обобщении многочисленных эксперимен­
тальных данных, полностью игнорируя гипотезу плоских сечений.
По этому пути шли все страны СЭВ, а также Китай. Считалось, что
железобетон настолько сложный и непредсказуемо изменчивый ма­
териал, что его поведение под действием нагрузок принципиально
нельзя описать какой-то единой теорией. Методы, основанные на
обобщении экспериментов, считались достаточно надежными, но
вместе с тем приводили в ряде случаев к существенной экономии
материалов по сравнению с расчетами по нормам ряда стран Запада.
В этих странах придерживались методик расчета, в основе которых
лежала гипотеза плоских сечений и соответствующие ей различные
формулы, описывающие диаграммы а-8.
В настоящее время более отчетливо выявились недостатки при­
нятых у нас методик расчета.
Во-первых, методшш, принятые для расчета по разным предель­
ным состояниям, плохо увязаны друг с другом; во-вторых, формулы,
основанные на экспериментах, подразумевают определенные грани­
цы их обоснованного применения, что приводит к сомнительным
результатам для ряда частных случаев, а также к затруднениям при
программировании таких методик.
Разницу в результатах расчета по нашим нормам и нормам стран
Запада можно оценить как не очень значительную, учитывая неточ­
ность всех принятых методик расчета, а выявленная экономическая
эффективность некоторых методик, как выяснилось, мало влияет на
фактические расходы материалов, учитывая многие другие факторы
(конструктивные, технологические и т.п.).
Еще одной причиной перехода на новые принципы расчета яви­
лось стремление к гармонизации отечественных норм с нормами
стран Запада в связи с расширением экономических связей.
Принятая в настоящее время методика расчета нормальных сече­
ний на основе нелинейной деформационной модели обеспечивает
единый подход к расчету по любым предельным состояниям, при лю­
бых формах сечения, при любом характере внешних усилий, при лю­
бом расположении арматуры в пределах сечения, что исключает воз­
никновение каких-либо неясностей или нелогичностей при расчетах.
Что касается расчета наклонных сечений, то подобной теорети­
ческой модели не было выработано, и поэтому этот расчет с некото­
рыми упрощениями остался прежним.
Расчет пространственных сечений на действие изгиба и круче­
ния теперь основывается на учете кривых взаимодействия предель­
ных значений изгибающих и крутящих моментов, поскольку счита­
ется, что при чистом изгибе и чистом кручении внутренние усилия в
предельном состоянии выявляются наиболее правильно.
Значительные изменения претерпел расчет по трещиностойкости. Введенные в ранее действовавшие нормативные документы ус­
ложненные расчеты не обеспечивали повышение надежности и за­
трудняли понимание физического смысла происходящих процессов.
Подробнее эти изменения приведены в гл. 4.
в развитие новых норм выпущены Своды правил и пособия, в
которых приводятся положения, детализирующие требования норм,
приближенные способы расчета, а также дополнительные материа­
лы, необходимые для проектирования. Но как в нормах, так и в Сво­
дах правил и пособиях к ним не приводятся с достаточной полнотой
предпосылки, положенные в основу расчетных формул, выводы этих
формул, физический смысл принятых зависимостей, обоснование
инженерных и приближенных способов расчета. Между тем знание
этих материалов необходимо при проектировании железобетонных
конструкций. Сознательное, неформальное применение изложенных
методов расчета помогает избегать грубых ошибок. Понимание фи­
зической сущности принятых зависимостей позволяет творчески
подходить к расчету, применять изложенные методы к иным случа­
ям, не описанным в пособиях.
Авторы предлагаемой книги, связанные с разработкой Сводов
правил и пособий к ним, считали своей целью разъяснить основные
положения СНиП 52.01-2003 «Бетонные и железобетонные конст­
рукции. Основные положения» - в первую очередь новые положения
и практические способы, приведенные в Сводах правил и пособиях,
дать к ним необходимые комментарии.
Содержание книги ограничивается кругом вопросов, рассмот­
ренных в Сводах правил и пособиях, выпущенных к СНиП 52.012003 - СП52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции
без предварительного напряжения арматуры» [1] и СП 52-102-2004
«Предварительно напряженные железобетонные конструкции» [2], а
также «Пособие по проектированию бетонных и железобетонных
конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения
арматуры» [3] и «Пособие по проектированию предварительно на­
пряженных железобетонных конструкций из тяжелого бетона» [4]
(распространяются ЦНИИПромзданий), на которые в дальнейшем
изложении делаются ссылки в тексте.
Названия глав книги повторяют названия соответствующих раз­
делов Сводов правил и указанных пособий. Однако ограниченный
объем не позволил осветить все разделы норм и пособий. В частно­
сти, не рассмотрен расчет элементов на местное сжатие и отрыв,
расчет закладных деталей, стыков элементов и др. Каждый из этих
вопросов является достаточно самостоятельным, имеющим свои
особенности, и для их изучения следует пользоваться специальной
литературой. Не приведены также методы расчета некоторых эле­
ментов (элементы круглого, кольцевого сечений, элементы непрямо­
угольного сечения при действии кручения и др.). Знание общих за­
кономерностей, изложенных в книге, поможет разобраться в расче­
тах этих элементов.
Предполагается, что читатель хорошо знаком с указанными по­
собиями.
Данная книга продолжает сложившуюся традицию - с выходом
пересмотренных нормативных документов выпускать новую работу,
поясняющую физический смысл методики расчета.
Первая книга «Расчет железобетонных конструкций по прочно­
сти, деформациям, образованию и раскрытию трещин» (авторы
Б.Ф. Васильев, И.Л. Богаткин, A.C. Залесов, Л.Л. Паньщин) была
выпущена в 1965 г. и поясняла требования СНиП П-В.1-62, Вторая «Новое в проектировании бетонных и железобетонных конструк­
6
ций» под редакцией A.A. Гвоздева была выпущена в 1978 г. и разъ­
ясняла новые положения расчета и конструирования, приведенные в
СНиП П-21-75. Третья - «Расчет железобетонных конструкций по
прочности, трещиностойкости и деформациям» (авторы A.C. Залесов, Э.Н. Кодыш, Л.Л. Лемыш, И.К. Никитин) была выпущена в
1988 г, и поясняла требования СНиП 2.03.01-84. Четвертая - «Расчет
железобетонных конструкций из тяжелого бетона по прочности,
трещиностойкости и деформациям» (авторы Э.Н. Кодьпп, И.К. Ни­
китин, H.H. Трекин) с пояснениями к СНиП 52-01-2003 и Сводам
правил СП 52-101-2003, СП 52-102-2004 намечается к выпуску в
2010 г. Авторы, кроме второй книги, начинали работать под руково­
дством Б.Ф. Васильева в Гипротисе (объединился в 1963 г. с ЦНИИ­
Промзданий). К сожалению, из ныне здравствующих только Алек­
сандр Сергеевич Залесов - основной автор новых норм - не смог
принять участия в написании этой книги, но любезно дал согласие
на использование части его материалов, вошедших в предьщущую
работу.
Предисловие, введение, главы 1, 2 и 5 написаны д-ром техн. на­
ук Э.Н. Кодышем, разд. 3.1, 3.2.1-3.2.8 - д-ром техн. наук H.H. Трекиным, разд. 3.2.9-3^.12, 3.3-3.5, гл. 4 - И.К. Никитиным.
ВВЕДЕНИЕ
Бетон и железобетон остаются наиболее широко применяемыми
материалами для строительства зданий и сооружений. Кроме долго­
вечности и высокой огнестойкости этому способствует появление
высокопрочных бетонов и сталей, повышение технологичности из­
готовления и монтажа.
Использование современных опалубочных систем и средств по­
дачи бетона вызвало резкое увеличение объема монолитного домо­
строения.
Начальным этапом строительства является проектирование.
Технически грамотное архитектурное и конструктивное вари­
антное проектирование позволяет возводить современные здания и
сооружения с наиболее эффективным использованием ценных
свойств и уникальных возможностей железобетона и в особенности
монолитного.
Современная школа проектирования в нашей стране начала бур­
но развиваться в 30-е гг. XX века, когда широко развернулось про­
мышленное, транспортное и энергетическое строительство.
В проектах широко использовались и продолжают использо­
ваться теоретические разработки, подтвержденные эксперименталь­
ными исследованиями в таких ведущих институтах, как НИИЖБ,
ЦНИИСК,
НИИОСП,
ЦНИИПромзданий,
ЦНИИЭПжилища,
МНИИТЭП, ЦНИИПСК, ЦНИИС, НИИС и др.
В нашей стране возникли и успешно развивались научные шко­
лы, возглавляемые такими крупными учеными, как А.Ф. Лолейт,
Я.В. Столяров, П.Л. Пастернак, A.A. Гвоздев, О.Я. Берг, В.И. Мурашев, В.Н Байков, Г.И. Бердичевский, А.П. Васильев, H.H. Складнев,
A.B. Забегаев, П.Ф. Дроздов, Б.Ф. Васильев и др,
В настоящее время эти традиции успешно продолжают и разви­
вают научные школы, созданные и возглавляемые В.М. Бондаренко,
Н.И. Карпенко, A.C. Залесовым и др.
Научные разработки способствуют развитию строительства пу­
тем совершенствования нормативных документов, которые являются
составной частью технического регулирования в строительстве, при­
званного обеспечить требуемый уровень надежности и качества.
Объектами регулирования являются:
- продукция строительства - здания и сооружения различного
назначения;
- процессы, работы и услуги в области градостроительной дея­
тельности - по освоению территорий, планировке и застройке, а
также в области создания и эксплуатации продукции строительства,
включая инженерные изыскания, проектирование зданий и сооруже­
ний, их возведение, техническое обслуживание, ремонт и утилиза­
цию.
До июля 2003 г. существовала система нормативных документов
в строительстве - СНиП 10-01-94 «Строительные нормы и правила.
Система нормативных документов в строительстве. Основные поло­
жения».
Условно эту систему можно разделить на четьфе уровня.
1. Строительные нормы и правила (СНиП) и Государственные
общесоюзные стандарты (ГОСТ). Нарушение требований этой
высшей формы контроля могло преследоваться по закону.
2. Территориальные строительные нормы (ТСН, а для Москвы
МГСН), нормы органов государственного надзора (Противо­
пожарная служба МВД, Госгортехнадзор, Госкомсанэпидемнадзор. Энергетический надзор и т.д.).
3. Ведомственные (ВСН) и отраслевые строительные нормы
(ОСП).
4. Своды правил (СП), рекомендации, пособия, инструкции.
Документы 2-4-ГО уровней не противоречат первому, а только
уточняют и развивают отдельные положения нормативных докумен­
тов первого уровня.
в строительстве в настоящее время существует около 700 обяза­
тельных нормативных документов, из них примерно 500 - это нор­
мативные документы, принятые до 90-х гг. прошлого века, в на­
стоящее время нуждающиеся в пересмотре или исправлении.
27
декабря 2002 г. был принят, а с 1 июля 2003 г. вступил в силу
Федеральный закон № 184-ФЗ «О техническом регулировании в
строительстве». Этот закон устанавливает требования, аналогичные
действующим за рубежом.
В частности (ст. 4 п. 3), федеральные органы исполнительной
власти, в том числе Госстрой РФ, вправе издавать в сфере техниче­
ского регулирования акты только рекомендательного характера.
В этом законе заметно снижен объем обязательных государственных
требований. Предусмотрены следующие: безопасность излучения,
биологическая безопасность, взрывобезопасность, механическая,
пожарная, промышленная, химическая, электрическая, ядернорадиационная, электромагнитная совместимость безопасности и
обеспечения работы приборов и оборудования, а также единство
измерений.
к сожалению, в этом законе специфика строительства была мало
представлена. В строительстве помимо безопасности, есть еще очень
важный момент - обеспечение благоприятных условий для жизне­
деятельности, комфортности, но в новом законе он отсутствует, а из
обеспечения благоприятных условий для жизнедеятельности выте­
кают все планировочные решения, особенно градостроительные, та­
кие как отдаленность объектов обслуживания от жилья и т.д. Поэто­
му у создателей строительного нормирования возникают трудности
по совместимости упомянутого закона с основополагающими требо­
ваниями градостроительства.
Новый закон предполагает семилетний срок перехода на новую
систему регулирования: «В течение семи лет действующие сейчас
нормативные документы, направленные на обеспечение безопасно­
сти, будут правомочными».
По новому закону вводится «Технический регламент». Это нор­
мативный документ, в котором сконцентрированы требования к
продукции. В отличие от действующих сегодня он будет законом,
подлежащим утверждению в Государственной Думе. Технические
регламенты будут двух видов: общий технический регламент и спе­
циальный технический регламент. На начало 2009 г. не разработано
ни одного технического регламента.
Общий технический регламент - это документ, содержащий
общие требования ко всей продукции. Для строителей выделена ка­
тегория общего технического регламента, которая называется «Безо­
пасность строительства зданий и сооружений и безопасное исполь­
зование прилегающих к ним территорий». Отныне будет регламен­
тирована не безопасность строительных работ, а безопасность
строительной продукции.
Специальные технические регламенты устанавливают требо­
вания только к тем отдельным видам продукции, процессам в произ­
водстве, эксплуатации, перевозке и утилизации, которые не освеще­
ны в «Общем техническом регламенте». Следовательно, ряд требо­
ваний СНиП перейдут в технический регламент.
Набор таких общих технических регламентов содержится в за­
коне - это безопасность эксплуатации и утилизации оборудования,
пожарная безопасность, безопасность самих зданий и сооружений и
безопасное использование прилегающих территорий, биологическая
безопасность, электромагнитная совместимость, экологическая
безопасность. Ответственные за экологическую безопасность будут
формулировать свои требования к строительству, поэтому будущему
10
строителю обязательно нужно будет знать регламент по экологиче­
ской безопасности.
Министерства и ведомства смогут утверждать только рекомен­
дательные нормативные документы. Технические нормы будут про­
ходить через Государственную Думу и через Правительство Россий­
ской Федерации. Ведомственные нормы могут быть только рекомен­
дательными.
К концу 2006 г. в системе нормативной документации сложи­
лась парадоксальная ситуация; с 2002 по 2005 г. постановлениями
Госстроя России был утвержден ряд новых СНиПов и этими же по­
становлениями отменены старые СНиПы. Однако Минюстом РФ
новым документам было отказано в государственной регистрации в
соответствии с Федеральным законом № 184 (ст. 4 п. 3) и норматив­
ная база в значительном объеме перестала юридически действовать.
В конце 2006 г. Министерство промышленности и энергетики
совместно с Министерством регионального развития вьшустили
письмо, обязывающее впредь (до вступления в силу соответствую­
щих технических регламентов) использовать в обязательном порядке
СНиПы, утвержденные Госстроем РФ. На основе предложений ко­
миссии Государственной Думьх РФ 1 мая 2007 г. президент Россий­
ской Федерации В.В. Путин подписал принятый Думой Федераль­
ный закон № 65-ФЗ «О внесении изменений в Федеральный закон
«О техническом регулировании».
В подготовке этого закона принимали активное участие строи­
тели, и в нем содержится ряд положений, учитывающих специфику
строительной отрасли;
- во многих статьях термин «процесс производства» заменен сло­
вами «или к связанным с ними процессами проеБстирования (включая
изыскания), производства, строительства, монтажа, наладки»;
- узаконен нормативный документ добровольного применения
«Свод правил»;
- установлен срок разработки первых технических регламентов
- до 1 января 2010 г., включая «О безопасности зданий и сооруже­
ний» и «О безопасности строительных материалов и изделий»;
- до разработки и вступления в действие соответствующих тех­
нических регламентов уполномочить Правительство РФ и федераль­
ные органы исполнительной власти вносить изменения в норматив­
ные документы и правовые акты.
Вышеупомянутый нормативный документ Свод правил (СП) это рекомендательный нормативный документ, который содержит
проверенные на практике положения и является официально при­
11
знанным документом. Официальное признание СП означает одобре­
ние федеральными органами власти. В частности, они могут содер­
жать;
- рекомендации по выбору типологических, объемно­
планировочных и конструктивных решений зданий;
- рекомендации по применению градостроительных решений и
социальных нормативов;
- методы расчета и проектирования строительных конструкций,
оснований зданий и сооружений и их инженерных систем, прогнози­
рование срока службы, обеспечение ремонтопригодности;
- правила применения материалов, изделий, оборудования,
строительных конструкций и инженерных систем для зданий с раз­
личными режимами эксплуатации и в разных климатических зонах.
Как уже отмечалось выше, выполнение рекомендаций СП не яв­
ляется обязательным. Однако если заказчик с генпроектировщиком
при заключении договора на проектирование объекта предусматри­
вают его применение, то на данном конкретном объекте СП стано­
вится обязательным к применению документом.
12
г л а в а 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОЭ
1.1. Группы и виды предельных состояний
Расчеты железобетонных конструкций, впрочем, как и конст­
рукций из других материалов или комбинированных, ведутся по
группам предельных состояний.
Предельное состояние конструкций является границей, за которой
эксплуатация конструкций не обеспечивает безопасность для людей,
оборудования, зданий или не отвечает санитарно-гигиеническим,
функциональным или технологическим требованиям.
При расчете железобетонных, конструкций рассматриваются две
группы предельных состояний; первая группа - по несущей способ­
ности и вторая группа - по пригодности к нормальной эксплуатации.
Расчеты по предельным состояниям первой группы включают в
себя; расчет по прочности, обеспечивающий конструкции от разру­
шения; расчет на устойчивость, обеспечивающий устойчивость фор­
мы или положения конструкций; расчет на защиту от прогресси­
рующего обрушения - относительно новое требование, вызванное
террористическими актами, заключающееся в предотвращении ла­
винного обрушения всех конструкций здания или сооружения при
разрушении отдельных элементов или участков. К этой же группе
относятся такие расчеты, как расчет на всплыванрш заглубленных
резервуаров или иных сооружений, расчет на усталостное разруше­
ние под воздействием многократно повторяющихся или цикличных
нагрузок и т.д.
Расчеты по предельным состояниям второй группы включают в
себя; расчет по образованию и раскрытию трещин для предотвраще­
ния недопустимого образования трещин или их раскрытия в
конструкции; расчет по деформациям для предотвращения недопус­
тимых перемещений конструкции (прогибов, углов поворота, углов
перекоса, колебаний).
Наиболее важной и ответственной является первая группа пре­
дельных состояний, поскольку она предопределяет само существо­
вание конструкции.
при расчете конструкций по прочности усилия от расчетных
значений нагрузки не должны превышать усилий, которые могут
быть восприняты сечениями железобетонных элементов (несущая
способность элемента) при расчетных сопротивлениях материалов
13
(бетона и арматуры) с учетом соответствующих коэффициентов ус­
ловий работы.
При расчете конструкций на устойчивость формы расчетное
значение нагрузки не должно превышать значения одинаковой по
схеме распределения нагрузки, вызывающей достижение данного
вида предельного состояния и деленной на коэффициент больше
единицы. Этим обеспечивается запас при расчете на устойчивость не
меньший, чем при расчете на прочность.
При расчете конструкций на устойчивость положения отноше­
ние расчетных значений нагрузок и вычисленных по ним усилий,
благоприятных с точки зрения устойчивости положения конструк­
ций к нагрузкам или усилиям, неблагоприятным с той же точки зре­
ния, должно быть больше единицы, предельные значения указанно­
го отношения принимаются в зависимости от точности предпосылок
расчета и ответственности конструкций.
Таким образом, задачей проектирования является недопущение
в конструкции с нормируемым запасом предельного состояния пер­
вой группы.
Расчет по второй группе предельных состояний включает в себя
две основные подгруппы предельных состояний - проверку трещиностойкости железобетонных конструкций и провер1су их перемеще­
ний (деформаций).
Образование и раскрытие трещин представляет опасность для
нормальной эксплуатации конструкций; в определенных условиях
возникает коррозия арматуры, ухудшается внешний вид элементов,
они становятся более проницаемыми под давлением жидкостей или
газов. В зависимости от назначения и условий эксплуатации уста­
навливаются различные требования к трещиностойкости конструк­
ций, которые должны обеспечиваться расчетом по образованию и
раскрытию трещин.
Необходимость ограничения деформаций связана с рядом при­
чин; отрицательным психологическим воздействием на людей боль­
ших видимых прогибов, неприятными ощущениями людей при ко­
лебании конструкций, нарушением условий для нормальной экс­
плуатации технологического оборудования, возможным поврежде­
нием смежных конструкций при деформациях элементов и др.
с учетом условий работы и назначения конструкций устанавливают­
ся предельные значения деформаций, которые должны обеспечи­
ваться расчетом.
14
проверка по группам предельных состояний должна проводить­
ся для всех периодов существования элементов или заданий и со­
оружений - изготовление, транспортировка, монтаж и эксплуатация.
1.2. Основные положения по расчету
железобетонных элементов
При расчете железобетонных элементов по предельным состоя­
ниям в первую очередь вычисляются усилия от внешней нагрузки
(изгибающие и крутящие моменты, продольные и поперечные силы),
действующие в сечениях элемента. Далее определяются внутренние
предельные силы, которые может воспринять элемент в рассматри­
ваемых сечениях, исходя из его прочности и трещиностойкости, ко­
торые сравниваются с соответствующими усилиями от внешней на­
грузки. кроме того, по усилиям от внешней нагрузки находятся ши­
рина раскрытия трещин и деформации железобетонного элемента,
которые также сравниваются с их предельно допустимыми значе­
ниями.
Первая часть задачи - определение усилий в сечениях элемен­
тов - решается на основе статического расчета конструкции в целом.
Для статически определимых железобетонных конструкций нахож­
дение усилий в сечениях от внешней нагрузки не вызывает затруд­
нений, они вычисляются из равновесия всех сил, действующих по
одну сторону от рассматриваемого сечения.
Вычисление усилий в статически неопределимых конструкциях
(рамах, неразрезных балках и др.) необходимо производить, как пра­
вило, с учетом действительных жесткостей, т.е. влияния трещин и
неупругих деформаций бетона и арматуры, а также с учетом влияния
искривления геометрических осей сжатых элементов на усилия в них
(расчет по деформированной схеме).
В отдельных случаях для конструкций, методика расчета кото­
рых с учетом неупругих свойств железобетона еще недостаточно
разработана, допускается вьгаисление усилий производить как для
сплошного упругого тела.
Расчеты статически неопределимых конструктивных систем ре­
комендуется производить на компьютерах с использованием совре­
менных программных комплексов, основанных на математических
методах расчета, например, методом конечных элементов. Для уп­
рощения расчетов могут использоваться достаточно обоснованные
приближенные методы.
15
при определении усилий в сечениях железобетонных элементов
инженер должен также считаться с возможными отклонениями этих
усилий от значений, полученных из статического расчета. Наиболее
реальными и существенными являются отклонения эксцентриситета
продольной силы, вызванные случайными причинами, которые не
могут быть оценены расчетом. К ним относятся: неоднородность
свойств бетона по сечению; начальное искривление сжатого элемен­
та или его отклонение от вертикали; неучтенные горизонтальные
силы, дефекты монтажа и др.
Для учета этих отююнений в расчет вводится величина так назывемого случайного эксцентриситета, которая принимается боль­
шей из двух величин - 1/600 длины сжатого элемента или расстоя­
ния между сечениями, заьфепленными от смещения, и 1/30 высоты
сечения элемента. Кроме того, для конструкций, образуемых из
сборных элементов, следует учитывать возможное взаимное смеще­
ние элементов при возведении здания, зависящее от вида конструк­
ций, способа монтажа и т.п. При отсутствии соответствующих дан­
ных в СП и пособиях, рекомендуется случайный эксцентриситет
принимать не менее 1 см. Для статически определимых конструкций
случайный эксцентриситет суммируется с эксцентриситетом, полу­
ченным из статического расчета. Что же касается элементов статиче­
ски неопределимых конструкций, то здесь расчетный эксцентриси­
тет принимается как наибольшее значение эксцентриситета из ста­
тического расчета и случайного. Менее жесткое отношение к слу­
чайному эксцентриситету в статически неопределимых конструкци­
ях объясняется тем, что наличие связей сжатых элементов с другими
элементами конструкции смягчает влияние случайного эксцентриси­
тета.
Наиболее существенное влияние случайный эксцентриситет ока­
зывает в том случае, когда эксцентриситет, получаемый из статиче­
ского расчета, мал или равен нулю. В результате введения случайно­
го эксцентриситета все сжатые элементы, по существу, рассматри­
ваются как внецентренно сжатые, и такое понятие, как центрально
сжатые элементы, исключается.
Наряду с внешними усилиями при расчете конструкций необхо­
димо учитывать усилия от вынужденных деформаций, например от
температурных воздействий. С этим вопросом связано определение
длин температурных блоков, при которых можно не учитывать уси­
лия от температурных воздействий.
В пособии к СНиП 2.03.01-84 были приведены расстояния меж­
ду температурно-усадочными швами. Опыт эксплуатации зданий и
16
сооружений свидетельствует, что длины блоков по этому пособию
были назначены правильно. В то же время расчеты, в которых уси­
лия в колоннах определялись в предположении их упругой работы,
не подтверждали принятые в пособии расстояния между температурно-усадочными швами. Как показал анализ, основные причины
этого несоответствия следующ;ие:
1) в связи с неупругой работой железобетона, особенно в стадии,
близкой к разрушению, жесткости колонн сущ;ественно ниже вычис­
ленных как для сплошного упругого тела; соответственно и ниже
усилия, возникающие в колоннах при их перемещениях от темпера­
турных деформаций перекрытий (покрытий);
2) при длительных температурных воздействиях (длительных
смещениях) усилия в колоннах снижаются, релаксируют;
3) вследствие податливости узлов сопряжения сборных элемен­
тов общие удлинения (укорочения) дисков перекрытия (покрытия)
меньше обычно принимаемых в расчете.
Учет этих факторов и позволил обосновать расчетом приемле­
мость рекомендаций по длинам температурных блоков для колонн с
гибкостью J/h < 9 при расчетном температурном перепаде А/ =
= 40 °С. Для более гибких колонн {l/h > 9) и при меньшем темпера­
турном перепаде (А? < 40 °С) длины температурных блоков были
увеличены и приведены соответствующие поправочные коэффици­
енты. Если длина температурно-усадочного блока не превышает до­
пустимого пособием значения, то усилия в колоннах и элементах
перекрытия (покрытия) допускается определять без учета температурно-усадочных воздействий. Но при необходимости длины блоков
могут быть еще больше увеличены; при этом потребуется расчет
указанных конструкций на совместное действие внешних нагрузок и
вынужденных деформаций с учетом приведенных выше факторов.
1.3. Нагрузки и воздействия
Расчетные значения нагрузок, используемые для первой и вто­
рой групп предельных состояний, определяются по их нормативным
значениям с учетом коэффициентов надежности по нагрузкам и ко­
эффициентов сочетаний нагрузок. При расчете на прочность и ус­
тойчивость коэффициент надежности по нагрузке у/ принимается
большим единицы в соответствии с указаниями СНиП 2.01.07-85*;
при расчете при 2-й группе предельных состояний, как правило, при­
нимается у/= 1,0.
2 Заказ 4 0
17
уровни ответственности зданий и сооружений (I, II или III), ха­
рактеризуемые экономическими, социальными и экологическими
последствиями их отказов, следует зачитывать при выполнении рас­
четов по 1-й и 2-й группам предельных состояний, а также при оп­
ределении требований к долговечности зданий и сооружений, но­
менклатуры и объема инженерных изысканий для строительства,
установлении правил приемки, испытаний, эксплуатации и техниче­
ской диагностики строительных объектов.
Отнесение объекта к конкретному уровню ответственности и
выбор значений коэффициента
производится генеральным проек­
тировщиком по согласованию с заказчиком на основе рекомендаций
СНиП 2.01.07-85* (приложение 7).
При расчете элементов сборных конструкций на воздействия
усилий, возникающих при их подъеме, транспортировании, монтаже,
нагрузку от веса элемента следует вводить в расчет с коэффициен­
том динамичности. Коэффициент динамичности, определенный на
основании исследований и опыта строительства, принимается; при
транспортировании - 1,6, при подъеме и монтаже - 1,4. При этом
одновременно учитывается и коэффициент надежности по нагрузке.
Допускается применять и более низкие значения коэффициентов ди­
намичности, если они подтверждены специальными исследованиями
и практикой применения, но не менее 1,25.
При расчете предварительно напряженных элементов следует
принимать во внимание величину обжимающего усилия с учетом
потерь предварительного напряжения, соответствующих рассматри­
ваемой стадии работы, и неблагоприятного значения коэффициента
точности предварительного напряжения.
Самонапряженные железобетонные конструкции следует рас­
считывать с учетом предварительного напряжения, создаваемого
расширением бетона и в результате этого натяжением находящейся в
конструкции арматуры, а также при иных видах стеснения деформа­
ций бетона.
Сборно-монолитные конструкции рассчитываются дважды: до
приобретения монолитным (дополнительно уложенным) бетоном
заданной прочности - на нагрузки, действующие на данном этапе
возведения здания (сооружения) (в том числе на нагрузку от веса
монолитного бетона), и после приобретения монолитным бетоном
заданной прочности - на нагрузки, действующие на этом этапе воз­
ведения и при эксплуатации конструкции.
При расчете бетонных и железобетонных конструкций должно
учитываться влияние характера нагружения - длительного (по вре18
мени приложения нагрузки), повторного, динамического. Бетонные
и железобетонные конструкции, находящиеся под действием дли­
тельной нагрузки, рассчитываются с учетом снижения прочности
бетона в результате накопления повреждений в бетоне (микро- и
макроразрушений), а также с учетом повышения его деформативности в результате ползучести бетона в процессе длительного нагру­
жения.
Повторные нагружения разделяются на две группы: немного­
кратно повторяющиеся (малоцикловые) при повторении нагруже­
ний, измеряемых десятками циклов; многократно повторяющиеся
при повторении нагружений, измеряемых миллионами циклов.
В первом случае расчет производится с учетом снижения несущей
способности железобетонных элементов в результате накопления в
них повреждений (развитие трещин и т.д.) при повторных нагруже­
ниях. Особенно это проявляется при знакопеременном действии по­
вторных нагружений. Влияние немногократно повторных нагруже­
ний учитывается при расчете на сейсмические воздействия. Во вто­
ром случае расчет выполняется с учетом усталостной прочности бе­
тона и арматуры и характеризуется как расчет на выносливость.
Влияние повторных нагружений учитывается также и при расчете во
второй группе предельных состояний, поскольку повторные нагру­
жения увеличивают раскрытие трещин и деформативность конст­
рукций.
Бетонные и железобетонные конструкции, предназначенные для
восприятия кратковременных интенсивных динамических нагрузок,
рассчитываются с учетом динамического упрочнения бетона и арма­
туры.
При расчете бетонных и железобетонных конструкций следует
также учитывать неблагоприятное воздействие окружающей среды.
К ним относятся воздействия: технологических повышенных темпе­
ратур от 50 до 200 “С, технологических высоких температур выше
200 “С, технологических отрицательных температур от минус 40 “С и
ниже, сухого и жаркого климата, холодного климата, пожара, агрес­
сивных сред (газовых, при высокой влажности, жидких и твердых) и
т.д. В общем случае расчет производится на совместное действие
внешней нагрузки и внешней среды, при этом учитывается измене­
ние физико-механических и упругопластических свойств бетона и
арматуры и зависимость от характера внешнего воздействия.
19
г л ава2
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
2.1. Бетон
Бетон - сложный многокомпонентный композиционный искус­
ственный материал.
В настоящее время для железобетонных конструкций применя­
ется множество различных видов бетона, отличающихся своим со­
ставом и свойствами, поэтому для их упорядочения потребовалась
классификация, согласно которой бетоны разделяются по структуре,
назначению, виду вяжущих, виду заполнителей, зерновому составу
заполнителей, условиям твердения.
По структуре бетоны разделяются на бетоны плотные, крупно­
пористые, поризованные и ячеистые. В плотных бетонах до 94%
пространства между зернами заполнителей занято затвердевшим вя­
жущим, остальное пространство занято порами воздуха. В крупнопо­
ристом малопесчаном или беспесчаном бетоне пространство между
зернами крупного заполнителя не полностью занято мелким запол­
нителем и затвердевшим вяжущим. В поризованном бетоне про­
странство между зернами крупного заполнителя занято поризованными специальными добавками и затвердевшим вяжущим. Ячеи­
стый бетон весь состоит из затвердевшего вяжущего, кремнеземи­
стого компонента и искусственных пор в форме ячеек.
По виду вяжущих бетоны разделяются на цементные, силикат­
ные (на известковом вяжущем), на шлаковом вяжущем, на гипсовом
вяжущем, на смешанных вяжущих, например, известково­
цементных, на специальных вяжущих. Бетоны могут быть на плот­
ных заполнителях, на пористых и специальных заполнителях. По
зерновому составу заполнителей бетоны разделяются на крупнозер­
нистые (с крупным и мелким заполнителем) и мелкозернистые
(только с мелким заполнителем, т.е. песком), в зависимости от усло­
вий твердения бетоны могут быть естественного твердения, под­
вергнутые тепловой обработке при атмосферном давлении, подверг­
нутые тепловбй обработке при повышенном давлении (автоклавная
обработка).
В связи с таким большим количеством признаков в классифика­
ции бетона встает вопрос о наименовании видов бетона. Очевидно,
что наименование бетонов в точном соответствии с классификацией,
20
хотя и наиболее правильно по форме, тем не менее громоздко и не­
удобно в использовании. Например, обычный бетон потребовалось
бы называть; бетон плотной структуры, на цементном вяжущем, на
плотных крупных и мелких заполнителях.
Поэтому для основных видов применяемых бетонов приняты
краткие наименования по наиболее характерным признакам. Так,
обычный бетон, имеющий сумму указанных выше признаков, назы­
вается тяжелым бетоном. Бетоны, отличающиеся пористым заполни­
телем, называются легкими бетонами, а бетоны ячеистой структуры
с искусственно созданными порами - ячеистыми бетонами. Если по­
являются еще какие-нибудь признаки, то к основному наименова­
нию добавляется дополнительное - по названию этого признака. На­
пример, при наличии только мелкого заполнителя - мелкозернистый
бетон.
В СНиП 52-01-2003, развивающих его СП 52-101-2003, СП 52102-2004 и пособиях к ним рассматривается только тяжелый бетон,
следовательно, и книга посвящена расчету конструкций из тяжелого
бетона.
Основной характеристикой бетона является его прочность на
сжатие, определяемая термином «класс бетона». Понятие «класс
бетона» пояснено в разд. 2.5. Для изготовления бетонных и железо­
бетонных конструкций в практике используются бетоны следующих
классов: В10; В15; В20; В25; ВЗО; В35; В40; В45; В50; В55; В60.
Следует отметить, что слишком мелкое дробление ряда классов
бетона может привести только к кажущемуся эффекту, поскольку
большая номенклатура классов бетона создает трудности на бетон­
ных заводах при изготовлении железобетонных конструкций и, кро­
ме того, отклонения величины прочности в силу естественной из­
менчивости начинают превышать разницу между классами.
Бетоны в зависимости от их составляющей и технологии изго­
товления позволяют получить различные классы по прочности на
сжатие. Для мелкозернистых бетонов групп: А (естественного твер­
дения или тепловой обработки на песке с модулем крупности 2,1 и
более) В10-В40; Б (то же, но с модулем ьфупности менее 2,1) В10ВЗО; В (автоклавной обработки на песке с модулем крупности не ме­
нее 1,0)В15-В60.
Класс бетона по прочности на сжатие назначается в возрасте бе­
тона, как правило, 28 дней. Известно, однако, что прочность бетона
со временем увеличивается, поэтому в тех случаях, когда выяснены
достаточно точно сроки загружения конструкции, превышающие
28 дней от момента изготовления, целесообразно учитывать повы­
21
шение прочности бетона к этому сроку. Следует иметь в виду, что
повышение прочности бетона зависит не только от времени тверде­
ния, но и от условий твердения бетона (влажности, температуры),
сорта применяемого цемента и т.д., поэтому при назначении более
высокой прочности необходимо учитывать все указанные факторы и
прибегать к этому только тогда, когда последние хорошо известны.
Методов оценки изменения прочности бетона в течение времени
достаточно много, так как на них влияют ряд факторов, таких как
влажность, температура среды, состав материалов. Для нормальных
условий твердения бетона на портландцементе можно пользоваться
предложенной Б.Г. Скрамтаевым логарифмической зависимостью
^т(і) - 0,7і?;;,(28)1В/ (і?т ~ кубиковая прочность бетона, і - возраст бето­
на в днях). Формула дает приемлемые результаты, начиная с 7 дней
твердения.
Для сборных железобетонньис конструкций, помимо іаіасса бе­
тона, устанавливается также максимальная и минимальная отпуск­
ная прочность бетона, т.е. прочность бетона в момент отпуска кон­
струкции с завода, контролируемая по той же методике, что и класс
бетона (см. разд. 2.5). Правильное определение этого параметра
весьма важно, так как его завышение потребует либо значительного
увеличения территорий заводских складов, либо удорожания конст­
рукций вследствие воздействия одного или нескольких следующих
факторов: возрастания расхода цемента, времени пропаривания или
изменения его режима и т.д., а занижение может привести к повреж­
дению конструкции во время транспортировки, монтажа или на­
чальной стадии эксплуатации. Особенно опасно занижение отпуск­
ной прочности в зимний период из-за замедления набора прочности
при естественном твердении.
Для точного определения отпускной прочности необходимо
знать состав бетона, режим термовлажностной обработки, условия
перевозки и монтажа, характер загружения. В большинстве случаев
не представляется возможным определить заранее на стадии проек­
тирования все указанные параметры, и поэтому ниже приводятся
максимальные и минимальные значения отпускной прочности наи­
более часто применяемых изделий в процентах от класса бетона.
Различие этих процентов определяется особенностями конструкций.
Так, например, этот процент относительно высок для колонн, кото­
рые испытывают большие нагрузки в доэксплуатационной стадии
при перевозке, и мал для санитарно-технических кабин, вентилируе­
мых блоков, шахт лифтов, в которых прочность бетона относительно
слабо влияет на несущую способность конструкции. Минимальное
22
значение нормируемой отпускной прочности бетона на сжатие сле­
дует принимать (в процентах от класса бетона по прочности на сжа­
тие) не менее:
50 - для конструкций из бетона класса В15 и выше;
70 - для конструкций из бетона класса В 10.
Для предварительно напряженных конструкций значение нор­
мируемой отпускной прочности бетона должно приниматься не ни­
же нормируемой передаточной прочности бетона (прочность в мо­
мент обжатия его арматурой).
Значения минимально необходимой отпускной прочности для
наиболее часто встречающихся конструкций приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Минимально необходимая
отпускная прочность, %,
от класса бетона по прочности
на сжатие в период
теплый
холодный
70
80
70
90
Наименование конструкций
Блоки фундаментов
Фундаменты стаканного типа
Колонны одноэтажных зданий
и сооружений
Колонны многоэтажных зданий
Фермы и балки покрытий
Ригели междуэтажных перекрытий
Плиты перекрытий и покрытий
Блоки стен подвалов сплошные
из бетона класса В15 и выше
То же из бетона класса В 10
Элементы балконов, лоджий,
плиты карнизные и парапетные
Санитарно-технические кабины,
вентиляционные блоки,
элементы шахт лифтов
Перемычки
Трубы напорные и безнапорные
Элементы подземных каналов
и коллекторов для прокладки
коммуникаций и т.д.
70
70
70
70
70
90
85
90
85
85
50
70
70
90
70
85
70
70
70
80
90
90
70
90
При соответствующем технико-экономическом обосновании, по
согласованию с изготовителем, допускается повышение отпускной
прочности бетона до 90% класса бетона по прочности на сжатие. Для
23
сваи, шпунта, конструкций мостов, а также для других конструкций,
для которых определяющим является расчет на усилия, возникаю­
щие в доэксплуатационной стадии, при обосновании допускается
устанавливать значение отпускной прочности бетона, равное 100%
класса бетона.
При назначении отпускной прочности бетона, различной для хо­
лодного (зимнего) и теплого периодов года, за холодный период го­
да принимается период, начиная и кончая месяцем, хараістеризующимся среднемесячной температурой наружного воздуха О °С и ни­
же; за теплый период - остальное время года. Климатическое рай­
онирование территории РФ приведено в СНиП 23-01-99* «Строи­
тельная климатология».
Для предварительно напряженных элементов устанавливается
минимально допустимая величина класса бетона, а также передаточ­
ная прочность бетона Кьр, контролируемая по той же методике, что и
класс бетона (см. разд. 2.5). Эти параметры нормируются для обес­
печения надежной передачи предварительного напряжения армату­
ры на бетон, отсутствия ее проскальзывания и улучшения сцепления
с бетоном в момент отпуска предварительного напряжения. Мини­
мальный класс бетона назначается в зависимости от вида и класса, а
также диаметра арматуры, причем чем выше класс арматуры, а от­
сюда и допустимое предварительное напряжение, а также чем боль­
ше диаметр арматзфы, уменьшающий относительную поверхность
сцепления, тем выше должен быть класс бетона.
Для элементов с напрягаемой арматурой устанавливаются сле­
дующие минимально допустимые классы бетона:
для проволочной арматуры:
для классов Вр1200, ВрІЗОО (Вр-П).....................В20
для классов Вр1400, Вр1500 (Вр-11).....................ВЗО
для классов К1400, К1500 (К-7, К-19)..................ВЗО
для стержневой арматуры:
для классов А540 (А-Шв) - А800 (A-V)............... В20
для класса А1000 (А-VI)........................................ВЗО.
Передаточная прочность Кьр должна быть не менее 15 МПа.
Кроме того, передаточная прочность бетона принимается не менее
50% принятого класса бетона.
Если проектный класс бетона принят выше минимально допус­
тимого, передаточная прочность может остаться на указанном уров­
не, но быть не менее 0,5 принятого класса бетона. Однако при воз­
24
действии многократно повторяющейся нагрузки на предварительно
напряженные конструкции, армированные проволочной или стерж­
невой арматурой классов А600 (A-IV) и А800 (A-V), вышеприведен­
ные минимальные значения класса бетона и передаточной прочно­
сти должны быть увеличены на одну ступень, т.е. на 5 МПа. В же­
лезобетонных конструкциях, форма которых обеспечивает простран­
ственную работу элемента, например в монолитных круглых, пред­
варительно напряженных резервуарах или трубах, армированных
только спиральной или кольцевой арматурой, допускается приме­
нять бетон класса В 15 и передаточную прочность не менее 10 МПа.
Класс бетона на заводе оценивается по кубиковой прочности бе­
тона при размере грани кубика 15 см, что связано с удобством про­
изводства. Однако при определении кубиковой прочности бетона
значительное влияние на форму разрушения оказывают силы трения,
возникающие между поверхностью куба и подушками пресса. Эти
силы препятствуют поперечным деформациям бетона. Поэтому в
расчетах для оценки прочности бетона на сжатие используется
«призменная прочность» бетона, т.е. прочность на сжатие призм
размером 15x15x60 см, поскольку при отношении высоты призмы к
ребру основания, равном или более 4, трение, о котором сказано ра­
нее, практически не сказывается и призменная прочность ближе со­
ответствует прочности бетона на сжатие в сжатой зоне реальных
конструкций. Зависимость призменной прочности Rb от кубиковой
установлена многочисленными испытаниями и вьфажается для тя­
желого и легкого бетона формулой
К ь ^ К т Ф ,1 1 ~ ^ т К т \
(2Л)
но не менее ^,12Rm, где
- кубиковзя прочность бетона, МПа.
Таким образом, коэффициент призменной прочности для наибо­
лее слабых бетонов получается 0,77, уменьшаясь с ростом класса
бетона до 0,72 и оставаясь далее постоянным. Формула эта несколь­
ко условна и дает заниженные данные, учитывающие крайне боль­
шой разброс значений этого коэффициента при экспериментах.
Прочность растянутого бетона оценивается сопротивлением бе­
тона осевому растяжению
Его величина, отвечающая стандарт»
ным испытаниям бетонных образцов на изгиб, в зависимости от кубиковой прочности бетона может выражаться эмпирической форму­
лой
25
Обычно на производстве контролируется только кубиковая
прочность бетона на сжатие
а призменная прочность Кь и проч­
ность бетона на растяжение Rbt определяется по указанным выше
зависимостям. Однако в некоторых случаях, когда прочность на рас­
тяжение имеет важное значение (например, в бетонных плитах, где
прочность элемента на действие изгибающих моментов или растяги­
вающих сил зависит от прочности бетона на растяжение), устанав­
ливаются спещіальньїе классы бетона на растяжение Д , которые
контролируются непосредственно на производстве. Для тяжелых
бетонов принята следующая номенклатура классов бетона на рас­
тяжение: В, 0,8; В /1,2; ВЛ,6; В, 2,0; В, 2,4; В, 2,8; В, 3,2.
В нормах большое внимание уделяется маркам бетона по моро­
зостойкости и водонепроницаемости с тем, чтобы повысить эксплуа­
тационную надежность конструкций, работающих в водонасыщен­
ном, в эпизодически водонасыщаемом и воздушно-влажностном со­
стоянии при различных расчетных зимних температурах воздуха.
Для всех этих случаев, включая предварительно напряженные кон­
струкции и их стыковые соединения, рекомендуются конкретные
марки бетона по морозостойкости и водонепроницаемости. Марка
бетона по морозостойкости характеризует число выдерживаемых
циклов попеременного замораживания и оттаивания в насыщенном
водой состоянии и колеблется для тяжелых и мелкозернистых бето­
нов в пределах Р50-Р500. Марка бетона по водонепроницаемости
зависит от коэффициента фильтрации, определенного по ГОСТ
127305-84, и меняется от
до \¥12.
2.2. Перспективы совершенствования бетона
Применение при изготовлении бетона современных модифика­
торов для вяжущих, различных химических добавок, различных ми­
неральных наполнителей обеспечивает получение материала с уни­
кальными, наперед заданными свойствами.
Так, для получения высокопрочного бетона используются гид­
равлически активные вяжущие, предусматривается создание опти­
мальной структуры цементного камня, упрочнение контактных зон
заполнителем с применением химических модификаторов, расши­
ряющих добавок и соблюдение специально разработанных техноло­
гических режимов.
Среди перечисленных компонентов, кроме вяжуцщх, определяю­
щим является применение суперпластификаторов, ползгчаемых в ре26
зультате синтеза органических соединении и высокоактивной мине­
ральной добавки - микр01фемнезема, являющегося пылевидным ультрадисперсным отходом металлургического производства.
В НИИЖБ разработали модификаторы марки МБ, содержащие,
кроме микрокремнезема, золу уноса, получаемую при сгорании ка­
менного и бурого угля, а также необходимые суперпластификаторы.
Эти модификаторы получаются в виде плотного порошкообраз­
ного материала, что делает его более транспортабельным и техноло­
гичным, позволяя одновременно утилизировать часть крупнотон­
нажных отходов промышленного производства.
Другим весьма эффективным направлением является использо­
вание бетонов с компенсированной усадкой и напрягающего, полу­
ченного путем применения расширяющих добавок (РД), используе­
мых при изготовлении бетона или специальных напрягающих це­
ментов.
Эти бетоны, расширяясь, компенсируют обычно проявляющую­
ся усадку и даже позволяют напрягать (растягивать) арматуру в же­
лезобетоне - осуществлять самообжатие, что существенно упрощает
и удешевляет изготовление железобетона, а также повышает его
трещиностойкость и водонепроницаемость.
В России были также разработаны бетоны на цементах низкой
водопотребности - ЦВВ и ВНВ, позволяющие на основе обычных
цементов, используя технологические приемы, получать высокока­
чественные материалы.
Типичным и одним из наиболее прогрессивных представителей
концепции получения высококачественных бетонов (High Herformance Concrete) является полимербетон. В семействе полимербето­
нов роль вяжущих выполняют эпоксидные, уретановые, полиэфир­
ные и другие смолы.
Свойства полимербетона весьма разнообразны и в значительной
мере зависят не только от смол, но и от наполнителей, отвердителей,
модификаторов и заполнителей.
Количество минеральных заполнителей может составлять
90-95% от общего объема, что резко снижает стоимость полимербе­
тона.
Высокий объем заполнения значительно снижает усадку и по­
вышает модуль упругости.
Варьируя композиционным составом, кроме конструкционных
бетонов с высокой прочностью можно получать материалы, обла­
дающие такими свойствами, как химическая стойкость к большинст­
27
ву агрессивных сред, защита от различного рода излучений, вакуум­
ная плотность, диэлектрические и токопроводящие характеристики.
Особо следует отметить разработанную в НИИЖБ технологию
пропитки конструкций из обыЧНЬЕХ бетонов на цементном вяжущем.
Поверхность покрывается композицией на основе метилметакрилата, которая быстро проникает в поры бетона и поврежденные зоны,
полимеризуется и повышает прочность бетона в 2 раза и более. Та­
кие бетоны назьшаются бетонополимерами.
Так, после обследования железобетонного купола Московского
планетария, возведенного в 1929 г., авторами книги была предложена
и под контролем НИИЖБ, осуществлена двухсторонняя пропитка по­
верхности полимербетоном, что позволило избежать весьма трудоем­
ких и дорогостоящих работ по усилению металлоконструкциями.
Эти композиции с успехом использовались на таких объектах,
как храм Христа Спасителя, Останкинская телебашня, филиал
Большого театра, здания нескольких АЭС и др.
Следует также ожидать значительного расширения использова­
ния архитектурного бетона, который позволяет получить декоратив­
ные фасадные элементы, скульптурные горельефы с заданными по­
казателями физико-механических свойств и долговечности.
Высококачественная поверхность объемных изделий со слож­
ным рельефом получается при использовании композиционных механоактивированных вяжущих и комплексных химических модифи­
каторов различного назначения, в том числе компенсаторов усадоч­
ных деформаций.
Переходя в вязкотекучее состояние при механическом или виб­
рационном воздействии, бетон заполняет мельчайшие формы опа­
лубки. Причем объемное водопоглощение не превышает 6-10%, что
позволяет получить материал, по своим свойствам не уступающий
натуральному камню.
Стоимость изделий из такого бетона многократно ниже изделий
из природного резного камня.
Все перечисленные вьщіе бетоны были внедрены в строительство,
кроме высотных зданий к наиболее заметным объектам, постро­
енным из современного железобетона за рубежом, можно отнести
тоннель под проливом Ла-Манш, платформу для добычи нефти в
Северном море высотой 470 м, здания в Чикаго, мост в Канаде и др,
В России строится комплекс «Москва-Сити», построены Гости­
ный Двор, Московский планетарий и многие другие.
В перспективе можно ожидать использование нанотехнологий
для изготовления компонентов бетонов. Они появятся в производст­
28
ве дисперсных порошков, силикатов со стабильным составом и но­
вых видов арматурных элементов. Это позволит получить материалы
с характеристиками, близкими к металлу и керамике.
2.3. Арматура
Современная арматура выпускается в виде прямолинейных
стержней гладкого или периодического профиля диаметром 870 мм, бунтов диаметром 3-14 мм, арматурных канатов, а также
фибр для фибробетона.
Для армирования железобетонных конструкций применяется
арматура следующих видов:
- горячекатаная гладкая или периодического профиля диамет­
ром 6-40 мм;
- термически или термомеханически упрочненная периодиче­
ского профиля диаметром 6-40 мм;
- холоднодеформированная периодического профиля диаметром
3-12 мм;
- арматурные канаты диаметром 6-15 мм.
В железобетонных конструкциях допускается также применять
арматуру, упрочненную вытяжкой на предприятиях строительной
индустрии. Качество такой арматуры регламентируется «Руково­
дством по технологии изготовления предварительно напряженных
железобетонных конструкций» (М.: Стройиздат, 1975).
Качественная арматура для ненапряженных железобетонных
конструкций начала применяться в нашей стане недавно. В 50-х гг.
прошлого века начался выпуск арматуры класса А-Ш из стали марок
25Г2С и 35ГС 0 6 -4 0 мм. Арматура этого класса изготовлялась из
стали с очень высоким содержанием углерода - 0,29 и 0,37%, а так­
же марганца - 1,6 и 1,20% соответственно, что зачастую приводило к
хрупким разрушениям в местах дуговой сварки. По данным
НИИЖБ, большинство аварий железобетонных конструкций связано
с хрупким разрушением арматуры из стали марки 35ГС. Вероятность
хрупкого разрушения в месте сварки в этой арматуре, по экспертным
оценкам, достигает 50%.
По международным нормам сталь с содержанием углерода 0,3%
и более считается несвариваемой.
Арматура из стали этих марок выпускается 0 6 -^ 0 и по совре­
менным нормам называется А400.
29
в 70-х гг. в нашей стране впервые в мире была разработана тех­
нология изготовления термомеханически упрочняемого проката,
применяемая сегодня на всех металлургических предприятиях мира.
Новая технология отличается тем, что металл с высокой скоро­
стью проходит сквозь трубы, в которые под давлением 20-25 атмо­
сфер подается вода. При этом внутренние слои стали не успевают
охладиться и тепло постепенно выходит через поверхностный охла­
жденный слой. Металл приобретает различную структуру внутри и
снаружи, а также особые механические свойства - он практически не
ломается при изгибе, даже в местах дуговой прихватки.
Эта унифицированная свариваемая арматура класса А500С содер­
жит в стали не более 0,22% углерода и выпускается кроме термомеха­
нически упрочненной (06-40 мм) горячекатаной с микролегированием
(05-40 мм) и холоднодеформированной (04-16 мм).
Изгиб вокруг оправки 3^/ составляет 180“.
Переход на сталь этого класса позволяет экономить не менее
10% арматуры, так как ее расчетное сопротивление на растяжение и
сжатие Rs = 450 НУмм^, что на 23% больше, чем у стали А400.
Высокая прочность и пластичность позволяют применять эту
арматуру взамен других классов - А240, АЗОО и А400 во всех клима­
тических зонах.
Следует также отметить, что себестоимость термомеханически
упрочненной стали ниже, чем у горячекатаной марки 35ГС и 25Г2С,
так как позволяет сократить расход легирующих добавок и перейти
на полуспокойную сталь.
Осуществленный на ряде заводов переход на серповидный (ев­
ропейский) профиль (рис. 2.1, а) позволяет значительно сократить
расходы на изготовление валков, так как их износ уменьшается на
20-30%. Внедряется и новый профиль, предложенный НИИЖБ
{рис. 2.1, б).
Механические свойства арматурных сталей характеризуются
диаграммой напряжения - деформации или
В зависимости от
механических свойств арматурные стали разделяются на две под­
группы: так называемые мягкие и твердые. Мягкие стали имеют диа­
грамму су^-8^ с горизонтальной площадкой текучести, отвечающей
физическому пределу текучести стали Оу (рис. 2.2, а). Диаграмма
У твердых сталей не имеет площадки текучести; за условный
предел текучести для таких сталей принимается напряжение ао,2, от­
вечающее остаточному удлинению, равному 0,2% (см. рис. 2.2, б).
30
б)
а)
Рис. 2.1. Современная арматура периодического профиля:
а) серповидный профиль (европейский); б) новый профиль (НИИЖБ)
Рис. 2.2. Диаграммы напряжения - деформации для арматурной стали:
а) мягкой; б) твердой; 1 - физический предел текучести; 2 - условный пре­
дел текучести; 3 - условный предел упр}тости; 4 - предел упругости холоднодеформированной стали классов Вр1200-Вр1500 и канатов классов
К1400 ц К1500
Кроме физического или условного предела текучести механиче­
ские свойства характеризуются временным сопротивлением
- на­
пряжением, предшествующим разрыву, условным пределом упруго­
сти сто,о2 ~ напряжением, при котором остаточные деформации равны
0,02%, пределом упругости Us.eJ < сго.02 И модулем упругости, к мяг­
ким сталям относятся горячекатаные арматурные стали классов
А240 (А-1); АЗОО (А-П); А400 (А-Ш); А500; А500С и холоднодефор­
мированная классов В500 и В500С. К твердым - горячекатаные ста­
ли классов А600 (А-1У); А800 (А-У) и А 1000 (А-VI), термические
упрочненные стали, а также высокопрочная арматурная проволока и
канаты.
Выбор арматуры для железобетонной конструкции прежде всего
определяется возможностью использования ее прочности, в качест­
ве ненапрягаемой арматуры изгибаемых элементов следует преиму31
щественно применять арматуру классов А400, АЗОО, А500С, а также
классов В500 (Вр-1), В500С. Арматура более высокого класса без
предварительного напряжения, как правило, не применяется, так как
ее высокую прочность (напряжения^гВыше 500 МПа) трудно полно­
стью использовать в связи с возможностью раскрытия нормальных
трещин и большими прогибами конструкции, или используется
классов А540 (А-Шв) и А600 (А*-1У) при наличии технико­
экономического обоснования.
В сжатых элементах продольную ненапрягаемую арматуру так­
же следует в большинстве случаев применять из горячекатаной ста­
ли классов А400 (А-Ш), А500С, поскольку максимально возможные
напряжения в арматуре ограничиваются предельными деформация­
ми укорочения сжатого бетона порядка 400 МПа при отсутствии
специальных мероприятий типа косвенного армирования. При нали­
чии обоснования экономической целесообразности допускается ис­
пользовать в качестве сжатой арматуры сталь классов А600 (А-1У),
А800 (А-У), А1000 (А-VI) и их модификации.
В качестве напрягаемой арматуры в предварительно напряжен­
ных элементах применяют арматуру более высоких классов, так как
предварительное напряжение, повышая нагрузку, при которой обра­
зуются трещины, значительно уменьшает ширину их раскрытия и
прогибы и позволяет тем самым использовать высокую прочность
стали.
Выбор того или иного класса арматуры определяется взаимосвя­
занными требованиями прочности и деформативности. Для элемен­
тов небольшого пролета (до 12 м), как правило, оказывается доста­
точным применение горячекатаной стали А500, А600 (А-1У), А800
(А-У), А 1000 (А-VI) и термически упрочненной стали классов
АтбООС (Ат-1УС), АтбООК (Ат-1УК), Ат800 (Ат-У), Ат800СК (АтУСК), АтЮОО (Ат-VI) и АтЮООК (Ат-У1К), допускается также при­
менение менее эффективной стали класса А540 (А-Шв), а для эле­
ментов больших пролетов целесообразно применять высокопрочную
арматурную проволоку классов от Вр1200 до Вр1500 (Вр-П), а таюке
арматурные канаты классов К1400 и К1500 (К-7 и К-19). Примене­
ние арматурных канатов в конструкциях длиной 6 м и менее нецеле­
сообразно из-за затруднения с обеспечением надежной анкеровки.
В качестве поперечной арматуры обычно применяется арматура
более низких классов - горячекатаная сталь классов А240 (А-1),
АЗОО (А-П), А400 (А-Ш) и обыкновенная арматурная проволока
класса В500 (Вр-1).
32
Помимо приведенных основных факторов на выбор арматурной
стали влияют и многие другие условия, в том числе температурные,
условия эксплуатации конструкций, степень агрессивности среды,
наличие динамических или многократно повторяющихся нагрузок,
требования к трещиностойкости конструкции, выполнение армат)фы
в виде сварных каркасов и сеток, условия унификации и т.д. Так, в
конструкциях, эксплуатируемых на открытом воздухе или в неотап­
ливаемых зданиях в районах с расчетной зимней температурой ниже
30 °С, не допускается применение арматуры класса А600 марки ста­
ли 80С (диаметром 10-18 мм), класса АЗОО марки стали Ст5пс (диа­
метром 18-40 мм) и класса А240 марки стали СтЗкп.
Эти виды арматуры можно применять в конструкциях отапли­
ваемых зданий, расположенных в указанных районах, если в стадии
возведения несущая способность конструкций будет обеспечена ис­
ходя из расчетного сопротивления арматуры с понижающим коэф­
фициентом 0,7 к расчетной нагрузке с коэффициентом надежности
по нагрузке у/= 1,0.
Прочие виды и классы арматуры можно применять без ограни­
чения.
Для монтажных (подъемных) петель элементов сборных железобе­
тонных конструкций следует применять горячекатаную арматурную
сталь класса А240 марок СтЗсп и Ст Зпс и класса АЗОО марки 10ГТ.
В настоящее время в мире производится ~90 млн тонн стали пе­
риодического профиля. В нашей стране производится сейчас только
4 млн тонн, причем расход стали на 1 м^ железобетона в России
~65 кг/м^, что почти в два раза больше, чем в Америке и Европе
(35 кг/м^).
Причиной такого большого удельного расхода арматуры явля­
ются:
1. Недостаточно активное применение арматуры класса А500С.
Объем ее выпуска составляет только 60% от общего объема, а
при ее применении не всегда осуществляется необходимый пе­
ресчет.
2. Неэффективная технология строительства.
3. Малое применение предварительного напряжения арматуры,
особенно в монолитном домостроении.
Неэффективная технология арматурных работ содержит два ос­
новных недостатка - нахлестные стыки рабочей арматуры и очень
малый объем применения сеток заводского изготовления.
При производстве монолитного железобетона до 10% арматуры
перерасходуется на стыки, выполняемые внахлестку.
3 Заказ 4 0
33
Использование дуговой сварки при этих стыках кроме увеличе­
ния расхода арматуры повышает трудоемкость работ, так же, как и
при ванной сварке, требует большого расхода электроэнергии и не
гарантирует необходимого качества. Перепуски рабочей арматуры
требуют также заметного увеличения поперечной арматуры.
Экспертная проверка качества соединений ванной сваркой обна­
руживает до 30% брака, так как этот вид сварки требует очень высо­
кой квалификаций сварщиков,
В большинстве зарубежных экономически развитых стран при­
меняют резьбовые муфты {рис. 2.3, а) или опрессованные втулки
{рис. 2.3, б).
а)
б)
1
^ 9
Ъ 001
ЮООО'
Ч-
Рис. 2.3. Прогрессивные стыки соединения:
а - резьбовые муфты: 1 - резьба обратного направления;
2 - резьба одного шага; б - опрессованные втулки
На концах стержней нарезается резьба на длину Ids, и они со­
единяются муфтой, иногда с контргайкой.
Применяются также переносные прессы для опрессовки соеди­
нительных втулок. Подобное оборудование начинает применяться и
в России.
применение втулок экономичнее резьбовых муфт.
Вязка арматуры на объектах за рубежом практически не приме­
няется. На заводе заранее готовятся сетки в виде «карт» или рулонов,
а также плоские или пространственные каркасы.
Объясняется это также необходимостью экономии дорогого
ручного труда на стройке и требованиями контроля качества арма­
турных работ.
34
2,4. Анкеровка арматуры
Для обеспечения работы арматуры в бетоне с полным расчет­
ным сопротивлением необходимо осуществлять ее анкеровку, т.е.
обеспечить достаточное сопротивление сдвигу относительно бетона
в рассматриваемом сечении под воздействием растягивающих уси­
лий в арматуре. Анкеровка достигается за счет сил сцепления на по­
верхности контакта арматуры и бетона.
Анкеровку арматуры осуществляют одним из следующих спосо­
бов или их сочетанием (рис. 2.4):
- в виде окончания стержня (прямая анкеровка);
- с загибом на конце стержня в виде крюка, отгиба (лапки) или
петли;
- с приваркой или установкой поперечных стержней;
- с применением специальных анкерных устройств, как правило,
на конце стержня.
На длину анкеровки армат)фы влияют диаметр стержня, расчет­
ное сопротивление арматуры 7?^ (вид арматурной стали), а также рас­
четное сопротивление сцепления арматуры с бетоном Кьопс^, которое
определяется целым рядом факторов. К ним относятся: профиль ар­
матуры (гладкая или с периодическим профилем); прочность и со­
став бетона; наличие анкерующих устройств; напряженное состоя­
ние в окружающем стержень бетоне с учетом не только знака усилий
(растяжение или сжатие), но и их направления - вдоль стержня или
под углом (наиболее благоприятно - всестороннее сжатие); объем
окружающего стержень бетона и др.
Учесть все эти факторы теоретически сложно, поэтому приве­
денные ниже рекомендации базируются на многочисленных экспе­
риментальных работах.
В конструкциях с ненапряженной арматурой прямую анкеровку
и с лапками допускается применять только для арматуры периодиче­
ского профиля. Для растянутых гладких стержней следует преду­
сматривать крюки, петли, приваренные поперечные стержни или
специальные анкерные устройства.
3*
35
Допс/^чительные
ХОМ>^ ’ Ы , П Р ? Г Я Т С Т В У Ю ' Ц И е
оазг^во-ию
стерх-^я
36
Рис. 2.4. Анкеройка
армапгуры:
а) сцеплением прямых
стержней
с
бетоном;
б) крюками; в) лапками;
г) петлями; д) поперечны­
ми стержнями; е) привар­
кой пластины; ж) обжатой
шайбой; з) высаженной
головкой; и) высаженной
головкой
с
шайбой;
к) приваркой стержня к
закладной детали; л) гай­
кой с шайбой снаружи;
м) гайкой внутри; н) при­
варенными коротышами;
о) отгибом арматуры
Лапки, крюки и петли не рекомендуется применять для анкеров­
ки сжатой арматуры, за исключением гладкой арматуры, которая
может подвергаться растяжению при некоторых возможных сочета­
ниях нагрузки.
Базовую (основную) длину анкеровки напрягаемой и ненапрягаемой арматуры, необходимую для передачи усилия в арматуре с
полным расчетным сопротивлением Ял на бетон, lo.an, определяют из
условия равновесия предельной продольной силы в стержне, равной
RJ4s, и равнодействующей предельных сил сцепления бетона с по­
верхностью заделанной в бетон арматуры Nsw, принимая равномер­
ное распределение напряжений сцепления по всей длине заделанной
арматуры, т.е.
где Ыя- периметр сечения анкерного стержня, определяемый по
номинальному диаметру стержня;
^ьопс/ - расчетное сопротивление сцепления арматуры с бетоном,
определяемое по формуле
Л1Л2^6/,
(2.3)
здесь г|1 - коэффициент, учитывающий влияние вида поверхности
арматуры и принимаемый равным:
2.5 - для горячекатаной и термомеханически упрочненной
арматуры периодического профиля класса А;
2,2 - для арматурных канатов класса К диаметром 9 мм и более;
2.0 - для холоднодеформированной арматуры класса В500;
1,8 - для холоднодеформированной арматуры класса
диаметром 4 мм и более;
1,7 - для холоднодеформированной арматуры класса
диаметром 3 мм и арматурных канатов класса К
диаметром 6 мм;
1.5 - для гладкой арматуры класса А240;
Т12 ~ коэффициент, учитывающий влияние размера
диаметра арматуры и принимаемый равным:
1.0 ~ для диаметра арматуры с1^< 32 мм;
0,9 - для диаметра арматуры 36 и 40 мм.
Таким образом, имеем
37
1 _
^о,м ~
•
(2-4)
Требуемую расчетную длину анкеровки с учетом конструктив­
ного решения элемента в зоне анкеровки определяют по формуле
(2.5)
где 1о,ап- базовая длина анкеровки, определяемая по формуле (2,4);
Лс,са1 , ^я,е/ - площади попсречного сечения арматуры,
соответственно требуемая по расчету с полным
расчетным сопротивлением и фактически установленная;
а - коэффициент, учитывающий влияние на длину анкеровки
напряженного состояния бетона и арматуры и конструктив­
ного решения элемента в зоне анкеровки.
При анкеровке стержней периодического профиля с прямыми
концами (прямая анкеровка) или гладкой арматуры с крюками или
петлями без дополнительных анкерующих устройств для растянутых
стержней принимают а = 1,0, а для сжатых - а = 0,75.
Для прямой анкеровки напрягаемой арматуры а = 1,0.
Для крайних свободных опор балок длину анкеровки напрягае­
мой арматуры можно уменьшить в зависимости от поперечной или
косвенной арматуры, охватывающей продольную арматуру, и вели­
чины поперечного обжатия бетона согласно указаниям п. 3.43 посо­
бия [4] к СП 52-102-2004.
Допускается также уменьшать длину анкеровки ненапрягаемой
арматуры в зависимости от количества и диаметра поперечной арма­
туры и величины поперечного обжатия бетона в зоне анкеровки (на­
пример, от опорной реакции) в соответствии с указаниями п. 3.45
пособия [3] к СП 52-101-2003.
Значения относительной длины анкеровки
для стерж­
ней, работающих с полным расчетным сопротивлением диаметром
менее 36 мм, приведены в табл. 3.3 п. 3.45 пособия [3] к СП 52-1012003.
В любом случае фактическую длину анкеровки для напрягаемой
и ненапрягаемой арматуры принимают не менее 0,3
а также не
менее 15с/, и 200 мм.
38
Усилие, воспринимаемое анкеруемым стержнем арматуры, N^,
определяют по формуле
(2.6)
где lar, - определяется ПО формулб (2.5) при As,caMs,ef = 1,0;
Is - расстояние от конца анкеруемого стержня до рассматривамого поперечного сечения элемента.
На крайних свободных опорах элементов длина запуска растя­
нутых стержней за внутреннюю грань свободной опоры при выпол­
нении условия Q < 0,5Rbtbho должна составлять не менее 5с^. Если
указанное условие не соблюдается, длину запуска арматуры за грань
опоры проверяют расчетом согласно п. 3.43-3.46 пособия [3] к
СП 52-101-2003.
При устройстве на концах специальных анкеров в виде пластин,
шайб, гаек, уголков, высаженных головок и т.п. площадь контакта
анкера с бетоном должна удовлетворять условию прочности бетона
на смятие, а толщина анкерующей пластины должна быть не менее
1/5 всей ширины (диаметра) и удовлетворять условиям сварки. Уси­
лие в продольной арматуре принимается равным
= 2,5ЯьАс, где
Ас - площадь контакта анкера с бетоном. Длина заделки стержня
должна определяться расчетом на выкалывание и приниматься не
менее \0d.
Отгиб анкеруемого стержня на 90° производится по дуге круга
радиусом в свету не менее \Ы {\ - 1\Даг) (где и - длина прямого уча­
стка у начала заделки) и не менее значений, приведенных в п. 5.41
пособия [3] к СП 52-101-2003; на отогнутом участке ставятся допол­
нительные хомуты, препятствующие разгибанию стержней.
При приварке на длине заделки 4 поперечных анкерующих
стержней усилие Ns, определенное по формуле (2.6), увеличивается
на величину
определяемую по п. 3.45 пособия [4] к СП 52-1012003, но не менее чем на /д„.
Если А/ > 150 мм, гладкие стержни могут выполняться без крю­
ков, при этом значение /„„ не уменьшается.
Анкеровка напрягаемой арматуры осуществляется за счет по­
верхностного сцепления арматуры с бетоном или с применением
специальных анкерных устройств.
При использовании высокопрочной проволоки периодического
профиля, арматурных канатов однократной свивки, стержневой ар­
39
матуры периодического профиля, натягиваемой на упоры, установка
анкеров на концах стержней, как правило, не требуется.
В арматуре, натягиваемой на упоры при недостаточной силе
сцепления, как, например, у гладкой проволоки и многопрядных ка­
натов, ставятся специальные анкеры.
Кроме постоянных анкеров, обеспечивающих сцепление арма­
туры с бетоном, используются технологические временные анкеры,
обеспечивающие захват арматуры натягиваемыми устройствами
{рис. 2.5).
5с1 для А600
5 6о1 для А800
о1-2мм
Рис. 2.5. Временные технологические анкеры на напрягаемой
стержневой арматуре
Если, согласно расчету наклонных сечений на действие изги­
бающего момента, невозможно или нерационально установить необ­
ходимую поперечную арматуру, на концах стержней напрягаемой
арматуры устанавливают анкеры следующих типов:
высаженные головки {рис. 2.4, з) - для арматуры классов
А600 (марки 200ХГ2Ц) и А800;
обжатые шайбы {рис. 2.4, ж и табл. 2.2) - для арматуры классов
А600, А800,А1000;
приваренные коротыши {рис. 2.4, н) - для арматуры классов
А600 (марок 2Г2С и 20ХГ2Ц) и А800.
40
Таблица 2.2
Диаметр
арматуры
(1, мм
10
12
14
16
18
20
22
Высота шайбы Н до
опрессовки,
мм, для арматуры
класса
Диаметр шайбы до
опрессовки, мм
внутренний
с1о
наружный
По
А600
А800
А1000
13
15
17
20
22
24
26
30
32
32
36
36
40
42
8
8
10
11
13
14
16
10
И
13
15
17
19
21
11
14
17
19
21
23
25
Больший
размер
шайбы
после
опрес­
совки
Д мм
35
37
37
42
42
47
49
2 .5 . Факторы запаса.
Нормативные и расчетные сопротивления
Прочность сечения железобетонного элемента определяется, с
одной стороны, усилиями от внешних нагрузок, а с другой - внут­
ренними предельными усилиями, которые может воспринять сече­
ние. Внутренние предельные усилия зависят от прочности бетона и
арматуры, размеров сечения, количества и расположения арматуры.
Вопросы, связанные с действующими на элемент нагрузками, явля­
ются общими для любых конструкций и освещаются в специальной
литературе, поэтому, не останавливаясь на них, рассмотрим факто­
ры, характеризующие внутренние предельные усилия в сечении же­
лезобетонного элемента.
Прочностные характеристики бетона и арматуры, так же как и
любых других материалов, являются изменчивыми величинами для
бетона и арматуры данных классов, изготовленных на заводах в со­
ответствии с действуюпщми стандартами. Так, например, прочность
бетона, даже изготовленного из одного замеса, может меняться в
значительных пределах в зависимости от размеров и формы изделия,
характера приложения нагрузки и длительности ее действия, усло­
вий и сроков твердения, многих технологических факторов и т.д.
Поэтому для того, чтобы обеспечить дополнительную надежность
конструкции, необходимо для бетона или арматурной стали данного
класса назначить такие величины сопротивлений, которые в подав­
ляющем большинстве случаев были бы ниже возможных фактиче­
41
ских сопротивлений бетона и стали в конструкциях. Изменчивость
прочностных характеристик бетона и арматуры имеет в целом слу­
чайный характер, подчиняется вероятностно-статистическим зако­
нам, и для оценки прочностных характеристик бетона и арматуры,
которые необходимо ввести в расчет, используются вероятностные
методы расчета.
Изменчивость прочности бетона и арматуры характеризуется
кривыми распределения прочности. Последняя представляет собой
график, на оси абсцисс которого откладывается та или иная величи­
на прочности бетона или арматуры К, получаемая из испытания
большого количества образцов одного класса (с округлением), а на
оси ординат п - частота случаев появления того или иного значения
прочности (рис. 2.6).
На основании имеющихся статистических данных о прочности
материалов и полученной по ним кривой распределения могут быть
выведены следующие обобщенные статистические характеристики.
Рис. 2.6. Кривые распределения прочности:
1 - при малой изменчивости; 2 - при большой изменчивости
Средняя величина прочности
-
Д|И|+Д;»;+... +Д„и„
+«2 + —+ «„
42
(2.7)
в соответствии с законом больших чисел при увеличении числа
испытаний Я будет приближаться к математическому ожиданию.
Рассеивание величины относительно математического ожидания
называется дисперсией:
Щ Л ) = (Д. - Д )'» , +(Лг
+ ^2 +
+ - + (Д„
^(2.8)
а положительное значение квадратного корня из дисперсии называ­
ется отклонением или стандартом (сг):
о- = д /Д Д ).
(2.9)
Дисперсия и стандарт характеризуют отклонение значения случУїной величины от ее среднего значения.
Кривые распределения прочности бетона и арматзфы имеют, как
правило, симметричный характер, поскольку причины, вызываюш,ие
отклонение величины прочностной характеристики от средней вели­
чины в ту или другую сторону, действуют в одинаковой мере. Такие
кривые называются кривыми нормального распределения. Следует
отметить, что кривые распределения прочностных характеристик
асимптотически приближаются к оси абсцисс, не пересекая fee, так
что в принципе не существует определенной граничной, минималь­
ной или максимальной величины прочности материала.
В качестве теоретической функции распределения случайных
величин принято удовлетворяющее условиям нашей задачи нор­
мальное распределение (закон Гаусса):
(Д-Д)2
п{К) = — 1 ^ е 2 - ,
ал/2т1
^
(2.10)
соответствующее кривой, показанной на рис. 2.6.
Из кривой распределения можно видеть, что средняя прочность
К соответствует пику этой кривой, т.е. наибольшей частоте случаев.
Остальные значения отклоняются от среднего в ту или щэугую сто­
рону, причем чем больше это отклонение, тем реже оно наблюдает­
ся. Таким образом, для использования в расчете можно назначить
43
такое сопротивление, выраженное через отклонение от среднего зна­
чения, частота появления которого была бы заранее задана:
(2 .11)
Я =
где к - число, характеризующее площадь, ограниченную осью абс­
цисс и кривой распределения случайных величин.
Эту же характеристику можно выразить и в относительных ве­
личинах:
К /К = ( я - к а ) / К = <у/Я.
(2.12)
Отношение у = а / к называется коэффициентом изменчивости,
или вариационным коэффициентом.
Таким образом, кривые распределения, имея одинаковую сред­
нюю величину Я , могут отличаться по своей форме (см. рис. 2.6),
которая характеризуется коэффициентом изменчивости V. Более по­
логие кривые распределения имеют повышенный коэффициент из­
менчивости V и, следовательно, большой разброс результатов. На­
против, более крутые кривые имеют низкий коэффициент изменчи­
вости и более постоянные результаты, близкие к среднему. Видим,
что для некоторой минимальной частоты случаев появления сопро­
тивление материала для пологой кривой распределения должно быть
принято значительно ниже, чем для крутой.
кривые распределения, полученные из опыта, - эмпирические и
не могут дать точной вероятности появления той или иной величины
прочности материала. Для определения этих значений и использует­
ся закон нормального распределения Гаусса. Исходя из этого закона
может быть установлена нормативная прочность Я„, которая бы от­
вечала некоторой заданной обеспеченности Р, определяющей отно­
сительное число случаев, при которых прочность материала окажет­
ся выше нормативной.
Для определения нормативных характеристик материалов при­
нимается значение обеспеченности Р не менее 0,95, которое показы­
вает, что не менее чем в 95 случаях из 100 прочность материала бу­
дет выше нормативной прочности Я„. Такая обеспеченность является
весьма высокой и дает большой запас прочности конструкции,
Нормативная прочность бетона была принята с доверительной
вероятностью 0,95. Поэтому связь между нормативным сопротивле­
нием Я„ и средней прочностью Я выражается формулой
44
К„=К(1~1М ^).
(
2 . 13)
Таким образом, вероятность получения значений К, больше
Л -1,64а, составляла 0,95, т.е. величину, близкую к единице, о чем
уже упоминалось.
В течение многих лет основной контролируемой характеристи­
кой бетона являлась марка бетона. Марка бетона соответствовала
среднему сопротивлению сжатия эталонного образца-кубика (сред­
няя кубиковая прочность) с ребром 150 мм. Коэффициент изменчи­
вости V был получен из анализа многочисленных испытаний образ­
цов бетона на различных заводах и характеризовал средний уровень
коэффициента изменчивости по стране. Для тяжелого и легкого бе­
тонов в нормах он был принят 0,135. Следует отметить, что принцип
определения нормативных значений сопротивления арматуры отли­
чался от описанного выше. Вместо контролируемого среднего зна­
чения при определении нормативного сопротивления арматурных
сталей принимался контролируемый браковочный минимум предела
текучести, физического или условного, соответствующий обеспе­
ченности примерно 0,95.
Повышение качества изготовления бетонных смесей на заводах
сборного железобетона приводит к уменьшению значения коэффи­
циента изменчивости по сравнению с нормативным, что, в свою оче­
редь, увеличивает нормативную прочность бетона в сравнении с
принятой в нормах, т.е. повышает обеспеченность нормативной
прочности бетона. Чтобы исключить это неоправданное увеличение,
был введен ГОСТ 18105.0-86 по контролю прочности статистиче­
ским методом, при котором прочностные характеристики бетона
регламентировались с учетом фактического коэффициента изменчи­
вости V , что позволяло достигать постоянства принятой обеспечен­
ности нормативного сопротивления, т.е. соответствия фактических
нормативных сопротивлений значениям, принятым в нормах.
Если на каком-либо отдельном бетонном заводе коэффициент
изменчивости Vоказывался ниже нормативного (что подтверждалось
массовыми испытаниями образцов), то, очевидно, фактическое нор­
мативное сопротивление бетона (т.е. сопротивление с обеспеченно­
стью 0,95) на этом заводе выше, чем заложено в проекте для соот­
ветствующей марки бетона при V= 0,135. Тогда на заводе могут сни­
зить расход цемента до такого уровня, чтобы нормативные сопро­
тивления бетона при более низком значении V оказались равными
величине, заложенной в проекте. В этом случае марка бетона теряет
45
смысл контролируемой величины, и поэтому было решено контро­
лировать нормативную прочность. Взамен марок бетона были введе­
ны классы бетона по прочности на сжатие, численно равные гаран­
тированной прочности на сжатие бетонного кубика с ребром 150 мм
с обеспеченностью 0,95 и измеренные в МПа. Численное соотноше­
ние между маркой М и классом В бетона такое же, как и между нор­
мативной и средней прочностью, т.е. В = М(1-1,64 у).
В табл. 2.3 приведены зависимости между марками и классами
бетона, исходя из усредненного значения V= 0,135, а также все клас­
сы тяжелого бетона, которые могут применяться в настоящее время
для бетонных и железобетонных конструкций. Использование про­
межуточных классов 22,5 и 27,5, которые соответствуют маркам
бетона 300 и 350, должно обосновываться соответствующими технико-экономическими данными.
Класс бетона
(В), МПа
ВЮ
B15
В20
В22,5
В25
В27,5
ВЗО
Марка (М),
кгс/см^
131
197
262
296
327,5
353
393
Класс бетона
(В), МПа
В35
В40
В45
В50
В55
В60
Таблица 2.3
Марка (М),
кгс/см'
459
524
590
655
721
786,5
Изменчивость прочности бетона учитывается вероятностным
методом. Однако на дальнейших стадиях изготовления конструкции:
при транспортировании бетонной смеси, укладке бетона, вибрирова­
нии, твердении - многие факторы приводят к возможным отклоне­
ниям прочности бетона от нормативной, имеются таюке отклонения
фактических размеров. Учесть эти отклонения статистическим путем
пока не представляется возможным, поскольку отсутствует доста­
точное количество точных данных по прочности бетона непосредст­
венно в конструкции. Поэтому возможное отклонение прочности
бетона в конструкции учитывается специальным коэффициентом
надежности уь, большим единицы, на который делится нормативное
сопротивление бетона. Тогда сопротивление бетона, учитываемое в
расчете (так называемое расчетное сопротивление бетона для пре­
дельных состояний первой группы), определяется по формулам
46
Кь = Кьп/уьс', Кы = Rbtnhbt^
(2.14)
Такой метод установления расчетных сопротивлений называют
полувероятностным. Коэффициенты надежности бетона всех видов,
кроме ячеистого, работающего на сжатие, принимаются уьс = 1,3, на
растяжение 1 •
Прочность бетона на растяжение, определенная через прочность
на сжатие по формуле (2.2), имеет большую изменчивость, чем
прочность на сжатие, поскольку на нее влияет неточность формулы,
поэтому коэффициент надежности по прочности на растяжение уы
принят выше коэффициента у^. При непосредственном контроле
прочности на растяжение путем установления класса бетона по
прочности на растяжение В, коэффициент у*, принимается таким же,
как для прочности на сжатие, при этом за Кьт принимается значение
класса В,.
Расчетные сопротивления бетона для предельных состояний
второй группы Кь,хег и кы.хег принимаются равными нормативным со­
противлениям. В этом проявляется фактор запаса, вводимый в расчет
с тем, чтобы обеспечить достаточную надежность конструкции.
Такая же система установления расчетных сопротивлений при­
нята и для арматуры. В качестве нормативных сопротивлений арма­
туры Rsn принимаются значения прочности арматурной стали, кон­
тролируемые непосредственно на металлургических заводах в соот­
ветствии со стандартами, с обеспеченностью не менее 0,95. При этом
для арматуры классов типа А, Вр и К эти наименьшие контролируе­
мые нормативные сопротивления представляют собой физический
или условный (при остаточных относительных удлинениях 0,2%)
предел текучести, а для арматуры класса В500-0,75 - временного
сопротивления разрыву.
Расчетные сопротивления арматуры определяются делением
нормативных сопротивлений на коэффициент надежности по арма­
туре Jsy принимаемый в зависимости от вида и класса арматурной
стали:
1.1 - для арматуры классов А240, АЗОО, А400;
1,15 - для арматуры классов А500, А600, А800;
1.2 - для арматуры классов А540, А1000, В500, Вр1200, Вр1500,
К1400иК1500.
Расчетные сопротивления арматуры для предельных состояний
второй группы принимаются равными нормативным сопротивлени­
ям. Коэффициенты надежности арматуры учитывают возможные
47
отклонения в положении арматуры внутри конструкции по сравне­
нию с проектным положением и другие факторы.
Таким образом, на основе полувероятностного метода устанав­
ливаются расчетные сопротивления бетона и арматуры, определяю­
щие надежность железобетонных конструкций.
Как указывалось, при назначении проектного класса бетона по
прочности на сжатие В, характеризуемой кубиковой прочностью бе­
тона Кт, прочность бетона на сжатие в конструкции оценивается его
призменной прочностью Кьп, а прочность бетона на растяжение сопротивлением Куп, определяемым как функция от кубиковой
прочности бетона. Поэтому для расчета необходимо иметь норма­
тивные и расчетные сопротивления. Эти значения вычисляются ука­
занным ранее полувероятностным методом. Численные значения
полученных нормативных и расчетных сопротивлений бетонов при­
ведены в СП 52-101-2003 и СП 52-102-2004 и пособиях к ним.
При расчете прочности железобетонных элементов в расчетные
сопротивления вводятся так называемые коэффициенты условий ра­
боты Уй, меньшие или большие единицы, которые учитывают изме­
нения прочностных характеристик бетона от влияния различного
рода факторов. Коэффициент уь\ учитывает различие между вре­
менным и длительным сопротивлением бетона. Это различие, как
показали эксперименты, может достигать 20%. Кроме того, на коэф­
фициент влияет возможность нарастания прочности бетона и его со­
став. Коэффициент вводится к расчетным сопротивлениям Кь и Кь,.
Значения этого коэффициента для бетонных и железобетонных кон­
струкций:
Уй1 = 1,0 - при непродолжительном действии нагрузки;
Уб1 = 0,9 - при продолжительном действии нагрузки.
Коэффициент уй2 = 0,9 относится к бетонным конструкциям, по­
скольку принятая методика расчета недостаточно точно учитывает
упругопластические свойства в неармированных конструкциях и
вводится к расчетному сопротивлению Кь.
Коэффициент уйз, равный 0,9, вводится к расчетному сопротив­
лению бетона Кь для бетонных и железобетонных конструкций, бе­
тонируемых вертикально при слое бетонирования за один раз 1,5 м и
более. Он учитывает влияние дефектов (раковин и др.) на сечение,
появляющихся при таком бетонировании.
Коэффициент уй4 < 1 , 0 относится к конструкциям, подвергаю­
щимся попеременному замораживанию и оттаиванию. В условиях
эпизодического водонасыщения коэффициент Уб4, меньший 1, вво­
48
дится при расчетной зимней температуре менее -40 “С. Значение ко­
эффициента колеблется в пределах 0,7-1 и может быть повышено до
0,05 при применении бетонов марки по морозостойкости на одну
ступень выше, чем требуется, но его значение не должно превышать
1 и назначается по специальным указаниям.
Коэффициенты условий работы вводятся независимо один от
другого.
Нормативные и расчетные сопротивления арматуры растяжению
Rs_„ и 7?^ определяются в соответствии с изложенным ранее полуверо­
ятностным методом. Расчетные сопротивления арматуры сжатию К^с
равны соответственно сопротивлениям арматуры растяжению, одна­
ко их значения, вводимые в расчет для высокопрочной арматуры,
ограничиваются максимальными напряжениями, определяемыми
предельными деформациями бетона. Так же, как и для бетона, рас­
четные сопротивления поперечной арматуры (хомутов и отогнутых
стержней) вводятся с коэффициентом условий работы у^ь учиты­
вающим отклонения напряжений в арматуре от номинальных значе­
ний расчетных сопротивлений.
Коэффициент у^1, равный 0,8, вводится на расчетное сопротив­
ление поперечной арматуры всех классов. Он учитывает неравно­
мерность напряжения в арматуре, пересекающей рассматриваемое
наклонное сечение, так как в момент разрушения не вся арматура
достигает предела текучести. Максимальное значение
не должно
превышать 300 МПа.
Коэффициент условий работы арматуры вводят для расчетов по
первой группе предельных состояний. Для расчетов по второй груп­
пе предельных состояний у^1 всегда равен 1.
Одним из необходимых параметров для расчета бетонных и же­
лезобетонных конструкций является модуль упругости. Используе­
мый для расчета начальный модуль упругости Еь соответствует уп­
ругим деформациям бетона, возникающим при мгновенном загружении. Теоретически модуль упругости равен тангенсу угла наклона
касательной на диаграмме <3ь-гь, однако за пределами упругой де­
формации, выражаемой начальным модулем упругости, для упроще­
ния расчетов пользуются так называемым средним или упругопла­
стичным модулем, представляющим тангенс угла наклона прямой,
соединяющей нулевую точку с точкой на кривой аб-вб, соответст­
вующей заданному напряжению. Это значение определяют с помо­
щью нормируемого начального модуля упругости. Существуют раз­
личные эмпирические формулы, позволяющие определять средний
4 Заказ 40
49
модуль упругости для бетона различных классов по прочности на
сжатие.
На величину Еь кроме класса бетона влияют такие факторы, как
вид и состав бетона, способ обработки (естественное твердение или
тепловая обработка), плотность бетона, солнечная радиация, попе­
ременное замораживание и опаивание. В СП и пособиях приведены
подробные таблицы значений Еь- В отличие от предыдущих норм в
СП [1] [2] в целях упрощения принято игнорировать влияние тепло­
вой обработки бетона на величину Еь.
Коэффициент линейного температурного расширения при тем­
пературе от +50 “С до -40 “С зависит от состава заполнителей и ко­
личества цемента. Для простоты расчета были приняты его усред­
ненные значения. Для тяжелого, мелкозернистого бетона
а , , = М О -5
0 /- .- 1
Начальный коэффициент поперечной деформации бетона V (ко­
эффициент Пуассона) принимается 0,2 для бетона всех видов.
При известных значениях Еь я V легко определяется значение
модуля сдвига бетона:
Сь=Еь1[2{\+у)1
(2.15)
При значении V = 0,2 получим значение модуля сдвига
Сь = 0,4£'йЗначение модуля упругости арматуры Es с ростом ее прочности
несколько уменьшается. Однако для упрощения расчета в Сводах
правил [1] [2] для всех видов арматуры, кроме канатной, модуль уп­
ругости принят равным 2 10^ МПа, а для канатов - 1,8 ' 10^ МПа.
50'
г лава3
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО ПРОЧНОСТИ
3.1. Основные положения
Расчетом проверяется прочность сечений нормальных и наклон­
ных к продольной оси элемента, а также пространственных сечений.
При этом предельное состояние элемента определяется условием рав­
новесия усилий от внешних нагрузок и внутренних усилий, а также;
для нормальных сечений - достижением в бетоне или арматуре пре­
дельных деформаций; для наклонных и пространственных сечений достижением предельных внутренних усилий, прочность сечений же­
лезобетонных конструкций считается обеспеченной, если усилия и
деформации, возникшие в рассматриваемом сечении от различных
воздействий с учетом предварительного напряжения арматуры, не
превышают соответствующих нормируемых значений.
Таким образом, прочность нормальных сечений обеспечивается
соблюдением условия
(3.1)
а прочность наклонных и пространственных сечений - соблюде­
нием условия
(3.2)
где 8 и
- деформация сжатого бетона или растянутой арматуры и
усилие, возникающие в рассматриваемом сечении от внешней на­
грузки;
и
- предельные значения деформации сжатого бетона
или растянутой арматуры и внутреннего усилия в том же сечении.
В общем случае задача состоит в определении усилий или де­
формаций от внешних воздействий и их предельных значений, до­
пускаемых в рассматриваемом сечении, которая решается на основе
комплексного расчета на статические и динамические нагрузки,
температурно-влажностные воздействия и т.п. При этом следует ру­
ководствоваться общим правилом для любых видов сечений - нор­
мальных, наклонных или пространственных - усилие в сечении оп­
ределяется от внешнего воздействия, действующего по одну сторону
от рассматриваемого сечения.
4*
51
Деформации и напряжения в нормальных сечениях определяют­
ся на основе нелинейной деформационной модели, основные поло­
жения которой заключаются в следующем:
- нормальные сечения до и после деформации под действием
внешней нагрузки остаются плоскими. Таким образом, продольные
деформации в нормальном сечении распределяются по линейному
закону в зависимости от кривизны сечения и расположения рассмат­
риваемой точки в сечении;
- величины деформаций определяются на основе уравнений рав­
новесия внешних и внутренних сил в рассматриваемом сечении;
- характер распределения напряжений должен соответствовать
линейной эпюре деформаций, а их величины определяются по соот­
ветствующим диаграммам деформирования а -є арматуры и бетона;
- обобщенные усилия в нормальном сечении определяются с по­
мощью процедуры численного интегрирования эпюры напряжений;
- сопротивление бетона в растянутой зоне не учитывается.
При определении прочности элемента следует рассматривать
предельное состояние по сечению в целом, которое можно характе­
ризовать как максимальную величину общего усилия (момента, про­
дольной и поперечной силы), воспринимаемого сечением или дос­
тижением максимально допустимых деформаций сжатия-растяжения
в бетоне и арматуре.
В зависимости от характера внешнего воздействия сечения мо­
гут быть полностью сжаты или растянуты, или иметь сжатую и рас­
тянутую зоны. Усилия в сжатой зоне воспринимаются совместно
бетоном и арматурой вплоть до предельного состояния, усилия в
растянутой зоне до образования трещин - арматурой и бетоном, а
после образования трещин - в основном арматурой и, незначитель­
но, частью растянутого бетона, которой, как правило, пренебрегают.
На основании вышесказанного, общие положения, которыми
следует руководствоваться при расчете сечений по прочности, мож­
но сформулировать следующим образом:
- предельные состояния нормального, наклонного или про­
странственного сечений определяются максимальной величиной
общего усилия (момента, продольной и поперечной силы), воспри­
нимаемого сечением или достижением предельных деформаций ар­
матуры и/или бетона;
- расчет нормальных сечений железобетонных элементов следу­
ет производить по нелинейной деформационной модели. Для про­
стых по конфигурации сечений и при расположении продольной ар-
матуры в наиболее растянутой и сжатой зонах допускается расчет
нормальных сечений производить по предельным усилиям;
расчет наклонных и пространственных сечений следует произ­
водить по предельным усилиям исходя из условий равновесия внут­
ренних и внешних сил, действующих в сечении в его предельном
состоянии.
3.2. Расчет прочности нормальных сечений
3.2.1. Расчетная схема усилий
Распределение внутренних усилий в нормальном сечении в пре­
дельном состоянии зависит от комбинации внешних усилий. При
действии только изгибающего момента в нормальном сечении воз­
никают сжатая и растянутая зоны {рис. 3.1, а). При внецентрепном
сжатии в зависимости от эксцентриситета продольной силы в нор­
мальном сечении железобетонного элемента имеют место две рас­
четные схемы распределения внутренних усилий: случай больших
эксцентриситетов {рис. 3.1, а) - сечение имеет сжатую и растянутые
зоны; случай малых эксцентриситетов {рис. 3.1, б) - сечение нерав­
номерно, но полностью сжато. При внецентрепном растяжении, так­
же в зависимости от эксцентриситета продольной силы, сечение мо­
жет иметь сжатую и растянутые зоны (при больших эксцентрисите­
тах, рис. 3.1, а) либо быть полностью растянутым (при малых,
рис. 3.1, в).
Таким образом, расчетная схема усилий в нормальном сечении
включает в себя:
- при наличии сжатой и растянутой зоны {рис. 3.1, а): усилие
в продольной арматуре, расположенной в растянутой зоне; уси­
лие Nb"'R бетоне сжатой зоны; усилие
- в продольной арматуре,
расположенной в сжатой зоне;
- при полностью сжатом сечении {рис. 3.1, б): усилие
в про­
дольной арматуре, расположенной у менее сжатой грани элемента;
усилие А/* - в сжатом бетоне; усилие
- в продольной арматуре,
расположенной у более сжатой грани элемента;
- при полностью растянутом сечении {рис. 3.1, в): усилие
в
продольной арматуре, расположенной у более растянутой грани эле­
мента; усилие
- в продольной арматуре, расположенной у менее
растянутой грани элемента.
53
Эп. Е
Эп. бь
Эи. £
Эп. бь
Рис. 3.1. Расчетные схемы усилий в нормальном сечении:
а - при наличии сжатой и растянутой зон; б - при полностью сжатом
сечении; в - при полностью растянутом сечении
Усилия, действующие в бетоне и арматуре, определяются по
величинам напряжений в бетоне и арматуре, установившихся в пре­
дельном равновесии перед разрушением нормального сечения.
3.2.2. Характер разрушения железобетонного элемента
Разрушение элемента по нормальному сечению происходит, ко­
гда бетон или продольная арматура достигнут своих предельных ха­
рактеристик по деформациям, определяемым нормируемой гранич­
ной точкой диаграммы а -є. Соотношение между деформациями в
сжатом бетоне и продольной растянутой арматуре определяется их
деформативностью и условием равновесия внутренних и внешних
сил в нормальном сечении, которое достигается теоретически путем
плоского поворота нормального сечения (гипотеза плоских сечений,
рис. 3.2, а, б). По деформациям в соответствии с диаграммами бетона
(рис. 3.2, г) и арматурной стали (рис. 3.2, д) устанавливаются значе­
ния напряжений в бетоне и растянутой арматуре (рис. 3.2, в).
Предельное состояние сечений при изгибе и внецентренном
сжатии определяется разрушением сжатого бетона. Это связано с
особенностью нормирования предельного состояния арматуры, рас­
четные сопротивления которых устанавливаются на уровне напря­
жений ниже предела их прочности, а деформации, соответствующие
временному сопротивлению значительно превышают аналогичную
величину в сжатом бетоне (рис. 5.2, г и д). Таким образом, арматура
при достижении напряжения, соответствующего расчетному сопро­
тивлению, в отличие от сжатого бетона имеет запас по деформациям.
В связи с этим, при разрушении сжатого бетона в растянутой арма­
туре в зависимости от ее количества могут быть достигнуты напря­
жения меньшие или большие расчетного сопротивления.
£з>0,1
Рис. 3.2. Распределение деформаций (б) и напряжений (в) в нормальном
сечении А -А (а) перед разрушением. Диаграммы деформаций бетона
(г) и арматурной стали (д) с физическим пределом текучести
Предельное состояние при внецентренном растяжении может
определяться как разрушением бетона сжатой зоны при больших
55
эксцентриситетах, так и достижением предельных деформаций ар­
матуры при малых эксцентриситетах.
3.2.3. Напряжения в бетоне сжатой зоны
Предельное состояние по нормальному сечению в большинстве
случаев определяется достижением бетоном сжатой зоны своих
предельных деформационных характеристик, определяемых диа­
граммой а - 8 бетона при сжатии, за которыми следует его разруше­
ние.
Фактическая диаграмма а -є бетона имеет незначительный на­
чальный линейный участок и выраженное криволинейное очертание
на оставшемся восходящем (стадия накопления повреждений) и нис­
ходящем (стадия разрушения) участках {рис. 3.2, г). В соответствии с
этим эпюра напряжений в сжатом бетоне перед разрушением будет
иметь также криволинейное очертание с максимумом в пределах
сжатой зоны {рис. 3.3). Следует отметить, что соотношение упругих
и неупругих деформаций бетона не остается постоянным и меняется
в зависимости от многих факторов: вид и класс бетона; скорость и
характер нагружения, температурно-влажностные условия и т.д. С
увеличением класса бетона доля неупругих деформаций бетона сни­
жается, в результате чего уменьшается кривизна диаграммы а -є и
для высоких классов бетона приближается к линейной на большей
части восходящего участка диаграммы. То же самое происходит и с
увеличением скорости нагружения.
Зависимость а^-Єь для всех волокон бетона принимается единой.
В настоящее время имеется немало предложений по описанию
диаграммы <5ь~^ь: в виде степенной функции, показательной функ­
ции и других более сложных зависимостей. В нормах ЕКБ принята
зависимость в виде
(2.3)
Я,
где г \ = ~ ,
к=
1+ ( к - 2 ) ц
£ьо- предельная деформация бетона при его
равномерном сжатии.
Эта зависимость обладает следующими преимуществами:
- максимум функции соответствует аь = Яь',
56
- описывает нисходящую ветвь диаграммы наиболее близко к
опытным данным;
- изменения оь в самом начальном участке диаграммы соответ­
ствует изменениям Оь при упругой работе бетона с модулем упруго­
сти Еь, т.е. производная функции с>ь =Л^ь) при = Оравна Еь.
Эта функция для бетона классов В25 и В40 представлена в виде
графиков на рис. 3.3. Из этих графиков видно, как с увеличением
класса бетона на восходящем участке уменьшается кривизна диа­
граммы, что соответствует уменьшению доли неупругих деформа­
ций бетона.
Рис. 3.3. Диаграмма а*-Єй по ЕКБ
_____ полные деформации
--------- упругие деформации
Однако для ряда случаев использование в расчетах такой функ­
ции достаточно трудоемко. Поэтому в Сводах правил [1], [2] в каче­
стве расчетных диаграмм рекомендованы трехлинейная и двухли­
нейная диаграммы (рис. 3.4 и 3.5). Трехлинейная диаграмма описы­
вается системой выражений в зависимости от продольных деформа­
ций укорочения бетона:
57
приО<8ь<8м аь=Еьгь;
при 8м < 8 ь < £ьо СУ, =
(3.4)
Ч
1
при 8ьо < £ь ^ 862 <^Ь= Кь-
<^61
(3.5)
(3.6)
Рис. 3.4. Расчетная трехлинейная диаграмма состояния сжатого
бетона------------диаграмма аь-£ь по ЕКБ
Значение напряжения Сы принимается равным 0,6І?^, - уровень
напряжений, соответствующий началу необратимых микроразруше­
ний бетона, а значения относительных деформаций, соответствую­
щих данным напряжениям, равны 8 ^ = оы/Еь.
Значения деформаций 8^0, соответствующих достижению мак­
симальных напряжений, принимаемых равными Яь, и предельных
деформаций £ь2 установлены равными при кратковременном нагру­
жении для всех видов тяжелого бетона 0,002 и 0,0035 соответствен­
но. При длительном действии нагрузки вследствие проявления пол­
зучести бетона указанные граничные значения относительных де­
формаций сжатого бетона возрастают, а модуль упругости бетона Еь
существенно снижается.
Для двухлинейной диаграммы (рис. 3.5) напряжения
опреде­
ляются следующим образом;
при
о< 8 ь < Еы.гес^Уь = Еь,гес/
(3.7)
58
при гы,гес/ <
где
^ 42
(3.8)
- ^ь\
приведенный модуль деформации бетона, равный
Еь.гес! ~ К-Ь1Вь\,гес1'
Рис. 3.5. Расчетная двухлинейная диаграмма состояния
сжатого бетон а--------- диаграмма (Зь-гь по ЕКБ
Значения деформаций гьх.гес! занормированы и равны для кратко­
временного нагружения - 0,0015.
Сопротивление бетона растянутой зоны рекомендовано учиты­
вать при расчете бетонных элементов по прочности, в которых не
допускается образование трещин. В этих элементах связь между осе­
выми растягивающими напряжениями бетона
и относительными
его деформациями
принимается в виде двух- или трехлинейной
диаграммы по аналогии с диаграммой сжатого бетона с заменой рас­
четного сопротивления сжатию Кь на расчетное сопротивление рас­
тяжению Къи Граничные значения напряжений и относительных де­
формаций для трехлинейной диаграммы деформирования при не­
продолжительном действии нагрузки принимаются:
для точки 1
= 0 , 6 Л„;
для точки 2 <7^,0 =
/£ ,;
= 0 , 0 001 ;
для точки 3 а ^,,2 = ^6,; ^ьа = 0,00015.
Для двухлинейной диаграммы деформирования при непродол­
жительном действии нагрузки координаты расчетных точек опреде­
ляются по аналогии с соответствующей диаграммой сжатия заменой
8б/,ге^/на
0,0008; гы на £ьа = 0,00015.
Форма эпюры бетона сжатой зоны соответственно для трехли­
нейной и двухлинейной диаграмм будет иметь вид, приведенный на
рис. 3.6.
Рис. 3,6. Распределение напряжений в бетоне на основе расчетных
диаграмм соответственно для:
а - трехлинейной диаграммы; б - двухлинейной диаграммы
Замена криволинейной диаграммы по ЕКБ (см. рис. 3.3) на ку­
сочно-линейную в некоторой степени упрощает процесс вычисления
напряжений, не внося значительных погрешностей в результаты
расчета. Так, предельные относительные изгибающие моменты
М^іАЯ-ьЬНй) для прямоугольного сечения с одиночной арматурой при
использовании диаграмм ЕКБ, трех- и двухлинейной соответствен­
но, равны:
при бетоне класса В25 0,379; 0,377; 0,383;
при бетоне класса В40 0,376; 0,376; 0,383.
60
Как видим, расхождения нигде не превышают 2%.
При этом армирование принималось одинаковым и соответст­
вующим границам переармирования (см. разд. 3.3.8) при двухлиней­
ной диаграмме а^-Єг,. При меньшем армировании расхождение в ре­
зультатах будут еще меньше.
Учет длительности действия нагрузки при использовании диа­
грамм а - є бетона также мало влияет на результаты расчета. Поэтому
в Своде правил [1] рекомендовано учитывать диаграмму а - є бетона
при кратковременном действии нагрузки.
В принципе при расчете по прочности можно использовать как
трех-, так и двухлинейную диаграмму. Однако в СП [1], [2] рекомен­
довано использовать двухлинейную диаграмму как более простую.
Трехлинейную диаграмму аь-£ь следовало бы применять только
при использовании в расчетах максимальных деформаций бетона,
меньших Єьі,гесі(£ьп.гесд, ПОСКОЛЬКУ, как видно из рис. 3.5, в этом случае
зависимость а^-єг, при двухлинейной диаграмме существенно отли­
чается от кривой (Уь-Є ь по ЕКБ. Поэтому в СП [1], [2] трехлинейную
диаграмму рекомендовано использовать только при расчете по де­
формациям для сечений без трещин, т.е. когда деформации бетона
сравнительно невелики.
В качестве предельных напряжений бетона сжатой зоны принята
призменная прочность бетона, т.е. прочность бетона при одноосном
сжатии, получаемая по результатам испытания бетонных призм раз­
мером 15x15x60 см. По данным многочисленных исследований ус­
тановлено, что максимальные напряжения в бетоне при централь­
ном сжатии несколько ниже аналогичных напряжений в бетоне при
неравномерном сжатии, и разница тем выше, чем выше неравномер­
ность напряжений по сечению. Это явление обусловлено сдержи­
вающим влиянием менее нагруженного бетона на более нагружен­
ный. Тем не менее в качестве предельных напряжений в нормах ис­
пользуется призменная прочность бетона Кь, которая ближе всего
отвечает фактической прочности бетона в конструкциях.
Расчетные предельные напряжения в сжатом бетоне зависят от
условий работы в конструкции. В первую очередь это длительность
действия нагрузки. Испытания бетонных образцов на сжатие показа­
ли, что их прочность при длительном нагружении существенно ниже
прочности при кратковременном нагружении, причем разница меж­
ду кратковременной и длительной прочностью достигает 20%. Сни­
жение прочности объясняется структурой бетона, содержащей в себе
в основном твердую и жидкую фазу состояния материала. При дли-
тельном действии нагрузки происходит перераспределение усилий
между материалами с разными фазами состояния - в основном с
ЖИДКОЙ на твердую. Вследствие этого процесс микротрещинообразования в бетоне охватывает больший объем конструкции и приво­
дит К разрушению бетона при более низком уровне нагружения, чем
П р и кратковременной нагрузке.
Для учета влияния длительности действия нагрузки вводится
специальный коэффициент условий работы
умножаемый на рас­
четное сопротивление бетона Кь. Величина его для тяжелого и легко­
го бетонов принята 0,9 при длительном загружении и 1,0 при крат­
ковременном.
Прочность бетона следует снижать только при действии посто­
янных и длительных нагрузок. При действии же всех нагрузок,
включая кратковременные, прочность бетона не снижается. Поэтому
в общем случае кроме расчета на действие всех нагрузок следует
также производить расчет на действие только постоянных и дли­
тельных нагрузок с учетом коэффициента уь\ = 0,9. Однако если не­
сущая способность сечения обусловлена только прочностью бетона
(бетонные элементы или переармированные изгибаемые элементы
без сжатой арматуры), то при превышении изгибающего момента М\
от постоянных и длительных нарузок над 0,9 момента от всех нагру­
зок можно производить только ОДИН расчет на действие момента М\
при учете коэффициента уь\ = 0,9. Следует отметить, что такой рас­
чет ДЛЯ большинства железобетонных элементов является опреде­
ляющим при чрезвычайно малой доле кратковременных нагрузок.
3.2,4. Напряжения в сжатой продольной арматуре
Напряжения в продольной арматуре, расположенной в сл<атой
зоне, определяются из условия совместности деформирования с ок­
ружающим сжатым бетоном, вплоть до его разрушения. Таким обра­
зом, в предельной стадии при достижении крайних сжатых волокон
бетона предельных деформаций для ненапряженной арматуры де­
формации соответствуют деформациям сжатого бетона на уровне
этой арматуры
а напряжения
- этим деформациям по диа­
грамме а-8 арматурной стали, т.е.
а =г -Е , но не более 7?^.
(3.9)
62
кроме того, исходя из специфики работы сжатого бетона, для
деформации Esc устанавливается некоторое ограничение, в основном
обусловленное высоким уровнем напряжений в сжатой арматуре и
состоянием окружающего бетона, с накопившимися нарушениями
сплошности и вследствие этого снижающейся способностью удер­
живать арматуру от потери устойчивости. Таким образом, для пре­
дельных значений
принимаются наиболее осторожные значения
предельного укорочения бетона, отвечающие укорочению бетона
при равномерном сжатии, е^оУчитывая, что усредненное значение модуля упругости армату­
ры составляет
= 2 ■10^ МПа, а предельные расчетные деформации
сжатого бетона при непродолжительном действии нагрузки состав­
ляют 8 бо = 0,002, при длительном действии нагрузки - е^о = 0,0025,
приняты следующие предельные напряжения сжатия: при непро­
должительном действии нагрузки - 400 МПа; при продолжительном
действии нагрузки - 500 МПа. Следует отметить, что для мягких
сталей классов А240, АЗОО и А400 предельные напряжения будут
иметь меньшие значения, чем указанные выше.
Для определения напряжений в предварительно напряженной
арматуре, расположенной в сжатой от внешней нагрузки зоне бето­
на, необходимо учитывать начальный уровень растягивающих на­
пряжений (Jsp. С ростом внешней нагрузки происходит снижение
уровня растягивающих напряжений. Таким образом, для наиболее
сжатого волокна бетона к деформациям от усилия предварительного
обжатия добавляются деформации от внешней нагрузки и в сумме в
предельной стадии они должны соответствовать предельным укоро­
чениям бетона £ь2- Учитывая установленные ограничения для на­
пряжений сжатия и то, что для предварительного напряжения, как
правило, используются стали с расчетным сопротивлением на рас­
тяжение выше 400 Мпа, напряжения сжатия в арматуре составят
cisc = 400 - ösp или Gjc = 500 - (3sp.
(3.10)
Напряжения Gsc в зависимости от величины напряжений а^р мо­
гут быть растягивающими или сжимающими, В последнем случае
они принимаются не более сопротивления арматурной стали на сжа­
тие
Для нормальной работы сжатой арматуры она должна иметь
надлежащее сцепление с бетоном, обеспечивающее их совместные
деформации, а также закреплена от потери устойчивости и выпучи63
вания в поперечном направлении. Последнее достагается защитным
слоем бетона и установкой поперечных стержней, охватывающих
продольную арматуру (в вязаных каркасах) либо приваренных к ней
(в сварных каркасах). При этом расстояние между хомутами должно
быть более 500 мм и не более 15с/.При большом насыщении элемен­
та продольной сжатой арматурой (более 1,5%) должно предусматри­
ваться более частое расположение поперечных стержней (на рас­
стоянии не более 300 мм и не более Ю(Г). То же самое относится к
местам стыкования рабочей арматуры внахлестку без сварки.
Перечисленные требования не относятся к сжатой арматуре,
фактически расположенной в элементе, но не учитываемой в расче­
те, поскольку в этом случае сжатые бетон и арматура не будут нахо­
диться в предельном состоянии.
3.2.5. Напряжения в продольной арматуре, расположенной
в растянутой или менее сжатой зоне
Напряжения в продольной арматуре, расположенной в растяну­
той или менее сжатой зоне, в предельной стадии могут изменяться в
широких пределах в зависимости от напряженно-деформированного
состояния сечения, в изгибаемых элементах растянутую арматуру
проектируют из условия, что в предельной стадии напряжения в ней
достигают расчетного сопротивления Кз ранее или одновременно с
достижением в бетоне сжатой зоны предельных деформационных
характеристик. Деформации в продольной арматуре в предельном
состоянии при двузначной эпюре деформаций, согласно гипотезе
плоских сечений {сьл.. рис. 3.6, а), равны
(3.11)
и
X
Напряжения в данной арматуре определяются в соответствии с
диаграммой а - 8 арматурной стали.
Многочисленными исследованиями установлено, что так назы­
ваемое предельное равновесие сечения наступает, если высота сжа­
той зоны X не превышает граничной XR для данного изгибаемого
элемента. Физическая сущность этого явления становится понятной
при рассмотрении напряженно-деформированного состояния сече64
ния {рис. 3.7). При разрушении бетона сжатой зоны краевые дефор­
мации в бетоне соответствуют предельным значениям 8 ^2, которые
приняты в качестве постоянной величины. Для максимальных де­
формаций сжатой грани бетона £ь2 и деформации растянутой армату­
ры 8 ^0, при которой напряжение достигает Rs, на основании (3.11)
справедливо отношение
(3.12)
Рис. 3.7. Расчетная схема к определению напряженного состояния
нормального сечения:
а - схема изгибаемого элемента; б - эпюра деформаций; в, г - эпюры рас­
пределения напряжений при х = х ц и х > х ц соответственно; д - распределе­
ние напряжений при расчете по предельным усилиям
Деформации растянутой арматуры определяются по формуле
^50~
’
ИЛИ
(1/ ^ - 1).
(3.13)
Тогда граничная относительная высота сжатой зоны будет равна
1
к
5 Заказ 40
65
1+ І£0_
(3.14)
Рис. 3.9. Двухлинейная диаграмма состояния арматуры
с физическим пределом текучести
Для арматуры с условным пределом текучести предельные про­
дольные деформации, соответствующие напряжению, равному рас­
четному сопротивлению, определятся по выражению
А.
(3.15)
Для сталей с условным пределом текучести, пример реальных
диаграмм а - 8 которых представлен на рис. 3.10, ъ СП [4] рекомендо­
вано криволинейный участок диаграммы для упрощения расчета
заменить прямым отрезком с двумя участками: первый - от предела
пропорциональности, принятого как 0,9/2^ (точка 1 на рис. 3.11), до
условного предела текучести
(точка 2 ), отвечающего остаточным
деформациям стали, равным 0 ,0 0 2 , и второй - от условного предела
текучести
до временного сопротивления арматуры, вьфаженного
через условный предел текз^чести в виде произведения 1 , 1/?5 (точка
3). Коэффициент 1,1 был принят таким образом, чтобы исключить
возможность разрыва арматуры и развития в ней чрезмерных де­
формаций.
Исходя из принятой упрощенной диаграммы о-в, напряжения в
продольной арматуре определяются по формуле
Яу=еЛ
при их величине, не превышающей 0,9 К^.,
5*
67
(3.16)
бs
Рис. 3.10. Диаграммы растяжения арматурной стали с условным
пределом текучести:
1 - А800; 2 - А1000; 3 - К1400 015; 4 - Вр1500 03
Рис. 3.11. Трехлинейная диаграмма состояния арматуры с условным
пределом текучести
68
в пределах 0,9К^-Я^ напряжения в арматуре вычисляются по
формуле
ст..=
где а^,е/- условное напряжение в арматуре в предположении ее упру­
гой работы, определяемое по формуле (3.16); 400 - условная величи­
на напряжения в арматуре, соответствующая остаточным деформа­
циям 0,002, при упругой ее работе, МПа.
Напряжения в арматуре в области, где напряжения
превыша­
ют условный предел текучести
можно также находить по форму­
ле (3.17) с условием того, что напряжения не должны превышать бо­
лее чем на 1 0 % расчетное сопротивление.
Граничное значение деформаций растяжения арматурных сталей
с условным пределом текучести (см. рис. 3.11) приняты равным
8,2 = 0,015.
В предварительно напряженной арматуре до приложения внеш­
ней нагрузки действуют напряжения, равные
с учетом соответ­
ствующих потерь и достигнутых деформаций е^р. Относительные
деформации, при которых будут достигнуты напряжения, равные
определятся по выражению
е^о =^^^^+0,002.
(3.18)
Это значение используется при определении граничной относи­
тельной высоты сжатой зоны по формуле (3.14).
В общем случае для напрягаемой арматуры любых видов связь
между напряжениями а, и деформациями от внешней нагрузки є,
принимают по вышеприведенными зависимостям, заменяя для
стержней растянутой зоны значение є, на є, + о^р/Е^, где о^р - предва­
рительное напряжение арматуры с учетом у^р = 0,9, а для стержней
сжатой зоны Є, на е^-Оар/Е^, где о^р принимается с учетом у^р - 1 , 1 ;
при этом для стержней растянутой зоны трехлинейная диаграмма
приобретает вид согласно рис. 3.12.
Очевидно, что на промежуточной стадии деформации в армату­
ре Єд, а следовательно, и напряжения в ней а,, которые определяются
по диаграмме а -є арматурной стали, являются функцией от высоты
69
сжатой зоны X. Если значения х > х к , то напряжения в растянутой
арматуре при разрушении бетона сжатой зоны ниже расчетного со­
противления
а в противном случае при л: < хд - деформации в рас­
тянутой арматуре превышают значения, соответствующие расчетно­
му сопротивлению арматурной стали.
Рис. 3.12. Трехлинейная диаграмма состояния арматуры с услов­
ным пределом текучести при учете предварительного напряжения
(здесь 8^- деформация арматуры от внешней нагрузки)
3.2.6. Расчетные уравнения для нормальных сечений
Прочность нормальных сечений железобетонных элементов
обеспечена, если выполняются условия равновесия внешних и
внутренних сил. Внутренние усилия определяются по нормальным
напряжениям во всех элементах сечения, возникающих в предель­
ном состоянии от продольного усилия N (сжатие или растяжение) и
изгибающих моментов
я Му соответственно в двух ортогональ­
ных осях X и 7, находящихся в плоскости сечения (рис. 3.13). Таким
образом, условие прочности будет состоять из уравнения равнове­
сия проекции внутренних и внешних сил на нормаль к плоскости
рассматриваемого сечения
= О и уравнений равновесия изгибаюших моментов внешних и внутренних усилий в плоскости осей Х и У
- ЕМу = О и
= 0:
Му
Ь'1Аы‘^Ьу1
70
(3.19)
(3.20)
N = ZGbiÄbi +
(3.21)
где Мх и Му - изгибающие моменты внещних сил, действующие в
плоскости осей соответственно X vlY ; N ~ продольная внешняя сила
(сжатия/растяжения), действующая по линии центра тяжести сече­
ния; Аы, Zbxi, Zbyi, а*, - площадь, координаты центра тяжести f-ro уча­
стка бетона и напряжение на уровне его центра тяжести; As,,, Zsx,u
<3s, - площадь, координаты центра тяжести j -то стержня арматуры и
напряжение в нем.
Рис. 3.13. Пространственная схема сечения для общего случая работы
нормального сечения
71
Напряжения в бетоне и арматуре определяют на основе уравне­
ний равновесия внешних и внутренних сил.
Предельное состояние наступит, когда в наиболее напряженном
элементе сечения - сжатом бетоне или растянутой арматуре будут
достигнуты предельные деформации:
оJL , т а х
(3.22)
£л , т а х
где 8б,тах И 8^,тах ~ ОТНОСИТСЛЬНЫе ДефорМаЦИИ СООТВеТСТВСННО Наиболее сжатого волокна бетона и наиболее растянутого стержня армату­
ры от действия внешних нагрузок, определяемые из решения урав­
нений (3.19)-(3.21); 8б,„//И
- предельные значения относительных
деформаций соответственно сжатого бетона и растянутой арматуры.
Для изгибаемых и внецентренно сжатых бетонных элементов, в
которых не допускается образование трещин, расчет производится с
учетом работы растянутого бетона в поперечном сечении элемента
из условия
\^ ы , maxi — ^ b t,u lh
где Ebt,max ~ относительная деформация наиболее растянутого волокна
бетона, определяемая из решения уравнений (3.19)-(3.21);
^bt.uit - предельное значение относительной деформации растянутого
бетона.
Предельное значение относительных деформаций бетона 8 ^,„/, и
Bbt.uit принимают в зависимости от характера эпюры деформаций.
При двухзначной эпюре деформаций, т.е. наличии сжатой и растяну­
той зон, предельные их значения в поперечном сечении элемента
принимаются равными гьг и гьа соответственно (см. рис. 3.4 и 3.5).
Это в обязательном порядке выполняется для изгибаемых элементов,
внецентренно сжатых и растянутых элементов с большими эксцен­
триситетами.
При внецентрепном сжатии или растяжении с малыми эксцен­
триситетами распределение деформаций бетона в поперечном сече­
нии элемента может быть одного знака. В этом сл)^ае предельные
значения относительных деформаций бетона £ь,ии и гы.ии определяют
в зависимости от отношения относительных деформаций бетона на
противоположных сторонах сечения — < 1 по формулам
82
72
б 'з А 'з
бзАз
---Зк»
Рис. 3.14. Расчетные схемы для прямоугольных нормальных сечений:
а - кососжатых и косорастянутых элементов; б - с арматурой, сосредото­
ченной в сжатой и растянутой зонах; 1-1 - плоскость действия изгибающего
момента; А - точка приложения равнодействующей сжимающих усилий в
бетоне и арматуре; б - точка приложения равнодействующей усилий в рас­
тянутой арматуре
- напряжения бетона в сжатой зоне равны призменной прочно­
сти бетона на сжатие Кь и равномерно распределены по сжатой зоне;
- напряжения в растянутой арматуре определяются в зависимо­
сти от высоты сжатой зоны на основе гипотезы плоских сечений и
принимаются не более расчетного сопротивления растяжению Rs для
74
сталей с физическим пределом текучести и не более 1,1/?, - для ста­
лей с условным пределом текучести;
- сопротивление бетона растяжению не учитывается и прирав­
нивается нулю;
- напряжения в арматзфе сжатой зоны определяются по пре­
дельным деформациям бетона и принимаются не более расчетного
сопротивления сжатию Rsc или а,с[см. формулу (3.10)].
Тогда условия равновесия в общем виде запишутся
(3.25)
где
и 5, - статические моменты площади бетона сжатой зоны и
растянутой арматуры относительно оси, нормальной плоскости дей­
ствия момента и проходящей через центр тяжести растянутой арма­
туры.
В уравнении (3.25) Мпредставляет собой обобщенное обозначе­
ние момента всех внешних поперечных и продольных сил, дейст­
вующих в нормальном сечении относительно указанной оси.
3.2.7. Расчет нормальных сечений
Расчетом по нормальным сечениям железобетонного элемента в
общем случае преследуются две задачи: оценка прочности сечения и
подбор необходимых параметров поперечного сечения, которое от­
вечало бы требуемой прочности.
Расчет по нелинейной деформационной модели железобетонных
сечений, нормальных к продольной оси, в общем случае основан на
итерационном процессе численного определения предельного рав­
новесного состояния, отвечающего вышеперечисленным критериям.
Для этого сжатую зону бетона в направлении, нормальном ней­
тральной оси, разбивают на ряд участков малой ширины, напряже­
ния в которых принимают равномерно распределенными и соответ­
ствующими деформациям на уровне середины ширины участка.
Очевидно, что это связано с большим объемом вычислений, по­
этому расчет рекомендуется автоматизировать с помощью компью­
терных программ.
Рассмотрим общий случай построения алгоритма расчета по
проверке прочности нормального сечения на примере двутаврового
75
сечения, показанного на рис. 5.75, в котором действуют внешние из­
гибающие моменты М х ^ Му но обеим координатным осям л: и и
продольная сжимающая сила:
Рис. 3.15. Эпюры деформаций и напряжений в сечении, нормальном
к продольной оси железобетонного элемента,
в общем случае расчета по прочности:
а) двухзначная эпюра деформаций; б) однозначная эпюра деформаций
1.
Задаются углом наклона нейтральной оси к оси в 1-м при­
ближении это направление определяется как для упругого материа­
ла, т.е. принимается угол наклона нейтральной оси к оси;; равным
е = агс1§— —
(3.26)
где 1х и 1у - приведенные моменты инерции сечения относительно
главных осей.
При действии изгибающего момента и/или продольной силы
только в плоскости оси симметрии сечения направление нейтраль­
ной оси перпендикулярно рассматриваемой плоскости.
76
2. Определяют характер эпюры деформаций путем сравнения
внешней продольной силы N и внутреннего усилия Nc, определенно­
го из уравнения равновесия (3.21) при значениях продольных де­
формаций Єі в крайних точках, равных 8^2 и 0. При N > Мс~ эпюра
однозначная, при М< Мс~ эпюра двухзначная.
3. При двухзначной эпюре деформаций последовательными
приближениями подбирают такую высоту сжатой зоны х, при кото­
рой выполняется равенство (3.21); при этом в крайней сжатой точке
принимается £ь~
деформации сжатого бетона каждого /-го участ­
ка принимаются равными Єб,- = ВьгУы !х, а деформации каждого у-го
стержня армат)фы = гьтУзі / х, где уы и у^і - расстояния от ней­
тральной оси до центра тяжести соответственно г-го участка бетона
и 7 -го стержня арматуры. В случае, если е^.щах > 0,025, принимается
£д',тах 0,025, и тогда £ьі~ £5,шах 3^6/ /(^ 0 -^)?
Є^^щахЗ^д’/ /(^ 0
ГДЄ'
ко - расстояние между наиболее растянутым стержнем арматуры и
наиболее сжатой точкой бетона в направлении, нормальном ней­
тральной оси. Деформации растянутой арматуры принимаются со
знаком «минус».
4. При однозначной эпюре деформаций последовательными
приближениями подбирают такое отношение деформаций в крайних
точках а = Єі/Є2 < 1, при котором выполняется равенство (3.21); при
этом в крайней сжатой точке всегда принимается деформация єь.иіь
определенная по формуле (3.23), деформации сжатого бетона каждо­
го /-Г0 участка принимаются равными
мации каждого _/-го стержня -
= є^,„/Да+—(1-а)] , а дефор-
к
= 8*„„[а+^( 1 -а)] , где у і и yoj - рас-
стояния от наименее сжатой точки до центра тяжести соответствен­
но г'-го з^астка бетона и у-го стержня арматуры в направлении, нор­
мальном нейтральной оси, к {см. рис. 3.15, б).
5. По формулам системы уравнений (3.19) и (3.20) определяются
моменты внутренних усилий Мх.ии и Му.г,//. Если оба эти момента ока­
зываются больше или меньше соответствующих внешних моментов
Мх и Му относительно тех же осей, то прочность сечения считается
обеспеченной или необеспеченной.
Если один из моментов (например, Му,„/,) меньше соответствуюшего внешнего момента (т.е. Му^ии < М ^, а другой больше (т.е. Мх,ии >
> Мх), задаются другим углом наклона нейтральной оси О (большим,
чем ранее принятый) и вновь проводят аналогичный расчет.
77
При действии растягивающей силы или при ее отсутствии рас­
чет можно производить аналогичным образом. При расчете бетон­
ных элементов с учетом работы растянутого бетона значения гы за­
меняются на Єб,2, а Еъ.ии на гы,ипДля предварительно наряженных элементов деформации арма­
туры и бетона определяются с учетом начального напряженнодеформированного состояния.
Для прямоугольного сечения с концентрацией арматуры с физи­
ческим пределом текучести в сжатой и растянутой зонах задача рас­
чета прочности по нормальному сечению может быть решена ана­
литическим путем. Основываясь на том, что в бетоне достигнуты
предельные деформации, определим высоту сжатой зоны из зфавнений равновесия продольных сил.
Усилие в сжатом бетоне при двухлинейной диаграмме деформи­
рования, согласно рис. 3.6, б, равны
X - X
^Ь\.гес1
------— ЪК, + х ^ Ъ К , - 0 , 5 =
^Ь2
'Ы у
(3.27)
= ^ х Ь К , л - ~ х Ь К , 0,5 = 0,19К,хЬ.
Если предположить, что X <
где
- см. формулу (3.14), то
напряжение в растянутой арматуре равно /?,, а усилие в этой армату­
ре
Условие равновесия запишется
хЬК,0,19 +
± N = 0,
(3.28)
и высота сжатой зоны будет равна
х =-
0,79М,
(3.29)
Если X > ^Rho, усилие в растянутой арматуре определяется с уче­
том высоты сжатой зоны
К - хЛ ^ .
____ К - х
£ А = 7 0 0 А , - ^ ----- .
78
(3.30)
Условие равновесия с учетом усилия в сжатой арматуре
N, +
- N , , ± N = 0,
после подстановки значений внутренних усилий МьиМ^и некоторых
преобразований приводится к квадратному уравнению
x^bR ,0,79 + x(R^^.Ai + 1 0 0 A ^ ± N ) - 7 0 0 A ^ h , = 0 .
(3.31)
Высота сжатой зоны определится как корень решения квадрат­
ного уравнения (3.31)
JC .........11
+ 7004 ±
+ 2200bh,R,Ä, - ( R ^ 4 + 7 0 0 4 ± N )
• ■■-
^
I^ ^ ^ )
1,58M,
Выражение для изгибающего момента внзггренних сил относи­
тельно центра тяжести растянутой арматуры при еы,те^ ^ 2 - 3/7 во
всех случаях будет иметь вид
M = R^b-^x{h„-^x) +R i , b - ^ x j ( h „ - ^ x - ^ x ) +
Щ Л іК -Л
После преобразований выражение (3.33) приобретает вид
М = Äj6x(0,79A„ -0,316л:) + Д„4'(*о - о ')-
(334)
При расчете по предельным усилиям действительная криволи­
нейная эпюра сжатой зоны бетона заменена условной прямоуголь­
ной эпюрой (см. рис. 3.7, Э), высота которой, судя по формуле (3.29),
в среднем на 20% меньше фактической высоты сжатой зоны. Поэто­
му выражение (3.14) для определения граничной высоты сжатой зо­
ны при расчете по прочности нормального сечения по предельным
усилиям имеет вид
79
_ 0,8
Ъя —
е.о ■
1+
(3.35)
‘ Ь2
Оценка прочности заключается в сопоставлении внешних уси­
лий, действующих в рассматриваемом сечении, с внутренним усили­
ем, воспринимаемым сечением в предельном состоянии. Прочность
считается обеспеченной, если комбинация внешних усилий окажется
меньше внутренних предельных усилий.
Проверка прочности нормального сечения производится на ос­
нове расчетных уравнений равновесия (3.19)-(3.21). Для нормаль­
ных сечений, симметричных относительно плоскости действия мо­
мента с арматурой, расположенной у наиболее растянутой и сжатой
граней элемента (см. рис. 3.14, б), условие прочности запишется в
виде
+
(3.36)
в выражении (3.35) предельный момент внутренних сил опре­
деляется относительно центра тяжести растянутой арматуры, для
вычисления которого необходимо знать высоту сжатой зоны х, ха­
рактеризующей усилие в сжатом бетоне, и напряжения К^с в про­
дольной сжатой и
в растянутой арматуре. Напряжения в сжатой
арматуре принимаются в соответствии с требованиями, изложенны­
ми в разд. 3.2.4. Высоту сжатой зоны находят из условия равновесия
проекций всех сил на продольную ось элемента;
R ,A ,+ R J ^ - a A .± N - 0 .
(3.37)
Высота сжатой зоны при прямоугольной эпюре напряжений оп­
ределяется также в предположении равенства усилий в сжатом бето­
не или из условия равенства площадей эпюр напряжений соответст­
венно прямоугольной и трапециевидной. Для принятой двухлиней­
ной диаграммы деформирования бетона (см. рис. 3.4) соотношение
высот сжатой зоны составит “ -0:79,
X
при прямоугольной эпюре напряжений.
80
_ высота сжатой зоны
Из вьфажения (3.39) видно, что с увеличением количества про­
дольной растянутой арматуры высота сжатой зоны бетона возрастает
и наступает такой момент, когда она достигает граничного значения
выше которого напряжения в растянутой арматуре будут ниже
прюдела текучести 7?^. Таким образом, граничное значение высоты
сжатой зоны является критерием переармирования сечения, т.е. оп­
ределяет границу количества арматуры, при превышении которой
напряжения в растянутой арматуре будут ниже установленного рас­
четного сопротивления.
Явление переармирования чаще всего связано с установкой до­
полнительной арматуры (по сравнению с расчетом по прочности)
для соблюдения требований второй группы предельных состояний по трещиностойкости и деформативности и реже по конструктивным
требованиям, например, ограничение габаритов сечения и т.п.
Следует отметить, что интенсивность увеличения прочности се­
чения при дальнейшем возрастании количества продольной армату­
ры за границей переармирования снижается по сравнению с тем, как
это происходит до границы переармирования.
Как видно из рис. 3.16, несущая способность переармированных
сечений с арматурной сталью с физичесхсим пределом текучести
возрастает незначительно. Для таких сечений можно принять упро­
щающее правило - за границей переармирования несущая способ­
ность сечения принимается постоянной и равной соответствующей
величине на границе переармирования. Другими словами, если отно­
сительная высота сжатой зоны ^ получается больше
то в расчет­
ное условие (3.40) следует вводить высоту сжатой зоны, равную
В элементах с арматурой с условным пределом текучести при­
рост несущей способности значителен. Это связано с тем, что с раз­
витием деформаций в области переармирования такой арматуры на­
пряжения в ней уменьшаются не так быстро, как напряжения в арма­
туре из мягких сталей {си. рис. 3.16).
Несущую способность за границей переармирования определя­
ют из условия (3.40), где высота сжатой зоны устанавливается из
уравнения
(3-41)
а напряжения в продольной арматуре находятся по формулам:
при арматуре с физическим пределом текучести
82
о ,= є Д ,
(3.42)
при арматуре с условным пределом текучести согласно диаграмме
8,- 0 , (см. разд. 3.2.5)
ст.. = 0,9 + 0Д
400 + 0,
(3.43)
но не более 8, Е.
Рис. 3.16. Графики несущей способности прямоугольного сечения
с одиночной арматурой
1,2,3 - границы переармирования при арматуре классов соответственно
А800, А400, АЗОО; 4, 5, 6 - графики а„=Да,) при арматуре классов А800
(при (У^р= 400 МПа), А400 и АЗОО; 7 - ірафик й;„=Да,) при а ,= і?, любого
класса арматуры
В формулах (3.42) и (3.43):
8, - деформация растянутой арматуры, соответствующая плос­
кому сечению, т.е. равная
(3.44)
83
ГДЄ X/ - фактическая высота сжатой зоны, равная Xf = д:/0,8; Е^, Rs,
asp - в МПа.
Расчет прямоугольных сечений
Рассмотрим практические методы расчета элементов прямо­
угольного сечения без предварительного напряжения при арматуре с
физическим пределом текучести. При заданной геометрии сечения,
количестве и расположении арматуры (рис. 3.17) прочность нор­
мального сечения проверяется из условия
М < КьЬх(Ьо - 0,5х) + К А[ (Ы ~ с/).
(3.45)
где высота сжатой зоны при расчете по предельным усилиям опре­
деляется из условия равновесия по формуле
л
(3.46)
к,ь
м.
с
Рис. 3.17. Схема усилий и эпюра напряжений в поперечном
прямоугольном сечении изгибаемого железобетонного элемента
Если выполняется условие
то проверка прочности
к
производится по выражению (3.45) без изменения входящих в нее
величин.
84
при X > ^й/?о из условия M<aRRb И1,
(3.53)
при этом несущую способность можно несколько увеличить, ис­
пользуя выражение (3.49).
При арматуре с условным пределом текучести, как видно из диа(см. рис. 3.12), при є, > — - є
граммы
, т.е. при ^
напря-
жения в растянутой арматуре
следует принимать превышающим
но не более 1,1/?^. Это напряжение определяется из решения
уравнения (3.43). Чтобы упростить такой расчет, можно значение
в пределах
принимать изменяющимся по линейной зави­
симости от отношения
в пределах от 1,0 до где ^гр - отно­
сительная высота сжатой зоны, соответствующая
1,1і ?іДля определения ^гр приравниваем
значению 1,1/?^. Тогда,
приняв 3,5-^-;;--- ^ = 8^ •10^ , Г ~
-
•1 0 ^ Е^., полу-
_
_ 0 ,8 - 3 ,5 - 3 ,5 ^ ^ + (8 ,^ -0 ,9 г)^,,
чим 0,9+ 0,1------------------ ------- ------------- ^=^1,1(2 + 0,1г)^,,,
Откуда
2,8
=■
7,5 + 1,1г - 8
При принятых обозначениях, исходя из формул (3.14) и (3.18),
имеем
---- — ---- , и тогда /с = — = — ^---------- ^1-,
7,5 + 1,1г-Е,,,,
Значение
определим, умножая
1,10,1^/;^^
Ул “
котором, когда
7?^
на
коэффициент
= А:, у^з = 1,1, а когда
^ ^ л = 1 Д у .з = 1 Д
Анализ значений к при различных к л асса арматуры и напряже­
ний
показал, что значения к находятся в пределах 0,715-0,74.
В частности, при классе А600 и о^р = 0,SRsn = 480 МПа имеем
5,5 + 2 ,6 -2 ,4
г = 520/200 = 2,6, 8,;, = 480/200 = 2,4, к = „
= 0,716.
7,54-1,1-2,6-2,4
Приняв к = 0,7, получим
у ,з = ( 4 - ^ Ы / 3 ,
но не более 1,1.
86
(3.54)
в пособии [4] этот коэффициент принят с некоторым запасом
У,з = (5 - ЩяУА - 1,25 ^ 0 ,2 5 ^ ^ ,
(3.55)
но не более 1,1.
Исходя из условия равновесия, имеем
кф к
Но значение
входящее в формулу (3.55) или (3.54), должно
быть определено с учетом еще неизвестного значения ysъ■ Таким об­
разом, чтобы определить значение у^з, входящее в формулу (3.56),
следует исключить из формулы (3.55) значение
Приняв
и
^преобразуем формулу (3.56)
Выразим относительную высоту сжатой зоны ^ через у^з соглас­
но формуле (3.55)
(3.58)
Приравняв значение ^ из формул (3.57) и (3.58) друг другу, т.е.
~ ^с
“ 4^д/^з =/^з(^]
можно определить значение у^з;
^1Д.
(3.59)
4 ^ « + 4 |+ “ с
а условие прочности записываем в виде
М < К,Ьк1^{\ - ^ / 2) +
87
{К - а').
(3.60)
Если в сжатой зоне имеется предварительно напряженная арма­
тура, то для такой арматуры, согласно разд. 3.2.4, во всех формулах
К^с заменяется на о.с-
д:::
Рис. 3.18. Поперечное сечение изгибаемого элемента с предвари­
тельно напряженной арматурой
Если по формуле (3.56) X < О, то прочность сечения проверяется
из условия
М < ( 1 , 1 + Л*Л)(/го - а [ ) .
(3.61)
Допускается при отсутствии или малом количестве ненапрягае­
мой сжатой арматуры коэффициент у^з определять по формуле
(3.55), принимая ^=^\.
К
Если ^
т.е. 8 =< — - 8 значение а,с должно быть меньше
Е,
Хотя это уменьшение, как следует из графика на рис. 3.16, не
очень велико, его следует учитывать в расчете. Значение
можно
также определять из решения уравнения (3.43), принимая не более
EsEs. в пособии [4] для упрош.ения расчета можно, не вычисляя зна­
чение Ст:;, усилие в сжатом бетоне относительно растянутой арматуры
= Я,рк1'ф. - ^ / 2) определить по формуле
(3.62)
где
= 4(1 - 4/2), ая = а д - 4«/2).
Подбор продольной арматзфы рекомендуется производить, ос­
новываясь на принципе предельного равновесия, - на стадии разру­
шения напряжения в продольной растянутой и сжатой арматуре и
сжатом бетоне должны соответствовать установленным расчетным
сопротивлениям. Основным критерием является условие ^
при
выполнении которого сечение считается непереармированным.
Необходимое количество сжатой ненапрягаемой арматуры опре­
делится из условия прочности сечения (3.45) по выражению
^ ,7 %
(3.63)
где М - изгибаюш;ий момент от внешних сил;
момент от усилий в бетоне сжатой зоны бетона высотой х =
относительно центра тяжести растянутой арматуры.
Сжатая арматура по расчету не требуется, если по выражению
(3.63) значение
получается равным нулю либо отрицательным.
При положительном значении
, т.е. когда показана расчетная по­
требность в сжатой арматуре, плош;адь растянутой арматуры опреде­
ляют следуюш;им образом. Если принятая площадь сжатой арматуры
близка к расчетной, то площадь растянутой арматуры определяется
из условия равновесия продольных сил в сечении при высоте сжатой
зоны бетона, равной граничной:
Если принятая площадь сжатой арматуры
существенно пре­
вышает расчетное значение, полученное по выражению (3.63), то
необходимо определять площадь растянутой арматуры по откоррек­
тированному значению высоты сжатой зоны бетона с учетом факти­
ческого значения
.
Высоту сжатой зоны бетона определяют из уравнения равнове­
сия моментов внутренних и внешних сил
М = К,Ьх{к^-0,5х) + К ^ Х [ \ - а [ ) ,
(3.65)
--------
Полученное значение л: подставляют в условие равновесия
(3.39), и величина площади растянутой арматуры определится
‘
д
“
<3.67)
в практических расчетах рекомендуется подбор продольной ар­
матуры производить следующим образом:
~ вычисляют значение а „ = ------ г-;
к ,ь \
(3.68)
- если а„, < а«, сжатая арматура по расчету не требуется;
- при отсутствии сжатой арматуры площадь сечения растянутой
арматуры определяется по формуле
4 = й А (1 -^ 1 -2 а „ )/Л ;
(3.69)
- если ат > О.К, требуется увеличить сечение, или повысить
класс бетона, или установить сжатую арматуру.
Площади сечения растянутой
и сжатой
арматуры, соот­
ветствующие минимуму их суммы, если по расчету требуется сжатая
арматура, определяют по формулам
(3 70)
‘
Ж К - “')
А. = ^ЯіЬ/го/Я, + 4 -
(3.71)
Если значение принятой площади сечения сжатой арматуры А'
значительно превышает значение, вычисленное по формуле (3.70),
площадь сечения растянутой арматуры можно несколько уменьшить
по сравнению с вычисленной по формуле (3.71), используя формулу
90
4 = Д Л ( 1 - л / 1 - 2 а „ ) / Л , + 4' ,
(3.72)
М - Д „ 4 '( /^ - « ')
'1 7 .7
’ > О.
(3.73)
КЬК
При этом должно выполняться условие ат < а«.
Продольная растянутая арматура с условным пределом текуче­
сти подбирается по алгоритму для арматуры с физическим пределом
текучести. Первоначально проверяется необходимость установки
сжатой арматуры
где а . =
Если а„ < «я =
- ^д/2), то сжатая ненапрягаемая арматура по
расчету не требуется. В этом случае площадь сечения напрягаемой
арматуры в растянутой зоне при известной площади ненапрягаемой
растянутой арматуры
(например, принятой из конструктивных
соображений) определяется по формуле
Щ Ъ \-К А
где ^ = 1 -л /1 -2 а ^ .
Коэффициент ysъ, учитывающий условия работы арматуры за
пределами условного предела текучести, определяется по формуле
(3.55).
Если а;;, > ад, то требуется увеличить сечение, или повысить
класс бетона, или установить сжатую ненапрягаемую арматуру.
Требуемая площадь сечения сжатой ненапрягаемой арматуры
при известной площади напрягаемой арматуры
(например, при­
нятой из условия ограничения раскрытия начальных трещин) опре­
деляется по формуле
При наличии в сжатой и растянутой зонах напрягаемой и нена­
прягаемой арматуры, установленной по конструктивным или иным
91
требованиям, площадь сечения напрягаемой арматуры растянутой
зоны определяется с их учетом по формуле
------------------
где ^ = 1 -^ 1 -2а,„ ;
т
■
в выражении (3.75) должно соблюдаться условие ^
При невыпонении этого требования площадь сечения арматуры в сжатой
зоне должна быть увеличена до значений, получаемых по выраже­
нию (3.76).
Если
< О, значение Asp определяется по формуле
м1{Ы,~а[\-КА
— й — 1^.
(3.79)
Расчет тавровых и двутавровых сечений
Проверка прочности нормальных сечений, имеющих полку в
сжатой зоне (тавровых, двутавровых и т.п.), производится в зависи­
мости от положения границы сжатой зоны. Граница сжатой зоны
проходит в полке {рис. 3.19, а), если соблюдается условие
КЛ<КьЬ',И'^+Я^Х.
(3 .80 )
Иными словшш, сжимающее усилие полностью воспринимается
полкой и условная граница сжатой зоны находится в пределах высоты
полки. Опираясь на принятую предпосылку расчета по прочности нор­
мальных сечений по предельным усилиям - неучет растянутого бетона,
расчет производят как для прямоугольного сечения шириной Ь]..
Граница сжатой зоны проходит в ребре {рис. 3.19, б), если усло­
вие (3.80) не соблюдается. В этом случае условие прочности запи­
шется
м < к м К - ^ М + Я ь А Х К -о ,5 /?;)+ д Л -(^ о - « ) ,
где Ао^ - площадь сечения свесов полки, равная (6^.-6)/?^.
92
(3.81)
Высота сжатой зоны определится из уравнения равновесия
по формуле
Д'4 - к ^ Х - к Л
к,ь
а
(3.82)
:
/
а)
б)
■'4
-Я -
Рис. 3.19. Положение границы сжатой зоны в тавровом сечении
изгибаемого железобетонного элемента: а - в полке; б - в ребре
Если X
/?о, сечение считается переармированным, и в усло­
вии (3.81) высота сжатой зоны принимается равной х =
Тогда
М <
+К ,А ^ К
-
где
0,5А; ) + Я Х Х К - «О ,
(3.83)
=^^J(1-0,5^^J).
Приведенное в формуле (3.49) увеличенное значение момента
усилия в сжатом бетоне ребра здесь обычно учитывать не имеет
смысла, поскольку при наличии сжатой полки это увеличение край­
не незначительно.
Для элементов, армированных в растянутой зоне сталями с ус­
ловным пределом текучести, при выполнении условия д: < /?онеоб­
ходимо учитывать в предельной стадии превышение напряжений в
растянутой арматуре с помош.ью коэффициента
Тогда положение
границы сжатой зоны определится по зависимости
93
УsЛA +
^ Щ К +К Л ,
(3.84)
где у^з определяется по формуле (3.55) при ^ = /7^Д,.
Если условие (3.84) выполняется, то граница сжатой зоны про­
ходит в полке {рис. 3.19, а) и расчет производится как для прямо­
угольного сечения пшриной У,.
Если граница сжатой зоны проходит в ребре {рис. 3.19, б), т.е.
условие (3.84) не соблюдается, расчет производится следующим об­
разом в зависимости от относительной высоты сжатой зоны, равной
при ^
^ - из условия
М < Я,Ьх{Ь^ - о, 5х) + к ,А ,,.(к -
где X=
- КА -
+ Д.Л -
0.
4{к
- "О’
,
(3.86)
(3 87 )
Коэффициент условия работы высокопрочной арматуры за пре­
делом условного предела текучести у^з определяется по формуле
(3.59), где
а
(3,88)
«л
Для случаев переармрфованного сечения, т.е. при
проч­
ность проверяется из условия (3.83). При необходимости можно
учесть некоторое увеличение несущей способности переармированного сечения по аналогии с расчетом прямоугольного сечения, т.е.
проверить условие
м^
- 0,5а;)+ ( ^ - «О’
где
<^3.89)
и ад - определятся по рекомендациям к формуле (3.62).
Требуемую площадь сечения сжатой арматуры определяют в за­
висимости от положения границы сжатой зоны. Если выполняется
94
условие А;<^д/7о, соответствующая границе переармирования, пло­
щадь сжатой арматуры определяют по формуле
а д .- « О
в случае, если
, площадь сечения сжатой арматуры оп­
ределяют как для прямоугольного сечения шириной 6 =
по форму­
ле (3.63).
Необходимое количество растянутой арматуры определяют так­
же в зависимости от положения границы сжатой зоны. Если граница
сжатой зоны проходит в полке, т.е. соблюдается условие
-0,5к^^) + К
^
Х
(
К
(3-91)
площадь сечения растянутой арматуры определяют как для прямо­
угольного сечения шириной Ъ\ согласно выражениям (3.69) и (3.71).
Если граница сжатой зоны проходит в ребре, т.е. условие (3.91)
не соблюдается, площадь сечения растянутой арматуры определяют
по формуле
_
л -
^
*
г д е ^ = :(1 -^ 1 -2 а ,„ ),
^
м - КЛЛК -
(3.92)
(3.93)
) - к А (К я„ьи^
.3 9 4 4
При этом должно выполняться условие а„ < ад. Если это усло­
вие не выполняется, следует либо увеличить количество сжатой ар­
матуры, либо повысить класс бетона по прочности на сжатие.
При арматуре с условным пределом текучести значение Rs в
формуле (3.92) принимается с учетом коэффициента у^з, определяе­
мого по формуле (3.55), где ^ - см. формулу (3.93).
Если в сжатой зоне имеется предварительно напряженная арма­
тура, то для такой арматуры, согласно разд. 3.2.4, во всех формулах
значение заменяется на
95
3.2.9. Расчет элементов на косой изгиб
Под расчетом на косой изгиб понимается расчет нормальных сечений, не симметричных относительно плоскости действия внешне­
го изгибаюш;его момента. Это может относиться к прогонам скатных
покрытий, к балочным элементам, воспринимающим кроме верти­
кальных нагрузок существенные горизонтальные нагрузки (напри­
мер, ветровые ригели, навесные панели), и т.п. Таким образом, рас­
чет на косой изгиб рассматривается как общий случай расчета проч­
ности нормальных сечений, при котором используются все 3 урав­
нения равновесия внешних и внутренних усилий и неупругая де­
формационная модель при двухлинейной диаграмме бетона (5ь~гь
(см. разд. 3.2.3).
Как правило, в каждом сечении можно выявить какую-либо ха­
рактерную ось (например, ось симметрии или ось ребра Г-образного
сечения). Поэтому за координатные оси х ш у удобнее всего прини­
мать эту характерную ось (осьх) и ось, ей перпендикулярную (ось;;).
Алгоритм такого расчета при / / = О, который реализуется .с по­
мощью итерационного процесса, приведен в разд. 3.2.7.
При расположении большинства растянутых стержней арматуры
в достаточном удалении от сжатой зоны бетона расчет на косой из­
гиб можно проводить без использования итерационного процесса по
предельным усилиям, аналогично обычному расчету изгибаемы?!
элементов, т.е. принимая прямоугольную эпюру сжатых напряжений
бетона, равных Кь, а напряжения в растянутой арматуре равными К,.
Исследования показали, что при деформациях растянутой арматуры
не менее RJEs превышение в несущей способности, определенной
исходя из прямоугольной эпюры <5ь, над расчетом по общему случаю
не превышает 2,4%.
Проведем координатные оси через центр тяжести растянутой
арматуры, а за моменты Мх и Му примем составляющие внешнего
момента в плоскостях осейх и у (рис. 3.20).
Положение нейтральной оси находим из условия параллельно­
сти плоскостей действия внешнего и внутреннего моментов, т.е. из
м,
уравнения — ^ =
^ , а также из уравнения равновесия продоль-
ч
пых сил КьАь + RscA 's = RЛs^
Формулы, определяюпще внутренние моменты Мхм и Му_г„ зави­
сят от формы сжатой зоны. Для прямоугольного сечения можно раз­
личить две формы сжатой зоны, а для сечения с полкой в сжатой зо­
96
не восемь форм {сш.рис. 3.20). Сложность этих формул, относящих­
ся ко многим формам сжатой зоны, а также необходимость выбора
правильной формы сжатой зоны, до расчета неизвестной, потребова­
ло упрощенного подхода к такому расчету. Он основан на том, что
из всех возможных положений нейтральной оси рассматривается
только третье (рис. 3.21), при котором нейтральная ось пересекает
верхнюю грань полки и боковую грань ребра (стенки). Именно при
таком положении больше всего уменьшается плечо внутренней пары
сил по сравнению с «прямым» расчетом. Исходя из этого положения
нейтральной оси и при принятых обозначениях по рис. 3.21 приво­
дим формулы для предельных моментов
„ и Му_и’.
б)
2 1
Рис. 3.20. Различные положения нейтральных осей при косом
изгибе прямоугольного (а) и таврового (б) сечений:
1 - центр тяжести сечения растянутой арматуры
а)
А'»
г
к -
1
/'С -
Аь
'
1 4
-1
1| \
/
; ы -
^
'
1"'1
1
I
1
(
Г
1
'
•1 х '
1
!
!
;
1
__________________ 1
^
^
!
‘
As"
1
Ь«.
2
Рис. 3.21. Расчетная схема сечения, работающего на косой изгиб:
а - тавровое; б - прямоугольное; 1 - плоскость действия изгибающего мо­
мента; 2 - центр тяжести сечения растянутой арматуры
7 Заказ 40
97
(3.95)
= ЛД5„., + Д,,. ( К
-у !
3)] + Д,,5,.,
(3.96)
где 8о^,х и Sov,y ~ статические моменты площади сжатого свеса
Aov = Ь'оуЬ1/ относительно осей соответственно 7 и х; Ау^еь - площадь
сжатой зоны в пределах ребра, равная А^еь= Аь - Ао„; Аь - площадь
всей сжатой зоны, равная согласно уравнению равновесия
А -
(3.97)
к.
и
- статические моменты площади сжатой арматуры А\. отно­
сительно осей у их.
у=
2
Приравняем отношение
М^Му = ctgp:
Поскольку
X
отношению внешних моментов
ctgp =
к
^ОУ,у
Ау^(.(,
к -
2 Л,/еЬ
3
л:
Полученное уравнение является квадратным с неизвестным х.
Решение этого уравнения имеет вид
дс= -Г + 7<"+24„4 с18Р,
Величиной
(3.98)
+ M g P -^ o
А^veh
/Іг^,(5'^^ctgp-5'^.) можно пренебречь, если площадь
сжатой арматуры существенно меньше площади растянутой арматуры.
Зная размер сжатой зоны х, можно определить статический мо­
мент всей площади сжатой зоны относительно оси у при положении
нейтральной оси 3
(3.99)
При этом условие прочности всегда имеет вид
+
(3.100)
Сравним значения 8ьх, вычисленные по формуле (3.99), со зна­
чениями 8ьх, соответствующими другим формам сжатой зоны.
Очевидно, что при положении нейтральной оси 1 (см. рис. 3.20)
расчет можно вести по тем же формулам, что для прямоугольного
сечения, т.е. при 5'оу,а=
= Аоу=" о, принимая Ь = b'f.
При положении нейтральной оси 2 расчет также можно вести
как для прямоугольного сечения, поскольку величина 8ь изменяется
не более чем на 1,5%.
Положения 1 и 2 будут иметь место при Ль < Лоу
(т.е. при
< 0) или при X < Й / .
При у > Ь + Ьоу
(где Ьог - ширина наименеесжатого свеса) ней­
тральная ось может занимать положения 4-8. Поскольку величина
8ьх при таких положениях нейтральной оси довольно близка к значе­
нию статического момента сжатой зоны Зь при нейтральной оси, па­
раллельной оси у, целесообразно при достаточно больших значениях
у вести расчет по формулам «прямого» изгиба. Границей перехода от
расчета по формулам (3.97)-(3.100) к расчету по формулам «прямого
изгиба» является значение х, соответствующее 3-му положению ней­
тральной оси, при котором 8ьх =
Для прямоугольных сечений это
равенство имеет вид
Г
2Ь
Отсюда X = 1,5“ ^ , т.е. если значение х, определенное по формуЬ
ле (3.98), меньше 1 ,5 -^ , то рассчитывать сечение можно по формуЬ
лам «прямого» изгиба.
Расхождение между 8ьх, вычисленным по формуле (3.99) при
х = 1,5— и точным значением 8ьх, соответствующим трапециевидЬ
ной форме, равновеликой сжатой зоне, при действии момента под
тем же углом р к оси у и при напряжении во всех стержнях армат)фы
не превышает 1,5%.
99
Для сечений с полкой в сжатой зоне значение х, полученное из
уравнения 8ьх выражается весьма сложно, и поэтому для про­
стоты расчета условием перехода на расчет «прямого» изгиба можно
принять условие
х<
(3.101)
ь+ь.„.
где Ьоу - ширина наименее сжатого свеса.
Это условие является общим как для прямоугольных сечений,
так и для сечений с полкой в сжатой зоне, для которых расхождение
между точными и приближенными значениями 8ьх будут еще
меньшими, чем для прямоугольных сечений.
Как указано выше, напряжения растянутых стержней прршимаются рабными Rs, только если их деформации превышают Я^/Е^, что
соответствует выполнению условия
где «01 - расстояние рассматриваемого стержня от нейтральной оси
плюс XI; XI - высота сжатой зоны, измеренная по нормали к ней­
тральной оси.
У
Рис. 3.22. К определению относительной высоты сжатой зоны
элемента при косом изгибе
1001 ?’
Из рис. 3.22 видно, что
и йо1 представляют собой высоты по­
добных треугольников abc и dbe, опущенные на свои гипотенузы.
Следовательно, принимая вышеприведенные обозначения, имеем
=
к,
Ье
A „,+ (i„,+ 6:)tge
где 0 - угол наклона нейтральной оси к оси у.
Учитывая, что у =
= — , получаем tg0 = ^
2
^
,а
Если для отдельньсс стержней выполняется условие
[(где
^ - см. формулу(3.35)], то вместо расчетного сопротивления
в
формуле (3.97) площадь сечения этого стержня следует умножать на
напряжение растянутых стержней, равное
где
- деформация
растянутого г-го стержня, соответствующая линейному закону рас­
пределения деформаций при максимальной деформации сжатого бе­
тона Єб2 = 35x10“^ и при высоте сжатой зоны трапециевидной формы,
равной ^/Лоі/0,8. Тогда согласно формуле (3.11) следует
"
^ ,/0 ,8
, а при
^
= 2x10^ МПа
а... =700 М _ 1 (МПа).
(3.103)
Однако такой переход от деформации к напряжениям армат)фы
подходит только для арматуры с физическим пределом текучести,
имеющей двухлинейную диаграмму
(см. рис. 3.9). Для арматуры
с условным пределом текучести, имеющей трехлинейную диаграмму
а^-е« (см. рис. 3.11% формула (3.103) может быть применена только
0,9/г, ^
^ ,
при
< £л1 = ------ ^ • Высота сжатой зоны ^е/«01, соответствующая напряжению
при
£si
^ ,,/ 0 ,8 ^ 1 - ^ ^ ,/0 ,8 .
=
£^1,
получается
^Ь2
0,8
0,8
1+ Є.і/Єб2
101
1+ М і '
700
из
соотношения
Следовательно, формулой (3.103) можно пользоваться при > и
При наличии предварительного напряжения
согласно
о
0,9^?
0,9/г,
рис. 3.12, значение £^., равно
^
, и тогда
Е.
0,8
700
а напряжение а* увеличивается на (з^р для любых видов арматуры.
Если же
< ^ 1, что равноценно е^о > е«/ > е^ь то напряжение
(3^1, согласно диаграмме а^-е,, равно
С7„. =
где
0,1^"
+0,9 К ,
(3.104)
+ 0 ,0 0 2 .
Формулу (3.104) с незначительной погрепшостью можно выра­
зить через соответствующие высоты сжатой зоны
8^0
£ -Ъ
а.., .
5 .-5 .
А.
(3.105)
.
Таким образом, в растянутых стержнях, для которых
напря­
жения зависят от высоты сжатой зоны
а следовательно, и от х. По­
этому расчет в этом случае в принципе должен производиться последо­
вательными приближениями с корректировкой расположения осей X и
у, проходящих через точку приложения равнодействующей усилий в
растянутых стержнях. Однако, если значения превыщают не более
чем на 2 0 %, можно ограничиться одним повторным расчетом с заменой
в формуле (3.97) значения на среднее арифметическое вычисленного
значения <3si и
при этом если значение
вычислялось по формуле
(3.105), то на среднее арифметическое
и 0,97?^.
Для арматуры с условным пределом текучести при < '^R значе­
ние ^ 5 в формуле (3.97) следует принимать с учетом коэффициента
у^з [(см. формулу (3.55)] с определением
по формуле (3.102), т.е. и
в этом случае необходимы последовательные приближения. Однако,
допуская небольшую погрешность, можно ограничиться повторным
расчетом, если для прямоугольных сечений определить значение ^
102
по формуле (3.102) с учетом х, вычисленного при у^з = 1, а для сече­
ний с полкой в сжатой зоне принимать значение ^ как среднее ариф­
метическое значение ^ при у^,з = 1 и
Поскольку при арматуре с условным пределом текучести на­
пряжение не столь резко зависит от относительной высоты сжатой
зоны 4 , корректировку напряжений
можно производить не для
отдельных стержней, а для всех стержней, условно принимая их рас­
положение в центре тяжести сечения растянутой арматуры.
Растянутые стержни, располагаемые вблизи нейтральной оси,
целесообразно не учитывать в расчете, поскольку для них значение
может существенно превысить
и, следовательно, напряжения о,
в них будут весьма малы, а их влияние на несущую способность не­
значительно.
Если форма сжатой зоны существенно отличается от формы,
принятой при данном расчете, например при коробчатых сечениях
или при х > к, расчет по данному методу может привести к заметно­
му отклонению от расчета по общему случаю «не в запас». Поэтому
при необходимости точного определения несущей способности це­
лесообразно в этом случае переходить на общий метод расчета.
Несмотря на ряд упрощений, предложенный метод расчета на
косой изгиб представляется достаточно трудоемким при ручном сче­
те, особенно если речь идет о подборе минимально необходимой ар­
матуры. Поэтому в пособии [3] (рис. 3.7) приведен упрощенный ме­
тод расчета с помощью графиков, позволяющий как проверить не­
сущую способность сечения, так и подобрать необходимую армату­
ру. За основу построения графиков приняты изложенные выше
принципы расчета при условии полного учета расчетного сопротив­
ления растянутой арматуры
При определении Мх,и использовалось значение х, полученное из
уравнения (3.96) с подстановкой значения;^ = 2Ау^і/х. В результате
формула для X имеет вид
х = - ----------------------------------------------------------^ 4 « * ---------
преобразуем уравнение (3.95), подставив в него формулу
(3.106):
103
^х,и
^sc^sx
^b^ov,x~^bAyweb
^x,u
Обозначив a .
9
^.ic^sx
4 .»
M y - R .A - R b S ..,r
^oA^veh
R.
^b^ov^
.
Rbboh^o
my
Rbbf) hg
boK'
1 _ 2 . . a:
9 a.. - a
На основе этой формулы построены графики зависимости зна­
чения а^сОТ параметров а^уИ
{см.рис. 3.7 пособия [3]). По най­
денному из трафиков значению а^с прочность проверяется из усло­
вия
По этим графикам также можно определить требуемую площадь
сечения растянутой арматуры, наметив предварительно расположе­
ние ее центра тяжести. Для этого при
по значениям
и
ату находят значение а^. И тогда
А ,= ( а ,Ь А + А „ ) ^ + А І ^
Условия (3.101) и ^ <^R даны в виде ограничивающих кривых.
Так, если точка с координатами а^х и а^у находится слева от кривой,
соответствующей параметру {bov + b)/bo, то выполняется условие
(3.101) и расчет ведется по формулам «прямого» изгиба. Если эта
точка находится справа от кривой, соответствующей параметру
/ 6(,, то условие ^
может не выполняться. Во избежание этого
следует повышать класс бетона, устанавливать (увеличивать) сжа­
тую арматуру или увеличить размеры сечения. Кривые, соответст­
вующие параметру
, построены на графике исходя из равенства
= 0,53, которое используется для ненапряженной арматуры
104
класса А400. Для арматуры большей прочности
< 0,53, поэтому
условие ^
следует проверить после определения значения X .
При построении графиков значение вычислялось по формуле
(3.102) при Ьоі = 0,5Ьо и ко; = ко.
Таким образом, кривые с параметрами b'oJbQ приближенно оце­
нивают условие ^
и если наименее растянутый стержень отсто­
ит от боковой грани на расстояние меньше, чем 0,5 ко, а точка с ко­
ординатами атх и ащу располагается вблизи кривой с параметром
b'oJbo, то следует проверить условие ^ ^ и прочность сечения по
формулам.
Условие Аь > Аоу (т.е. А^еь > 0) можно представить в виде
а,„х > О, поскольку значение
пропорционально значению Ау^еь-
3.2.10. Внецентренно сжатые элементы
Внецентренно сжатые элементы с арматурой, сосредоточенной у
граней, нормальных плоскости действия момента, можно рассчиты­
вать как изгибаемые элементы по предельным усилиям, принимая
прямоугольную эпюру сжатых напряжений бетона, равных Кь. Одна­
ко в отличие от изгибаемых элементов напряжение в армат)фе 5, т.е.
расположенной у растянутой или менее сжатой грани, изменяется в
зависимости не только от ее количества, но и от продольной силы N.
проходя с возрастанием силы N значения от предельных растяги­
вающих напряжений Rs до нуля и далее до предельных напряжений
сжатия Ksc. Поэтому для внецентренно сжатых элементов следует
рассматривать две области работы армат)фы: с напряжениями, рав­
ными К^, и с переменными напряжениями, изменяющимися от зна­
чений Ks до значений -Rsc^ Эти области работы арматуры называют
соответственно первым и вторым случаями сжатия. Граница между
этими случаями сжатия определяется граничной высотой сжатой зо­
ны
(см. разд. 3.2.7).
Прочность нормальных сечений внецентренно сжатых элемен­
тов рассчитывается из сопоставления внешнего и внутреннего мо­
ментов относительно оси, проходящей через центр тяжести армату­
ры 5, т.е. из условия
М < К А+ К .оА',{к»-^)-К (у-а),
(3.107)
где М - внешний момент, полученный из статического расчета
105
конструкции относительно оси, проходящей через центр
тяжести бетонного сечения;
у - расстояние этой оси от растянутой или менее сжатой грани.
Для прямоугольных сечений это условие приобретает вид
М< КьЪх{К-хП) + { К с А ' ^ - а Ч
(3.108)
Высота сжатой зоны л: определяется из уравнения равновесия
внешней и внутренней продольной силы, при этом, если имеет ме­
сто первый случай сжатия, напряжение в растянутой арматуре при­
нимается равным /г,.
N = RьAь■^R,oA's-RsAs.
Для прямоугольного сечения Аь = Ъх, и тогда для таких сечений
высота сжатой зоны будет равна
х=^{Ы + RЛ^ - RsoA^s)l{Rbb).
При наличии в сжатой зоне полки сплощадью
Аоу Аь= Ьх + Аоу, и тогда
(3.109)
свесов
X = (]\/' + RbAoy+ RAs - RscA's)l{Rbb).
Если значение х превышает
то имеет место второй случай
сжатия, и тогда уравнение равновесия продольных сил
N = R ь Aь ^R ,A ^ s- ^sA .
(3.110)
имеет два неизвестных; х и напряжение арматуры о*. Чтобы решить
это уравнение, надо значение
выразить через величину х. Если
исходить из гипотезы плоских сечений, то при двузначной эпюре
деформаций и деформации в крайнем сжатом волокне, равной
____ __________
. _____
__________
Ей = 3,5x10.-3, деформация
растянутой
арматуры
равна £^. = £^3 1 -^ ,
где
- относительная высота сжатой зоны, при которой эпюра
напряжений имеет трапециевидный характер. Ранее было принято,
10
106
^ , а для арматуры класса
ст., = &..Е. ~ 700
0,8
-1
(МПа).
(3.111)
После подстановки этого значения ст^ в формулу (3.110) получа­
ется квадратное уравнение с неизвестным ^ = х//го, которое для пря­
моугольного сечения имеет вид
0,8
-1
7 0 0 4 + і^.
а решение
- г , где
2
=-
/;„„4 + 7 0 0 4 - і у
2К,ЬК
Однако если полученное значение ^ превышает 0,8х1,1 = 0,88,
то > 1,1, что соответствует сжатию всего сечения, и тогда исполь­
зовать это значение ^ в условии (3.108) будет неправильно, посколь­
ку отношение высот сжатой зоны при прямоугольной и трапецие­
видной эпюрах напряжений будет не равно 0,8, а максимальная де­
формация сжатого бетона будет меньше деформации Єи = 3,5 10“^,
при которой определялось значение
Чтобы правильно в этом случае определить предельный момент,
можно, используя неупругую деформационную модель, из уравне­
ния равновесия продольных сил определить отношение деформаций
бетона на противоположных гранях элемента а = Єтії/Єтах? принимая
согласно формуле (3.23) Єщах = (3,5 -1 ,5 а) 10“^ Однако в результате
этого получается довольно сложное уравнение 4-й степени.
Чтобы упростить расчет при втором случае сжатия в Своде пра­
вил [1] использована линейная зависимость напряжений ст^ от отно­
сительной высоты сжатой ^ в пределах от
до 1,0, где ст^ меняется
от
до -К^с {рис. 3.23). Эта зависимость выражается формулой
(3.112)
При этом, если
= К^с, эту формулу можно упростить;
(3.113)
ст. = і ї .
І 1-^«
107
J
Подставляя эту формулу в формулу (3.110), получаем уравнение
первой степени, решение которой для прямоугольного сечения имеет
вид
Ы+
А[
(3.114)
2К А
бв (МПа)
Рис. 3.23. Зависимость а* = Л^) при арматуре класса А500:
1 -п о формуле (3.111); 2 - п о формуле (3.112)
Если использовать формулу (3.112), то значение х будет равно
/
‘ХС* 'Л
108
Как видно из рис. 3.23, при > О разница в зависимостях ст
по формулам (3.111) и (3.112) незначительна. При ст^ < О разница в
предельных моментах, определенных из условия (3.108) и исходя из
деформационной модели, также незначительна, поскольку граничные
параметры в этой области расчета практически одинаковы.
Наиболее часто внецентренно сжатые элементы (колонны, стой­
ки) имеют прямоугольное сечение и симметричное армирование
(As = A^s)■ Для таких сечений, исходя из формул (3.108), (3.109),
(3.112) и (3.113), на рис. 3.24 построены графики зависимости
КА
оСш = Х^и) для различных значений а , = —
при 5 = г/У/го = 0,14,
где а„, =
, а„ -
. Используя эти графики, проверку
прочности можно упростить, для чего по
и прочность проверяют из условия М <
и а„ находят значение ащ
.
При изменении значений 5 от 0,05 до 0,15 кривые а« =Да„) незна­
чительно отклоняются от кривых, приведенных на рис. 3.24, что позво­
ляет использовать эти кривые при значениях 5, не превосходящих 0,15.
Армирование колонн высокопрочной армат)фой класса А600 и
выше, как правило, нерационально, поскольку ее расчетное сопро­
тивление сжатию при учете кратковременных нагрузок, как указано
выше, не превышает 400 МПа.
Рис. 3.24. Кривые взаимодействия предельных усилий N и М
для прямоугольных сечений с симметричной арматурой:
_________для арматуры классов А-Ш (А400) и А-П (АЗОО)
________ для арматуры класса А500
109
Подбор арматуры
Для прямоугольного сечения с симметричным армированием
при RsAs ~ RscA's необходимую площадь сечения арматуры подбира­
ют следующим образом. Определяют для таких сечений относитель­
ную высоту сжатой зоны в предположении 1-го случая сжатия:
^ X
N
^ = — = -------- = а„.
К КьЬК
Если а„ <
то действительно имеет место 1-й случай сжатия и
пА
относительная величина необходимой арматуры
^
находится из условия (3.108), преобразованного путем деления всех членов
на RbbhQ в равенство
а,„ = ^(1 - ^ ) + (а, - а Л ) ( 1 - 5),
откуда при ^ = а„ имеем
1-6
(3.115)
где ат\ = а;„ + а„(1 - 5)/2.
Если а„ >
то относительную высоту сжатой зоны следует оп­
ределять из формулы (3.114). Учитывая RsAs =
преобразуем эту
формулу
^ ^ а„(1 -5 д ) + 2а.Лд
1 -5 « + 2а.
Как видим, значение %здесь зависит от еще неизвестного значе­
ния а^, и поэтому подбор этого значения выполняется итерациями.
При первой итерации вычисляется значение
по формуле (3.115), а
при послед)ТОЩих итерациях по формуле
а
1 -6
(З.И7)
При этом можно ограничиться двумя итерациями, если при пер­
вой итерации в формуле (3,116) значение а„ заменить на (а„ + 4л)/2.
110
Если в расчете учитываются кратковременные нагрузки, то для
арматуры класса А500 и выше значение Rs не равно Я^с и, следова­
тельно, относительная высота сжатой зоны, соответствуюш^ая пер­
вому случаю сжатия и равная
+
(1_^) (где*: = д,уд,), (3.118)
К
зависит от еще неизвестного значения а^, т.е. даже границу между
случаями сжатия приходится определять итерациями. Однако и в
этом случае можно ограничиться двумя итерациями, принимая в
а . -^,(1-^/2
^ а„ + ^„
первой итерации а , '------------ , где
1—5
2
При этом, если ^ < l^R, это значение ^ принимается как оконча­
тельное.
Если ^
окончательное значение ^ определяется из формулы
(3.116), преобразованной в вид
а „ ( 1 - ^ ,) + а Д 1 - ^ + 2^,^)
1 - ^ , + а Д 1 + А:)
В обоих случаях значение а , определяется по формуле (3.117).
Необходимая площадь сечения арматуры во всех случаях равна
а„
Я
Если значение а = а' не превьш1ает 0,15/?о, значение можно так­
же находить по графикам на рис. 3.24 на основе величин а„ и
Если в колонне (стойке) эпюра моментов при невыгоднейшей
комбинации нагрузок близка к однозначной и отсутствует возмож­
ность появления значительных моментов противоположного знака,
то более рациональным может быть подбор несимметричной арма­
туры, так чтобы сумма значений As и
была минимальной. Это
достигается в случае, если растянутая арматура работает с полным
расчетным сопротивлением при максимально возможной высоте
сжатой зоны, которая, очевидно, приводит к минимальной площади
111
сжатой арматуры Л'^. Такая высота сжатой зоны, очевидно, должна
быть равна
Площадь сечения сжатой арматуры определяется из условия
равновесия моментов относительно оси, проходящей через центр
тяжести растянутой арматуры при х =
т.е.
_М +
~ а!) 1 1 4 = ---------° ^
(3-119)
где ад = ^д(1 - ^д/2).
Площадь сечения растянутой арматуры определяется из условия
равновесия продольных сил при известном усилии RscA\\
А, = {^кКьЬЬ + R
s
c
A
^
s
- (3.120)
Если принятая площадь сжатой арматуры из-за конструктивных
требований значительно превышает значение A^s, вычисленное по
формуле (3.119) (например, если полученное значение А[, меньше
нуля), то высота сжатой зоны уменьшается по сравнению с ^д/?о, что
приводит к увеличению плеча внутренней пары сил, и тогда пло­
щадь растянутой арматуры может быть уменьшена по сравнению с
вычисленной по формуле (3.120). Для этого из условия (3.108) опре­
деляют высоту сжатой зоны, учитывая фактическую площадь сжатой
арматуры А^/.
х =\ -
где М\ = М + Щко - с/)И, а площадь растянутой арматуры из форму­
лы (3.109)
A,^{Rbbx-^RscA\-N)IR,.
(3.121)
Полученное из формулы (3.120) отрицательное значение As по­
казывает, что эта арматура по расчету не требуется, и тогда значение
A^S можно уменьшить, определив ее исходя из отсутствия растянутой
арматуры. Решая систему из двух уравнений равновесия (3.108) и
(3.109) и принимая As = О, можно вывести формулу для A^s■
112
К ^К ,Ъ а‘ -
-
К,Ьа^У - М{М- 2К,ЬЬ^) + 2К,ЬМ, I К - (3.122)
При этом значение As можно определить исходя из конструктив­
ного минимума.
Можно увидеть, что если по формуле (3.120) получается As = О,
то значения А'^^, вычисленные по формулам (3.119) и (3.122), будут
совпадать.
Если момент М невелик, то он может быть воспринят только
разностью сжимающих усилий в арматурах 5” и 5" при равномерно
сжатом сечении, и тогда определение А^ исходя из конструктивного
минимума может оказаться неосторожным. В этом случае значение
А., можно определить из условия равновесия внешнего и внутреннего
моментов относительно арматуры У, т.е.
_Щ к^~а')12-М -К ^рк{0,5к-а)
а значение X из формулы (3.109) при х = hиRs=^
Я..,.
Элементы прямоугольного сечения с арматурой,
распределенной по высоте сечения
Если необходимую симметричную арматуру площадью As - A^s
невозможно разместрггь в виде одного ряда стержней у противопо­
ложных граней шириной Ь, приходится размещать дополнительные
стержни между этими рядами арматуры. При этом, если имеет место
1-й случай сжатия, дополнительные стержни рекомендуется разме­
щать в пределах крайних третей расстояния между крайними рядами
арматуры ко -а ' (рис. 3.25). В этом случае можно использовать усло­
вие (3.108), корректируя соответствующим образом значения йо и а'.
Однако часто из конструктивных соображений или при возмож­
ном действии значительного дополнительного момента в нормаль­
ной к основному моменту плоскости промежуточные стержни уста­
навливаются равномерно по высоте сечения. В этом случае расчет
сечения по предельным усилиям может привести к неоправданному
8 Заказ 40
113
завышению расчетной несущей способности сечения по сравнению с
расчетом на основе нелинейной деформационной модели.
Рис. 3.25. Сечение с промежуточными стержнями
при 1-м случае сжатия
В целях упрощения расчета сечение с равномерно распределен­
ными по высоте промежуточными стержнями можно рассчитывать с
помощью графиков несущей способности а^г, ^
приведенньис
на рис. 3.26. При построении этих графиков арматура, расположен­
ная у грани размером к, рассматрмалась как равномерно распреде­
ленная по линии, проведенной через центры тяжести стержней
{рис. 3.27). При этом площадь сечения арматуры Asl, расположенной
у одной грани размером к, принимается равной
= А^п{п^1 + 1),
где Asll - площадь одного промежуточного стержня этой арматуры;
nsl - число промежуточных стержней этой арматуры,
а площадь сечения арматуры А,^,, расположенной у одной из гра­
ней размером Ь, будет равна
Л / = ТАзИ-А, зЬ
где ТЛз - площадь сечения всей арматуры.
Графики построены для различных значений
114
a
4 /
— - v i c =—
R,bh
A,
^
ПС
при 5s = —
= л0,125.
h
Прочность таких сечений рассчитывается из условия
M <aM h\
(3.123)
Сопоставление кривых
= Да„), приведенных на рис 3 26, с
кривыми, построенными на основе нелинейной деформационной
модели при различных количествах промежуточных стержней, пока­
зало в большинстве случаев небольшое превышение несуш;ей спо­
собности, определенной по деформационной модели, над опреде­
ленной по графикам рис 3 26, но не более чем на 5-6%. Учитывая
это, графиками можно пользоваться при значениях 5, превышающих
0,125, но не более 0,15
При значениях а^, промежуточных между приведенными на
рис. 3.26, значение а„, можно определять, пользуясь линейной ин­
терполяцией между значениями
соответствующими ближайшим
кривым с одинаковыми с.
Для кривых со значениями а , на рис. 3.26 при промежуточных
значениях с значения а,„ рекоменд>'ется определять, учитывая нели­
нейную связь между значениями с и ат.
Расчет иа косое внецентренное сжатие
При действии на сжатый элемент моментов одновременно в
двух направлениях производят расчет на косое внецентренное сжа­
тие. Так же, как и при расчете на косой изгиб (см. разд. 3.2.9), при
этом требуется использование всех трех уравнений предельного рав­
новесия и неупругой деформационной модели (см. разд. 3.2.3).
Поскольку сечения кососжатых элементов проектируются, как
правило, симметричными относительно двух осей, за координатные
оси XVI у принимаются эти оси симметрии. Алгоритм такого расчета,
который реализуется с помощью компьютерной программы, приве­
ден в разд. 3.2.7.
При отсутствии компьютерной программы производить расчет
на косое внецентренное сжатие по аналогии с расчетом на косой из­
гиб нерационально, поскольку арматура кососжатых элементов
обычно распределена по контуру сечения и определить до расчета,
какие стержни будут работать с расчетными сопротивлениями Rs и
Rsc, а какие с меньшими напряжениями, весьма трудно. Поэтому в
8*
115
этом случае используют метод кривых взаимодействий. Суть этого
метода состоит в следующем.
Рис. 3.26. г рафики несущей способности внецентренно сжатых
элементов прямоугольного сечения с симметрично распределенной
арматурой {о.ш.рис. 3.27)
116
б)
а)
Рис. 3.27, Фактическое (а) и расчетное (б) расположение арматуры,
распределенной по высоте сечения
Предельный момент М , воспринимаемый сечением в плоско­
сти оси X при действии продольной силы в центре тяжести сечения,
зависит от внешнего момента Му, действуюш;его в плоскости оси у, и
меняется от максимального значения М х и при М у = о до нуля при
моменте Му = Му„, равном предельному моменту, воспринимаемому
сечением в плоскости оси у. Аналогично предельный момент
будет уменьшаться от максимального значения Муи до нуля при уве­
личении внешнего момента М х от нуля до М х и .
Таким образом, предельные моменты
и
по обеим осям х
и у связаны для рассматриваемого сечения и продольной силы опре­
деленной зависимостью, которая характеризует предельное состоя­
ние сечения и может быть представлена в виде уравнения
(3.124)
или в виде кривой взаимодействия, проходящей от точки с коорди­
натами Мхи и 0,0 до точки с координатами 0,0 и Муи (рис. 3.28).
117
Рис. 3.28. Кривая взаимодействия для элемента, работающего на косое
внецентренное сжатие:
I - область обеспеченной прочности;
II - область необеспеченной прочности
Очевидно, что если точка с координатами Мх и Му находится
внутри области, ограниченной кривой взаимодействия и осями ко­
ординат, прочность сечения будет обеспечена, если вне этой облас­
ти - прочность не обеспечена.
Координаты каждой точки кривой взаимодействия определяют­
ся расчетом исходя из неупругой деформационной модели.
Если принято использовать типовые колонны какой-либо серии,
то для всех сечений колонн этой серии заранее строят графики
М^) = О при различных продольных силах. И тогда проекти­
ровщик, пользуясь этими графиками, может легко проверить проч­
ность колонны с армированием, подобранным из расчета на прямое
внецентренное сжатие (т.е. при действии N и М ) , на действие новой
комбинации усилий Мх, М у и N . При этом, если момент Мх умень­
шился по сравнению с моментом М на величину большую, чем
М у к / Ь , точка с координатами М х и М у на графике будет всегда нахо­
диться в области обеспеченной прочности, поскольку кривые взаи­
модействия всегда имеют выпуклый характер.
При проектировании новых колонн, когда проектировщику заренее неизвестно, какие сечения наиболее выгодны для его случая,
строить кривые взаимодействия для всех возможных сечений весьма
трудоемко. Поэтому кривые взаимодействия для сходных сечений
(например, прямоугольных) целесообразно обобщать. Для этого по
118
оси ординат откладывают не сами моменты
тх
= М1,
/,
хи
ахи ^ по
оси
абсцисс
, а отношения
вместо
. Тогда кривые взаимодействия
ату) = О для лю­
бых сечений и продольных сил будут соединять точки с координа­
тами (1, 0) и (О, 1). Очертание этих кривых будет меняться в зависи­
мости от относительной продольной силы а„ = М1{ЯьЬИ), относи­
тельного количества арматуры
= ЯяТАя/{КьЬк), расположения и
количества стержней арматуры и отношений а^/к и а^Ъ. Чтобы не
учитывать влияние количества стержней арматуры на характер кри­
вых, дискретную арматуру кососжатого элемента можно рассматри­
вать как равномерно распределенную (рис. 3.29). При этом, если
промежуточные стержни отсутствуют, площади сечения угловых
стержней распределяются между арматурой
и Asy пропорционально значениям М /к и Му/Ь, т.е.
Л = 2 Л о / ( Р + 1), 4 [ = 2 4 о Р / ( Р + 1),
где р = М^}1(Мук), Азо - площадь сечения углового стержня.
Сопоставительные расчеты на косое внецентренное сжатие се­
чения с четырьмя угловыми стержнями и сечения с армированием,
распределенным вышеуказанным способом, показали весьма близ­
кие результаты.
а)
X Азо
Рис. 3.29. Фактическое (а) и расчетное (б) расположение симметричной
арматуры при расчете на косое внецентренное сжатие
119
При наличии промежуточных (не угловых) стержней арматура
распределяется с учетом приведенных ранее указаний как для арма­
туры, распределенной по высоте сечения. Тогда
4 , = 4 1, К + 1 ) + (2Ло - Л |. - 4 | , ) / (Р+1);
+ 1 )+ (2Ло - 4 , , -
/ (Р +1),
где А^/у, Asu - площадь каждого из промежуточных стержней, распо­
ложенных у одной из сторон соответственно /г и ^ (см. рис. 3.29)\
Пу и
- число промежуточных стержней сечением Asly и А^\хПри этом всегда А^:с > А^у.
Для прямоугольных сечений при различных значениях а„ =
= Ы1{КьЬИ) и а , = К^ЕЛЛКьЬИ) были построены кривые взаимодейст­
вия / ( а ^ . , а,„^.) = 0, приведенные на рис. 3.30. Поскольку отнощения ах!к и Оу/Ь слабо влияют на очертания этих кривых, при их по­
строении было принято Ох/к = Оу/Ь = 0,125, но ими можно пользо­
ваться при любых этих отношениях. Значения с = А^/А,,х также слабо
влияют на очертание кривых взаимодействия (расхождения не более
2,5%). При этом минимальные координаты точек а^^,х и а„у имеют
место при с = 1, и поэтому графики на рис. 3.30 построены при с = 1.
Чтобы проверить прочность по графикам на рис. 3.30 следует с
помощью графиков на рис. 3.26 определить предельные моменты Мхи
и Муи соответственно в плоскости осей х и у и при действии внешней
силы N в центре тяжести сечения. При этом арматура принимается
равномерно распределенной согласно вышеуказанному. Затем на
графике, отвечающем параметру а^, находится точка с координатами
- М ^ 1 М^^ и
= М^ / М^^. Если эта точка находится внутри
области, ограниченной кривой, отвечающей параметру а„, и осями
координат, прочность считается обеспеченной.
3.2.11. Продольный изгиб
При расчете внецентренно сжатых элементов следует учитывать
влияние прогиба элемента на увеличение эксцентриситета продоль­
ной силы, т.е. влияние продольного изгиба. В общем случае, когда
сжатый элемент является составной частью статически неопредели­
мой системы, влияние продольного изгиба, согласно Своду правил
[1], учитывается расчетом конструкции по деформированной схеме.
120
М.
М
1.0-=
1.0
0^»
I
_
о,х
Г:
а«=р,4
0,9 —
'^'3.
0.7
О,« -
0,7 —
\
0,6
0.6 -
пЧ-
0,5
0,5 -
0,4
0,4 ~
0,3
0,3 -
а
0,2
54^'
Ч\
£
0.2 0.1 —
0,1
0,0 _
0,0
0,1 0,2 0,3
0,4 0,5 0,6
0,7 0,Я 0,9 1,0
^
0.1 0,2 ол
0,4 0.5 0,6
0,7 0,8
0,9 1,0
М:
1,0
^
М,„
Му„
Л
1.0
1
а , - 1,2
Яч=0,8
0,9
0,9 ' Г 1 -
0,8
0.8
0.7
0,7
0,6
0,6
ч
0,5
0,5
\
0,4
0,4
03
0,3
0,2
0,2
0.1
0,1
л
— [------
>
11
1
(
3
г
'V
>
%
%
\
\ \\
1
0.0
0,0
0.1 0,2 0.3
0,4 0,5 0.6
0,7 0,8
О'.9 1,0
1
0,1 0.2 0,3
0,4 0,5 0,6
0.7 0,8
0.9 1.0
Рис. 3.30. Графики несущей способности прямоугольных сечений
с симметричной арматурой при косом внецентренном сжатии
Основным отличием такого расчета от обычного при расчете кон­
струкции методом деформаций является определение реакций от еди­
ничных деформаций и внешних нагрузок в основной системе методом
начальных параметров, разработанным Н.В. Корноуховым [13].
Но применение этого метода связано с определением абсолют­
ных жесткостей элементов в отличие от обычного статического рас­
чета, когда имеют значение лишь соотношения жесткостей. При
этом следует отметить, что для железобетонных элементов значи­
тельная доля деформаций является неупругой и, следовательно, же­
сткости отдельных участков зависят от моментов в этих участках, до
расчета неизвестных. Поэтому невозможно обойтись без многократ121
ных итераций с учетом переменных по длине элементов жесткостей.
Подробно расчет по деформированной схеме изложен в [13].
Однако сопоставление результатов расчета по деформированной
схеме даже при условно усредненных жесткостях элементов с
обычным расчетом показало, что отношение моментов, определенных по таким расчетам, т| = — ~ , существенно зависит от характера
Мо
нагрузок, вызвавших эти моменты. Так, при расчете рамы на дейст­
вие вертикальных нагрузок, не вызывающих существенных горизон­
тальных смещений, моменты в опорных сечениях колонн практиче­
ски не изменяются с переходом на расчет по деформированной схе­
ме, поскольку должны находиться в равновесии с мало изменивши­
мися внешними моментами, приложенными к этим опорам. Исклю­
чение составляют моменты колонн, вызванные поворотом противо­
положного узла, например, в сечении у заделки колонн в фундамент.
Кроме того, моменты в промежуточных сечениях колонны также
увеличиваются, поскольку эпюры моментов колонн Мм даже при
отсутствии поперечных нагрузок имеют криволинейный характер в
отличие от эпюры М, полученной из обычного расчета. Однако эпю­
ры моментов колонны чаще всего имеют знакопеременный характер,
и моменты в промежуточных сечениях по мере удаления их от опор
уменьшаются (из-за резкого уменьшения начальных моментов Мо),
несмотря на некоторое увеличение влияния продольного изгиба. При
однозначной же эпюре М или при М < Ыва (где ва ~ случайный экс­
центриситет), когда все моменты принимаются равными Нва, рас­
четный момент при переходе на расчет по деформированной схеме
может возрасти.
Моменты, вызванные действием внешних горизонтальных сил,
всегда увеличиваются с переходом на расчет по деформированной
схеме, поскольку при этом учитывается увеличение эксцентрисите­
тов продольных сил из-за прогиба всей конструкции.
Моменты от вынужденных (фиксированных) деформаций (на­
пример, от температурных воздействий) при переходе на расчет по
деформированной схеме даже несколько уменьшаются, поскольку
наличие продольной силы в стойке уменьшает ее отпорность.
Поскольку большинство компьютерных программ ориентирова­
но на статический расчет конструкций по недеформированной схе­
ме, а также в связи со сложностью правильного расчета по деформи­
рованной схеме встает вопрос, как скорректировать результаты рас­
122
чета по недеформированной схеме, приблизив их к результатам по
деформированной схеме.
В СП [1], как и во всех предыдущих нормах проектирования, для
определения корректирующего коэффициента Г1 = М^М) принят
способ критических сил. Суть его в следующем.
Если принять, что упругая линия внецентренно сжатого элемен­
та с шарнирно неподвижными закреплениями по концам имеет вид
синусоиды, т.е. у
8ШТЕх// (где / - прогиб элемента в середине про­
лета, рис. 3.31), то добавочный изгибающий момент на уровне х, вы­
званный действием продольного изгиба, равен
М х~ Му =
Б,шкх/1.
(3.125)
Рис. 3.31. К определению прогиба при продольном изгибе элемента
с шарнирно закрепленными концами
Тогда полный прогиб / можно определить из уравнения
'гМ М ,
1 =
Ё1
(3.126)
где fQ - начальный прогиб, вызванный действием поперечной на­
грузки; М\ = 0,5х - момент o t поперечной единичной силы, прило^
женной в середине пролета.
После подстановки (3.126) в (3.125) получим
//2
71Х
2 Ж з т — 0,5х(1х
------------+ / о = 4 ^ / + /о;
Е1
/ =
/о
1 -М ~ / {теЕ1)
123
Полный момент в середине пролета равен
т
1-М 1Ч {п-Е1У
где Мо - момент в середине пролета от поперечной нагрузки.
М
Принимая /о = 5 —^— (где 5 - см. разд. 4.3.5), получим
Е1
мМ =1+
8\ - N l - 1{п-Е1)
Е1
Поскольку \!т^ = 0,1013, а 5 меняется от 0,083 до 0,125, можно
приблизительно принять 5 « 1 /ти^, т.е. М = МоГ[, где
N1^
1
тсЕ!
(3.127)
-
Принимая во внимание, что п Е Н ^ - это Эйлерова критическая
силаЛ^сг, формулу (3.127) запишем в виде
Л=
1
(3.128)
которая принята в СП [1] и пособии [3]. При этом в формуле для Ncr
за жесткость Е1 принимается усредненная жесткость колонны в пре­
дельной стадии В. Эта жесткость определена на основе обобщения
многочисленных экспериментальных исследований шарнирно за­
крепленных стоек длиной / на кратковременное действие продоль­
ных сил N с постоянными по длине стойки начальными эксцентри­
ситетами во и выражается через формулу
^0,3 + 5
+ 0 ,7 £ Л ,
(3.129)
где / и /^ - моменты инерции соответственно бетонного сечения и
сечения всей арматуры относительно центра тяжести бетонного се­
чения; 5е =
но не менее 0,15.
124
при продолжительном действии нагрузки под влиянием ползу­
чести бетона прогиб элемента дополнительно возрастает и эксцен­
триситет продольной силы увеличивается. Это учитывается коэффи­
циентом ф/ = 1 + Мл/М] > 1 , на который делится первый член фор­
мулы (3.129), что увеличивает коэффициент Г1. Здесь Мп и М 1 - мо­
менты относительно растянутой или менее сжатой арматзфы соот­
ветственно от суммы постоянных и длительных нагрузок и от всех
нагрузок.
При другом характере закрепления концов стойки ее длина в
формуле для Ысг заменяется расчетной длиной /о, определяемой из
расчета стойки на устойчивость.
Поскольку, как указано выше, коэффициент Г1 должен зависеть
от вида нагрузки, в пособии [3] приняты два вида коэффициента ц:
Г1,, - вводимый на момент от вертикальных нагрузок в тех случаях,
когда переход на расчет по деформированной схеме приводит к уве­
личению момента; щ - вводимый на моменты от горизонтальных
внешних нагрузок и, следовательно, две группы расчетных длин /о:
1 -я группа - расчетные длины, полученные из расчета на
устойчивость стоек с закрепленными от
горизонтальных смещений концами;
2 -я группа - то же для стоек с незакрепленными концами.
Каждый вид коэффициента Г1 приблизительно равен отношению
моментов Мдг и Мо, определенных при соответствующих нагрузках и
при одинаковых жесткостях колонн, принятых в Мег и при расчете по
деформированной схеме.
Расчетные длины колонны в общем случае определяются по
формуле
(3.130)
где Мег - критическая сила, определенная из соответствующего
расчета на устойчивость.
Упрощенное определение расчетных длин исходя из расчета на
устойчивость приведено в [13].
Критическая сила А/сг зависит от жесткости стойки О я от угло­
вых жесткостей заделок концов стойки, а при расчете на устойчи­
вость свободных стоек также от соотношения жесткости о и усред­
ненной жесткости всех стоек. Все эти параметры следует определять
с учетом действительных жесткостей всех элементов конструкции.
125
Ввиду сложности такого расчета в пособии [3] для расчетных длин
1 -й группы приняты значения коэффициентов расчетной длины
|1 = /о//, зависящие только от характера закрепления концов стойки и
приводящие к заведомому запасу. Эти значения ц равны;
при шарнире на одном конце, а на другом;
жесткая заделка - 0,7;
податливая заделка - 0,9;
при заделке на обоих концах; жесткой - 0,5;
податливой - 0 ,8 ;
при податливой заделке
на одном конце и жесткой на другом - 0,7.
Для расчетных длин 2-й группы приняты значения ц;
при шарнире на одном конце, а на другом;
жесткая заделка -1 ,5 ;
податливая заделка - 2 ,0 ;
при заделке на обоих концах; жесткой - 0 ,8 ;
податливой - 1 ,2 ;
при податливой заделке
на одном конце и жесткой на другом - 1 ,0 ;
при жесткой заделке
на одном конце и незакрепленном другом конце (консоль) - 2 ,0 .
Таким образом, расчетный момент М, вводимый во все формулы
раздела 3.2.10, в общем случае равен
М=
(3.131)
где МуЯМн - моменты соответственно от вертикальных и
горизонтальных нагрузок;
Mt —момент от вынужденных горизонтальных смещений.
Как указывалось выше, для опорных сечений колонн, кроме
расположенных в заделке в фундамент,
= 1 ,0 , а для сечений в
средней трети колонн и в заделке в фундамент rlv определяется по
формуле (3.128) при указанных расчетных длинах 1 -й группы.
Следует отметить, что приведенные для расчетных длин 2-й
группы коэффициенты ц соответствуют рамам с примерно одинако­
выми колоннами и узлами в пределах рассматриваемого этажа при
отсутствии каких-либо иных элементов. В связевых каркасах, в ко­
торых жесткость обеспечивается в основном связевыми устоями
(диафрагмами, связевыми панелями, ядрами жесткости я т.п.), эти
коэффициенты [X представляются завышенными, так как горизон­
126
тальные смещения концов колонн от ветровой нагрузки начинают
больше зависеть не от их жесткости, а от жесткости связевых устоев
и, следовательно, характер их работы приближается к характеру ра­
боты колонн на действие вынужденных деформаций, когда прини­
мается Г) = 1,0. Однако в связи в небольшими значениями моментов
Мн в колоннах связевых каркасов этим обстоятельством «в запас»
можно пренебречь. При этом коэффициент увеличения горизонталь­
ной нагрузки на связевой устой, вызванный продольным прогибом
всех колонн, может превысить значение щ.
в общем случае для конструкций с различными жесткостями
отдельных ее частей метод критических сил для уточнения моментов
М/, малопригоден.
Еще в 1977 г. было предложено учитывать влияние продольного
изгиба при расчете каркасных зданий на действие горизонтальных
нагрузок путем добавления к этим нагрузкам так называемых откло­
няющих сил («sway forces»), равных проекциям продольных сил в
наклонных колоннах на горизонталь (рис. 3.32), т.е. равных
^
где А - смещение верхнего перекрытия относительно нижнего в рас­
сматриваемом этаже с учетом продольного изгиба, Y N - сумма про­
дольных во всех колоннах этажа, / - высота этажа. Таким образом,
расчет ведется по недеформированной схеме на действие суммарных
горизонтальных нагрузок.
Рис. 3.32. Расчетная схема рассматриваемого этажа при учете
отклоняющих сил
127
Если обозначить ч е р е з - относительное смещение перекрытия
от действия единичной силы без учета продольного изгиба, а через
сумму горизонтальных сил, приложенных ко всем вышележа­
ш + ш I
откуда
А=
I
Принимая
, где А1 - относительное смещение перекры­
тия без учета продольного изгиба, получаем коэффищ1ент учета про­
дольного изгиба для относительных смещений перекрытий, равный
/
хг
Сопоставление результата по формуле (3,132) и по деформиро­
ванной схеме показало, что эти результаты будут достаточно близки
один другому при учете несколько увеличенных отклоняющих сил,
поскольку максимальный угол наклона колонн вследствие их ис­
кривленности превышает угол arctg— . Более правильная формула
/
имеет вид
1 - 1, 2 ^
—
/ ХЖ
При этом учитывались одинаковые жесткости при расчете по
деформированной схеме и при определении Аь
Поскольку моменты М/, примерно пропорциональны смещению
А], коэффициент
можно определять по формуле (3.133).
Сопоставление моментов М/„ определенных с помощью форму­
лы (3.133) и из расчета по деформированной схеме, показало, что
формула (3.133) более правильно, чем формула (3.128), отражает
влияние продольного изгиба, поскольку учитывает продольные силы
и жесткости всех колонн и иных конструкций каркаса.
Однако значение А1 в формуле (3.133) предполагает учет неуп­
ругой работы железобетона и наличие трещин. Поэтому при тради­
128
ционном расчете рамы этой формулой можно пользоваться только в
случае, если имеются хотя бы приблизительные данные об увеличе­
нии смещений перекрытий вследствие учета неупругих деформаций,
что затрудняет применение этой формулы при расчете рамных кар­
касов. Но при расчете связевых каркасов эта формула вполне приме­
нима, поскольку, во-первых, позволяет правильно учесть нагрузку на
связевой устой, принимая такое же, увеличение этой нагрузки как и
увеличение горизонтальных смещений через коэффициент Т], а вовторых, определение жесткости конструкций связевого каркаса мо­
жет быть достаточно точным, поскольку жесткость связевого устоя
определяется обычно без учета или с минимальным учетом неупру­
гих деформаций, а жесткости колонн, работающих, как правило, без
трещин, можно принимать, учитывая кратковременность действия
нагрузки, равными Еь[.
3.2.12. Внецентренно растянутые элементы
Внецентренно растянутые элементы с арматурой, сосредоточен­
ной у граней, нормальных плоскости действия момента, можно рас­
считывать как изгибаемые элементы по предельным усилиям, при­
нимая прямоугольную эпюру напряжений сжатой зоны бетона, тем
более что эта зона бетона, как правило, мала или отсутствует. При
этом могут возникн)Ть два расчетных случая растяжения.
Первый случай растяжения возникает, когда продольная сила N
сг
^
^
располагается между арматурами 5с и У,
т.е. при е^-= —
<—
а
(рис. 3.33). Тогда из условия равновесия внешнего и внутреннего
моментов относительно арматуры б" напряжение в арматуре 8' будет
всегда растягивающим, и следовательно, сжатая зона бетона будет
отсутствовать. Прочность сечения при этом удобнее всего проверять
из условия равновесия моментов относительно арматуры 5", т.е.
2
< К А {К -а \
(3.134)
Здесь и далее за М принимается внешний момент, полученный
из статического расчета конструкции относительно оси, проходящей
через середину высоты сечения.
9 Заказ 40
129
Если площадь сечения А'^ арматуры 5" существенно меньше зна­
чения А^, то необходимо также проверить прочность из условия рав­
новесия моментов относительно арматуры 8, т.е.
(И ^
N --- а -М <КХ{И^-а') .
(3.135)
2
As
Рис. 3.33. Схема усилий в нормальном сечении внецентренно
растянутого элемента при 1-м случае растяжения
В частном случае, когда точка приложения продольной силы
совпадает с центром тяжести сечения всей арматуры, т.е. при цен­
тральном растяжении, прочность сечения проверяется из одного ус­
ловия
Для арматуры с условным пределом текучести расчетное сопро­
тивление арматуры
принимается с учетом максимального значе­
ния коэффициента 7 ^^ = 1 , 1 , поскольку ^ = 0 ,0 .
Второй случай растяжения возникает, когда продольная сила N
располагается за пределами расстояния между арматурами 5 и 5", т.е.
при
^0
(рис. 3.34). При этом сечение имеет сжатую зону
бетона и расчет производится по общей методике, рассмотренной
ранее. Для внецентренно растянутых элементов еще в большей сте­
пени, чем для изгибаемых элементов, растянутая арматура работает,
как правило, с напряжениями, равными Rs, и поэтому прочность рас­
считывается из уравнения равновесия моментов относительно растя­
нутой арматуры 5":
130
М - ЩкП - а ) < КьЗь + R s J X h - с/).
(3.136)
а высота сжатой зоны определяется из уравнения равновесия
продольных сил
КьАь —
—N.
(3.137)
Для внецентренно растянутых элементов сжатая зона бетона,
как правило, имеет небольшую высоту и прямоугольную форму. При
такой форме сжатой зоны формулы (3.136) и (3.137) преобразуются в
вид
М -Щ к /1 - а ) < КьЬхфо - х/2) + RiJsiho - а);
R A ^-R J ^-N
(3.138)
(3.139)
^ьЬ
Рис. 3.34. Схема усилий в нормальном сечении внецентренно
растянутого элемента при 2-м случае растяжения
Для сечений с пожой в сжатой зоне используют эти же форму­
лы при Ь = у г, если значение х оказывается меньше высоты сжатой
зоны полки к',. В противном случае в формулах (3.138) и (3.139) учи­
тывается усилие в сжатых свесах полки Rь{b'|- b)k'J так же, как при
расчете изгибаемых элементов.
В том редком случае, когда сечение оказывается переармированным, т.е. напряжение в арматуре не достигает предела текучести
Rs и высота сжатой зоны превышает ее граничное значение ^ко , так
же как для изгибаемых элементов несупцая способность сечения ста­
9*
131
новится не зависящей от количества растянутой арматуры и в усло­
вие прочности (3.138) подставляется значение х =
Небольшое
увеличение несущей способности в зоне переармирования, отмечен­
ное ранее, здесь можно не учитывать в связи с небольшим, как пра­
вило, превышением X над
Гораздо чаще во внецентренно растянутых элементах высота
сжатой зоны X , определенная по формуле (3.139), оказывается на­
столько малой, что вызывает сомнение в правомочности назначения
напряжения в сжатой арматуре, равным К^с. Однако расчеты с ис­
пользованием неупругой деформационной модели показали, что
расположение равнодействующей усилий в сжатой зоне при
2с/ < X < О почти не меняется по сравнению с принятой схемой рас­
чета и, следовательно, приведенные формулы при этих значениях х
вполне допустимы. Заметная разница может иметь место при значе­
ниях X , близких к нулю или меньших нуля, когда равнодействующая
усилий в сжатой зоне располагается в центре тяжести площади
или вблизи него. Тогда, если высота сжатой зоны, определенная без
учета сжатой арматуры, оказывается меньше 2а, плечо внутренней
пары, а вместе с ним и несущая способность будет больше
определенной по приведенной методике.
Поэтому в пособии [3] рекомендуется при значении х, опреде­
ленном по формуле (3.139) и меньше нуля, расчет прочности прово­
дить из условия (3.138), но при этом, если значение х, определенное
при
= о, меньше 2а, расчет производится при
Это может
иметь существенное значение при относительно больших значениях
(J/hQ (0,15 и более).
Такой расчет дает результаты, близкие к результатам расчета
исходя из деформационной модели. Точной границейперехода на
расчет при
- О является равенство высотысжатой зоны при учете
0,5
значению с1.
Подбор необходимой арматуры
При первом случае растяжения (во < Ъ/2-а) значения As и
очевидно, определяются исходя из условий (3.134) и (3.135), т.е. по
формулам
А
'
=
-------- Л ' = -------------------------------- Г
Д ,(А ь-а')
*
где ^ = во + й/2 -с1, е - й/2 - а - в о , е ^ - МШ.
132
-
Д ,(А „-«')
(3 -1 4 0 )
При втором случае растяжения (ео > h/2 - а) и известном значе­
нии
подбор растянутой арматуры выполняют в следующем по­
рядке. Из условия (3.138), принятого как равенство, определяют вы­
соту сжатой зоны х:
^=
(3.141)
где Ме = М-М {Ь/2 - а).
Затем из уравнения равновесия продольных сил вычисляется не­
обходимое значение
А, = (Кфх + К ,^!, + ЛО/Л*.
(3.142)
Если значение х превыщает ^д/го, то следует увеличить ненапря­
гаемую сжатую арматуру или класс бетона так, чтобы значение х
оказалось по крайней мере равным ^д/го- Если при наличии сжатой
полки X превышает ее высоту, формулы (3.141) и (3.142) корректи­
руются аналогично корректировке соответствующих формул для
изгибаемых элементов.
Если значение х оказывается меньше нуля, площадь сечения ар­
матуры Ах определяется по формуле (3.140). При необходимости это
значение Ах можно уменьшить, если высота сжатой зоны д/, вычис­
ленная по формуле (3.141) без учета сжатой арматуры, окажется
меньше 2с/. В этом случае А^ находится по формуле (3.142) при
X ^ х ^ и А ^ = 0.
Расчет сечений с арматурой, распределенной по высоте
сечения.
Если необходимую арматуру площадью А^ невозможно размес­
тить в виде одного ряда стержней у грани элемента шириной Ь, при­
ходится размещать дополнительные стержни в пределах высоты се­
чения.
Особенно предпочтительно это делать при 1-м случае растяже­
ния, когда стержни, удаленные от наиболее растянутой грани, также
могут работать с полным расчетным сопротивлением. Но в этом
случае расчет по предельным усилиям затруднен, поскольку неиз­
вестно, какие стержни следует относить к арматуре 3, а какие к 5^, и
133
поэтому такие сечения в общем случае рассчитываются исходя из
нелинейной деформационной модели.
При расчете по 1-му случаю растяжения критерием прочности
является достижение в крайнем ряде стержней арматуры предельной
деформации, равной; для арматуры с физическим пределом текуче­
сти (классы А500 и менее) - 0,025, для арматуры с условным преде­
лом текучести - 0,015.
Как видно из рис. 3.35, при ненапрягаемой арматуре с физиче­
ским пределом текучести даже при наличии нулевых деформаций в
арматуре у менее растянутой грани в ближайшем к ней ряде армату­
ры на расстоянии не менее 0,09 (/201 - а{) напряжение будет равно К^.
Поэтому для таких сечений прочность можно проверять из уравне­
ния равновесия моментов относительно крайнего ряда арматуры,
принимая расчетное сопротивление Rs во всех других рядах, т.е. из
условия
Ме\ < RsSs
(3.143)
где - расстояние от силы N до наименее растянутого ряда армату­
ры; 5", - статический момент площади всей арматуры относительно
оси, проходящей через этот ряд арматуры.
Рис. 3.35. Эпюра деформаций и схема усилий в нормальном сечении
внецентренно растянутого элемента с распределенной по высоте
сечения арматурой с физическим пределом текучести
при 1-м случае растяжения
Условием (3.143) можно пользоваться при е о < к /1 -а \.
134
При напрягаемой арматуре с условным пределом текучести и
при симметричном ее расположении эксцентриситет ^гр, опреде­
ляющий границу между случаями растяжения, существенно меньше
значения h/2-ai, поскольку даже при ео< h / l - а\Ъ связи с наличием
предварительного напряжения арматуры может иметь место значи­
тельная сжатая зона бетона и прочность будет определяться дости­
жением предельной деформации сжатого бетона
= 3,5 ' 10~^, что
соответствует 2 -му случаю растяжения.
При расчете сечений с такой арматурой промежуточные стерж­
ни представляются в виде распределенной по высоте сечения арма­
турой аналогично распределению арматуры во внецентренно сжа­
тых элементах (см. разд. 3.2.10). При этом площадь сечения A^i арма­
туры, распределенной по высоте сечения, равна
A-sl —Asl\(yisl ^ * 1)3
где Asi\ - площадь арматуры одного промежуточного ряда (рис. 3.36);
Usi - число промежуточных рядов арматуры.
А площадь сечения Ast арматуры, расположенной у одной из
граней, нормальных плоскости действия момента, равна
A s ,-{ Y A s -A ,î)/l.
Рис. 3.36. Расчетное расположение арматуры, распределенной
по высоте сечения, при внецентренном растяжении по 1-му случаю
Граница между случаями растяжения существенно зависит от
предварительного напряжения, а также от значения с ^ АУА^,, и рас­
чет по 1-му случаю производится, если М < М^, где Мгр = к]Шо1 +
+ кгКьЬк'о^-, к\ и к2 ~ коэффициенты, определяемые по табл. 3.1.
Прочность таких сечений при 1-м случае растяжения проверяет­
ся из условия
135
N 61 < \,\К^А^1К^~ах) +у,7?А/(/го1 -^г|)/ 2 .
гд еу , = 1,1 —
(3.144)
0 >2 М^
Расчет при втором случае растяжения можно производить при­
ближенно по формулам (3.138) и (3.139), принимая за
- площадь
сечения стержней, расположенных в наиболее растянутой половине
сечения, а за А[ - площадь сечения наиболее сжатого ряда стерж­
ней. При напрягаемой арматуре за Rsc принимается Rsc - 1Д а.ф, а в
значении Rs не учитывается коэффициент
Следует отметить, что
при симметричной арматуре предварительное напряжение уменьша­
ет значение предельного момента, поскольку уменьшение значения
Rsc увеличивает высоту сжатой зоны и, следовательно, уменьшает
плечо внутренней пары сил.
Таблица 3.1
Коэффициенты к\ и к
Клас­
сы
арма­
туры
1
2
3
4
А600
А 1000
А800
Вр 1400, К 1400
В р1500,К 1500
1,0
1,0
1,0
0,8
0,6
1,0
0,127
0,104
0,173
0,109
0,230
0,115
0,102
0,104
0,145 0,197 0,091 0,133
0,108 0,113 0,106 0,109
0,183 0,072 0,112
0,113 0,119 0,118
0,161
0,159
0,097
0,131
0,80
0,099
0,102
0,171
0,106
0,100
0,113 0,157 0,072 0,104
0,102 0,105 0,103 0,104
0,143 0,059 0,092 0,130
0,106 0,116 0,113 0,112
0,058 0,090 0,130
0,119 0,116 0,114
0,081
0,108
0,140
0,068
0,095 0,126
0,062 0,089 0,121
0,057 0,079
0,113
0,095
0,098
0,101
0,098
0,099 0,101
0,101 0,101 0,102 0,114 0,111 0,109 0,117 0,113
0,111
0,094
0,096
0,121
0,060
0,071
0,094
0,098
0,8
0,6
1,0
0,8
0,6
0,8
0,6
0,8
0,070 0,110
0,118 0,122 0,120
0,052 0,080 0,113
0,6
0,119
0,111 0,055 0,079 0,107 0,047 0,072 0,103 0,046 0,072 0,102
0,097 0,097 0,098 0,100 0,099 0,100 0,113 0,109 0,107 0,116 0,112 0,109
0,083
Примечание: значения к\ над чертой, к2 - под чертой.
3.3. Расчет железобетонных элементов по наклонным сечениям
3.3.1. Формы разрушения
При совместном действии изгибающих моментов и поперечных
сил в железобетонном элементе возникает система наклонных тре­
щин, разделяющих элемент на отдельные блоки, которые связаны
между собой продольной арматурой в растянутой зоне, поперечной
арматурой и нетреснувшей частью бетона над вершиной наклонной
136
трещины в сжатой зоне {рис. 3.37). Разрущение железобетонного
элемента может происходить по наклонной трещине при текучести
поперечной арматуры от разрущения бетона над верщиной наклон­
ной трещины (разрушение по сжатой зоне) или от текучести либо
нарушения анкеровки продольной арматуры (разрушение по растя­
нутой зоне). Разрушение по сжатой зоне наблюдается при сильной,
хорошо заанкеренной продольной арматуре, а разрушение по растя­
нутой зоне - напротив, при ослаблении продольной арматуры в про­
лете в результате ее обрывов или ослабления анкеровки продольной
арматуры на шарнирных опорах. Помимо разрушения железобетон­
ного элемента по наклонной трещине может произойти разрушение
бетона в блоках между наклонными трещинами. Этот вид разруше­
ния наблюдается при сильной поперечной арматуре и слабой тонкой
стенке в тавровых и двутавровых элементах.
а)
Рис. 3.37. Формы разрушения железобетонного элемента
при совместном действии моментов и поперечных сил:
а - по наклонной трещине и сжатой зоне бетона; б - по наклонной трещине
и растянутой арматуре; в - по сжатому бетону между наклонными трещи­
нами
В результате расчет, требующийся для обеспечения прочности
железобетонного элемента, сводится к двум основным случаям.
137
Первый - это расчет по наклонной трещине, по сжатой и растянутой
зонам и второй - по бетонному блоку (или наклонной бетонной по­
лосе), расположенному между наклонными трещинами.
3.3.2. Расчет по наклонной трещине
Рассматривается расчетная схема внутренних сил, действующих
по наклонному сечению, проходящему по наклонной трещине и бе­
тону над ее вершиной. В общем случае в этом наклонном сечении
действуют: продольная и поперечная составляющая сил в бетоне над
наклонной трещиной, продольная и поперечная составляющие срш в
поперечной арматуре (хомутах и отгибах), которые пересекают на­
клонную трещину, продольная и поперечная составляющие сил в
продольной арматуре, пересекающей наклонную трещину, продоль­
ная и поперечная составляющая сил зацепления по берегам наклон­
ной трещины. Расчет в общем виде должен производиться из совме­
стного решения трех уравнений равновесия внутренних и внешних
продольных и поперечных сил, а также моментов для блока железо­
бетонного элемента, выделенного наклонным сечением, 'Y.N = О,
= О, ЕМ = 0. Предельное состояние по сжатой и растянутой зо­
нам определяется соответствующими усилиями, вводимыми в об­
щую систему уравнений.
Следует отметить, что решение этой задачи в общем виде встре­
чает большие трудности и до сих пор еще не найдено приемлемого
решения. Поэтому для практических инженерных расчетов исполь­
зуют приближенные приемы и методы.
Согласно указаниям СП расчет по сжатой и растянутой зонам
наклонной трещины выполняется независимо один от другого. При
этом для оценки прочности по сжатой зоне используется уравнение
равновесия поперечных сил, а по растянутой зоне - уравнение рав­
новесия моментов в наклонном сечении, считая, что разрушение по
сжатой зоне происходит при преимущественных деформациях сдви­
га, а разрушение по растянутой зоне ~ при преимущественных де­
формациях поворота двух блоков, разделенных наклонной трещи­
ной, относительно один другого.
Соответственно эти два случая рассматриваются как расчет по
наклонному сечению на действие поперечных сил и расчет по на­
клонному сечению на действие изгибающих моментов.
138
3.3.3. Расчет железобетонных элементов по наклонным сечениям
на действие поперечных сил
Расчетное условие. Рассчитывают железобетонные элементы по
наклонным сечениям, проходящим по наклонной трещине, на дейст­
вие поперечных сил из условия
(3.145)
где Q - поперечная сила от внешней нагрузки, действующая в рас­
сматриваемом наклонном сечении; Qsb - внутренняя поперечная си­
ла, воспринимаемая арматурой и бетоном в наклонном сечении.
Поперечная сила Q в наклонном сечении. В данном случае рас­
сматривается система внешних и внутренних сил, приложенных к
блоку железобетонного элемента, отделенному наклонным сечени­
ем, проходящим по наклонной трещине. Поэтому сила Q от внешней
нагрузки, действующая в наклонном сечении, находится как сум­
марная величина (или равнодействующая) всех поперечных сил от
внешней нагрузки, приложенной к рассматриваемому блоку
(рис. 3.38). Поперечная сила в наклонном сечении определяется как
проекция на нормаль к продольной оси элемента равнодействующих
сил, которые действуют на элемент по одну сторону от рассматри­
ваемого наклонного сечения.
139
Независимо от того, где приложены нагрузки (сверху, снизу или
в пределах высоты элемента), а также в каком направлении она дей­
ствует, всегда следует исходить из общего правила, рассматривая
приопорную часть элемента, отсеченную наклонным сечением от
остальной части. Таким образом, отличие поперечной силы в на­
клонном сечении от обычной поперечной силы в нормальном сече­
нии состоит в том, что для ее определения рассматривается часть
элемента, отсеченного по нормальным и наклонным сечениям. При
вычислении расчетной поперечной силы в наклонном сечении сле­
дует учитывать: расположение внешней нагрузки в пределах блока,
отделенного наклонным сечением, по длине элемента; расположение
внешней нагрузки в пределах блока, отделенного наклонным сече­
нием, по высоте элемента.
Если нагрузка приложена к верхней с точки зрения наклонного
сечения грани элемента, то расчетная поперечная сила в наклонном
сечении будет выражаться
Є = Є т а х -(І^ ; +^С),
(3.146)
где Qraax ~ поперечная сила на опоре;
- сосредоточенные и рав­
номерно распределенные нагрузки в пределах блока, отделенного
наклонным сечением.
Отсюда видно, что нагрузка, приложенная в пределах блока, от­
деленного сечением, уменьшает поперечную силу в наклонном сече­
нии по сравнению с поперечной силой на опоре.
Если эта нагрузка (или часть ее) является временной и может
быть перемещена, то может оказаться, что ее отсутствие только в
пределах блока, отделенного наклонным сечением, приводит лишь к
незначительному общему уменьшению поперечной силы на опоре
элемента, но к существенному локальному увеличению поперечной
силы в рассматриваемом сечении, так каїс разгружающее действие
этой нагрузки уже не учитывается. Поэтому при наличии временной
нагрузки следует рассматривать наиболее невыгодный вариант с
точки зрения загружения участка элемента, отсекаемого наклонным
сечением.
Если нагрузка располагается не по верхней грани элемента, а на
некотором уровне в пределах высоты элемента, то следует учиты­
вать возможное неблагоприятное положение наклонного сечения,
которое находится над площадкой приложения нагрузки. Тогда, оче­
видно, разгружающее действие нагрузки, расположенной под на­
клонным сечением, не может быть учтено, и расчетная поперечная
140
сила определяется от действия нагрузок, непосредственно прило­
женных к блоку над наклонным сечением (см. рис. 3.38).
Поперечная сила Qsb в наклонном сечении. В общем случае попе­
речная сила Qsь в наклонном сечении, проходящем через наклонную
трещину, слагается из поперечных составляющих усилий в бетоне
над наклонной трещиной, в арматуре, пересекающей наклонную
трещину, и сил зацепления, которые действуют по берегам наклон­
ной трещины. Однако пока еще не найдено удовлетворительных ме­
тодов определения каждой из этих составляющих, поэтому в инже­
нерных расчетах, как правило, выделяются две компоненты попе­
речной силы Qsь. поперечная сила
воспринимаемая поперечной
арматурой, и поперечная сила Qb, воспринимаемая бетоном
(рмс. 3.39)'.
Qsb=Qb+Qs.
(3.147)
Поперечная сила Qs, воспринимаемая поперечной арматурой.
Железобетонный элемент по наклонной трещине разрушается в це­
лом при достижении напряжениями в поперечной арматуре, пересе­
кающей наклонную трещину, сопротивлений арматуры растяжению
Rs. Тем не менее при вычислении общей поперечной силы Qs, вос­
принимаемой поперечной арматурой в наклонной трещине, следует
считаться с неодинаковым растяжением стержней поперечной арма­
туры по длине наклонной трещины. Это обстоятельство может быть
учтено с помощью коэффициента условий работы
(см. разд. 2.5),
который приводит к пониженным расчетным сопротивлениям, при­
нимаемым для поперечной арматуры
= УsIRs^ В результате попе­
речная сила Qs определяется как суммарная величина усилий в от­
дельных стержнях поперечной арматуры с расчетными сопротивле­
ниями Rsw на некоторой расчетной длине со проекции наклонной тре­
щины на продольную ось элемента {см. рис. 3.39).
Для поперечных стержней, нормальных к продольной оси эле­
мента, усилие Qs вычисляется по формуле
Qsw~YM.syvA.sw,
(3.148)
а для поперечных стержней (отгибов), наклонных к продольной оси
элемента, по формуле
Qs.mc =
(3.149)
где 0 - угол наклона стержней к продольной оси элемента.
141
Рис. 3.39. Усилия, действующие на блок элемента, отделенный
сечением, проходящим через наклонную трещину
Если поперечные стержни на некотором участке элемента рас­
полагаются равномерно (с одинаковым шагом и одинаковым диа­
метром и достаточно близко один к другому, что определяется
обычно конструктивными требованиями), то их можно рассматри­
вать как поперечную арматуру, непрерывно распределенную по дли­
не элемента, и усилие Qs находится по формуле
(3.150)
Qsw=
где qsw - интенсивность усилия в поперечной арматуре на единицу
длины элемента, qsw=RswAs^^/s,^,', со - длина проекции наклонной тре­
щины, принимаемая равной пролету среза, но не более 2ко.
Но если концы наклонной трещины, находясь вблизи хомутов,
их не пересекают, то значение Qsw =
существенно увеличится
по сравнению со значением
= TЛs^^Лsw^ Так, при максимальном
значении Со = 2ко и максимально допустимом шаге хомутов
= о,5^0 наклонная трещина в этом случае пересекает три группы
хомутов площадью Asw> т.е. Qsw - 'ІRs^^Лsw, но при этом
о
~ а“хи/со - П С7 2^0
0,5/?о
При Со < 2ко разница между зна­
чениями TЛswAsw и qswCo может возрасти, а при 5 ,^ < 0,5ко разница
может уменьшиться. Учитывая это, в СП [1], [2] во всех случаях на
значение Qsw предложено вводить коэффициент
= 0,75.
142
Поперечная сила Qь, воспринимаемая бетоном, определяется из
анализа опытных данных. Установлено, что основными компонен­
тами, характеризующими поперечную силу Qь, являются: прочность
бетона на растяжение Кы, ширина сечения Ь и рабочая высота сече­
ния ко, т.е. исходным выражением для поперечной силы Qb будет
КыЬко. Установлено также, что поперечная сила Qb существенно за­
висит от так называемого относительного пролета среза с/ко*, т.е. от
относительного расстояния от сжатой зоны бетона над вершиной
наклонной трещины до опоры (см. рис. 3.39). С увеличением с!ко
происходит резкое падение поперечной силы Qь, которое прибли­
женно описывается для средних значений с/ко гиперболической за­
висимостью
с//?о
или
с
При малых и больших значениях относительного пролета среза
поперечная сила Qь сохраняет близкие к постоянным значениям со­
ответственно бб.тах = 2,5КьМо и Qb.шm = Щз^ьМо- В результате для
обычных изгибаемых элементов прямоугольного сечения попереч­
ная сила Qь определяется по формуле
дь = (^ыКыЬк^о^с,
(3.151)
но не более 2,5Кь/Ько и не менее (^ьъ^ыЬко.
В предыдущих нормах (СНиП 2.03.01-84"') коэффициент ф*2 для
тяжелого бетона принимался равным 2 ,0 , но при этом длина проек­
ции наклонной трещины со принималась соответствующей миниму­
му выражения
и поэтому чаще всего оказывалась менее 2ко.
Такой метод расчета давал удовлетворительное совпадение с опыт­
ными данными, но был неоправданно усложнен. Поэтому было ре­
шено в целях упрощения расчета в СП [1] и [2] всегда принимать
Со= 2ко, но не более с, а чтобы компенсировать неоправданное уве­
личение несущей способности наклонного сечения коэффициент фб2
был принят сниженным до 1,5. При этом значение
перестало за­
висеть от наличия или отсутствия поперечной арматуры (как это
имело место раньше), что представляется более логичным. Коэффи­
циент фйз по этой причине также принят несколько сниженным с 0 ,6
В СП [1], [2] пролет среза с назван проекцией наклонного сечения.
143
до 0,5. Для бетона других видов в соответствии с эксперименталь­
ными данными принимаются такие или пониженные значения коэф­
фициентов фб2 и фбз.
Минимальное значение Qb, равное Qb,mm = (рьз^-ьМо, соответст­
вует образованию наклонной трещины. Подставив это значение в
формулу (3.151), можно получить минимальное значение пролета
среза, когда прочность бетона определяется образованием наклон­
ной трещины:
0,5R,bh,
Эксперименты показали, что наличие полки, расположенной в
сжатой зоне элементов таврового и двутаврового сечений, не суще­
ственно увеличивает прочность элементов по наклонному сечению.
Однако влияние продольных сил (сжимающих и растягиваю­
щих) на прочность наклонного сечения весьма заметно.
С повышением сжимающей силы N сжатая зона бетона всегда
увеличивается независимо от момента, что приводит к увеличению
значения Qb, однако при достаточно большой силе N главные сжи­
мающие напряжения в бетоне приближаются к предельным значени­
ям, что приводит к снижению значения Qb вплоть до нуля. Такое
влияние сжимающей силы оценивается коэффициентом ф„, на кото­
рый умножается Qb.
Ф„=1 + З а „ - 4 а ^ ,
(3.152)
где а„ = N/Nb, Nb - предельная сжимающая сила, равная
n
, = r , a +r J Y .a ,.
Максимальное значение ф„ можно определить из уравнения
- ^ ^ = 3 -8 а „ = 0 , т.е. а„ = 0,375, тогда ф„пшх = 1,5625.
da„
Таким образом, увеличение силы N до 0,375А^і приводит к уве­
личению коэффициента ф„ до максимального его значения 1,56. При
дальнейшем увеличении N до 0,757Vif, ф„ уменьшается до 1,0, а при
N = Nb, т.е. когда стойка находится в предельном состоянии от дей144
С Т В И Я только одной продольной силы Ы, очевидно, ф „ = о и
= 0.
Но эта ситуация практически невозможна, поскольку наличие попе­
речной силы всегда подразумевает наличие моментов, а при них все­
гда N < Мь.
Для изгибаемых предварительно напряженных элементов влия­
ние усилия предварительного обжатия Р также аналогично влияет на
значение
т.е. через коэффициент ф„, определяемый по формуле
(3.152), но при этом за N принимается 0,7Р, а за Нь 1,ЗКьА.
Тогда формула (3.152) приобретает вид
Ф„ = 1 +
1 ,6 а р -
1,1 бар^, но не менее нуля.
где а„ =
ния
Растягивающая сила N способствует только уменьшению значе­
0 6 путем деления его на коэффициент
Ф и/ “ 1 ------------------- •
При наличии предварительного напряжения коэффициенты ф „ и
Ф „ , учитываются независимо друг от друга.
М инимальное поперечное армирование. При небольшом ко­
личестве поперечной арматуры существует опасность, что после об­
разования наклонной трещины поперечная сила, воспринимаемая до
этого бетоном, не сможет быть воспринята арматурой и произойдет
внезапное хрупкое разрушение элемента. Особенно это опасно при
пролетах среза с >Зко, когда с образованием наклонной трещины
бетон полностью перестает воспринимать поперечную силу. Для то­
го чтобы иметь гарантию от хрупкого разрушения, поперечную ар­
матуру следует устанавливать в количестве, при котором она может
полностью воспринимать поперечную силу, равную дь,тт- Если не
учитывать коэффициент ф^^^. = 0,75, это выражается в выполнении
условия
05 “■
—бб,тт ~ 0,5ф„/?^,//>/2о-
В этом случае длина проекции наклонной трещины всегда равна
Со == 2 /?о, и тогда для поперечной арматуры, учитываемой в расчете,
должно выполняться условие
10 Заказ 40
145
д г^> 0 ,2 5 ф А 6 .
(ЗЛ53)
Помимо хрупкого разрушения минимальное ограничение попе­
речной арматуры предохраняет элемент от чрезмерного раскрытия
наклонных трещин.
Следует отметить, что буквальное соблюдение условия (3.153)
может приводить к явной нелогичности. Увеличение значения КыЪ
из конструктивных или технологических соображений сверх необ­
ходимого из расчета по прочности наклонного сечения влечет за со­
бой одновременно увеличение количества поперечной арматуры, т.е.
наличие сверхнормативного запаса прочности влечет за собой еще
большее увеличение запаса прочности за счет увеличения попереч­
ной арматуры. Чтобы избежать эту нелогичность, в расчете можно
учитывать значение qsw меньше минимального, но одновременно
вводить в расчет некоторое условное меньшее значение КьЬ, при ко­
тором выполнялось бы условие (3.153). Если при этом условие
(3.145) выполняется, то увеличения поперечной арматуры не требу­
ется.
В этом случае
фи-^6/^
Qsb
4Я.sw^ Qъ
Qb
Qb,mm
Qs
3,5^^^1Ло-
При большом шаге поперечной арматуры может произойти раз­
рушение по наклонной трещине, расположенной между поперечны­
ми стержнями. Во избежание этого максимальное расстояние между
поперечными стержнями 5тах ДОЛЖНО устанавливаться так, чтобы
бьша обеспечена прочность по наклонному сечению без учета попе­
речной арматуры, принимая длину с, равной расстоянию между по­
перечными стержнями
т.е.
Откуда
-.
Ввиду возможности случайного местного отклонения шага хо­
мутов от проектного в СП [1], [2] принято
146
max
Q
Элементы без поперечной арматуры. Некоторые конструкции
проектируются без поперечной арматуры. Это, например, сплошные
плиты, многопустотные плиты или аналогичные часторебристые
плиты высотой менее 300 мм балки и ребра высотой менее 150 мм.
В этом случае прочность по наклонным сечениям должна быть обес­
печена за счет сопротивления поперечным силам только одного бе­
тона, т.е. из условия
Q<Qb,
(3.154)
где Qb определяется по формуле (3.151) с учетом указанных ограни­
чений и коэффициентов.
При наличии нормальных трещин минимальное значение
Qb.mm - 0,5(pnRbtbho соответствуст образованию наклонных трещин.
В опорных частях элементов с напрягаемой арматурой, как пра­
вило, отсутствуют нормальные трещины, и поэтому образование на­
клонных трещин соответствует достижению главных растягиваю­
щих напряжений бетона
на уровне центра тяжести приведенного
сечения значения
В этом случае прочность бетона по наклонно­
му сечению независимо от пролета среза проверяется из условия
Для упругого материала значение
(У
_ ------ ^------^
г. -
определяется по формуле
+< ,
(3.155)
где Ох - нормальное напряжение в бетоне на площадке, перпендику­
лярной продольной оси элемента;
- нормальное напряжение в бе­
тоне на площадке, параллельной продольной оси элемента от мест­
ного действия опорных реакций и сосредоточенных сил; Хху - каса­
тельное напряжение в бетоне.
Напряжением
при расчете на прочность пренебрегают. НаР
пряжение С!х на уровне центра тяжести сечения равно
Aed
касательное напряжение Хху равно
10*
147
V
(3.156)
где Згеа - статический момент части приведенного сечения, располо­
женной по одну сторону от оси, проходящей через центр тяжести
сечения, относительно этой оси.
При подстановке формул для
я
формулу (3.155) можно
получить формулу для определения поперечной силы Qcrc, соответ­
ствующей образованию наклонных трещин:
Q crc - ^ b l
„
д 1+ ---------.
^red V RbAed
(3.157)
Значение Qb = Qcrc используется в условий прочности (3.154)
только на участке, где М < Mere- При этом момент образования тре­
щин Mere определяют согласно разд. 4.1, принимая вместо Кы,„ Rbt,.^
усилие Р определяют с учетом коэффициента точности натяжения
Ъ = 0,9.
Следует обратить внимание на особенность работы сплошных
широких плит. Согласно теории упругости в широких плитах не со­
храняется равномерность распределения касательных напряжений
по всей ширине сечения. У свободных краев касательные напряже­
ния резко возрастают, а в середине, напротив, заметно уменьшаются
по сравнению со значениями, полученными из формулы (3.156), та­
ким образом, что суммарная эпюра касательных напряжении по
всему сечению отвечает поперечной силе Q. При этом с увеличением
ширины плиты эта неравномерность касательных напряжений все
более возрастает.
Чтобы воспринять этот всплеск касательных напряжений, у сво­
бодных краев плит следует устанавливать специальную поперечную
арматуру. Однако, как правило, края широких плит имеют опоры
или примыкающие балочные элементы, и в этом случае эту попе­
речную арматуру можно не устанавливать. Указанное уменьшение
касательных напряжений может быть учтено увеличением значения
Qb.mm’ Для Практических расчстов принято, что при ширине плиты
Ь> 5 к я наличии боковых опор или закреплений значение Qb,ma ум­
ножается на коэффициент 1,25.
148
3.3.4. Практические методы расчета элементов, армированных
хомутами без отгибов, на действие поперечной силы
При проверке условия (3.145) в общем случае задаются рядом
значений с. При этом значения с принимаются не более Зйо, по­
скольку при с >Зйо значения б* и Qsw не меняются с ростом с, а по­
перечная сила с удалением от опоры (т.е. с увеличением с) уменьша­
ется.
При действии на элементы сосредоточенных сил значения с
принимаются равными расстояниям от опоры до точек приложения
этих сил, поскольку в этом случае учитываются поперечные силы
без учета сил в конце наклонного сечения при максимальном сниже­
нии значения дь(рис. 3.40).
Однако при мощном поперечном армировании и достаточном
удалении 1 -го груза от опоры невыгоднейшее значение с может быть
меньше расстояния от опоры до 1-го груза. Это значение определя­
ется приравниванием нулю производной по с выражения для преМ
дельной поперечной силе на опоре 0 тах = —^ + 0,75^,,^с + ^с(т.е.
с
предполагается с <2ко)\
1Р 2
^ 2 ______________
II Рц
г
I
;СУ!
I II I
!СУ1
СУ
Рис. 3.40. Расположение расчетных наклонных сечений
при сосредоточенных силах:
1 - наклонное сечение, проверяемое на действие поперечной силы <21 ;
2 - то же силы 02
149
% ^ = - " ^ + 0. 759,„ + 9с = 0;
<к
с
е= С Ж З .
\<^Л5ч„+д
(3.158)
Здесь Мь ^ \,5КьЬко', q - равномерно распределенная нагрузка
между опорой и 1 -м грузом, снижающая поперечную силу в преде­
лах с.
Если полученное значение с больше 2Ло, то проверку прочности
при этом с можно не производить.
При расчете элемента на действие равномерно распределенной
нагрузки q невьп'однейшее значение с определяется приравниванием
нулю производной по с выражения для предельной поперечной силе
на опоре;
М
— +
с
(3.159)
Если предполагать, что это значение с меньше 2Ло, то, как покаК
зано выше, с = ^ I-------------, и тогда
Й- =
+ 9)./„
= 2^МД0,75,,, + ,). (3.160)
Если предположить, что с >2ко.
de
с~
итогда = M , ^ + 0.75?„-2A, + ? ^
= 1,5?„A + 2Va^ .
(3.162)
Если с > 3ho, то Qi, = Qi,,min = OySRbtbho,
Ömax= l.SqsJiQ +0,5i?6Ä + 3hq,
(3.163)
Ha практике более часто определяющим (т.е. меньшим) является
вьфажение ^тах, вычислсннос П О (3.162), при этом чем больше зна150 ©
чение q относительно
тем вероятнее, что определяющей стано­
вится формула (3.160). Определим граничное значение нагрузки q,
при котором определяющей становится формула (3.160). Для этого
приравниваем друг к другу формулы (3.160) и (3.162)
27М Д0,75?„. + 9 ) = 1 ,
После алгебраических преобразований этого равенства получаем
граничное значение ^гр:
(3.164)
АМ Х
Поскольку сначала рекомендуется определять значение с по фор­
муле (3.161), определим границу через выражение с = \ ^ ^ , т.е.
М
приняв q - —^ . Приравняв это значение формуле (3.164), получим
к ь
Т.е. если с
---- , следует ^тах ОПрСДеЛЯТЬ ПО форМуле
V ^
11 -
(3.160). Однако, если —^ > 2 , правая часть условия становится меньше нуля, и тогда формально
0
тах следовало бы определять по формуле
(3.162), что противоречит общей тенденции. Поэтому при
-^^> 2
независимо от Сгр^щах определяется всегда по формуле (3.160).
Как видим, во всех приведенных формулах учитывается разгру­
жающее влияние нагрузки q в пределах пролета среза на опорную
поперечную силу. Однако при расчете междуэтажных перекрытий
обычно имеют дело с эквивалентной равномерной нагрузкой, когда
предполагают, что фактическая временная нагрузка может иметь
произвольный характер, а эпюра моментов от такой нагрузки нигде
151
не превосходит эпюру М от принятой эквивалентной временной на­
грузки qv. При этом временная нагрузка может отсутствовать в пре­
делах приопорного участка длиной с, и тогда учет разгружающего
влияния q неправомерен, но в этом случае
снижается. Опреде­
лим, как снижается |0 п ,а х при самом неблагоприятном случае, т.е. ко­
гда временная нагрузка отсутствует по всей длине с, но изгибающие
моменты в конце наклонного сечения от фактической и эквивалент­
ной временных нагрузок равны друг другу:
М , =Л^„ т.е.
=
откуда
- 0 ,5?,,с.
Отсюда видим, что минимальное уменьшение 0тах соответству­
ет учету разгружающего влияния половины эквивалентной нагрузки
Очевидно, что разгружающее влияние постоянной нагрузки qa
следует учитывать всегда. Таким образом, при расчете элементов на
действие эквивалентной равномерно распределенной нагрузки q в
вышеприведенных формулах следует принимать
q= qx=qg + qЛ^
В целях учета условия (3.153) во всех случаях значение М/, сле­
дует принимать не более 1,5 ’ Aqsw' ко =
Выведем формулы для определения минимально допустимой
интенсивности хомутов, выражаемой через qsw при действии на эле­
мент равномерно распределенной нагрузки. Вводим обозначение
2ь\ = 2у[М ^^, тогда согласно формулам (3.160) и (3.162) значения
qsw соответственно равны
О- - О ЗЧ |
=
1,5/2о
(3.167)
Определим условия пользования этими формулами без использова­
ния qsw^ Для этого приравниваем друг к другу формулы (3.166) и (3.167):
Qmю^
~ Я ь[
_
бтах ~ Я ы
ш ,
1,5к,
152
После алгебраических преобразований этого равенства получаем
граничное значение
о
т.е. если
2М
,
К
«>тах’
следует пользоваться формулой (3.166), в
к
противном случае формулой (3.167). Однако, если невыгоднейшее
значение с= КГ
— - > Ъ \, значение qsw следует определять из формуV Ч
лы (3.163), т.е.
1,5^0
Границей перехода на эту формулу служит значение Qь\, полу­
ченное из приравнивания друг другу формул (3.167) и (3.168) и рав­
ное Qb\ = КыЬко, т.е. если Qы< ЯыЬК, следует пользоваться форму­
лой (3.168).
В случае, если полученное значение
не удовлетворяет усло­
вию (3.153), то, как указано вьппе, расчет следует вести при
М ь = \ ^ - •/го' = 6 ^,,,/го^ и
=0
, = 2 q ^ X • Значение qs^
тогда вычисляется следующим образом.
Если предположить, что с > 3/го, значение qsw определяется из
решения уравнения
6п»,-9гЗ/?„=29,А+0Л5?„-2/!„=3,5?.Л;
?™=(е™/А»-39,)/3,5.
„
Если предположить, что 2/го < с <ЪЫ, то значение qs^v определя­
ется из уравнения
= 1 ,5 ? ,А + 2 7 б ? „ ^ ^ ,;
\2
9».
где
= 2 - .|2 =
1,5
153
(3.170)
Чтобы не определять условие, какой из этих формул следует
пользоваться, проще определять
по обеим формулам, принимая
большее значение
При с < 2ко вероятность хрупкого разрушения мала и значение
qsw можно не уточнять.
При действии на элемент сосредоточенных сил, располагаемых
на расстояниях с, от опоры, для каждого г-го наклонного сечения с
длиной проекции с, значение
определяется из условия прочности
Qi = Qы + 0
где Qi Иы ~
2 йо,
,
(3.171)
поперечная сила в месте приложения г-го груза;
“ поперечная сила, воспринимаемая бетоном; со/ =
но не более С/.
Отсюда д „ = ~ ^ .
0,75сщ
Если полученное значение
не удовлетворяет условию (3.153),
то его следует определять из условия прочности, в котором ЯьФ за­
меняется на 4д^^, т.е. из условия
с,
?
=
6 /?о
®
! с. +0,75со,
На некотором расстоянии от опоры интенсивность хомутов
можно уменьшить, например, увеличением шага хомутов. В этом
случае следует также проверить наклонное сечение, заходящее в
участок с меньшей интенсивностью хомутов, даже если с >Зко, при­
чем наиболее опасная наклонная трещина будет располагаться в
конце участка длиной с, т.е. будет пересекать хомуты меньшей ин­
тенсивности по максимальной длине с ~ (1 \- длина участка боль­
шей интенсивности хомутов,/шс. 3.41\ При этом, если с < 2Ио + 1\,
трещина пересекает частично участок с меньшей интенсивностью
Тогда уси­
хомутов qxwг и частично с большей интенсивностью
лие, воспринимаемое хомутами, равно
154
0?75^лу/СО ^(iswip
где
0 ,7 5 (^уц;1
Со
2 /|о» но
(3.172)
не более с.
Рис. 3.41. К расчету наклонных сечений при изменении интенсивности
хомутов
Если же с >2ко + /ь наклонная трещина пересекает только хому­
ты меньшей интенсивности, и тогда
(3.173)
При действии на элемент сосредоточенных сил длина участка
элемента с интенсивностью
определяется расстоянием с*, когда
прочность наклонных сечений при с > С/ будет обеспечена при учете
хомутов с интенсивностью qsw2i начинающейся на расстоянии С/ от
опоры.
Определим длину участка с интенсивностью хомутов qsw\ при
действии на элемент равномерно распределенной нагрузки.
Если предположить, что невьп'однейшее значение с < 2/?о + А и с
< Ъко, то предельная поперечная сила на опоре выражается формулой
М
= — + 0,75?„,с, - Д ? „ ( с - / |) + 9 ,с.
С
Тогда /,
(ЗЛ74)
Определим невыгоднейшее значение с аналогично указанному
выше, принимая с ~ 2ко:
155
^
=- ^
с=
+ (9 >-А 9 „ ) = 0;
1 - ^ .
(3.175)
Если в достаточно редком случае невыгоднейшее значение
М
с<2А о,тосо = с и е „ = — + 0 , 7 5 9 „ ,с - Д 5г ^ (с -/,) + ?|С. Тогда
С
2+(^1+0,75^,.^,) = 0 ;
с=.
+0,75gr_,,viv2
(3.176)
Переход к использованию формулы (3.176) должен происходить
при выполнении условия, аналогичного условию перехода (3,165)
для элементов с постоянной интенсивностью хомутов, т.е. при
1_
М £
R,b
Если предположить, что с > 2h +1\ и с >3ho, то невыгоднейшая
наклонная трещина должна точно размещаться между участком дли­
ной Ii и концом наклонного сечения, проходя, таким образом, только
участок с интенсивностью q^wi^ Тогда невыгоднейшее значение с
равно // +2ho >3/?o. Действительно, при большем значении с значения
Qb = Qkmin и Qsw = 1 ,5 ^5w2^o остаются неизменными, а расчетное зна­
чение Q уменьшится; при уменьшении с на Ас Qsw увеличивается на
qswiAc. а gmax увсличивастся на q\Ac, но поскольку в этом случае все­
гда qswi > Яи несущая способность сечения увеличивается.
Предельная поперечная сила на опоре в этом случае равна
бтах “ Qb,mm + ^\(Jl
2 Hq) + 1,5 qswlho-
Откуда
J
^m ax
СЙ& min
л у
i
/, = ------------ ^-------------------- 2Ло, нонеменее«о.
156
/"-j -i
'т - г \
(3.177)
границу применимости этой формулы можно найти приравни­
ванием формул (3.173) и (3.176) при с = ЗЛо- После алгебраических
преобразований полученное равенство приобретает вид
= Чи
т.е. формулу (3.177) следует применять при
При этом, если
не выполняется условие (3.153) при дх^ = gsw2, в формуле (3.177) сле­
дует скорректировать значение Qb,mm так, чтобы это условие превра­
тилось в равенство, т.е. принять Qb,mn = 2 /?о^5и-2, а поскольку выраже­
ние (Qb,шn + 1 ,5 ^ 5„;2/го) представляет собой предельную поперечную
силу в наклонном сечении, то это выражение не должно быть менее
предельной поперечной силы, воспринимаемой одним бетоном, т.е.
не менее нескорректированного значения Qb,mm^
Элементы переменной высоты сечения. Как известно, для
элементов с переменной высотой сечения в качестве рабочей высоты
применяется наибольшее значение йо в пределах рассматриваемого
наклонного сечения, поэтому для таких элементов значение /?о ста­
новится зависящим от значения с.
Рассмотрим балку или плиту с высотой, увеличивающейся от
опоры к пролету, нагруженную равномерно распределенной нагруз­
кой. Обозначим рабочую высоту на опоре через /гоь Тогда расчетное
значение рабочей высоты для сечения в конце пролета среза будет
Ы = ко1+с tgp,
где р - угол между растянутой и сжатой гранями балки.
Предварительно условно примем, что коэффициент ф„ для опор­
ного сечения и для сечения в конце пролета среза равны друг другу.
Тогда расчетное значение Мь можно выразить через это же значение
Мь, но вычисленное для опорного сечения (без учета возможного
уширения стенки). Мы’.
1+
при этом усилие Qь будет равно
157
^
м .,
^ м., „ м.,
Qb =— ^ = — ^ + 2 - ^ t g P + - ^ t g 'p . c .
с
с
Aqj
/^1
Определим невыгоднейшее значение с при расчете элемента на
действие равномерно распределенной нагрузки путем приравнива­
ния нулю производной по с выражения для предельной поперечной
силы на опоре;
Если предположить, что значение с меньше 2/?о = 2йо1 + 2с tgp,
т.е. Со = с, то
^Qmax _
do
с -
't g p ''
с
V ^01 J
М ь\
(3.179)
VM.jtg p//7oi+0,75^,.^ + ^j
После подстановки (3.179) в (3.178) получаем
бш ах
М.
+ Я\ +
^ь\
К\
tsB
h01
(3.180)
Если предположить, что значение с > 2ко, т.е. Со = 2ко\ + 2tgp • с, то
6 ™.=—
+ 2 M j,|£+M „ tgp
d Q ^ ._
qc
с + 0 , 759,,. • 2Ло1+
tgP
С
\К \ J
158
О-759„, • 2tgP •с + ^,с; (3.181)
(3.182)
с=
При этом значение с не должно превысить максимальное значе­
ние Стах= Зйо, НО ПОСКОЛЬКУ йо зависит от с, значение Стах получастся
из уравнения Стах = 3 (/го1 + ^^maxtg|3)Cmax ^ ЗЛо1/(1 “ Зtgp).
После подстановки (3.182) в (3.178) получаем
М.
+ 1 ,5 ? „ Л .,+ 2 М ,,|£ . (3.183)
V
"01
Определим границу областей применения формул (3.180) и
(3.183), приравнивая их друг другу:
Ш.. М „ ^ + 0,75«„ + «, - . М .
^
"01
После алгебраических преобразований этого равенства получаем
А)|
Определим эту границу через значение с из формулы (3.182),
выразив его через А\
Приравняв это ^ формуле (3.184), получаем
(3.185)
^гр
1 -2 1 в Р КЬ
159
т.е. если значение с из формулы (3.179) м еньш е-------- -------------, то
КЬ
бтах следует опредслять ПО формулс (3.180), ссли иначе, по формуле
(3.183). при этом, если ^ ^ ( ^ 6/^) > 2(1 - 2tgp), т.е. когда знаменатель
формулы (3.185) меньше нуля, ^„,ах определяется по формуле
(3.180).
при уменьшении интенсивности хомутов с
у опоры до qsw2 в
пролете прочность наклонного сечения следует также проверить при
значениях с, превышающих /1 - длину участка элемента с интенсив­
ностью хомутов
определяя значение Qsw по формуле (3.172) ли­
бо по (3.173) в зависимости от выполнения или невыполнения усло­
вия с < 2ко + 1\. Поскольку в этом условии за /го принимается
/го = /го1 + {к +2ко)Хф, т.е. /г» = +(/го1 + / 11Ер) / ( 1 - 2 tgp), то это условие
преобразуется в вид с < (2 /го1 + 2 /ltgp)/(l- 2 tgp) + /1 = (2 /го1 + / 1)/
/ ( l - 2 tgP).
Для консолей высотой, линейно увеличивающейся от свободно­
го конца к опоре {рис. 3.42), при действии сосредоточенных сил
прочность проверяют, задаваясь наклонными сечениями от мест
приложения грузов в растянутой зоне, при этом значения с опреде­
ляются по формуле (3.179) при
= О и принимаются не более рас­
стояния от груза до опоры, а за /го1 и Q принимают соответственно
рабочую высоту и поперечную силу в начале сечения в растянутой
зоне. Если значение с оказывается больше 2/го = 2 /?01/(1 - 2tgp), то
Со < с, и большее значение с может оказаться более невыгодным, по­
этому в этом случае следует дополнительно проверить наклонное
сечение, проведенное до опоры.
при действии на консоль равномерно распределенной нагрузки,
линейно увеличивающейся к опоре, расчетное наклонное сечение
всегда заканчивается в сжатой зоне опорного сечения, поскольку в
этом случае учитьтаемая поперечная сила будет максимальной. По­
этому за рабочую высоту сечения принимается значение /го в опор­
ном сечении и, следовательно, расчет ведется как для элемента с по­
стоянной высотой сечения.
160
Рис. 3.42. Консоль высотой, уменьшающейся от опоры
к свободному концу
3.3.5. Расчет элементов, армированных отогнутыми стержнями,
на действие поперечной силы
Для рационального использования продольной арматуры вяза­
ных каркасов неразрезных балок ее отгибают из растянутой зоны в
сжатую. Эти отогнутые стержни можно учесть при расчете наклон­
ных сечений. Отгибы, пересеченные наклонной трещиной, увеличи­
вают несущую способность наклонного сечения на величину
10 4 ,гис
7?ду1,8Ш0,
(3.186)
где А^,тс,1 — площадь сечения отгибов, расположенных в одной на­
клонной плоскости г; 0 - угол наклона отгибов к продольной оси
элементов.
Порядок расчета следующий. Сначала проверяют наклонные се­
чения со значениями с, равными расстоянию от опоры до концов
плоскости отгибов, начиная со второй (т.е. с = С] и с = с2,рис. 3.43).
При этом учитываются отгибы, пересекаемые наклонной трещиной с
длиной проекции 2 йо < с, начинающейся от конца наклонного сече­
ния. Затем проверяют наклонное сечение, пересекающее последнюю
плоскость отгибов, располагая конец сечения на расстоянии со = 2 йо
П
Заказ
40
161
от начала предпоследней плоскости отгибов (с '= сз, см. рис. 3.43).
И тогда в расчете учитывается только последняя плоскость отгиба.
Рис. 3.43. Расчетные наклонные сечення для элементов, армированных
отгибами (1-4). Хомуты условно не показаны
Достаточность удаления от опоры последней плоскости отгибов
проверяется расчетом наклонного сечения без учета отгибов при
расположении наклонной трещины за последней плоскостью отги­
бов, т.е. наклонное сечение заканчивается на расстоянии со = 2 йо от
начала последней плоскости отгибов (с = С4, см. рис. 3.43).
При проверке прочности наклонного сечения не следует забы­
вать, что при с > Зйо принимается
= бь.тт.
При действии на элемент сосредоточенных сил проверяются
также наклонные сечения, проведенные от опоры до мест приложе­
ния этих сил.
предельное расстояние между опорой и концом первого отгиба,
а также между началом предыдущего и концом последующего отги­
ба (^2, см. рис. 3.43) принимается равным предельно допустимому
шагу хомутов, т.е. 5тах =
3.3.6. Практические методы расчета элементов без поперечной
арматуры на действие поперечной силы
Рассмотрим вначале изгибаемые элементы без предварительного
напряжения арматуры, т.е. когда ф„ = 0. Из сопоставления правой
части условия (3.154)
и минимального ее значения
162
0 6 ,min= 0,SRbtbhQ получим, что при любом значении с, превышающем
(1,5/0,5)/го = Зйо, предельная поперечная сила неизменна и равна ми­
нимальному значению и, следовательно, расчетное значение с не
должно превышать Стах = З/їо- СлСДуСТ ОТМСТИТЬ, ЧТО ЄСЛИ ПОПЄрЄЧная сила близка к предельному ее значению, то на участке длиной с
непременно будут нормальные трещины. Действительно, даже при
отсутствии поперечной нагрузки в пределах с момент в балке на рас­
стоянии с от опоры будет равным
м = QmaxC = l,5RbtbhQ,
что значительно превышает момент трещинообразования Мск, опре­
деляемый согласно разд. 4.1. Следовательно, минимальное значение
поперечной силы, соответствующее образованию наклонных трещин
в сплошном элементе, здесь определять не следует.
Из сопоставления правой части условия (3.154) и максимального
его значения 2,5Rbfbho можно сделать вывод, что при любом значе­
нии с должно выполняться условие
Qr^,<2,5RbMo.
(3.187)
Определим невьп'однейшее значение с. При действии на элемент
сосредоточенных сил, очевидно, невьп’однейшие наклонные сечения
должны быть направлены от опоры к местам приложения этих сил,
поскольку только при таких положениях наклонных сечений для ка­
ждого постоянного участка эпюры Q значение с максимально и, сле­
довательно, значение Qb минимально.
При действии на элемент равномерно распределенной нагрузки
q невьп’однейшее значение с находим, приравняв нулю производную
по с выражения предельной поперечной силы на опоре:
(3.188)
dc
с
Отсюда с = ^,5R^fbhQ / q .
11*
(3.189)
163
Подставив это значение с в формулу (3.188), получим
т-е. 2 ^ ^ =^1бЯ,,Ьк^д.
Но если с > Зко, следует принимать с = Зйо и после подстановки
этого с в формулу (3.188) получим
бтах = 0,5Кь,Ько +3к(,д.
Приравняв значения с из формулы (3.189) его максимальному
значению Зйо, можно получить граничное значение
т.е. если
=^6К„Ьк^д-
(3.190)
если
6 / 6 , д ^ = 0 ,5 Я ^ ,Ь \ + 3 \ д .
(3.191)
Если равномерно распределенная нагрузка д представляет собой
эквивалентную по моменту нагрузку, значение д следует, согласно
разд. 3.3.4, уменьшить на 0,5 временной нагрузки.
Если элемент представляет собой сплошную плиту без свобод­
ных боковых краев шириной Ь >5к, то исходя из разд. 3.3.3
Оь.ттп = 1,25 • 0,5Кь,Ьк = 0,625Яь,Ько. Тогда максимальное значение с
равно Стах = (1,5/0,625)^0 = 2 ,4 ^ 0, а соответствующая предельная по­
перечная сила на опоре равна
бтах = 0,625Яь,Ько + 2,4^0^.
граничное значение д, при превышении которого следует поль­
зоваться формулой (3.190), также получаем из равенства
_ 2 4Л т е .
Если принять для свободно опертой балки значение 0тах = ^//2
и приравнять его к предельному значению по формуле (3.190), то
164
можно из полученного равенства определить предельную попереч­
ную нагрузку q\
=
д = 24Я^ЬИ^/1\
а подставив это значение д в формулу (3.189), получим
І24R ,,bhl
4’
т.е. для свободно лежащей балки (плиты), нагруженной сплошной
равномерно распределенной нагрузкой, невыгоднейшее значение с
всегда равно четверти пролета, но не более Стах. То же можно сказать
и о неразрезной балке с равными или близкими опорными момента­
ми. Аналогичные выкладки для консоли дают невыгоднейшее значе­
ние с, равное половине вылета консоли.
Если сплошная нагрузка линейно изменяется, то вычисление не­
выгоднейшего значения с связано с решением кубического уравне­
ния, что делает расчет неоправданно трудоемким. Для упрощения
расчета в этом случае рекомендуется использовать формулу (3.189),
принимая за д среднее значение нагрузки в пределах приопорного
участка элемента длиной 1/4 для балки или //2 для консоли, но не бо­
лее Стах. Такой расчст, как правило, приводит к незначительной по­
грешности «не в запас» (1-3%), если нагрузка в пределах длины с
изменяется не более чем в 2 раза.
Если элемент имеет переменную по длине высоту сечения, то в
условии (3.153) следует принимать за ко среднее значение рабочей
высоты в пределах наклонного сечения. Тогда при линейнрм изме­
нении высоты сечения расчетное значение ко будет равно
ко = ко\ ± 0,5cxtgp,
где ко\ ” рабочая высота в опорном сечении; р - угол между сжатой
и растянутой гранями.
Максимальное значение с определим из уравнения
С™ .=3/^,=ЗА„,Т1,5с_-1вр,
165
1±1,51§р
(3.192)
Для сплошных плит без свободных боковых краев шириной
Ь > 5к, согласно указанному выше,
= 2,АК ~
l±l,5tg|3
Для элементов с высотой сечения, увеличивающейся с увеличе­
нием поперечной силы, и нагруженных равномерно распределенной
нагрузкой предельная поперечная сила на опоре равна
Игаах -- ---------------------- + д с - ------------------------------------------------------+ ^ С ,
где М„ =\,5К,,ЬЬ^,.
Определим невыгоднейшее значение с, приравняв к нулю про­
изводную бгаах:
1<1с = -
ас
■+
Отсюда
с=
М.
(3.193)
+д
4
\,5Кь,Ь
но не более СтахЕсли сплошная нагрузка линейно изменяется, то расчет произ­
водится по общему условию (3.153) с использованием формулы
(3.193), в которой значение д можно определить так же, как и для
элемента с постоянной высотой сечения, т.е. принимать равным
среднему значению нагрузки в пределах приопорного участка дли­
ной //4 для балки или И2 для консоли, но не более Стах, определенно­
му по формуле (3.192).
Для предварительно напряженных элементов сопоставление
правой части условия (3.154) и ее минимального значения также
приводит к значению
0.5ф,
Для этих элементов на приопорном участке длиной 3/?о, как пра­
вило, нормальные трещины не образуются, поэтому за минимальное
166
значение предельной поперечной силы можно принимать силу, со­
ответствующую образованию наклонных трещин Qcrc и определяе­
мую по формуле (3.157). Найдем невыгоднейшее значение с для уча­
стка без нормальных трещин, приравнивая правую часть условия
(З Л 5 4 Ж е „ :М 5 = ^ = а „ ,
С
l,5ф„^?^„Ьйo
откуда с =
"
Q crc
Очевидно, что если Qcrc > 2,5Rbfbho, определяющим будет усло­
вие прочности Qmax ^ 2,5КыЬк().
Для участка с нормальными трещинами за невыгоднейшее зна­
чение с принимается длина приопорного участка 1\, где не образуют­
ся нормальные трещины, т.е. где выполняется условие М < Mere- Для
свободно опертых балок с равномерно распределенной нагрузкой
При этом принимается Qb = Qb.mm - 0,5(pnRbtbho. Если h
(что бывает крайне редко), то Qb = \,5ц>гЛыЬК^/11.
3.3.7. Расчет железобетонных элементов по наклонным сечениям
на действие изгибающего момента
Расчетное условие. Расчет железобетонных элементов по на­
клонным сечениям на действие изгибающего момента производится
из условия
М < М „,
(3.194)
где М - момент от внешней нагрузки, действующий в рассматривае­
мом наклонном сечении;
- внутренний момент, воспринимаемый
арматурой в наклонном сечении.
Моменты М и Мхи определяются относительно точки приложе­
ния равнодействующей усилий в сжатой зоне наклонного сечения.
Наклонное сечение представляется в виде ломаной поверхности с
наклонной к продольной оси растянутой зоной, где проходит на­
клонная трещина, и нормальной к продольной оси сжатой зоной над
ее вершиной.
Момент в наклонном сечении. Рассматривается система внеш­
них и внутренних сил, приложенных к блоку железобетонного эле­
167
мента, отделенному наклонным сечением, поэтому и момент М от
внешней нагрузки, действующий в наклонном сечении, определяется
как суммарная величина (или равнодействующая) момента всех сил
от внешней нагрузки, приложенной к рассматриваемому блоку, от­
носительно рассматриваемой точки (точки приложения равнодейст­
вующей усилий в сжатой зоне наклонного сечения Нь, рис. 3.44). Ес­
ли нагрузка приложена по верхней грани свободно опертой бажи, то
расчетный момент в наклонном сечении находится как
где у и У ;- расстояния от равнодействующих усилий Р и Р; до конца
наклонного сечения, т.е., по существу, он представляет собой мо­
мент в нормальном сечении, проходящем через конец наклонного
сечения. При этом возможное отсутствие временной нагрузки в пре­
делах наклонного сечения не учитывается.
Рис. 3.44. Определение расчетного значения момента М при расчете
наклонного сечения:
а - для свободно опертой балки; б - для консоли
Когда изгибающий момент уменьшается от опоры к пролету
(консоли, опорные участки неразрезных балок) и нагрузка, прило­
женная к грани элемента, действует в его сторону, расчетный мо­
мент определяется без учета нагрузки, расположенной в пределах
наклонного сечения, т.е.
м ^ м х + д^с,
где М 1 и 0 1 - момент и поперечная сила в нормальном сечении, про­
ходящем через конец наклонного; с - длина проекции наклонного
сечения на продольную ось элемента.
168
Во всех случаях, когда нагрузка приложена в пределах высоты
сечения, допускается расчетный момент в наклонном сечении вы­
числять согласно указанному выше, если поперечная арматура, ус­
тановленная на действие отрыва, не учитывается в данном расчете.
Момент Msu в наклонном сечении определяется как суммарная
величина моментов, воспринимаемых продольной арматурой М,,
поперечной арматурой Мс^ и отгибами
пересекающими растя­
нутую зону наклонного сечения, относительно точки приложения
равнодействующей усилий в сжатой зоне {рис. 3.45):
V/
V
7777777777
Rb
Г
-- ------------------------------- 1-------------------------------
/
/
I
I
к___ ________
)■___ ___ _________
___ ___________
__С------------------ и
Рис. 3.45. Расчетная схема усилий в наклонном сечении при расчете
его на действие изгибающего момента
М^у
М^ + Mgy^, + М^1„(..
(3.195)
Момент М^, воспринимаемый продольной арматурой, определя­
ется по формуле
(3.196)
Момент Ms^v, воспринимаемый поперечными стержнями, - по
формуле
■'^l|R■SwA■s\^s
169
(3.197)
или, рассматривая поперечную арматуру как непрерывно распреде­
ленную по длине элемента с интенсивностью
по формуле
=
(3.198)
где с - длина проекции наклонного сечения на продольную ось эле­
мента.
Момент Ms,inc■, воспринимаемый отгибами, вычисляется по формуле
Кз^Л/^5,ІП(^3,ІПС.
(3.199)
в формулах (3.196),(3.197) и (3.199) значения 2 ^,
и
пред­
ставляют собой расстояния от равнодействующих усилий в соответ­
ствующей арматуре - продольной Л^^., поперечной
и отогнутой
Ns,mc ДО равнодействующей усилий в сжатой зоне Кь.
Высота сжатой зоны наклонного сечения определяется из усло­
вия равновесия всех внешних и внутренних продольных сил, дейст­
вующих на блок железобетонного элемента, отделенного наклонным
сечением. При наличии отгибов учитывается продольная состав­
ляющая усилия в отгибах. В общем случае уравнение имеет вид
М = К ь - К , - И^,іпсСО50.
(3.200)
Для изгибаемых элементов с поперечными стержнями, нормаль­
ными к продольной оси элемента, имеем
Оили КьЪх = RsAs,
откуда высота сжатой зоны наклонного сечения находится по фор­
муле, аналогичной формуле для нормального сечения,
х = К^ААКьЬ1
(3.201)
а расстояние от равнодействующей усилий в продольной растянутой
арматуре Ns до равнодействующей усилий в сжатой зоне бетона оп­
ределяется по формуле
г^ = К - 0 ,5 х .
(3.202)
Случаи расчета по наклонным сечениям на действие изги­
бающего момента. Для обычных элементов с продольной армату­
рой, полностью доведенной до опоры и имеющей анкеровку, обес170
печивающую восприятие расчетаых сопротивлении арматуры, рас­
чет по наклонным сечениям на действие изгибающего момента не
требуется. Очевидно, что если обеспечена прочность по нормальным
сечениям, то будет обеспечена прочность и по наклонным сечениям,
поскольку момент Ms, воспринимаемый продольной арматурой, ос­
тается постоянным по длине элемента и равным моменту, восприни­
маемому продольной арматурой в нормальном сечении, причем к
нему добавляется момент от поперечной арматуры в растянутой зоне
наклонного сечения
а момент от внешней нагрузки М будет
меньше или равен моменту в нормальном сечении.
Расчет наклонных сечений на действие момента должен произ­
водиться в местах обрыва или отгиба продольной арматуры по длине
элемента, а также в приопорной зоне балок и у свободного края кон­
солей на длине зоны анкеровки продольной арматуры. Кроме того,
наклонные сечения на действие момента рассчитывают в местах рез­
кого изменения конфигурации элемента (подрезки и т.п.). Во всех
случаях расчет по наклонным сечениям может оказаться опаснее
расчета по нормальным сечениям, проходящим через начало на­
клонного сечения в растянутой зоне, так как момент от внешней на­
грузки в наклонном сечении будет больше, чем в нормальном, про­
ходящем через начало наклонного сечения в растянутой зоне, и тре­
буется его компенсировать моментом от поперечной арматуры.
Расчет по наклонным сечениям на действие изгибающего мо­
мента вообще можно не выполнять, если расчетом гарантировано,
что наклонные трещины не образуются при уровне нагрузки и рас­
четных сопротивлениях бетона, отвечающих первой группе пре­
дельных состояний, т.е. при Кы и Кь- При отсутствии нормальных
трещин в рассматриваемой зоне отсутствие наклонных трепщн прове­
ряется исходя из расчета по главным напряжениям как для сплошного
упругого тела. При наличии нормальных трепщн проверка на отсутст­
вие наклонных трещин производится из расчета по эмпирическим за­
висимостям, используемым для оценки прочности элементов без по­
перечной арматуры на действие поперечных сил (см. разд. 3.3.6).
Расчет по наклонным сечениям на действие моментов в при­
опорной зоне балок и у свободного края консолей (см. рис. 3.45) в
общем случае производится из условия
U < N л + 0 ,5 q ,У ,
(3.203)
где Ns - усилие, которое может воспринять продольная арматура в
наклонном сечении вследствие сопротивления ее анкеровки.
171
Для продольной растянутой арматуры, не имеющей спещ 1альных анкеров, при пересечении ею наклонного сечения в пределах
зоны анкеровки арматуры
на расстоянии 4 от конца арматуры
усилие Ns принимается уменьшающимся от полной величины
Ns = RsAs при 1х = 1ап ДО нуля при 4 = 0. Это снижение учитывается
специальным коэффициентом условий работы
вводимым к
расчетному сопротивлению арматуры К^. В результате усилие N, оп­
ределяется по формуле
к = JsRsAs.
(3.204)
Длина зоны анкеровки
определяется согласно разд. 2.4.
Если в пределах зоны анкеровки имеется специальная косвенная
или поперечная арматура в виде спиралей, сеток или хомутов, охва­
тывающих продольную арматуру, то усилие увеличивается за счет
повьшхения сопротивлению раскалывания бетона. В расчете это
можно учесть соответствующим снижением расчетной длины анке­
ровки арматуры /^„. При наличии на длине 4 за рассматриваемым
наклонным сечением приваренных поперечных стержней усилие анке­
ровки Ns может быть увеличено на N^, определяемым дополнительным
сопротивлением анкерующих поперечных стержней. Усилие N,^„ свя­
занное с сопротивлением бетона раскальшанию от действия попереч­
ных сил анкеруюпщх стержней, определяется по формуле
Nw = 0 ,7 ф ,,« ,^ Л ,
(3.205)
а то же усилие N^, но связанное с прочностью самих поперечных
анкерующих стержней, вычисляется ПО формуле
лг„ =
0,«пУ^„
(3.206)
В расчете учитывается меньшая величина
найденная по
формулам (3.205) и (3.206).
В формулах (3.205) и (3.206):
- число приваренных анкерую­
щих стержней на длине 1/,
- диаметр приваренных анкерующих
стержней;
- специальный коэффициент, принимаемый в зависи­
мости от диаметра анкерующих стержней согласно пособию [3].
От действия усилия предварительного обжатия на концевых
участках элемента у продольной арматуры возникают нормально к
оси арматуры растягивающие напряжения и трещины раскалывания,
которые могут значительно снизить сопротивление арматуры про172
дергиванию и, следовательно, уменьшить размер величины усилия,
которое может быть воспринято продольной арматурой после обра­
зования продольной трещины у опоры от последующего действия
внешней нагрузки. Наличие специальной косвенной арматуры, рас­
положенной в зоне передачи предварительного напряжения, даже
при образовании трепщн раскалывания обеспечивает надежную анкеровку предварительно напряженной арматуры в приопорной зоне.
Из сказанного следует, что чем ближе начало наклонного сече­
ния к концу арматуры, тем меньше учитывается расчетное сопро­
тивление продольной арматуры и тем опаснее наклонное сечение.
Следовательно, для свободных опор балок за начало сечения необ­
ходимо принять внутреннюю грань опоры. Для свободных концов
консоли, нагруженной сосредоточенными грузами, начало наклон­
ного сечения принимается у грузов, расположенных вблизи свобод­
ного конца консоли. При действии на консоль только распределен­
ной нагрузки, приближая начало наклонного сечения к свободному
концу консоли и снижая усилие в продольной арматуре Ns, одновре­
менно уменьшаем и момент от внешней нагрузки. В этом случае не­
выгоднейшее расположение начала наклонного сечения можно оп­
ределить исходя из минимальной разницы между несущей способ­
ностью наклонного сечения и момента от внешней нагрузки.
После того как установлено положение начала наклонного се­
чения, решается вторая задача - определение невыгодной длины с
горизонтальной проекции наклонного сечения (рис. 3.46). С возрас­
танием длины с, с одной стороны, увеличивается внешний момент
М, действующий в наклонном сечении, а с другой - возрастает также
внутренний момент, поскольку повышается момент, воспринимае­
мый поперечной арматурой в наклонном сечении. В связи с этим
невыгоднейшая длина с соответствует минимальному значению раз­
ности внешнего и внутреннего момента и определяется из уравнения
Ш с [ М - (# А + 0,5?,^")] = 0.
(3.207)
Из решения уравнения (3.207), имея в виду, что (ЗМШс = Q, по­
лучим условие для вычисления невыгоднейшей длины проекции на­
клонного сечения
Q=
(3.208)
Таким образом, наиболее опасным наклонным сечением являет­
ся сечение, в котором поперечная сила от внешней нагрузки уравно173
вешиваетея усилиями в поперечной арматуре, пересекающей на­
клонную трещину.
а)
\
8
— ^
\
.7777777
в)
•1 '
Рис. 3.46. К определению невыгоднейшей длины Со проекции
наклонного сечения для балок;
а - постоянного сечения; б - с наклонной сжатой гранью;
в - с наклонной растянутой гранью
Если в пределах длины с наклонного сечения нагрузок не имеет­
ся (которые следовало бы учитывать), то невыгоднейшая длина с
находится по формуле
^0
0.т ах1
(3.209)
Если же в пределах наклонного сечения свободно опертой балки
действуют сосредоточенные и распределенные нагрузки, то попе­
речная сила 0 , действующая в наклонном сечении, будет сама зави­
сеть от длины с наклонного сечения. Выразим поперечную силу 0
через поперечную силу 101 в начале наклонного сечения:
(3.210)
Тогда из формул (3.208) и (3.210) невыгоднейшая длина со про­
екции наклонного сечения
174
Со =
(3.211)
При этом, если значение со, вычисленное с учетом сосредото­
ченной силы Р;, оказывается меньше расстояния от начала сечения
до этой силы, а определенное без учета этой силы Р; больше этого
расстояния, то за значение со следует принимать расстояние от нача­
ла наклонного сечения до силы F;.
В бажах с переменной высотой по длине элемента при изменении
длины с наклонного сечения внутренний момент изменяется не только
в результате действия поперечной и отогнутой арматуры, но и вследст­
вие увеличения плеча момента продольной арматуры (см. рис. 3.46).
Используя указанный подход, можно получить зависимость для опре­
деления невьп'однейшей длины Со наклонного сечения:
в б а л к ^ с наклонной сжатой гранью
Со = (01 - Р , - RsAstg^)/{qsw + д);
(3.212)
в балках с наклонной растянутой гранью
Со =
(0 1
-
- І?y4,sinp)/(g^^ +д).
(3.213)
Для консолей и опорных участков неразрезных балок при опре­
делении Со по формулам (3.211)-(3.213) не следует учитывать на­
грузки д и р 1, приложеннью в пределах длины проекции наклонного
сечения, поскольку эти нагрузки, как уже указывалось, не учитыва­
ются при вычислении расчетного момента. Очевидно, значение Со в
этом случае следует принимать не более расстояния от опоры до на­
чала наклонного сечения к растянутой зоне.
Для консоли, рассчитываемой на действие равномерно распре­
деленной нагрузки, чем ближе к опоре начало наклонного сечения,
тем больше значение 0 1 и, следовательно, значение расчетного мо­
мента. Поэтому в этом случае за значение со всегда следует прини­
мать расстояние от опоры до начала наклонного сечения. В то же
время, приближая начало наклонного сечения к свободному концу
консоли, уменьшается внутренний момент. В связи с этом невьп'од­
нейшее значение Со будет соответствовать минимальному значению
разности внешнего и внутреннего моментов, принимая = (/ - с)Па„,
внутренний момент будет
л
^ л 5
175
.
а внешнии момент
М = д{1-с) с + ^ ~ ^
V
2 у
2
Тогда
а(м^-м)
а
с/с
<Лс
= 0;
у
Яsш‘^ + q c - R s A , z J l ^ „ = 0 ;
Если вычисленное значение с будет меньше /-/д„, т.е. начало на­
клонного сечения находится вне зоны анкеровки, то при отсутствии
обрывов арматуры расчет наклонного сечения по моменту не
производится.
В балочных элементах при малых значениях qsw и д длина про­
екции наклонного сечения со, вычисленная по формулам (3.211)(3.214), может быть весьма велика и достигать нормального сечения,
в котором М = Мщах- Тогда для обеспечения прочности такого на­
клонного сечения потребуется почти полное использование прочно­
сти всей продольной арматуры, что при отсутствии специальных ан­
керов на концах продольной арматуры осущ;ествить невозможно.
Однако экспериментальные исследования показали, что в этих
случаях при отсутствии анкеров разрушение по наклонным сечениям
не происходит. По-видимому, при больших значениях с предложен­
ные формулы расчета показывают заниженное значение несуш;ей
способности наклонного сечения по моменту в связи с возрастаю­
щим влиянием работы растянутого бетона на прочность наклонного
сечения. Поэтому в СП [1], [2] принято длину проекции наклонного
сечения с ограничивать значением 2ко.
При недостаточной прочности наклонного сечения по моменту
более рационально увеличивать поперечное армирование не по всей
длине, а только на небольшом участке вблизи опоры. Тогда значение
определяется по формуле
176
= 0,5д„,с^ - 0,5Ад,^(с - /,)'
(3.215)
(где qswl - интенсивность поперечного армирования на приопорном
участке длиной /ь Aqsw ~ уменьшение интенсивности приопорного
армирования), а усилие в поперечной арматуре, пересекающей на­
клонное сечение, по формуле
Nsw = qswc-^qswic-l\).
Тогда невыгоднейшее значение с можно определить, приравни­
вая это усилие к поперечной силе 0 = 0тах ~ qC, Т.е.
(3.216)
Расчет по наклонным сечениям на действие момента в мес­
тах обрыва продольной арматуры {рис. 3.47) в общем случае про­
изводится из условия
М < Ы ^, + 0 ,5 д ,^ \
(3.217)
где Нх - усилие, которое может воспринять оставшаяся после обры­
ва продольная арматура в наклонном сечении в месте обрыва основ­
ной продольной арматуры.
Усилие
вычисляется по формуле
(3.218)
где Asl - площадь сечения оставшейся после обрыва продольной ар­
матуры.
При расчете рассматривается наклонное сечение с растянутой
зоной, начинающейся непосредственно в месте обрыва продольной
арматуры.
Момент М в наклонном сечении определяется по формуле
М = Мо + 2ос -
- 0,5qc^,
(3.219)
где Мо, 0 0 “ изгибающий момент и поперечная сила в нормальном
сечении, проходящем через начало наклонного сечения в растянутой
зоне; Ри а-, - сосредоточенные нагрузки в пределах наклонного сече12 заказ 4 0
177
ния и расстояния от их места расположения до конца наклонного
сечения в сжатой зоне; q - равномерно распределенная нагрузка в
пределах наклонного сечения.
Эпюра М
Рис. 3.47. К расчету наклонного сечения на действие момента
в месте обрыва продольной арматуры
С увеличением длины с проекции наклонного сечения на про­
дольную ось элемента, с одной стороны, возрастает момент М от
внешней нагрузки в наклонном сечении, как это следует из формулы
(3.219), независимо от разгружающего действия сосредоточенных и
распределенных нагрузок, приложенных в пределах наклонного се­
чения, а с другой - увеличивается также момент Msw, воспринимае­
мый поперечными стержнями в наклонном сечении. Поэтому в об­
щем случае должно быть рассмотрено несколько наклонных сечений
с различными значениями длины с, чтобы найти самое опасное. Для
наиболее опасного сечения длина с может быть найдена также по
формуле (3.211).
Необходимую длину обрываемой продольной арматуры можно
определить следующим образом. Продольную арматуру нужно про­
должить за точку теоретического обрыва (т.е. за нормальное сече­
ние, в котором несущая способность этого сечения без учета обры­
ваемой арматуры равна внешнему изгибающему моменту) на такое
расстояние
при котором прочность любых наютонных сечений,
начинающихся за обрываемым стержнем, будет обеспечена.
178
На рис. 3.48 показан участок балки, армированный продольной и
поперечной арматурой, и соответствующий участок эпюры М
Пусть в сечении 1-1 несущая способность балки без учета стержня
№ 1 равна внешнему моменту Мо (место теоретического обрыва
стержня № 1 ), стержень № 1 оборван на расстоянии ^ от сечения 1 1 , а невьп’однейшее наклонное сечение начинается в месте обрыва и
заканчивается за сечением 1-1 на расстоянии х от него. Тогда мо­
мент, воспринимаемый поперечной арматурой в этом наклонном се­
чении, должен быть равен или больше (М^ - М>), где М^ - изгибаю­
щий момент в нормальном сечении, проходящем через конец на­
клонного сечения:
qsw{w + х)^!2 = М х - Мо.
(3.220)
Пренебрегая влиянием нагрузки, расположенной в участке х,
принимаем Мх = Qx +Мо, где Q - поперечная сила в сечении 1 - 1 .
В результате получим
= 2 е)с;
(3.221)
Наименьшее значение
обеспечивающее прочность в любом
наклонном сечении, определяется из условия
с/
Ш х
= 0,
что соответствует
X = Q/(2qs^).
Подставляя это значение х в формулу (3.221), получим
^ = Q/{2qs.).
12*
179
(3.222)
Однако, еслй использовать значение с = + х = Q/qsw, большее
2Ао, то следует принимать с = 2Ао, и тогда значение w определяется
из уравнения
^
= б (с - н»), где с = 2Ао;
(3.223)
\У
II
Стержень №1
Рис. 3.48. К определению обрыва продольных стержней
1-1 *- сечение в месте теоретического обрыва
Если принять, что в пределах участка х наверняка действует
внешняя равномерно распределенная нагрузка д, то следует принять
М ^= дх±
2
+ М(), где знак «плюс» принимается при арматуре,
расположенной у верхней грани элемента (горизонтальные консоли,
опорные участки неразрезных балок и т.п.), знак «минус» - при ар­
матуре у нижней грани элемента. Тогда имеем
(3.224)
н.=
V
«,».
180
После алгебраических преобразований выражения
с/
20х ± дх
~х
=
0
с/.
получаем:
для арматуры у верхней грани х = —
Ч
для арматуры у нижней грани х = —
Ч
Подставляя эти значения х в формулу (3.224), получим соответственио
-1
В этом случае также при с = ^ + х = '
(3.225)
> 2 \ следует
принимать с = 2Ло, и тогда значение х определяется из уравнения
= 0 х ± 3 ^ , откуда x ^ т ^ - ±
а
я VUJ
знаки относятся к верхней арматуре, нижние знаки - к нижней арма­
туре, При этом
^в,н = 2Ло -
X.
(3.226)
Следует отметить, что значение
несколько больше, а значение
несколько меньше значения
определенного по формуле (3.222)
или (3.223).
Поскольку обязательное присутствие нагрузки на участке х до­
вольно редкий случай, в пособии [3] принято во всех случаях значе­
ние IV определять только по формуле (3.222), но чтобы избежать за­
нижения для верхней арматуры в случае наличия нагрузки в пре­
делах участка х, а также учитьюая, что обрываемый стержень может
181
не сразу включаться в работу, значение w во всех случаях увеличи­
вается на 5сі.
Аналогично выводится формула для w для балки с наклонной
сжатой гранью
+ 5(І,
(3.227)
но если проекция невыгоднейшего наклонного сечения с превышает
2ко = = 2 (Ло1 +
то значениеможно несколько уменьшить, вы­
числяя его по формуле
>1/ = 2(/2о, + Xtgp) - X,
где
(3.228)
значение
л:
определяется
из
уравнения
\2
К
= 0; hoi - рабочая высота сечения в месте
tgP
VtgP
e-JV ,tg p
теоретического обрыва; а =
Границей перехода служит граничное значение аф = 1/(1 -tg p ),
полученное из приравнивания друг другу формул (3.227) и (3.228),
т.е. если а > 1/(1(1 - tgp), следует использовать формулу (3.228).
Для балки с наклонной растянутой гранью w определяется ана­
логично с заменой tg|3 на sinp.
Таким образом, если обрываемая продольная арматура продол­
жена за точку теоретического обрыва на расстоянии w, прочность
наклонных сечений будет обеспечена.
Кроме того, чтобы обеспечить работу обрываемой арматуры с
полным расчетным сопротивлением в сечении с максимальным мо­
ментом, место обрыва должно отстоять от этого сечения на расстоя­
ние не менее длины зоны анкеровки /о„.
При отсутствии хомутов обрыв стержней можно осуществлять
только в случае невозможности образования наклонных трещин, т.е.
при Q < Qb.mm, когда расчет наклонного сечения по изгибающему
моменту не производится, в этом случае, казалось бы, можно при­
нимать W = О, однако образующиеся нормальные трещины даже при
столь малой поперечной силе могут немного наклоняться, поэтому
значение W принимается без расчета равным 2ho.
182
Расчет по наклонным сечениям на действие момента при отги­
бах продольной арматуры в общем случае производится по изложен­
ным ранее правилам. При отгибе продольной растянутой арматуры сра­
зу от того нормального сечения, где оно полностью используется, в на­
клонных сечениях с тем же изгибаюпщм моментом отогнутая арматура
будет работать с меньшим плечом, следовательно, прочность наклонно­
го сечения может оказаться недостаточной (рис. 3.49). Во избежание
этого отгиб необходимо начинать на таком расстоянии х от нормально­
го сечения (где он полностью используется), при котором плечо ото­
гнутой арматуры в наклонном сечении было бы не менее ее плеча в
нормальном сечении, т.е.
Рис. 3.49. К определению места изгиба продольной растянутой
арматуры
где
^хлпс =
г .с о з а + х з іп а .
Отсюда
1- со за
а
х > г , — ------= z ,tg - .
8ша
2
183
При максимально допустимом угле наклона отгиба к горизонта­
ли а = 60“
х = 0,58г,~0,5йо.
(3.229)
С некоторым запасом при любом наклоне отгибов можно реко­
мендовать отгибать арматуру на расстоянии не менее 0,5 ко от того
места, где она полностью используется. Следовательно, если отгиб
начинается на расстоянии не менее 0,5ко от того места, где он полно­
стью используется, прочность сечений будет обеспечена.
3.3.8. Расчет железобетонных элементов по наклонным полосам
бетона, расположенным между наклонными трещинами
Если железобетонный элемент обладает высокой несущей спо­
собностью по наклонной трещине, разрушение элемента может про­
изойти от разрушения бетона между наклонными трещинами.
При образовании наклонных: трещин в стенке балки вьщеляется
система наклонных бетонных полос, расположенных между трещина­
ми. Бетонные полосы испытывают воздействие сжимаюпщх сил, на­
правленных вдоль бетонной полосы, и растягивающих сил от попереч­
ной арматуры, пересекаюпщх наклонные трещины и бетонные наклон­
ные полосы {рис. 3.50), а также касательных сил, которые действуют по
берегам наклонных трещин и по границам верхнего и нижнего поясов
элементов, связывающих наклонные полосы в стене балки.
Эмпирически установлено, что предельная сила 0 , восприни­
маемая элементом перед разрушением бетона стенки балки, пропор­
циональна ширине стенки Ь и рабочей высоте элемента ко, но так как
бетон в основном разрушается от сжатия, в расчетную зависимость
вводится расчетное сопротивление бетона на сжатие Кь. Отследить
достаточно точно влияние других факторов на прочность наклонных
бетонных полос оказалось затруднительно, тем более, что влияние
этих факторов имеет разнонаправленный характер. Поэтому в СП [1]
[2] на основании обработки многочисленных опытных данных ре­
шено привести условие прочности наклонных бетонных полос, зави­
сящее только от параметра КьЬко, а именно
д < 0 ,З К ф к о .
184
(3.230)
/
<
Рис. 3.50. Работа сжатой полосы бетона между наклонными трещинами
При этом поперечная сила Q, а также ширина Ь и рабочая высота
ко принимаются для сечения, отстоящего от опоры на расстоянии не
менее ко.
Для внецентренно сжатых элементов наклонные бетонные поло­
сы воспринимают добавочные сжимающие усилия от внешней про­
дольной силы и быстрее достигают предельного состояния. Особен­
но четко этот эффект выявлен при действии продольных сил, пре­
вышающих половину предельной продольной силы, соответствую­
щей центральному сжатию, т.е. значения Л/ц = КьА + ЯьзсТАз- Поэто­
му в пособии [3] принято, что при М/Мц > 0,5, правая часть условия
(3.230) умножается на коэффициент
Ф„
=2(1-А И \А ц).
3,4. Расчет по прочности пространственных сечений
железобетонных элементов
При действии на изгибаемый элемент крутящих моментов разру­
шение элемента может произойти по пространственным сечениям. В
этом случае в элементе образуется спиральная трещина, проходящая по
трем граням элемента под одинаковым углом к продольной оси элемен­
та. Эта трещина вместе с замыкающей ее сжатой зоной по четвертой
грани образует пространственное сечение. При этом возможны две ос­
новные схемы расположения сжатой зоны: у верхней грани, сжатой от
изгиба (схема I), у боковой грани элемента, параллельной плоскости
изгиба (схема II). В СП [1] в отличие от предьщущих норм принят рас­
чет пространственных сечений с использованием кривых взаимодейст­
вия крутящих и изгибающих моментов, а также крутящих моментов и
поперечных сил по аналогии с расчетом нормальных сечений на косое
внецентренное сжатие (см. разд. 3.2.10).
185
I
схема рассматривается при расчете на совместное действие
крутящих моментов Т и изгибающих моментов М {рис. 3.51).
Рис. 3.51. Схема усилий в пространственных сечениях при расчете
на действие крутящего и изгибающего моментов;
растянутая арматура у нижней грани элемента
Кривые взаимодействия М и Г приняты на основе обобщения
экспериментальных данных в виде дуги окружности {рис. 3.52).
Рис. 3.52. Кривая
взаимодействия
величин М/Мо и T/Tf^
186
Координаты каждой точки кривой связаны зависимостью
/
М
ч 2
✓
ч 2
т
= 1,
где М к Т - предельные значения изгибающего и крутящего момен­
тов, одновременно действующих в пространственном сечении; Мо предельный изгибающий момент, воспринимаемый нормальным се­
чением (при отсутствии крутящего момента и определяемый соглас­
но разд. 3.2.8); То - предельный крутящий момент, воспринимаемый
пространственным сечением при отсутствии изгибающего момента.
тМ
Г
_
Если точка с координатами — и — , где М и Г - внешние изги■^0
^
бающий и крутящий моменты, находятся внутри области, ограни­
ченной кривой взаимодействия и осями координат, прочность про­
странственного сечения будет обеспечена, если вне этой области
прочность не обеспечена. Тогда условие прочности при схеме можно
представить в виде
(3.231)
т < т ,м -
Значение Го складьшается из крутящего момента, воспринимае­
мого поперечной арматурой, расположенной у растянутой от изгиба
грани,
и крутящего момента, воспринимаемого продольной ар­
матурой, расположенной у той же грани, Т^\.
Длина проекции на ось элемента спиральной трещины по рас­
тянутой грани шириной Ь, как видно из рис. 3.53, равна с
^
тогда усилие в поперечной арматуре, пересеченной трещиной, будет
. с — к— . Обозначив,гдеи-
равно
5 ,
2И+Ь
5 ,
площадь одного поперечного (горизонтального) стержня у растяну­
той грани и его шаг, и — - — = 5,, получаем Nsw\ 2к + Ь
187
Рис. 3.53. Развертка пространственного сечения:
1 - направление спиральной трещины;
2 - линия, ограничивающая сжатую зону
Усилие в продольной растянутой арматуре
раскладываем
на усилие, нормальное оси элемента, и усилие, параллельное сжатой
зоне, и, следовательно, не вызывающее момент. Тогда согласно
рис. 3.53 усилие в растянутой арматуре, вызванное крутящим мо­
ментом, будет равно
JV „= ^;Д ,tg a = Д Д , - ,
С
При определении крутящих моментов Т^1 и Тх\ за плечо внут­
ренней пары сил в обоих случаях условно принята величина 0,9к, т.е.
Тм =
- 0,9д,у,1сЬ1к;
Г,= //,-0,9А = 0 ,9 Л Д ,-й .
с
(3.232)
(3.233)
Как показали эксперименты, при большом количестве продоль­
ной арматуры по сравнению с поперечной в ней может быть не дос­
тигнут предел текучести при разрушении сжатого бетона простран­
188
ственного сечения, в то время как напряжения в поперечной армату­
ре достигли предела текучести. Обратная картина наблюдается при
большом количестве поперечной арматуры по сравнению с продоль­
ной, что бывает значительно реже.
Условия, характеризующие работу с пределом текучести про­
дольной и поперечной арматуры, получены соответственно в виде
^
И (ls^v\b ^
Если какое-либо из этих условий не выполняется, то в расчете
следует учитывать такое количество арматуры (продольной или по­
перечной) с полным расчетным сопротивлением, при котором эти
условия будут удовлетворены.
Многочисленные эксперименты показали, что угол наклона спи­
ральной трещины к продольной оси элемента никогда не бывает
меньше 45“, поэтому длина проекции пространственного сечения с
принимается не более 2к + Ь.
Крутящий момент Т и изгибающий момент М в условии (3.231)
принимаются в поперечном сечении, расположенном в середине
длины проекции с вдоль продольной оси элемента.
пространственные сечения рекомендуется располагать в наибо­
лее опасных местах элемента, а именно:
а) для неразрезных балок или ригелей с жесткими узлами, а так­
же для консоли - у опоры;
б) для любых элементов, нагруженных сосредоточенными сила­
ми и крутящими моментами, - у мест расположения этих сил со сто­
роны участка с большими крутящими моментами (рис. 3.54)\
в) для элементов, нагруженных равномерно распределенной на­
грузкой, если в пролетном сечении с наибольшим изгибающим мо­
ментом действует крутящий момент; в этом случае середина про­
странственного сечения располагается в указанном поперечном се­
чении.
Если принять, что изгибающий и крутящий моменты М и Г не
зависят или мало зависят от длины проекции с, то невыгоднейшее
значение с должно соответствовать минимальному значению Го- Оп­
ределим это значение с, приравняв нулю производную по с выраже­
ния для Го.
В случае полного использования продольной и поперечной ар­
матуры, т.е. при RsAsx<2qswxb<ЪRsAsx. значение Го равно сумме зна­
чений Т^х и Tsx, определенных по формулам (3.232) и (3.233):
189
(3.234)
Го = 0,Щ qsw\cЪl + К Аз\Ы с).
3-0^-
Эпю рам
Эпюра Т
^2
Эпюра О
Рис. 3.54. Расположение расчетных пространственных сечений
в балке, нагруженной сосредоточенными силами. 1,2 - расчетные
пространственные сечения:
расчетные усилия для пространственного сечения 1;
^ 2, Т2, 0 2 - ТОже для пространственного сечения 2
Тогда ^
= 0,9А(9„,8, -
/ с") = 0.
Из этого уравнения получаем невыгоднейшее значение с = са
/д а л
V
1к л ,(2 ь +Ь)
V
9»1
(3.235)
Подставив это значение с в формулу (3.234), получаем
То=0,9к
(3.236)
= \,т
2Н + Ь
190
в случае, если
2qsw\b. Тогда
в формуле (3.233)
Го=0,9/г q^^^д,c + 2q^^^b■- =0,Щ ^^,(5^с + 2Ь^ / с);
V
с)
(^С
5 ,-
2Ь-
заменяется
(3.237)
= 0, откуда
(3.238)
Подставив это значение со в формулу (3.237), получим
т ,= о ,Щ .
Однако, если начало пространственного сечения совпадает с по­
перечным сечением, где действует максимальный изгибающий мо­
мент, как показано на рис. 3.54, то значения моментов М и Т, дейст­
вующих в середине длины проекции с, также зависят от значения с.
При неучете или отсутствии распределенной нагрузки в преде­
лах длины с расчетное значение М равно М = Мтах - 6^/2, а значение
Т не меняется.
Если учесть это обстоятельство, то значение с должно умень­
шиться по сравнению с со, вьшисленным по формулам (3.235) или
(3.238), поскольку при этом незначительное увеличение значения То
по сравнению с минимальным сопровождается существенным уве­
личением момента М и, следовательно, большим уменьшением вы­
М
М,о у
Чтобы определить невыгоднейшее значение с с учетом увеличе­
ния М, следует определить производную по с правой части условия
(3.231) и, приравняв ее нулю, из полученного уравнения определить
с. Однако полученное уравнение приобретает весьма сложное выра­
жение и 6-ю степень, что затрудняет его использование. Поэтому в
пособии [3] для этого случая решено использовать минимальное
191
значение Го, но расчетные моменты М я Т определять исходя из
уменьшенного значения со, определенного путем умножения его на
коэффициент
к = 1,2 - 0,4Мтах/МЬ, но не более 1,0.
Этот коэффициент получен на основе обобщения разнообразных
случаев и приводит к незначительной погрешности в определении
минимального предельного значения Г (в пределах ±1,0%).
II
схема расположения сжатой зоны рассматривается при рас­
чете на совместное действие крутящих моментов г и поперечных
сил Q (рис. 3.55).
Рис. 3.55. Схема усилий в пространственных сечениях при расчете
на действие крутящего момента и поперечной силы;
растянутая арматура у боковой грани элемента
192
кривые взаимодействия Т и Q при этом приняты на основе
обобщения экспериментальных данных в виде прямой (рис. 3.56).
Координаты каждой точки этой прямой связаны зависимостью
Т
О
— + ■ ^ = 1,0,
То а
где Т и Q - предельные значения крутящего момента и поперечной
силы в пространственном сечении; То - предельный крутящий мо­
мент, воспринимаемый пространственным сечением при отсутствии
поперечной силы; Qo - предельная поперечная сила, воспринимае­
мая наююнным сечением и принимаемая равной правой части усло­
вия (3.145),
а условие прочности можно представить в виде
1
(3.240)
-
бо
где Т и Q - внешние крутящий момент и поперечная сила.
Значение То складывается из крутящего момента, воспринимае­
мого растянутой поперечной арматурой, расположенной у одной из
боковых граней, Т^^2, и крутящего момента, воспринимаемого про­
дольной арматурой, расположенной у той же грани, Т^2-
13 Заказ 40
193
Длина проекции на ось элемента спиральной трещины по растя­
нутой боковой грани к, как видно из рис. 3.57, равна с~ -— - , и то2Ь + п
гда усилие в поперечной арматуре, пересеченной трещиной, будет
с2Ь + Ъ
- площадь сечения одного поперечного (вертикального) стержня у
растянутой грани и его шаг, и —
= 8 2 , получаем Nsw2 = qsw2cЪ2.
26 4 - й
Усилие в продольной растянутой арматуре, расположенной у
боковой грани, RsAs2, раскладываем на усилие, нормальное оси эле­
мента, и усилие, параллельное сжатой зоне и, следовательно, не вы­
зывающее момент. Тогда согласно рис. 3.57 усилие в растянутой ар­
матуре, вызванное крутящим моментом, будет равно
N ^ 2
=
/ г ^ Л ^ 2 t g a =
К
А
з
2 М
с
.
Ч s w 2
1/
'
/
!
У ^ '
\
1
Д3|
<
1 - г
• ■1
'/
^
1
1
1
1
т
;
1
^
;
к
И
Ь
!
!
1
1
<
I
1
!
_______ 1
\
1
1
—
Рис, 3.57. Развертка 11ространствеин<)го сечения при схеме II:
1 - направдение сциральной 1рещины;
2 - линия, ограничивающая сжатую зону
При определении крутящих моментов Т^2 и Ts2 за плечо внут­
ренней пары СИД в обоих случаях по аналогии со схемой I принята
величина 0,96, т.е.
194
Т^г = N^2 X 0,96 = 0
,
262^^7;
(3.241)
Т^2 = N^2 •0 ,% = ^ M s A 2 -Ь с
(3.242)
Ограничения, принятые при использовании продольной и попе­
речной арматуры, аналогичны принятым при рассмотрении схемы I
расположения сжатой зоны, т.е. полное использование продольной и
поперечной арматуры допускается при выполнении условий
К^А,2 < 2 д^^2Ь и
1,5Я^А^2.
Если какое-либо из этих условий не выполняется, то в расчете
следует учитывать такое количество арматуры (продольной или по­
перечной) с полным расчетным сопротивлением, при котором эти
условия будут удовлетворены.
За максимальный угол наклона спиральной трещины к продоль­
ной оси элемента принят угол, равный 45®, т.е. длина проекции про­
странственного сечения принимается не более 2Ь + к.
Крутящий момент Т и поперечная сила Q в условии (3.240) при­
нимаются в поперечном сечении, расположенном в середине длины
проекции с вдоль продольной оси элемента. Но поскольку в преде­
лах с значения Т я Q меняются, как правило, незначительно, в усло­
вии (3.240) можно принимать максимальные их значения.
Пространственные сечения располагаются у опор балок, т.е. в
местах с максимальными значениями T\^Q.
Если принять значения Т я Q постоянными в пределах длины с,
то невыгоднейшая длина проекции с соответствует минимальному
значению Го- Определим это значение с из уравнения
^с1с
= 0.
в случае полного использования продольной и поперечной ар­
матуры, т.е. при КцА^г < 2д^^гк < ЗRsAs2, значение Го равно сумме зна­
чений Г^2 И Ts2, определенных ПО формулам (3.241) и (3.242);
Го=0,Щ д„,с5,+ЙА2^‘/ ‘^У
13*
195
(3-243)
Тогда ^ =
ас
=
С=
р ? Л ,(2 Ь + /г)
V
(3.244)
V
Подставив это значение с в формулу (3.243), получаем
Т,=0,9Ь 9 ^ г 5 и М ^ + ЛА2Л
^ л1у2^2
= 1,86/2 -^.?Л2^лу2
V 2Ь + к
в случае, если КяАз2 > 2qsw2h, в формуле (3.242) RsAs2 заменяется
на 2д^^гк. Тогда
Го =0,96 ч,^^Ас + 2д^^^,Ь- = 0,96^,,,(5,с + 2/2V с);
V
(3.245)
с.
с/Г
2к^ = 0,9Ьд^л-№
-2 5 . с1с
= О, отсюда с = /г^
(3.246)
Подставляя это значение с в формулу (3.245), получим
Го =0,96^^,^2
В случае, если 2qsw2h > 3^?^,2,в формуле (3.241) qsyv2h заменяется
на 1,5 RsAs2. Тогда
1,55,
к
Г„ =0,9ЬК,4^л-2 ----- - с + —
к
с
с1Т.о _
с/с
"1,55,
к
у
к
= О, отсюда с =
с^
196
(3.247)
(3.248)
Подставив это значение в формулу (3.247), получим
/
I
_ \
Т„=О М Аг
У
При определении значения 0 в условии (3.240) наклонное сече­
ние принимается с длиной проекции на ось элемента, равной
с=
где
- см. разд. 3.3.3.
V
Расчет железобетонных элементов по прочности бетона меж­
ду пространственными сечениями. Помимо разрушения элементов
по пространственным сечениям возможно также разрушение бетона
от сжатия между спиральными треш;инами, аналогично разрушению
бетонных полос от сжатия между наклонными сечениями, как это
описывалось в разд. 3.3.8. Такое разрушение может происходить при
большом насыщении элемента продольной и поперечной арматурой.
Расчет по прочности при этом виде разрушения производится из
дв)^ условий:
а) на действие максимального крутящего момента
т и < 0 ,щ б \
(3.249)
где Ь и к - соответственно меньший и больший размеры поперечного
сечения;
б) на действие крутящего момента Т и поперечной силы 0 , рас­
положенных в нормальном сечении на расстоянии 26 + /г от опоры,
где 6 и /г (см. рис. 5.55):
(3.250)
где Го1 - предельный крутящий момент, воспринимаемый элементом
между пространственными сечениями и принимаемый равным пра­
вой части условия (3.249); 0о1 - предельная поперечная сила, вос­
принимаемая бетоном между наклонными сечениями и принимаемая
равной правой части условия (3.230).
197
3.5. Расчет по прочности на продавливание
Если нагрузка приложена к плоскому элементу (плите) на доста­
точно малой площади, то может произойти разрушение этого эле­
мента от среза по периметру участка, окружающего площадку на­
гружения. Такое разрушение называется продавливанием.
Расчет на продавливание, в частности, производится для плит
перекрытий под опорами тяжелого оборудования, для фундамент­
ных плит на действие опирающихся на них колонн здания. При рас­
чете на продавливание исходят из того, что срез бетона происходит
по боковым сторонам усеченной пирамиды, начинающимся от краев
площадки опирания и наклоненным под углом 45° в сторону от пло­
щадки опирания (рис. 3.58).
—
•«Ч
450<5.
4=^
Боковые стороны
пирамиды
продавливания
Площадка
опирания
Рис. 3.58. Схема пирамиды продавливания
Продавливанию сопротивляется проекция на вертикаль суммар­
ной срезывающей силы, распределенной по боковым сторонам пи­
рамиды продавливания. Если на площадку опирания действует толь­
ко продольная сила, т.е. нагрузка распределена равномерно по пло­
щадке опирания, то срезывающие напряжения по всем боковым сто­
ронам пирамиды будут в предельном состоянии одинаковыми и пре­
дельная продавливающая сила будет равна площади проекции на
вертикаль боковых сторон пирамиды продавливания, умноженной
на расчетное сопротивление бетона растяжению Кы. Эта площадь
может определяться как среднеарифметическое значение перимет198
ров верхнего и нижнего основания пирамиды и, умноженное на ра­
бочую высоту плоского элемента Ло- Поскольку продольная растяну­
тая арматура плиты во взаимно перпендикулярньвс направлениях X и
I располагается на разных уровнях по высоте сечения плиты, рас­
четное значение рабочей высоты /?о принимается как средняя вели­
чина значений рабочей высоты для направлений X и У /гох и к^у.
Значение и также можно представить как периметр пирамиды
продавливания на уровне половины ее высоты /го. Таким образом,
основное условие прочности на продавливание при действии про­
дольной силы Р имеет вид
Р<Кы11Ы.
(3.251)
Правильность такого расчета для элементов из тяжелого бетона
была подтверждена многочисленными опытными данными, что бы­
ло зафиксировано во всех нормативных документах. Для иных видов
бетона были приняты понижающие коэффициенты.
Следует отметить, что при расчете на продавливание фундамен­
тов за продавливающую силу Е должна приниматься продольная
сила в колонне за вычетом отпора грунта, действующего в пределах
нижнего основания пирамиды продавливания, а при определении
этого отпора не должен учитываться вес фундамента, поскольку этот
вес, очевидно, не может способствовать продавливанию фундамента.
Однако на фундамент кроме продольной силы колонны может
действовать также момент в заделке колонны в фундамент. Пра­
вильно учесть влияние момента на продавливание довольно сложно.
С одной стороны, при действии момента увеличение срезывающих
напряжений с одной стороны пирамиды продавливания сопровожда­
ется уменьшением этих напряжений с противоположной стороны,
что, казалось бы, не должно приводить к разрушению от среза по
всем сторонам пирамиды. С другой - можно предположить, что пре­
вышение срезывающих напряжений их предельных значений у од­
ной стороны пирамиды полностью выключает ее из работы, т.е. она
перестает сопротивляться внешней нагрузке, и поэтому ближайшие
поверхности пирамиды начинают воспринимать большую нагрузку
и, следовательно, там напряжения увеличиваются и, доходя до пре199
дельных значений, также выключают соответствующие участки из
работы. Этот процесс идет до тех пор, пока срез бетона не охватит
весь периметр пирамиды продавливания. При таком представлении о
работе элемента при действии момента, очевидно, следует не допус­
кать, чтобы от действия продольной силы и момента на любой из
сторон пирамиды были бы достигнуты предельные значения срезы­
вающих напряжений.
Для фундаментов в ряде пособий и рекомендаций это учитыва­
лось тем, что рассматривался не весь периметр пирамиды продавли­
вания на уровне середины ее высоты, а только наиболее напряжен­
ная ее сторона, на которую действует отпор грунта в пределах части
подошвы фундамента, примыкающей к соответствующей стороне
нижнего основания пирамиды продавливания. Такой расчет не во­
шел в нормы и был необязателен. В этом способе заключена сле­
дующая нелогичность. Зависимость прочности отдельной грани пи­
рамиды от отпора грунта в пределах площади подошвы, приложен­
ной к этой грани, приводит к тому, что разные грани пирамиды про­
давливания могут иметь разные срезывающие напряжения даже при
отсутствии момента (например, при подошве не квадратной формы),
что противоречит исходной предпосылке расчета.
Проблема уточнения влияния момента на продавливание стала
весьма актуальной в последнее время, когда получило широкое рас­
пространение строительство каркасных зданий из монолитного же­
лезобетона с плоскими безбалочными перекрытиями. Такие пере­
крытия следует также проверять на продавливание, принимая за
продавливающую силу нагрузку, предающуюся с перекрытия на ко­
лонну. В этом случае большее основание пирамиды продавливания
оказывается наверху, а меньшее - внизу, и это основание равно се­
чению нижней колонны.
Поскольку на колонны каркаса, как правило, действуют момен­
ты, встала задача разработать общий непротиворечивый способ уче­
та момента при расчете на продавливание как фундаментов, так и
плит перекрытий. Если принять, что нигде нельзя допускать превы­
шения срезывающими напряжениями их предельных значений, то
удобнее рассматривать расчетное поперечное сечение, расположен­
ное вокруг площадки опирания на расстоянии /го/2, по поверхности
которого действуют касательные усилия от продольной силы и мо­
мента {рис. 3.59).
Эти касательные усилия должны быть восприняты бетоном с
расчетным сопротивлением растяжению Кы200 її'
при действии только продольной силы касательные усилия при­
нимаются равномерно распределенными по всему контуру расчетно­
го поперечного сечения, и, таким образом, такая расчетная схема
практически не отличается от приведенной выше в виде пирамвды
продавливания.
При действии момента касательные усилия принимаются ли­
нейно изменяющимися по длине контура расчетного сечения в на­
правлении момента так, чтобы внутренние и внешние усилия нахо­
дились в равновесии. Такой расчет аналогичен расчету на внецен­
тренное сжатие нормального сечения по формуле сопротивления
материалов, где за такое сечение принимается контур расчетного
поперечного сечения, а полученные напряжения должны делиться на
высоту элемента /го, учитывая равномерное распределение касатель­
ных напряжений по высоте, т.е. условие прочности на продавлива­
ние приобретает вид
и
(3.252)
ж
где Жь - момент сопротивления контура расчетного поперечного се­
чения.
Р
1ю/2
Расчетное поперечное
сечение
Контур расчетного
поперечного сечения
Площадка опирання
Рис. 3.59. Схема расчетного поперечного сечення
201
Однако такой подход к расчету можно принять только для эле­
мента из хрупкого и идеально упругого материала. Бетон, не являясь
таким материалом, перед срезом испытывает заметные неупругие
деформации, и фактические напряжения в направлении момента из­
меняются нелинейно. Было принято, что фактические касательные
напряжения достигают значения Кы при моменте вдвое большем мо­
мента, при котором напряжения достигают Кы при упругой работе
бетона {рис. 3.60). Поэтому в предлагаемом расчете, учитывающем
только упругие деформации, момент уменьшают вдвое.
Кроме того, охват разрушением всегр контура расчетного сече­
ния может быть достигнут, если напряжения, вызванные моментом,
не будут чрезмерно отличаться от напряжений, вызванных продоль­
ной силой. Дело в том, что при достижении касательных напряжений
предельных значений бетон не сразу выключается из работы и мо­
жет деформироваться при некотором увеличении момента, и, следо­
вательно, увеличение деформаций на менее напряженных сторонах
будет не столь значительными и может не привести к достижению
ими своих предельных значений, особенно если напряжения от про­
дольной силы достаточно далеки от предельных. Поэтому в пособии
[3] в развитии СП 52-101.2003 принято, что, если напряжение от
продольной силы Р1{ико) не превышает 0,5/?*,, разрушения от про­
давливания при действии момента любой величины невозможно.
Разрушение при этом возможно только по нормальным или наклон­
ным сечениям.
Рис. 3.60. График зависимости касательных напряжений т
от момента М: т/=Р/ико - касательные напряжения от продольной силы Р
Это условие можно осуществить, если принимать максимальное
напряжение, вызванное моментом М!{ШъЬ^ не более напряжения,
вызванного продольной силой ^/(мАо).
202
Момент сопротивления Щ определяется как для коробчатого
или кольцевого сечения с толщиной стенок, равной единице. Для
прямоугольной площадки опирания размером а х Ь размеры контура
расчетного сечения равны (а + /го) х (Ь + /го). При размере контура в
направлении момента а + ко момент инерции контура равен
1
=
2
12
+ (Ь + к,)
а + к,
\2
= 2{а + к,у-
а + к^
12
Ь + к^
4
а момент сопротивления
Ж =■
•= (о + /г„)
(а + й„)/2
а +к
Периметр контура такой площадки равен
и = 2{а + 6 + 2/го).
Для круглой площадки опирания (например, при колоннах круг­
лого сечения) диаметром (і диаметр контура расчетного сечения ра­
вен + /?о, а момент сопротивления и периметр контура соответст­
венно
Wb = n{d + koflA; А -^n(d + ко).
Все эти формулы применимы для расчетных сечений с контуром
замкнутой формы. Однако, если площадка опирания оказалась вбли­
зи свободного края или угла плиты, более опасным может оказаться
расчетное сечение с контуром незамкнутой формы (рис. 3.61).
В этом сл)^ае на расчетное сечение может действовать дополни­
тельный момент из-за эксцентричности приложения продольной си­
лы относительно центра тяжести незамкнутого контура. Этот мо­
мент алгебраически складывается с внешним моментом, приложен­
ным к площадке опирания.
Для незамкнутых контуров расчетных сечений в табл. 3.2 при­
водятся без вывода формулы для периметра и, а также для моментов
сопротивления Wbx и Wby и эксцентриситетов вх и ву в направлении
осей xvty.
В колоннах могут действовать моменты в направлении обеих
осей симметрии Мх VI Му ,vt тогда условие (3.252) в соответствии с
формулой сопромата приобретает вид
203
F
М.
-
^ы К ’
(3.253)
где Жы и }¥ьу - моменты сопротивления в направлении моментов
и Му.
Рис. 3.61. К расчету на продавливание плиты при незамкнутом
контуре расчетного поперечного сечения;
а - при крайней колонне; б - при угловой колонне; 1 - контур расчетного
сечения; 2 - центр тяжести контура расчетного сечения
При этом сумма
+
также принимается не более Р/и.
При невыполнении условия (3.252) или (3.253) прочность плиты
на продавливание можно повысить установкой поперечной армату­
ры вокруг площадки опирания. При этом в расчете учитываются по­
перечные стержни, пересекающие боковые стороны пирамиды про­
давливания, т.е. расположенные на участках шириной ко от границ
площадки опирания. Но чтобы избежать среза бетона вне зоны рас­
положения поперечного армирования, ширину армированных участ­
ков принято увеличивать до \,5ко (рис. 3.62).
При равномерном распределении поперечной арматуры вокруг
площадки опирания к правой части условия прочности добавляют
- усилие в поперечной арматуре на единицу длины
величину
контура расчетного сечения. При этом, учитывая неравномерность
распределения напряжений в поперечной арматуре в пределах всей
зоны продавливания, расчетное сопротивление 7?*^ умножается на
дополнительный коэффициент 0,8.
204
Таблица 3.2
Схема по
рис.
Моменты сопротивления
Периметр, и
3.38, й
у края
плиты
2Ьх~^ Ьу
3.38,6
для
волокон
Ьх+ Ьу
И^у
6(1+ 1)
1 / 1 /6 + 1 ^
4 ( ^ + 3 !^
6
у края
плиты
11(и +31^)
12(1, /2 + 1 ^
Ь^, Ьу, ¥х, Уу, бх, ву - см. рис. 3.61
ву
11(и + 3 1 )
у удален­
ного от
края
плиты
у удален­
ного от
края
плиты
Эксцентриситеты
1^(и +31^,
6
Аналогично
с переста­
новкой £х и Ьу
4 ( 4 + А)
и
1 /1 ^ 2 +
5,
0,0
Аналогично
бх с переста­
новкой ЬхИ Ьу
и заменой Ух
на Уу
1,5Ьр
^
I Азуу 1,5Ьр „ Ьп/2
Рис. 3.62. К расчету на продавливание плиты с равномерным
поперечным армированием:
1 - участок плиты с учитываемой в расчете поперечной арматурой; 2 - кон­
тур расчетного сечения, рассчитываемого без учета поперечной арматуры;
3 - площадка опирания
Тогда
(3.254)
где Asw - площадь сечения одного ряда стержней, пересекающих пи­
рамиду продавливания; 5^ ~ шаг стержней в направлении линии кон­
тура расчетного сечения.
При этом следует отметить, что влияние поперечной арматуры
на увеличение прочности при продавливании не прямо зависит от
интенсивности этого армирования. При малой интенсивности на206
пряжения в поперечных стержнях в момент перед срезом бетона мо­
гут превысить временное сопротивление, и, следовательно, эти
стержни перестают сопротивляться внешней нагрузке. При большой
интенсивности напряжения в поперечных стержнях в момент перед
срезом бетона могут быть суш;ественно меньше предела текучести.
Поэтому значение qs^ принимается не более Ritho, а в случае
qsw <
вовсе не учитывается в расчете поперечное армирова­
ние.
Однако если в этом случае принять уменьшенное значение
равное Aqsw, что позволило бы учесть поперечную арматуру, то несуш;ая способность сечения с учетом арматуры может превысить не­
сущую способность сечения без зачета поперечной арматуры, т.е.
снижение прочности бетона привело бы к увеличению несущей спо­
собности сечения. Чтобы не допускать такую нелогичность, значе­
ние qsw, меньшее 0,25ЯыЫ, можно при необходимости з^итывать в
расчете, принимая в условии прочности RbtK^Aqsw, т.е. правую
часть этого условия принимать равной 5qswЗону вне расположения поперечного армирования также следует
проверять расчетом на продавливание, принимая за площадку опи­
рания зону поперечного армирования.
В некоторых случаях более рационально сосредоточивать попе­
речную арматуру у главных осей х и В этом случае контур расчет­
ного сечения для поперечной арматуры будет иной, чем для бетона,
поскольку будет состоять из отдельных отрезков, равных длинам
участков расположения поперечной арматуры kw.x и
на расчет­
ном контуре продавливания {рис. 3.63). Характеристики такого рас­
четного сечения Usw и Wsw соответственно равны Us^v 2{lsw,x +
^ 7 ^ + U ( « + *o).
3(a + /?o)
где a - размер площадки опирания в направлении момента.
При наличии разных расчетных сечений для бетона и поперечной
арматуры было решено воспользоваться расчетом с помощью кривой
взаимодействия величин F/F,,* и МШиц, где Fui, - предельная продав­
ливающая сила, определенная с учетом работы бетона и поперечной
арматуры, М„/, - момент, вызывающий в обоих расчетных сечениях
предельные напряжения в бетоне и в поперечной арматуре, т.е.
F ifi,
R(,,hoii "Ь qsw^swi
Riifho
207
+ q^w ^^sw-
Рис. 3.63. К расчету на продавливание плиты с крестообразным
расположением поперечной арматуры:
1 - учитываемая в расчете поперечная арматура; 2 - контур расчетного се­
чения, рассчитываемого без учета поперечной арматуры
При этом предполагается, что интенсивность поперечного арми­
рования одинакова в направлении обоих координатных осей.
Поскольку принята упругая работа всех материалов, кривая
взаимодействия представляет собой прямую линию {рис. 3.64).
Рис. 3.64. Линии взаимодейст­
вия величин Р!Р„ц и М1М„и
при расчете на продавливание:
1 - область обеспеченной проч­
ности; 2 - область не обеспечен­
ной прочности
М
м,ии
208
Р
Координаты каждой точки на этой линии связаны зависимостью
М
^
н-------= 1, а условие прочности приобретает вид
К ,
При этом отношение М/А4/, принимается не более
Е
Р.и
При расчете на продавливание зоны вне расположения такого
поперечного армирования контур расчетного сечения принимается
по диагональным линиям, следуюш;им от краев расположения попе­
речной арматуры {сш.рис. 3.63).
Если интенсивность поперечного армирования в направлении
осей х и у отличаются друг от друга, то характеристики расчетного
сечения Usw и
определяются для каждого армирования отдельно и
умножаются на соответствуюш;ие значения qsw.
При действии моментов в направлении обеих осей х и у условие
(3.255) приобретает вид
Р
Р
М
+- ^
м
+ ------------------------------------^ < 1 , (3.256)
м
где в значениях Мии,х и Мии,у учитываются моменты сопротивления
Жь и
в направлении соответствуюпщх моментов.
Условиями прочности (3.255) и (3.256) полезно аналогично
пользоваться и при равномерном распределении поперечного арми­
рования, если интенсивность поперечного армирования по разным
направлениям различна.
При вычислении значений Р^и и М„/, следует учитывать упомя­
нутые выше ограничения по использованию поперечной арматуры.
14 Заказ 40
209
г л а й а4
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ
ВТОРОЙ ГРУППЫ
4.1. Расчет железобетонных конструкций
по образованию трещин
Расчет по образованию трещин производится для железобетон­
ных элементов, в которых при действии расчетных нагрузок (у/ > 1)
не допускается образование трещин из-за возможности хрупкого
коррозионного разрущения арматуры. К таким элементам относятся:
а) элементы, эксплуатируемые в сильноагрессивной среде с ра­
бочей арматурой классов Вр1200-Вр1400, К1400, К1500 (К-19) и
К1500 (К-7) диаметром 12 мм;
б) элементы, эксплуатируемые в средне- и сильноагрессивной
среде с рабочей арматурой классов А800, А1000, Вр1500 и К1500
(К-7) диаметром 6 и 9 мм.
При этом степень агрессивного воздействия определяется по
указаниям СНиП 2.03.11-85.
Для указанных элементов, очевидно, расчет по раскрытию тре­
щин не производится.
Для прочих элементов расчет по образованию трещин имеет
вспомогательное значение и сводится к определению усилия, соот­
ветствующего образованию трещин. Это усилие используется в рас­
четах по раскрытию трещин и деформациям при учете неравномер­
ности распределения деформаций арматуры между трещинами (ко­
эффициент \|/,) и для определения участков элемента без трещин при
вычислении прогиба. Расчетом по образованию трещин также выяв­
ляется необходимость расчета по раскрытию трещин.
4.1.1. Расчет изгибаемых элементов
Для изгибаемых элементов расчет по образованию трещин про­
изводится из условия
М <М ,^,
где М ~ изгибающий момент от внешней нагрузки;
210
(4.1)
- изгибающий момент, воспринимаемый нормальным
сечением при образовании трещин.
В общем случае СП [1], [2] рекомендует значение М„с опреде­
лять на основе нелинейной деформационной модели (см. разд. 3.2.3),
принимая двухлинейную диаграмму 8* - ст* для сжатого и растянуто­
го бетона и учитывая непродолжительность действия нагрузки. То­
гда действию момента М^гс будет соответствовать достижение в
крайнем растянутом волокне бетона деформации е*,2 = 15x10'^ а
эпюра деформаций бетона в сечении будет иметь вид, представлен­
ный на рис. 4.1, б.
,бb“ЄъE^,^ed"^^bn
М=.Мс
б'*=Є’*Е*
Рис. 4Л. к определению момента образования трещин М^гс
для изгибаемого элемента произвольного сечения:
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжении
При этом принимаются нормативные значения сопротивления
бетона растяжению и сжатию Кь,,„ и Кь„. При деформации крайнего
сжатого волокна бетона є*< гь\,гесі = ІЗхІО"^, напряжение в этом во­
локне равно а* = ЕьЕь.ге^, а эпюра напряжений сжатия имеет линей­
ный характер. Общая эпюра напряжений для этого случая представ­
лена н а 4.1, в.
В зоне, где £ь > гьх.гес!, напряжения сжатия равны Къ„.
Высота сжатой зоны х определяется из уравнения равновесия
внешних и внутренних сил. Поскольку в изгибаемом элементе
внешняя продольная сила равна нулю, это уравнение имеет вид
^сж =
где Л^сж - усилие в сжатом бетоне и сжатой арматуре,
-ІЧ’аст. - усилие в растянзггом бетоне и растянутой арматуре.
Для сечений произвольной формы это уравнение решается по­
следовательными приближениями, задаваясь в 1-м приближении
’4*
211
значение X ~ 0,5/г, а значения Л/с* и Л/ра„ определяются с помощью
численного интегрирования, когда сечение в направлении плоскости
изгиба (нормальной нейтральной оси) разделяется на участки малой
ширины, напряжения в которых принимаются равномерно распреде­
ленными и соответствующими деформациям на уровне участка со­
гласно диаграммам ст-8, для сжатого и растянутого бетона. Такой
расчет целесообразно производить с помощью компьютерной про­
граммы.
Для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений значение
X можно определить аналитически путем составления и решения
квадратного уравнения. Составим это уравнение для прямоугольного
сечения, как наиболее простого.
При 8* < £ь1.гес1 формула напряжения наиболее сжатого волокна
имеет вид
гь\,гес!
10 ^ - х
Напряжение в сжатой арматуре равно
Е, = 200 ООО МПа
" к -х
^ при
= ЗО ^^ ^(М П а).
к -х
=
Тогда
2
^ * 20 к - х
Усилие в растянутом бетоне равно
15
к -х
215
а в растянутой арматуре
Ы
h-x-a
h-x
^ _Ъ О { к- х- а) А ^
к-х
Уравнение равновесия приобретает вид
R
+30Л >
-зо л у
11
=—
- 2/ ис + х") + 3 0 4 Д А - а ) - 3 0 Л х
212
(4.2)
принимая отаосительные характеристики:
30 Л
а .. =
30 А[
К .Ъ к ’
г=
б = — 8'
получаем после алгебраических преобразований решение квадратно­
го уравнения в виде
3 0,733 + а , ( 1 - 5 ^ + а;.5:.
2^0,1ЪЪ-0,5г
(4.3)
где
0,733-0 ,5 г
При бетоне класса ВЗО и более, когда 0,5г > 0,733, в формуле
(4.3) перед корнем следует принимать знак «плюс».
Значение Мего представляет собой момент внутренних сил отно­
сительно любой оси, но наиболее удобно этот момент определять
относительно нейтральной оси. Тогда, используя те же относитель­
ные характеристики, получаем
, п к 5 ч2.
0,4526(1-»= , '- У ^ З .( ^ - 5 : У у О Ч - 5 .) - а . • (4.4)
При наличие полок в сжатой и растянутой зонах {рис. 4.2), при­
нимая
относительные
значения
плош;адей
свесов
полок
Ь‘ - Ь ,
Ъ.-Ь
, М
/г,
-----к а ^ = —----- к. , а также 5 ^ = — , 6 . = — можно
Ьк
^
Ьк ^ ^ 2к ^ 2к
определить высоту сжатой зоны из аналогичного квадратного урав­
нения по следующим формулам в зависимости от высоты растянутой
полки:
Рис. 4.2. К определению момента образования трещин М„с
для изгибаемого элемента двутаврового сечения;
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений
213
а) при
< — ( й - х ) [илипри 5^ < — (1-^)]
[0,733 + а,. (1 - 5,) + а:5: +
+ а ,,
0,733-0 ,5 г
__ ^
0,733 + ( а ^ + а ,+ г а „ ,) / 2 + а„^/2
о, 7 3 3 -0 ,5г
> -{к-х)
б) при
2--
где I
0,733 + а Д 1 - 5 ,) + а Х + '-5 ; а ; ,„ + 3 ,7 5 5 Д 1 -5 ^ )-0 ,2 0 4 ](й ^ / й - 1 )
(4.6)
0 ,7 3 3 -0,5г-0,204(^>^ / 6 - 1 )
о, 733 + (а^ +
+ г а ^ ) / 2 + (1,8755^ - 0,204)(6^ /6 -1 )
0 ,7 3 3 -0 ,5 г-0 ,2 0 4 (6 ^ ./6 -1 )
При 2 > О в формулах (4.5) и (4.6) принимается знак «минус»,
при 2 < О- знак «плюс».
Начинать расчет можно с формулы (4.5) и при невьшолнении
1-го условия использовать формулу (4.6).
Значение
определяется по формуле
М..,. = Л
, , {0,4526(1-^)^ + [г^^З + (^-б:)^а: + ( ^ - б ;) ^ а :, +
(4.7)
+ ( l - ^ - 6 J ^ a J / ( l - ^ ) + m„Л,
где
- относительный момент усилий в растянутых свесах
относительно нейтральной оси, равный;
при 25/ < -1(1 - ^) т, = а„Х 1 - ^ - 5 / ) ;
при 25^ > 1 (1 -^ ) т„„=а„Д1-^-5^)-[25^-7/15(1-^)]"(6^/6-1)/2.
Для предварительно напряженных элементов при расчетах по
2-й группе предельных состояний усилие обжатия Р учитывается как
внешняя сила, поскольку при таких расчетах напряжение в напря­
гаемой арматуре не должно достигать предела текучести (физиче­
214
ского или условного). Следовательно, уравнение равновесия сил бу­
дет иметь вид
N
•*’сж - N
•‘VpacT +’ Р •
Для прямоугольных сечений это уравнение преобразуется в
уравнение, аналогичное уравнению (4.2), с добавлением в правую
часть Р{к - х), и тогда формула для ^ = х/к приобретает вид
Ç=
о,7 3 3 -0 ,5г
V
гд с 2
(4.8)
^ ^
Q > ™ -K a ,+ a : + ; ; ) / 2 .
0,733-0,5г
о = — —— - относительное значение усилия обжатия.
Для сечения с полками в сжатой и растянутой зонах формулы
(4.5) и (4.6) корректируются аналогичным образом; в числитель зна­
чения Z добавляется 0,5р, а в числитель 2-го члена подкоренного
выражения - р.
Значение Маге определяется по формулам (4.4) и (4.7) с добавле­
нием момента усилия обжатия относительно нейтральной оси Ре^р
(рис. 4.2). Направление этого момента должно совпадать с направле­
нием момента внутренних сил. В противном случае момент Ре^р
уменьшает значение М^гсДля предварительно напряженных элементов при действии мо­
мента Mere высота растянутой зоны существенно уменьшается, а вы­
сота сжатой зоны увеличивается по сравнению с ненапрягаемыми
элементами. Поэтому максимальная деформация бетона сжатию
£* может превысить значение Sbi.red = ISxlO'"*, и, следовательно, для
части сжатой зоны бетона следует принимать напряжение, равное Кь„
и меньшее, чем соответствующее упругому расчету.
Граничное значение высоты сжатой зоны в этом случае опреде­
ляется из уравнения
^b\,red ^6/2"
h -x
откуда
= X = ----- ----------/г = 0,909/г.
^ h \,r e d
^ЬП
215
Достижение граничной высоты сжатой зоны примерно соответ­
ствует усилию обжатия, равному
=0,55Rb,Jfih+{b't-b)h', +
Таким образом, если значение
определенное по формулам
(4.2), (4.4) и (4.5) (с учетом Р), окажется более 0,909, соответствую­
щее значение М^гс, как указано выше, будет неоправданно завышено.
Однако эта погрешность не имеет большого значения, поскольку
величина Mere в значительной степени в этом случае определяется
значением Р, ширина раскрытия трещин, как правило, невелика, а
жесткость элемента близка к жесткости, соответствующей отсутст­
вию трещин. Тем не менее при проектировании не рекомендуется
существенное завышение значения Р над РгрВ пособиях [3] и [4] предложен упрощенный способ определе­
ния значения Ме,^, основанный на определении краевых растягиваю­
щих напряжений бетона как для упругого материала. Согласно из­
вестной формуле сопротивления материалов это напряжение равно
"rerf
^red
где Wred и Ared - момент сопротивления и площадь приведенного се­
чения элемента при коэффициенте приведения ар­
матуры к бетону а = EJEb, при этом момент сопро­
тивления определяется для нижнего растянутого
волокна;
- эксцентриситет усилия обжатия Р относительно центра тя­
жести такого приведенного сечения.
Принимая М = Merc и ст*, = Яы.п, получаем
(4.10)
где г/ =
/ А^^ - расстояние от центра тяжести сечения до наи­
более удаленной от растянутой грани верхней ядровой точки.
Такой способ определения Mere при Р < Р^р дает заведомый запас
при расчетах по 2-му предельному состоянию, поэтому он принима­
ется как предварительный.
216
в случае невыполнения требований соответствующего расчета в
пособиях [3] и [4] рекомендуется скорректировать значение
пу­
тем умножения его на коэффициент у, зависящий от отношений
Ьу /Ь, йу / к, bJ !Ь,
И и приведенный в табл. 4.1 указанных
пособий. Такой подход был применен во всех пособиях и руково­
дствах предыдущих изданий.
Однако детальное сопоставление расчетов по неупругой дефор­
мационной модели и предложенным способам показало, что этот
коэффициент у весьма неточен, поскольку не отражает влияния мно­
гих других факторов, в частности процента армирования, класса бе­
тона, степени обжатия, хотя в большинстве случаев и дает некото­
рый запас.
Если же геометрические характеристики сечения определять при
коэффициенте приведения арматуры к бетону, равном а == Е.Ш,,,,,,,
—Р(с г )
то коэффициент, равный у =— —--------^
(где
- момент из
расчета по деформационной модели), будет в меньшей степени зави­
сеть от указанных факторов и его во всех случаях можно принимать
равным; при Ь/Ь < 2 - 1,15; в прочих случаях - 1,2.
В стадии изготовления, транспортирования и монтажа предвари­
тельно напряженных элементов в результате совместного действия
эксцентрично приложенного усилия обжатия Р и усилия от собст­
венного веса в верхней зоне элемента возникают растягивающие на­
пряжения и могут образоваться трещины. Для выявления необходи­
мости расчета по раскрытию трещин в этой зоне и для самого такого
расчета сечения с максимальным растяжением по верхней грани его
следует проверить по образованию трещин. Эти сечения обычно
располагаются в местах строповки элемента (монтажные петли, от­
верстия для строповки и т.п.). В этом случае учитывается момент,
растягивающий верхнюю зону и равный М = да/2, где а - расстояние
от места строповки до торца, д ~ нормативная нагрузка от собствен­
ного веса элемента с учетом коэффициента динамичности 1,4.
В процессе транспортировки элемента обычно учитывают больший
коэффициент динамичности - 1,6, но при этом за «а» следует при­
нимать расстояние от торца до мест подкладок. Кроме того, при на­
прягаемой арматуре без анкеров следует учитывать, что усилие об­
жатия в пределах длины передачи напряжений 1^ (см. гл. 5) линейно
уменьшается к торцу до нуля, т.е. при а < I,, усилие обжатия следует
принимать равным РаДр. Но такой случай, как правило, не является
217
расчетным, и тогда расчетное сечение принимается на расстоянии 1р
от торца при учете полного усилия обжатия Р и момента от собст­
венного веса в соответствии с эпюрой М н арис. 4.3.
м
м
Рис. 4.3. К расчету предварительно напряженного элемента
в доэксплуатационной стадии:
а - расположение расчетного сечения 1-1 при а > 1^,
б - расположение расчетного сечения 1-1 при а < I;,
М - расчетный момент; 1 - монтажная петля
Расчет по образованию трещин в этой стадии в общем случае
производится также на основе нелинейной деформационной модели.
При этом сопротивление бетона растяжению Кы_„ принимается по
классу бетона, численно равному передаточной прочности бетона
Rhp, а усилие обжатия Р определяется с учетом только первых потерь
напряжений.
Отличие такого расчета от вышеприведенного заключается в
том, что сжатая и растянутая грани меняются местами, а направле­
ние внешнего момента М совпадает с направлением момента от уси­
лия обжатия Реор. Поэтому все формулы (4.3), (4.5), (4,6) для опреде­
ления ^ остаются без изменений при сохранении смысла величин Jif
и Уf как размеров полки сжатой (т.е. нижней) зоны и величин hf и bf
как размеров полки растянутой (т.е. верхней) зоны. Значения М„,
определенные по формулам (4.4) и (4.7), уменьшаются на значение
Pcq^. Е с л и в результате значение М« оказывается отрицательным, это
означает, что трещины в верхней зоне образуются от действия толь­
ко одного усилия обжатия.
Упрощенное определение момента М,^ производится по формуле
М
г с
=
уКы.п Wred - Р {ео -
Г я ),
( 4 . 1 1 )
где Wred - момент сопротивления приведенного сечения для верхней
растянутой грани;
218
Гя - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до
нижней ядровой точки.
Коэффициент у можно принимать так же, как при расчете в ста­
дии эксплуатации, учитывая при этом новое расположение полок с
размерами
Ь^^тл hf, Ь,,
Характеристики приведенного сечения для упрощения расчета
можно определять при том же коэффициенте приведения а , что и
при расчете в стадии эксплуатации.
Определение момента образования трещин М,,, необходимо еще
для элементов с малым процентом армирования, так как исчерпание
несущей способности элементов покрытий или перекрытий может
произойти одновременно с образованием трещин, и разрушение бу­
дет иметь хрупкий внезапный характер, что особенно опасно.
В обычных случаях предельный по прочности момент М„/, сущест­
венно выше момента образования трещин Mere, в связи с чем разру­
шению предшествуют значительные трещины и деформации. Это
позволяет при эксплуатации конструкций принять своевременные
меры: снять нагрузку, провести необходимое усиление и т.п. Боль­
шие трещины и прогибы как бы сигнализируют о возможном обру­
шении. Если же Merc > Muu, такие сигналы отсутствуют. При образо­
вании трещин (т.е. когда внешний момент значительно превысил Mut,
в результате случайных перегрузок) усилие, которое обычно вос­
принимается арматурой в трепщне, превысит несущую способность
арматуры и произойдет хрупкое внезапное обрушение.
В связи с этим, как правило, указанные конструкции необходи­
мо проектировать так, чтобы М^и > Mere. Если выполнение этого ус­
ловия весьма экономически невьп'одно, то согласно СП 52-101-2003
площадь сечения продольной растянутой арматуры должна быть
увеличена по сравнению с требуемой по прочности не менее чем на
15% или должна удовлетворять расчету по прочности на действие
момента, равного Mere, т.е. предполагается, что превышение внешне­
го момента более чем на 15% момента, предельного по прочности,
чрезвычайно маловероятно.
Значение Mere в этом случае определяется, как указано выше, т.е.
при нормативных сопротивлениях бетона, а момент М^, - при рас­
четных сопротивлениях бетона и арматуры.
4.L2. Расчет внецентренно сжатых элементов
Во внецентренно сжатых элементах при первом случае сжатия
(см. разд. 3.2.12), т.е. когда прочность сечения определяется прочно­
219
стью растянутой арматуры, возникают трещины, ширина которых
может превысить допустимое значение. Поэтому при первом случае
сжатия необходим расчет колонн или стоек по образованию трещин.
Особенно это актуально при эксплуатащ1И конструкций в агрессив­
ных средах.
Расчет колонн (стоек) по образованию трещин также произво­
дится из условия (4.1), где М - момент от внешних нагрузок, полу­
ченных из статического расчета. Mere - момент внутренних сил перед
образованием трещин относительно оси, проходящей через центр
тяжести бетонного сечения.
При расчете с учетом нелинейной деформационной модели зна­
чение момента Mere, определенного относительно нейтральной оси,
включает в себя момент внутренней продольной силы (равной
внешней силе N), приложенной в центре тяжести, относительно ней­
тральной оси. Поэтому момент Merc, учитьшаемый в условии (4.1),
также определяется относительно нейтральной оси с уменьшением
на N{x - _Уц), где X - высота сжатой зоны бетона,
- расстояние от
центра тяжести до сжатой грани элемента (рис. 4.4).
М-Мсгс
Рис. 4.4. К определению момента образования трещин М„с
для внецентренно сжатых элементов:
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений
Высота сжатой зоны элемента определяется так же, как для из­
гибаемых предварительно напряженных элементов с заменой усилия
обжатия Р внешней силой N.
Поскольку внецентренно сжатые элементы чаще всего представ­
ляют собой колонны прямоугольного сечения с симметричной арма­
турой, преобразуем формулу (4.8) для таких сечений
^2
п
0,733 + а^. + И
0,733+ а^ +0,5и
, где Z =
0 ,7 3 3 -0 ,5г
0,733-0,5г
220
(4.12)
а момент Merc будет равен
= К.Ж |о,4526(1 - -ÿ +ri’/3 +a, [a-8,)4(l-^-8. )4_ _ „,5) | , (4 Д 3 )
N
где и -------- , г, а^, Ь, - см. формулу (4.2).
Эти формулы, как отмечено выше, применяются только при
8é< Eblred = 15x10“^. Определим граничное значение силы N, при ко­
торой допустимо пользоваться этими формулами.
Из условия равновесия продольных сил имеем
^ ~
Rb„bx
7. *■^s^b\.red
2
п
, ,,
- И
Ду ~ ^ht.nbih —х)———
X
15
„
h-x-a ^
7
А,..
И -х
Принимая X = х,-р = М ,1 и деля все члены н а Ri„,„bh. получаем
= --------= — +
R„^„bh 1,1
'-а.
V
1-5
чИ
11а,. =4,545г-0,0667 + 9а,.
у
При N > n,pRhi,nbh эпюра напряжений сжатия бетона будет иметь
трапециевидный характер. Однако в этом случае определяющей бу­
дет являться прочность сжатой зоны бетона, момент
будет бли­
зок или превышать внешний момент, а ширина раскрытия трещин в
случае их образования будет невелика.
Поэтому, если N > nrpRbt.nbh, расчет по образованию трещин
можно не производить.
В пособии [4] предложен упрощенный способ определения зна­
чения Mere, аналогичный определению М,гс для предварительно на­
пряженных элементов с заменой значения P vl?lN vl при ео = О, т.е.
+
(4.14)
В случае, если значения Wred и г« = WrJAr^d определять при коэф­
фициенте приведения а = E,ZbalRbi.n, коэффициент у для прямоуголь­
ных сечений можно принять равным 1,1.
Для прямоугольных сечений с симметричной арматурой значе­
ние W,ed и A,ed равны
= bh^ie + oAs{h - 2af!h\ A,^ = 6/z + 2оЛ,.
221
4.1.3. Расчет растянутых элементов
Расчет внецентренно растянутых элементов по образованию
трещин также производится из условия (4.1), где М - момент от
внешних нагрузок, полученный из статического расчета относитель­
но оси, проходящей через центр тяжести бетонного сеченоия. Mere момент внутренних сил перед образованием трещин относительно
той же оси.
Рассмотрим два случая расчета внецентренно растянутого эле­
мента.
1-й случай - когда действие продольной силы (с учетом при не­
обходимости усилия предварительного обжатия) вызывает образо­
вание в сечении двухзначной эпюры деформаций бетона {рис. 4.5);
а)
в)
б)
М=Мсге
Рис. 4.5. К определению момента образования трещин М„с
для внецентренно растянутого по 1-му случаю элемента
произвольного сечения:
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений;
1- ось, проходящая через центр тяжести бетонного сечения
2-й случай - когда действие продольной силы вызьшает образова­
ние однозначной эпюры растягивающих деформаций бетона {рис. 4.6).
При 1-м случае растяжения образование трещин соответствует
достижению в крайнем растянутом волокне бетона деформации
&ьй 15x10'^. Такой расчет мало отличается от расчета изгибаемых и
внецентренно сжатых элементов.
При вычислении высоты сжатой зоны х для прямоугольных,
тавровых и двутавровых сечений можно воспользоваться формулами
(4.3), (4.5) или (4.6), уменьшая числитель значения Z на 0,5«, а чис222
литель 2-го члена подкоренного выражения на и, где п =
N
, при
K .b h
наличии напрягаемой арматуры N заменяется на К-Р.
а)
б)
А'з
в)
Е,=Е2а Е'а=Е2[1+(1-а)5]
М = М сс
Рис. 4.6. К определению момента образования трещин М^к
для внецентренно растянутых по 2-му случаю элементов:
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений;
1 - ось, проходящая через центр тяжести бетонного сечения
Момент образования трещин Mere также можно определять по
формуле (4.4) или (4.7) (с добавлением при необходимости Реор), но
поскольку такой момент предполагает расположение внутренней
продольной силы (равной внешней силе N) на уровне нейтральной
оси, момент
учитываемый в условии (4.1), уменьшается на
N { y ^ ~ x ) , где 7 ц - расстояние от центра тяжести до сжатой грани
элемента {см. рис. 4.5).
Внецентренно растянутыми элементами чаще всего являются
стенки емкостных сооружений (силосы, бункера), нижние пояса безраскосных ферм, растянутые ветви двухветвевых колонн и т.п., т.е.
элементы прямоугольного сечения с симметричной арматурой. Приведем для таких сечений формулы определения X и М^гсZ"-
0,733 + а^. - п
0,7 3 3 -0 ,5 г ’
^ 0,733 + a ,-0 ,5 w
где Z = ------- -— -------,
0 ,7 3 3 -0,5г
223
(4.15)
, (4.16)
1-^
где г. а„ 5, - см. разд. 4.1.1.
Границей между случаями растяжения является нулевое значе­
ние высоты сжатой зоны. Определим граничное значение продоль­
ной растягивающей силы для прямоугольного сечения, приравняв
нулю значение ^ из формулы (4.15). В результате получаем
Л^.^=7?,,„Ь/г(0,733 + а.).
При 2-м случае растяжения (т.е. при N - Р > Д.р) образованию
трещин соответствует достижение в наиболее растянутом волокне
бетона деформации, равной
Вы,и11 ~ £*/2 ~ {^Ы2 ~ £бю)0^,
где а =
- отношение деформаций бетона на противополож­
ных гранях элемента;
8 йю- предельная деформация бетона при осевом растяжении
элемента, равная при непродолжительном действии
нагрузок 0 ,0 0 0 1 .
Учитывая, что Вьа = 15x10“^, имеем £ь1.ии ~ 15(1 - о/3)х10'^.
Сначала определяется значение а из решения уравнения равно­
весия продольных сил. Для произвольного сечения расчет ведется
последовательными приближениями, подбирая такое значение а,
при котором внутренняя продольная сила будет равна внешней, при
этом учитьтается линейное изменение деформаций по сечению, а
напряжения бетона соответствуют двухлинейной диаграмме Сь-Оь
для растянутого бетон (см. рис. 4.6). Здесь следует заметить, что при
а = 0,694 деформация бетона у минимально растянутой грани равна
ел/1,гс^/ = 8x10“^, что соответствует напряжению
т.е. при а >0,694
все сечение бетона следует считать равномерно растянутым, но на­
пряжения в арматуре, расположенной на разных уровнях, будут раз­
ными. Суммарное усилие в бетоне определяется численным интег­
рированием, аналогичным расчету изгибаемых элементов.
После подбора а можно определить значение
как момент
внутренних сил относительно оси, проходящей через центр тяжести
сечения.
8]/82
<
1
224
Для прямоугольных сечений с симметричной арматурой значе­
ние а можно определить аналитически.
Уравнение равновесия продольных сил в относительных харак­
теристиках для такого, сечения, согласно рис. 4.6, имеет вид
е„а
-— + е„{а + (1-а)5]—^
2£„(1-а)
—+
bh
bh'
F , -15-10-' 4 ^
принимая а, = —--------------- о = —и подставляя е„ = 15(1 - а/3),
bh
h
после алгебраических преобразований получаем
„ ^ 1 -а /3 -1 5 ([а (1 -а /3 )/4 Г -4 /1 5 ^
( 1 -а /3 )(1 -а )
Как видим, это уравнение 4-й степени, которое можно решить
методом Ньютона (см. разд. 4.2.3). Но 1-й член этой формулы, пред­
ставляющий собой относительное значение усилия в бетоне, можно
выразить в упрощенной формуле:
при а < 0,4 «6 = (11 + 8а)/15;
при 0,4 < а < 0,6 Пь = 0,25а + 0,85;
при а > 0,6 Пь = 1,0;
и тогда уравнение (4.17) превращается в три квадратных уравнения,
решение которых имеет вид:
при а < 0,4
а = 0 , 8 / а , + 1 - ^ ( 0 ,8 / а ,+ 1 ) - - ( 3 « - 2 ,2 ) / а ,.+ 3 ;
(4.18)
при 0,4 < а < 0,6
а = 0,375 / а^. +1 - ^(0,375 / а^ +1)' - 3(п - 0,85) / а , + 3; (4.19)
при а > 0,6
а =1 - ^ 1 - 3 ( п - а, - 1 ) /а , .
15 Заказ 40
225
(4.20)
Момент образования трепщн в этом случае определяется по
формулам:
при а < 0,6
Krc=K,nbh^
+ a,(l-aX l-a/3)(0,5-5)L
(4.21)
35(1- а )
2 5 (1 - а )
тдеА = 1 - В а ; В = 1,875(1 - а/3);
при а > 0,6
К
г
с
- а Д 1 - а ) ( 1 - а /3 ) ( 0 ,5 - 6 ) .
При центральном растяжении расчет по образованию трещин
производится из условия
(4.22)
где Nerc = К,гА + eb^EXAs + Р;
ХА, - площадь сечения всей продольной арматуры.
В пособии [3] предложен упрощенный способ определения зна­
чения Мего, аналогичный определению М^гс для внецентренно сжатых
элементов, по формуле (4.14) с заменой знака перед Nr„ с «плюса» на
«минус».
Если внецентренно растянутый элемент обжат напрягаемой ар­
матурой, то значение Mere увеличивается на Р(еор + г^).
При 1-м случае растяжения коэффициент у можно принимать
как при расчете изгибаемых элементов.
При 2-м случае растяжения для прямоугольных сечений с сим­
метричной арматурой при коэффициенте приведения а = Е^£ьа1^ы.г,
коэффициент у можно принимать равным 1,15.
4,1.4. Примеры расчета
Проиллюстрируем приведенные методы определения момента
образования трещин М^гс на примерах расчета.
Пример 4.1. Дано: многопустотная плита перекрьггия - по
рис. 4.7; бетон класса В20 {Кы,„ = 1,35 МПа,
= 15 МПа); продольная
226
арматура класса А800 площадью сечения = 565 мм^ (5012), усилие
предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 200 кН.
а)
йг_159
Ь-
б)
1460
>
л
466
...................... 1-
1ч, о
■ГЧ
1
?! 1475
5012
А»=565
Рис. 4.7. К примеру 4.1:
а - фактическое сечение плиты; б - эквивалентное сечение плиты
Расчет. Скзгласно рис. 4.7 имеем к = 220 мм, Ь = 466 мм,
Ъ ' = Ь ^ = 1475 мм, /г| = = 41 мм, а = 21 мм.
Определим значение М,гсШ основе деформационной модели.
Относительные характеристики:
15
10Л^,„
30 Д.
30
а
27
= 1,11; 5 = - = — = 0,123; а = --------- ^ =
^ Ь 220
1 0 -1 ,3 5
а „ = а „ , =•
1475 - 466
Ьк
К^„Ьк
1,35
565
= 0,122;
4 6 6 -2 2 0
41
41 = 0,404; 5 , = 5 ; = - ^ = -------- = 0,093;
^
466-220
Р=
Ьк
'
^ 2А 2 ■220
200 ООО
= 1,445, а > 0 .
1,35-466-220
Определим относительную высоту сжатой зоны ^ по формуле
(4.5) с учетом значения р:
^
0,733 + (а , + га1, + р ) / 2 + а „ ,/2 _0,7 3 3 + (0,122 + 1,и -0 ,4 0 4 + 1,445)/2 + 0,4 0 4 /2 _
0,7 3 3 -0 ,5 г
“
0,733-0,5-1,11
1,741 + 0,202
= 10,914;
0,178
^ =г = 10,914-^10, 914^-
2 [0. 733 + а Д1 - 8.) + гб^а^,, + р] + а,„ _
0 , 7 3 3 - 0 , 5 -г
[ 0 ,733 +
ОЛ22(1 - 0 , 1 2 3 ) + 1 ,1 1 - 0 , 0 9 3 ■0 , 4 0 4 + 1 ,4 4 5 ] + 0 , 4 0 4 _
0 ,1 7 8
= 10,914- 1 0 ,9 1 4 '-
15*
2,327 + 0,404
227
0,178
= 0,727.
Поскольку
-^^(1-^) = ^ ( 1 - 0 ,7 2 7 ) = 0,127 <
=0,186,
по­
вторно определим значение ^ по формуле (4.6), используя ранее вы­
численные без учета а„у числитель и знаменатель значения 2, а также
числитель подкоренного выражения значения принимая
1 = 1475/466- 1 =2,165,
25^ -
^
(1 - О = 0,186 - 0,127 = 0,059.
1,741 + (1,8755^- 0 ,2 0 4 X 6 ^ /6 - 1 )
0 ,1 7 8 - 0 ,2 0 4 ( 6 / 6 - 1 )
1,741+ (1,875-0 ,0 9 3 - 0 , 204)-2,165 _
"
0 ,1 7 8 -0 ,2 0 4 -2 ,1 6 5
^2 2,327 + [3,755^ (1 -
)-
0,204](6^ / 6 -
1)
-
^
,
< ,
_
0,178-0,204(6^ / 6 - 1 )
= -6 ,3 6 +
2 ,3 2 7 + (3 ,7 5 -0 ,0 9 3 -0,9 0 7 - 0 , 204)2,165
^
0 , 3 6 ------------------------------------------------------------------------- --- и , /2 5 .
0 ,1 7 8 -0 ,2 0 4 -2 ,1 6 5
Определяем значение Мг,. по формуле (4.7) с добавлением
Рео, = Р/г(1 - ^ - 5J = 200 ООО•220(1 - 0,725 - 0,123) = 6,69 •10' Нмм.
Поскольку использовалась формула (4.6), значение т„у опреде­
ляем по формуле
"«„v = a„v(l - 4 - 0^) - [25J - 7 /15(1 - 4)]"(6^ / 6 - 1 ) / 2 = 0,404(1 - 0 ,725 - 0 ,093) -0 ,0 5 9 ^ -2 ,1 6 5 /2 = 0,070;
К п ^ K.nbh' {0,4526(1 - Ç)- +
/ 3 + (^ -
+ (1 - ^ - 5 ,)'а J / (1 - ^) + m j +
+Ре^^ = 1,35 - 466 -220' {0,4526(1 - 0,725)' + [1,11 •0,725V 3 + (0,725 - 0,093)- • 1,11 •0,404 +
+(1 - 0,725 - 0,123)' ■0,122] / (1 - 0,725) + 0,07} + 6,69 • 10‘ = 45,6 • 10‘ Н •мм = 45,6 кН •м.
Определим значение
упрощенным способом по формуле
(4.10), вычисляя характеристики приведенного сечения при коэффи­
циенте приведения а = Es£bJRbi,„- Тогда можно использовать в каче­
стве приведенной относительной площади арматуры вычисленное
значение = 0,122 и другие относительные характеристики.
228
Относительные характеристики приведенного сечения равны:
площадь
= 1+
+ а, = 1+ 0,404 •2 + о, 122 = 1,93;
расстояние от центра тяжести до низа
7 = [0, 5 +
= (0 , 5 + 0,404 • 0 ,093 + 0 ,404 • (1 - 0,093) +
+ а'Д1 - 5^) + а ,5 ,] /
+0,122-0 ,123)/1,93 = 0,476;
момент инерции
^гес! = 1 /12 + (0,5 - ;^)Ч а„„(;; - 5 ^ ) 4 а;,Д1 =
- уУ + а ^ у ~ 5 ,)' -
0 ,0833 + (0,5 - у ) Ч 0,404(>^ - 0 ,093)' + 0,404(1 - 0 ,093 - у ) ' + 0,122{у - 0,123)' = 0 ,2334;
момент сопротивления относительно нижней растянутой грани
= іге, / - 0 ^ 2 3 3 4 / 0 , 4 7 6 = 0,4903;
ядровое расстояние
= 0,4903 /1,93 = 0,2541.
Поскольку bJb = 1475/466 = 3,17 > 2,0, принимаем у = 1,2. Тогда
+ р { у - 5, + г,“)] = 1,35 • 466 • 220'[1,2 • 0,4903 +1,445(0,476 - 0,123 +
+0,2541)] = 44,6-10* Н -м м = 44,6 кН-м.
Расхождение по сравнению с «точным» способом расчета 2,1%.
Пример 4.2. Дано: железобетонная колонна сечением к = 500
мм, Ь - 400 мм, а = а ' = 50 мм; бетон класса В 15 (7?*,,„=1,1 МПа,
Кь„- 11 МПа); рабочая арматура площадью сечения А, = а ! =
~ 1232 мм^(2028); продольная сила, приложенная в центре тяжести
сечения, N ~ 500 кН.
Расчет. Определим значение
на основе деформационной
модели. Относительные характеристики:
г =—
= ^ і — = 1,0; 8, = - = — = 0,1;
10Д5,„ 10 1,1
А 500
30
а = ----^
А, 30
1232
— = — ----------- = 0,168;
Ьк 1,1 400-500
229
N
500000
^
и = --------- = -----------------= 2,273.
К,,„Ьк 1,1-400-500
Поскольку
= 4,545г - 0,0667 + 9а, =
= 4,545 - 0,0667 + 9 ■0,168 = 5,99 > п = 2,273,
эпюра напряжений сжатия треугольная, и, следовательно, расчет ве­
дем по формулам (4.12) и (4.13):
^
0,733 + а^ +0,5й
0,7 3 3 - 0 ,5г
0,733 + 0,168 + 0,5-2,273
0,733-0,5-1,0
4=2 - 1 2 - = 8 , 7 4 5 V 0,733-0,5г
V8
,
=
^
’
0 . 8 1
0,733-0,5-1,0
’
7
;
м,„ = «.,.М'{о,4526(1 -О» .,--е/3^а.[й-8.)Ч(1-^-5.)-1_„^^„^^^| ^
= 1,1-400-500=(0.4526(1-0,817)Ч‘^ : ”^^‘?’ ^ ^ ”-'^^<°’» ^ - ^!^^
1-0,817
-2,273(0,817-0,5)} = 84,28-10" Н-мм = 84,28 кН-м.
Определим значение М^гс упрощенным способом по формуле
(4.14), вычисляя характеристики приведенного сечения при коэффи30
циенте приведения а = Е^- 8^,,, /
„ = — = 27,27:
=ЬИЧб +оА^{к-2а)~ 1к = Ш - 500' /6 + 27,27• 1232(500-2• 50)' /500 =
= 2,742-10’ мм^
= Ьк + 2аЛ, = 400x500 + 2x27,27x1232 = 267 193 мм^;
Гя = W,JA,ed= 2,742x10^267 193 = 102,6 мм.
Принимаем у = 1,1. Тогда
М ., =уЛь,„РГ,,^ + Л^Гя = 1,1x1,1x2,742x10^ + 500 000x102,6 =
= 84,48x10^ Нмм = 84,48 кНм.
Разница с результатом по «точному» методу несущественная.
Определим значение М^гс согласно пособию [3], принимая
230
а = Е/Еь = 2x10^2,4x10^ = 8,333 и у = 1,3:
Wreä = 400x500^/6 + 8,333x1232x400^/500 = 1,995x10^ мм^
Л«/ = 400x500 + 2x8,333x1232 = 220 533 мм^;
Гя = 1,995x10^220533 = 90,47 мм;
Мсге = 1,3x10^ + 500 000x90,47 = 73,76х10^Нмм = 73,76 кНм.
Разница с результатом по «точному» методу более существенная
(12,75% в «запас»).
Пример 4.3. Дано: связевая плита перекрытия с размерами сече­
ния (для половины сечения) по рис. 4.8; бетон класса В25
=
= 1,55 МПа, Rb„ = 18,5 МПа), напрягаемая арматзфа класса А600
площадью сечения А, = 491 мм^; усилие предварительного обжатия
(с учетом всех потерь) Р = 150 кН; максимальная растягивающая си­
ла, вызванная нормативной ветровой нагрузкой и приходящаяся на
половину сечения плиты, = 50 кН; эта сила приложена к плите в
местах ее приварки к закладным деталям ригеля, т.е. к нижней грани
ребра.
Расчет. Определим значение
на основе деформационной
модели, используя формулы (4.5) и (4.7) с учетом Р lлN. Согласно
рис. 4.8 имеем: к ~ 300 мм; 6 = 70 мм; б/ = 722 мм; /г/ = 50 мм;
Ьу = 85 мм; /г/= 90 мм; а = 45 мм.
Относительные характеристики равны:
231
г=
- А ц_ = -1 !1 1 - = 1,194; 5
10Л„.„ 10-1,55
’ *
^
^
ЬЬ
'
7 ^ .3 ^ ^
70-300
А
’
— = 0,15; а , = —
=
------ 1 ^ = 0,4525;
300
^
Л,,.„ ЬЬ 1,55 70-300
’
-
1,^
1
8 ^ 9 0 = 0,064; ^ , Л =
70-300
' 2Ь
= _ Л . = 0,0833; 6 , = ^ = - ^ = 0,15; р = - ^ =
2-300
^
2к 2-300
Я„_„ЬИ
1,55-70-300
= 4,608;
ЛГ
50 000
п = ---------= ------------------ = 1,536.
R ,,J h 1,55-70-300
Относительную высоту сжатой зоны ^ определяем по формуле
(4.5), учитывая значения р и п :
^ _ 0,733 + (а , +га^„^ + р - п ) 1 2 - \г а „ ^ 2 _
_
о ,7 3 3 -0 ,5 г
0 ,733+ (0,4525+ 1,194-1,552+ 4 ,6 0 8 -1 ,5 3 6 )/2 + 0,032 _
0 ,733-0,5-1,194
^=2 -
. [0,733
ГО.' + a , ( l - S J + r S ^ a '„ + p -n ] + a„^
Z ”■
0 ,7 3 3 -0 ,5 г
'
^ ^ д.
’
23-4'”
,2 [0,733+ 0,452 5(1 -0 1 5 )+ 1,194-0,0833-1,552+ 4,6 0 8 -1,5 3 6 ]+ 0,064 „
25 4 ----------------------------------------------------------------------------------------------- = и,64о4.
0,136
Определяем момент образования трещин относительно ней­
тральной оси по формуле (4.7) с учетом момента от усилия обжатия,
равного
Ре,^ = Ph(l - ^ - ÔJ = 150 ООО•300(1 - 0,6464 - 0,15) = 9,164 •10' ; Нмм;
(0.4526(1 - ^ ) '+
+а„„ (1 - ^ - 5^)} +
3 + (^ - s ; ) V al, + (1- ^ - 5
а J / (1- ^) +
= 1,55 •70 -300' {0,4526(1 - 0,6464)' + [1,194 •0,6464' / 3 +
+(0,6464 - 0,0833)' •1,194 •1,552 + (1- 0,6464 - 0,15)' •0,4525] / (1- 0,6464) +
+0,064(1- 0 , 6464- 0 ,15)}+ 9,164-10' =29,55-10" Нмм.
Поскольку внешний момент принимается относительно центра
тяжести приведенного сечения, вычисленный момент Merc увеличи­
вается на (х - Уд), где уц - расстояние от центра тяжести приведен­
ного сечения до сжатой грани. Определим значение уц, используя
относительные характеристики
232
0,5+ а;,8',+ а„,(1-8/) + <х,(1-8,)
>"„ = *---------- 7— -------- --------------- =
1+ а „ , + а„^ + а^,
_ ,^0,5+ 1,552-0,0833+ 0,064(1- 0 , 15)+ 0,4525(1- 0 , 15)
— /7
----------------—
1+ 1,552 + 0,064 + 0,4525
=
^
0,348л.
Тогда
=29,55-10450 000-300(0,6464-0 ,348) = 34,02 10' Нмм = 34,02 кНм.
Определим значения М^гс упрощенным способом по формуле
M ,, .e = y R ы Л . .+ R K + r J - N r ^ .
Определим характеристики приведенного сечения при коэффи­
циенте приведения а = Е^Вьа1Яы.п, используя вычисленные относи­
тельные характеристики и = 1 - у ^ к = 1 - 0,348 = 0,652:
= 1+ «„V + a'av + а , = 1+1,552 + 0,064 + 0,4525 = 3,0685;
/;,, = 1/12 + ( 7 - 0,5 )4 а1Д1 - 5, - 7 ) 4 а„Д7 - 6, ) Ч аД 7 - 5
=
= 1/12 + (0,652 - 0,5)' +1,552(1 - 0,0833 - 0,652)' + 0,064(0,652 - 0,15)' +
+0,4525(0,652-0,15)4 2,4534;
= Кес! / у = 2,4534/0,652 = 0,53; г, =
= 0,5 3 / 3,0685 = 0, 1726;
//г = 3;-5 =0,652-0,15 = 0,502.
Поскольку
=
0,3 > 0,15, принимаем у = 1,2.
М^^=К,,^„Ьк\уу^^+р(е,/к + г^)-г1г^ = 1,55-70-300\1,2-0,53 +
+ 4,608(0,502 + 0,1726) -1,536 •0,1726] = 33,98 •10" кНмм.
Как видим, разница с результатом по «точному» методу несуще­
ственна.
Пример 4.4. Дано: размеры сечения нижнего пояса безраскосной фермы Ъ = 220 мм, к = 240 мм; а = 40 мм; бетон класса ВЗО
(7?*„ = 22МПа, Кы.„^ 1,75 МПа); продольная напрягаемая арматура
симметричная класса А800 площадью сечения А, = Л ^ =
233
763 мм^(3018); продольная растягивающая сила N = 600 кН; усилие
предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 500 кН.
Расчет. Определим значение М^гс на основе деформационной
модели по формулам (4.15)-(4.21). Относительные характеристики
равны:
30
22
= 1,257; а =
10-1,75
N -P
6^, = - = — = 0,167; « =
^ /г 240
R„„bh
bh
30
1,75
763
= 0,248;
220-240
(600-500)10'
= 1,082.
1J5-220-240
Поскольку п = 1,082 > 0,733 + ав = 0,733 + 0,248 = 0,981, имеет
место 2-й случай растяжения, т.е. все сечение считаем растянутым.
Определяем отношение напряжений на противоположных гра­
нях элемента а по формуле (4.18)
а = 0 , 8 / а ^ 4 - 1 - ^ ( 0 , 8 / а , + 1 ) ^ - ( З и - 2 , 2 ) / а ^ . + 3 = 0 ,8 / 0 ,2 4 8 + 1 -^ (0 ,8 / 0,248 +1)' - (3 •1,082 - 2,2) / 0,248 + 3 = 0,147 < 0,4.
Принимаем а = 0,147 и значение Мс^ определяем по формуле (4.21)
В = 1,875(1 - а / 3) = 1,875(1-0,147 / 3) = 1,783;
Л = 1-^5а = 1-1,783'0,147 = 0,738;
К г с
=
25(1- а )
0,5-
А
35(1- а )
+ аД 1-а)(1-а/ЗХ 0,5-5)
0,738
= 1,75 •220 -240' {------ -------------- 0,5+ 0,248(1-0,147)-(1^2-1,783(1- 0 ,147)
3-1,783(1-0,147)
-0,147/3X0,5-0,167)} = 2,837-10* Н-мм =2,837кН-м.
Определим значение
Mere =
упрощенным способом по формуле
+
принимая Y= 1,1, ео= 0,0, а характеристики приведенного сечения
определим при коэффициенте приведения а = £.£j,2 /i?^,„, используя
вычисленные относительные характеристики:
234
= 1+ 2а, = 1+ 2 •о,248 = 1,496;
(^ = 1 /1 2 + 2аД 0,5-8,)^ = 1/12 + 2-0,248(0,5-0,167)" =0,1383;
0.5 = 0,1383 / 0,5 = 0,2767 /; =
= 0,2767 /1,496 = 0,185;
(1,15м> ^-пг,) = 1,75 ■220 ■240" (1,15 ■0,2767 -1,082 ■0,185) =
= 2,61810‘ Н мм = 2,618кН м.
Как видим, разница в результатах с «точным» методом заметная
(7,7% «в запас»), что связано с использованием разницы близких чисел.
4.2. Расчет железобетонных конструкций по раскрытию трещин
4.2.1. Предельно допустимая ширина раскрытия трещин
Наличие трещин не является показателем потери эксплуатаци­
онной пригодности или необходимой долговечности конструкции,
если их ширина не превышает определенных значений. Эти значения
устанавливаются исходя из требований долговечности конструкций,
выполнения своего назначения (например, ограничения проницаемо­
сти), а также конструктивных требований (например, целостность
облицовки) и эстетических требований (сохранение неповрежденно­
го вида).
Кроме того, ограничение раскрытия трещин препятствует значи­
тельному нарушению сцепления арматуры с бетоном, которое спо­
собствует развитию недопустимых прогибов.
Наиболее важным является требование долговечности конст­
рукции, которое в основном заключается в недопущении коррозии
арматуры. В отличие от стальных, для железобетонных конструкций
нельзя использовать такой способ учета коррозии, как увеличение
сечения арматуры, компенсирующее эту коррозию, поскольку при
относительно равномерной коррозии на большой длине стержней
образуется значительный объем ржавчины, давление которой приво­
дит к растрескиванию бетона вдоль стержней и откалыванию защит­
ного слоя бетона. Еще опаснее локальная коррозия в местах образо­
вания поперечных трещин. В этом случае местное изменение сече­
ния арматуры происходит без заметных внешних признаков и может
привести к внезапному обрыву арматуры. Учитывая это, при проек­
тировании конструкций следует допускать такое раскрытие трещин,
235
которое обеспечивало бы сохранность арматуры в течение всего
срока службы, т.е. не допускало бы начала коррозии.
Исследования показали, что увеличение ширины расБфыгия
трещин более 0,3 мм при эксплуатации конструкций в агрессивных
средах значительно ускоряет процесс коррозии арматуры. В отапли­
ваемых помещениях с неагрессивной средой при нормальном или
сухом влажностном режиме нет оснований опасаться коррозии арма­
туры даже при весьма больших раскрытиях трещин. Однако в этом
случае трещины ограничиваются шириной 0,3 мм в связи с иными
требованиями (эстетические, конструктивные и др.).
При этом следует отметить, что в высокопрочной арматуре
вследствие высоких напряжений в ней коррозия протекает интен­
сивнее. То же можно сказать и про стержни малых диаметров (3 мм
и менее). Поэтому для элементов с арматурой классов А800 и выше,
Вр1200 и выше, а также с канатной арматурой допустимая ширина
раскрытия трещин уменьшается до 0,2 мм, а если диаметр проволоки
3 мм и менее - до 0,1 мм. Эти ограничения подразумевают продол­
жительное раскрьггие трещин, т.е. раскрытие от действия постоян­
ных и длительных нагрузок. При непродолжительном раскрытии от
действия всех нагрузок, включая кратковременные, допускается
предельную ширину раскрытия трепщн увеличивать на 0,1 мм.
При эксплуатации конструкций в агрессивных средах допусти­
мая ширина раскрытия трепщн назначается в зависимости от степе­
ни агрессивного воздействия, вида среды (газообразная, жидкая) и
класса (марок) стали в соответствии с табл. 9 и 11 СНиП 2.03.11-85.
При этом для конструкций, отнесенных согласно этим таблицам ко
2-й категории трещиностойкости, если в них от полных нагрузок об­
разуются трещины, то последние при действии постоянных и дли­
тельных нагрузок должны быть зажаты, что обеспечивается напря­
жением сжатия 0,3 МПа на растянутой от внешней нагрузки грани
элемента. Это условие является определяющим лишь при значитель­
ной доле кратковременных нагрузок, поскольку при небольшой доле
этих нагрузок определяющим будет расчет по образованию трещин.
Для конструкций, находящихся под давлением жидкости или га­
зов, дополнительно устанавливается предельная ширина раскрытия
трещин из условия ограничения проницаемости, а именно: 0,2 мм при продолжительном раскрыгии трещин и 0,3 мм - при непродол­
жительном раскрытии.
Для конструкций, непосредственно воспринимающих давление
сыпучих тел, предельная ширина раскрытия трепщн также принима­
ется равной 0,2 и 0,3 мм из-за того, что при большей ширине рас­
236
крытия мелкие частицы пьши, забиваясь в трещины, не дают им воз­
можности закрыться при уменьшении давления, что приводит к по­
степенному нарастанию раскрытия трещин.
4.2.2. Определение ширины раскрытия трещин
В Сводах правил к новому СНиП 52-01-2003 принята методика
определения ширины раскрытия трещин, основанная на работах
В.И. Мурашева и аналогичном подходе в последних международньос
нормах (Еврокод 2 и др.). В отличие от принятой в предыдущих
нормах эмпирической зависимости эта методика более четко рас­
крывает физический смысл раскрытия трещин и хорошо согласуется
с большим объемом опытных данных.
Однако эта теория несвободна от ряда недостатков. В частности,
расстояние между трещинами /,. согласно этой теории не зависит от
действующего момента, в то же время известно, что после образова­
ния первых трещин при росте нагрузки могут возникать вторичные
промежуточные трещины. Это потребовало при вычислении
4 ввести многочисленные ограничения. Кроме того, прямо не учиты­
вается влияние профиля арматуры и эксцентриситета продольной
растягивающей силы, что потребовало ввести поправочные коэффи­
циенты фи и фи.
Согласно теории Мурашева ширина раскрытия трещин опреде­
ляется из условия равенства удлинения арматуры в пределах рас­
стояния между трещинами 4 и суммы удлинения растянутого бетона
в этих пределах и ширины трещины асгса^-гсЗначение средней деформации арматуры
определяется по де­
формациям арматуры в сечении с трещиной е, с помощью коэффи­
циента \|/^7, учитывающего работу растянутого бетона между
трещинами, т.е.
Деформация арматуры в сечении с трещиной е,. выражается че­
рез напряжение арматзфы в трещине 8, = <JJE,.
Выразив среднюю деформацию растянутого бетона между тре­
щинами Вьтчерез Оь„,/Еь, получаем
237
ст
=—
1|/,„----
К,
где а = Е/Еь.
Выражение - ^ а весьма мало и также зависит от работы растя<т,
нутого бетона между трещинами. Поэтому бьшо решено учесть ра­
боту растянутого бетона через еданый коэффициент у , =\|/^., - - ^ а .
Тогда
у /,-
(4.23)
Для коэффициента \|/, принято выражение, согласующееся с
международными нормативными документами:
Ч /,=1-р—
,
(4.24)
<т^,
где
- напряжение в растянутой арматуре сразу после образова­
ния трещин, т.е. при действии момента
Р - коэффициент, принятый для тяжелого бетона равным 0 ,8 .
Определение напряжений арматуры в трещине
и
- см.
разд. 4.2.3. Согласно этому разделу для изгибаемых элементов без
напрягаемой арматуры эти напряжения пропорциональны моментам
соответственно
и М, и тогда для этих элементов
у, = 1 - 0 ,8 ^ .
(4.25)
м
Для центрально растянутых элементов
Ч /.= 1 -0 ,8 :^ ,
(4.26)
где Неге - см. условие (4.22).
Из формул (4.24) и (4.25) следует, что с ростом нагрузвси влия­
ние работырастянутого бетона между трещинамиуменьшается, т.е.
значения 8 , и
сближаются, и значение \|/,. приближается к 1 ,0 .
238
в Сводах правил рекомендуется сначала определить значение
Осгс, приняв \|/^ = 1 ,0 , и только в случае превышения а^гс его предель­
ного значения учитывать формулу (4.24) или (4.25).
Расстояние между трещинами 4 в зоне чистого изгиба согласно
теории Мурашева определяется из следующих рассуждений:
Вследствие неоднородности бетона первая трещина появляется в
наиболее слабом месте. В пределах этой трещины напряжение в ар­
матуре равно а^сгг, а напряжение в бетоне по берегам трещины равно
нулю. По мере удаления от трещины вследствие наличия сцепления
арматуры с бетоном напряжения в бетоне возрастают, а в арматуре
уменьшаются, и в том сечении, в котором напряжение бетона дости­
гает Кы, должна появиться смежная трепщна. Следовательно, рас­
стояние между трещинами определяется из предпосылки, что новая
трещина появится в сечении, удаленном от первой, на расстоянии /„
достаточном для снижения напряжения в арматуре с величины а, ,,гс
до саЯь, (где а = Е/Еь). При этом такое снижение напряжения обес­
печивается за счет сил сцепления арматуры с бетоном. Тогда можно
записать
- аКьА =
(4.27)
где Хсц- максимальное напряжение сцепления арматуры с бетоном;
ю - коэффициент полноты эпюры сцепления;
5 - суммарный периметр сечений арматурных стержней, равный
5
= ПП(1, (п - число стержней, 4 - средний диаметр стержней).
Принимая
= MeJz и А, = пп с1^ /4, из формулы (4.27) полу­
чаем
I
,
(4,28)
4 4 о )т„
Поскольку значения
и Тсц пропорциональны значению К,,„ из
рассмотрения формулы (4.28) можно сделать вывод, что значение /,.
практически не зависит от класса бетона.
Пренебрегая за малостью выражением
можно принять,
что значение /,. обратно пропорционально армированию. В Своде
правил к СНиП для упрощения расчета при определении базового
значения 4 (без учета влияния профиля арматуры) выражение при ds
239
принято равным 0 ,5 — с рядом ограничений, с тем чтобы значения /,
Л
не выходили за рамки реальных величин, а также с тем, чтобы ко­
нечные результаты по ширине раскрытия трещин имели достаточное
согласование с предшествующими СНиП и международными нор­
мами.
Итак, принято
/, = 0 ,5 4 "^ .,
Л
(4,29)
где Аы - площадь сечения растянутого бетона непосредственно перед
образованием трещин, т.е. определяемое согласно разд. 4.1
при действии момента М^гсГраничные значения I, приняты'в виде
100 мм < 4 < 400 мм, 104 ^ ^ 404Для значения А^ тоже введены ограничения: высота растянутой
зоны принимается не более 0,5/г и не менее 2 а.
При арматуре периодического профиля напряжения сцепления
арматуры с бетоном, очевидно, должны быть заметно больше, чем
при гладкой арматуре, что, судя по формуле (4.28), влияет на значе­
ние I,. Согласно Сводам правил к СНиП это влияние учитывается
коэффициентом фз, вводимым в формулу (4.23) и равным:
0,5 - для арматуры периодического профиля,
0 ,8 - для гладкой арматуры.
Таким образом, наличие периодического профиля у арматуры
при прочих равных условиях уменьшает раскрытие трещин почти на
40%.
Как показали многочисленные опыты, раскрытие трепщн в рас­
тянутых элементах (когда N > Р) при равных условиях больше, чем у
изгибаемых и внецентренно сжатых. Согласно Сводам правил [1], [2]
это обстоятельство учитывается введением в формулу (4.23) коэф­
фициента фз, равного 1 ,2 для растянутых элементов и 1 ,0 - для про­
чих элементов.
4.2.3. Определение напряжения в растянутой арматуре
в сечении с трещиной
Определение напряжения в арматуре производят на основе не­
линейной деформационной модели при двухлинейной диаграмме
240
а^-Еь для сжатого бетона, учитывая непродолжительность действия
нагрузок и нормативное сопротивление бетона сжатию
При
этом сопротивление бетона растянутой зоны не учитывается. Эпюры
деформаций и напряжений имеют вид, представленный на рис. 4 .9 .
Согласно рис. 4.9 напряжение в растянутой арматуре равно
К
■Е
(4.30)
Высоту сжатой зоны бетона х и максимальную деформацию бе­
тона в общем случае определяют из совместного решения зфавнений равновесия:
внешних и внутренних продольных сил Нь +
внешних и внутренних моментов
Мл + М [+
М,
где Нь, М , Н, - усилия в сжатом бетоне, в сжатой и растянутой арматуре;
Мь, -Л/„ - моменты этих усилий относительно нейтральной оси;
N - продольная внешняя сила (при сжатии - знак «плюс»,
при растяжении - знак «минус»);
М - момент внешних сил относительно нейтральной оси.
Рис. 4.9. К расчету по раскрытию трещин цзгибаемого элемента
произвольного сечения:
А - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений при
г - эпюра напряжений при 8*> е*1,ге^/
Для сечений произвольной формы эти уравнения решаются по­
следовательными приближениями, задаваясь в 1 -м приближении
значениями
0 , 5 х = 0,5йо- Значения Нь и М,, определяются
1б Заказ 40
241
с помощью численного интегрирования, когда сечение в направле­
нии плоскости изгиба разделяется на участки малой ширины, напря­
жения в которых принимаются равномерно распределенными и со­
ответствующими деформациям на уровне участка согласно диа­
грамме Оь-гь- Такой расчет производится с помощью компьютерной
программы.
Для изгибаемых элементов без предварительного напряжения
прямоугольного, таврового и двутаврового сечения значение х мож­
но определить аналитически только из 1 -го уравнения равновесия
путем преобразования этого уравнения в квадратное.
Составим это уравнение для наиболее простого прямоугольного
сечения.
Согласно рис. 4.9 при М= О и ширине сечения Ь имеем
єА
> ^ / 2 + %—
X
X
Исключая неизвестное є*, получаем квадратное уравнение с не­
известным X
~
={}%- х )а ^ 4 ,
+ (х ~
где а ^1 = Е,]Еь.гы - коэффициент приведения арматуры к бетону.
Это уравнение представляет собой равенство статических мо­
ментов приведенных сечений сжатой и растянутых зон относитель­
но нейтральной оси.
Несложно заметить, что это равенство справедливо для сечений
любой формы, если отсутствует продольная сила.
Решение квадратного уравнения для прямоугольного сечения
имеет вид
\2
,
2 ( а , і М + а , і 4 а ') .
У
ДЛЯ
сечения с полкой
в
сжатой зоне (рис. 4.10, а)
Ь
где
Ь
(Ьі - Ь)к^ - площадь свесов сжатой полки.
»V=
- к*"/
242
при этом полученное значение х должно превышать высоту
сжатой полки
. В противном случае значение х вычисляется как
для прямоугольного сечения шириной
,
Для таврового сечения с полкой в растянутой зоне (рис. 4.10, б),
если к - X <
т.е. нейтральная ось пересекает эту полку, высоту
сжатой зоны также можно определить по формуле (4.32), принимая
Ь
=
Ьу, А
=
-
( Ь у -
Ь ){к - к у ) и
к '^ =
к - к у .
Таким образом, при отсутствии продольной силы высота сжатой
зоны для любых сечений не зависит от внешней нагрузки.
Значение
определяется путем решения зфавнения равновесия
моментов. Для прямоугольных сечений оно имеет вид
Ьх X
^ь^ь,ге11
2 1,5
X
+ 8. —
(.х -а ') + Еь
(К - х ) = М.
Рис. 4.10. К расчету по раскрытию трещин изгибаемого
элемента двутаврового и таврового сечения:
а - схема сечения и эпюра деформаций при к ’^ < х < к - к у \
б - схема сечения и эпюра деформаций при х> к - к у
Откуда
8^ =
16*
Мх1Е.6 , т /
243
(4.33)
Знаменатель представляет собой момент инерции приведенного
сечения относительно нейтральной оси Ired^ Это будет справедливо
для сечений любой формы.
Подставляя значение е* в формулу (4.30), получим
(4.34)
■‘га«/
Определение напряжения а, можно упростить* представив фор­
мулу (4.30) в виде
(4.35)
с,КА
где с , - 2
- относительное значение плеча внутренней пары сил,
которое определяется по графикам рис. 4.3 Пособия
[3]. Эти графики построены с помощью формулы,
полученной из приравнивания друг другу формул
(4.34) и (4.35), т.е.
(К~ х)о .Л
Представив эту формулу в относительных характеристиках:
^=
■, 8 = | - , имеем
ЬК
к
Для сечений без сжатой полки б = 2а'1ко.
Из формулы видно, что значение q заьисит от трех параметров
Уи 5, причем значения 5 меняются в узких пределах 0,2-0,3.
В пособии [3] построены графики значений ^ = /(а^,ц,,у) при
б = 0,2 и 5 -0 ,3 .
Для изгибаемых предварительно напряженных элементов уси­
лие обжатия Р учитывается как внешняя сила М, и тогда уравнение
244
равновесия продольных сил для прямоугольного сечения имеет вид
(рис. 4.11)
х-а'
X
К~х
------Е
, 4 = Є. —----- .
.+ Є.-----Е .Л
+Р.
(4 36)
в этом уравнении исключить неизвестное е* нельзя, и поэтому
значение X следует определять из совместного решения обоих урав­
нений равновесия.
Из уравнения (4.36) находим
^ ь ^ ь .г е а
^ Т
Ьх х-а
Т
^
Рх
Ї
1\~х
Ьх^
^+ (х-а')а^Х -(К -х)а,Л
2
(4.37)
б)
А’,
-•ет-
м
Ав
Рис. 4.11. к расчету по раскрытию трещин изгибаемого
предварительно напряженного элемента прямоугольного сечения:
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений и схема
усилий
Уравнение равновесия моментов имеет вид
=М (4.38)
2»
X
X
или
Єа
ЬД
^Ь,ге(і
Ьх^
+(х-а' Уа,, АІ+(ко- х)~а,, Л, 1х+Р(ко-х~е )=^М.
245
Подставив в это уравнение выражение eJEb.rvd, получаем
hr^
-— +( х-а 'У а,, 4 +{ho- x f
=e~h^ +x,
2
(4.39)
Щ- +{ х -а ‘)a^iA' -( hg - х)а ^^4
где е =М/Р ± 6sp.
Левая часть уравнения представляет собой отношение момента
инерции Ired и статического момента
приведенного сечения отно­
сительно нейтральной оси. Нетрудно заметить, что это справедливо
для сечений любой формы.
Преобразуем уравнение (4.39) в канонический вид
+Ал^ + Вх + С где А = 3 ( е - ho);
В - в [ е ( а, А +
С=
(^0 - 1/ Ь;
lb.
-6
Такое кубическое уравнение удобнее всего решать методом
Ньютона следующим образом.
Задаваясь произвольным значением хо в пределах
в 1-м
приближении определяем
х„ + Ах,, + Вх„ + С
X, = х„ — -— ;— 2------ -----:
‘ "
Зх: + 2Ах„ + В
во 2 -м приближении
^2
X? + Ах7 + Вх. + с
= ^.---- -------------- ^
Зх, + 2^х, + В
и т. д ., до тех пор, пока не будет выполнено условие Х , и Х(_1.
При расхождении между х, и x,.i менее 2% расчет можно прекра­
тить. Обычно достаточно 2-3 итераций.
246
За хо рекомендуется принимать наиболее вероятное значение х,
например Хо = Ьо/2 .
Для сечений с полкой в сжатой зоне выражения
AlJl‘J■l2 ,
дополняют соответственно
- а ; / 2 ) и А !„ {\-Ь 1, 1 г % 1 1 .
РX
Подставляя значение е* из уравнения (4.37) в виде є,, = ---------- в
формулу (4.30), получаем
(4.40)
В связи с трудоемкостью определения значения X для преднапряженных элементов в пособии [4] представлено упрощенное опре­
деление напряжения
по формуле
М І2 - Р
----- ,
где 2 =
...
(4.41)
, а коэффициент определяется по табл. 4.2 пособия [4];
М, = Ре= М ± Ре,р.
Табличные значения ^ были определены следующим образом.
Плечо внутренней пары сил г получается делением момента усилия в
сжатой зоне относительно нейтральной оси на это усилие плюс
расстояние от нейтральной оси до центра тяжести растянутой арма­
туры, т.е. для прямоугольного сечения:
247
^b^b,red
Ъх X
Z =-
bx
x-d
x -a '
+ -----^b^b.red —
2
X
+ й„-л: = - ^ ------------ 7— '■^—^ + \ - x .
bx 12 + {x~a )a^,4
./
^
Представим эту формулу в относительных характеристиках и с
учетом наличия сжатой ножи; при этом влияние свесов сжатой пол­
ки и сжатой арматуры учтем одним обобщающим коэффициентом
^ а также коэффициентом 5 = — , где а[ - расстояК
ние от центра тяжести приведенного сечения сжатых свесов и сжаф -
ЬК
той арматуры; для упрощения расчета можно принять 5 = ^к^ , а при
отсутствии полки Ô = JlhQ.
Тогда, принимая ^ = л://г„, имеем
h,
+
Значение ^ определяется методом Ньютона, при Л = 3(е, - 1);
В = 6[Єі(а,,|і. + ф/) - ф/1 - Ô)]; С = -6[e,(a„|is + Ф/ô )
-
фД1
-
Ô)],
где е, =е//г,„ Ц ,= 7д7 -.
bh.
Как видим, значение Ç зависит от четырех параметров %.
Єі и Ô.
Поскольку значение Ôменяется в узких пределах и слабо влияет на
величину табличные значения вычислены в зависимости только от
первых трех параметров при постоянном значении 5 = 0,15.
Для внецентренно сжатых элементов определение напряжения
(5s аналогично определению
для предварительно напряженных из­
гибаемых элементов. При этом значение Р заменяется н^ продоль­
ную силу N, а выражение e - h Q + х в уравнении (4.39) на M / N - y ^ +
+ X, где М - момент из статического расчета конструкции относи­
тельно оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения, 7 црасстояние этого центра тяжести от сжатой грани элемента.
248
в связи с трудоемкостью определения значения X для внецен­
тренно сжатых элементов в пособии [3] представлено для прямо­
угольных сечений упрощенное определение ст,. по формуле
(4.42)
АК
где е - эксцентриситет внещних сил относительно оси, проходящей
через центр тяжерти сечения растянутой арматуры, равный
е = М/М + (к/2~а);
ц>сгс - коэффициент, определяемый по табл. 4.2 пособия [3].
Коэффициент
получен из приравнивания друг к другу зна­
чений
из формул (4.40) и (4.42)
__ N6
'" 4 А
отсюда
ф „=™ ^
4
а,А-
Представим эту формулу в относительных характеристиках:
^^х/К,
е ^ ^ е / ^ иЬ = а Ч Т о т т
%гс =
При этом относительная высота сжатой зоны определяется из
уравнения
^ У 3 4 -№ -8 )^ а '.4 -0 -^ )^ а .
^ * /2 + ( ^ - 8 ) а : - ( 1 - У а .
'
Это уравнение можно решить указанным методом Ньютона,
принимая
А —3{в] —I), В = в е,(а^ + а^)-а^0-8) ; С = -6 е,(а^+а',8)"а''5(1-5) .
249
Как видим, значение фс^ зависит от четырёх параметров а,, а^,е, и 5.
Поскольку значение Ô обычно меняется в узких пределах
(0,08-г0,15) и слабо влияет на величину (рсгс, табличные значения ф^^
вычислены в зависимости только от двух параметров
и
при
постоянном значении Ô = 0 ,1 и при а^. =
и а(. = 0 , 0 .
Вышеприведенные формулы для определения значений л; и ст,
получены исходя из линейного распределения напряжений сжатия
бетона, которое может иметь место при условии
=15 •10'^.
При невыполнении этого услов'ия формулы для определения X и Е ь
следует выводить исходя из трапециевидной эпюры напряжений
сжатия, приведенной на рис. 4.9, г. В этом случае плечо внутренней
пары сил существенно уменьшится, что приведет к увеличению на­
пряжения арматуры
а следовательно, и
Таким образом, игно­
рирование возможности превышения деформаций Еь значения Еы,гел в
принципе может привести к неоправданному занижению значения
Осгс по сравнению с расчетом исходя из нелинейной деформационной
модели.
Определим граничное значение момента М^, соответствующее
достижению максимальной деформации бетона е* значения
Для изгибаемых элементов без преднапряжения согласно форМх
муле (4.33) имеем 8 , = ТГ-— =
га!
Следовательно,
=М =
(4,43)
X
X
где значение х определяется по формуле (4.31) или (4.32).
Для предварительно напряженных элементов согласно формуле
(4.38) имеем
^
М -Р{К -х-е^)
8* —
—£|.1
h,red red
следовательно,
М ^ = М =^ ! ^ - ^ Р { \ - х - е ^ \
X
250
(4.44)
где X определяется из уравнения (4.37) при
Решение это­
го уравнения аналогично формуле (4.31) или (4.32) с уменьшением
выражения
наР/^б„.
Для внецентренно сжатых элементов значение М-р можно вы­
числить аналогично с заменой Р на ТУ^и е,р на йо ~ 7 цАнализ формул (4.43) и (4.44) показал, что значения граничных
моментов, как правило, близки моментам, предельным по прочности
М„й, вычисленным с учетом расчетных сопротивлений бетона и ар­
матуры, или превышают эти моменты. Поэтому моменты, вызванные
нормативными нагрузками и существенно меньшие М„/„ практически
никогда не превысят значений
и, следовательно, значение а, во
всех случаях можно определять как указано выше.
При расчете внецентренно растянутых элементов рассматрива­
ются два случая растяжения:
1 -й случай - когда равнодействующая продольной силы и уси­
лия предварительного обжатия N - Р > О приложена вне рабочего
сечения элемента {рис. 4.12), т.е. при выполнении условия
(4.45)
где М - момент внешних сил из статического расчета относительно
оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения
и отстоящей от сжатой грани на расстоянии
Рис. 4.12. К расчету по раскрытию трещин внецентренно растянутого
элемента произвольного сечения при 1-м случае растяжения;
а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений
и схема усилий; 1 - центр тяжести бетонного сечения
251
2-й случай - когда равнодействующая сил N л Р приложена в
пределах рабочего сечения, т.е. при невыполнении условия (4.45).
Расчет по 1-му случаю растяжения производится в общем случае
аналогично расчету изгибаемых предварительно напряженных эле­
ментов, когда высота сжатой зоны х определяется из решения урав­
нения (4.39), где е = - Ло - эксцентриситет равнодействующей сил
N тлР относительно оси, проходящей через центр тяжести растяну­
той арматуры и принятый со знаком «минус».
Учет наличия сжатой пожи производится аналогично такому
учету при расчете изгибаемых элементов. При этом значение х не
должно быть меньше /г|; в противном случае расчет повторяется как
для прямоугольного сечения шириной, равной Ьу .
Напряжение в растянутой арматуре также определяется по фор­
муле (4.40) с заменойРндіН-Р при положительном значении
В связи с трудоемкостью определения значения X в пособии [3]
для прямоугольных сечений без напрягаемой арматуры представле­
но упрощенное определение значения а, по формуле
N
Л,
где ^- относительное значение плеча внутренней пары сил.
Это значение ^ можно определить путем деления момента уси­
лия в сжатой зоне относительно нейтральной оси на это усилие плюс
расстояние от этой оси до центра тяжести растянутой арматуры.
В относительных характеристиках формула для ^имеет вид
^
4 '/ 2 + а :( 4 - б )
где значение ^ определяется из уравнения
4 У З .^ а : ( 4 - 8 ) Ч а .( 1 - 4 ^
Здесь относительные характеристики %, а^, а ,, 6, щ те же, что и
при расчете внецентренно сжатых элементов,
252
Уравнения (4.46) можно решать методом Ньютона, принимая
А = -5(е, + 1): Л = - 6 [е,(а, + а О + а ',(1 - 5)];
С - 6 [е,(а, + а ; 6 ) + а',5(1 - б)].
Расчеты по этим формулам показали, что значение для прак­
тических случаев меняется в узких пределах от 0,96 до 0,8. Поэтому
в пособии [3] для всех случаев принято ^ = 0,833 = 1/1,2, т.е.
о.. =
N
(4.47)
А.
Если Р > N. расчет проводится как для изгибаемых предвари­
тельно напряженных элементов, заменяя Р на Р-М и принимая
_ М -Щ к,-у,+
^
Р-М
При расчете по 2 -му случаю растяжения весь бетон сечения ока­
зывается в растянутой зоне и поэтому в расчете не учитывается
Напряжение а, в арматуре, расположенной у наиболее растяну­
той грани, определяется из уравнения равновесия моментов внут­
ренних и внешних сил (рис. 4.13) относительно оси, проходящей че­
рез центр тяжести арматуры 5^:
= СУу4,.(/7о -
откуда
ст, ^
с/),
— 7“ .
АЛК- ^ )
(4.48)
= ^ +(у^-а'),
Здесь
где значения М и те же, что и в условии (4.45).
При наличии усилия обжатия Р
Н е '-Р (К -а ‘ -е^)
ст
= -
А Л К -^')
253
(4.49)
при осевом растяжении элемента с симметричным армировани­
ем ( 4 = А ) , т.е. при ^
= (/|о - а)12, формула (4.49) преобразу­
ется в формулу
ст.. =
Н -Р
N-P
Рис. 4.13. К расчету по раскрытию трещин внецентренно растянутого
элемента произвольного сечения при 2-м случае растяжения:
а - схема сечения; б - эпюра напряжений и схема усилий;
1- центр тяжести бетонного сечения
В заключение следует отметить, что для предварительно напря­
женных элементов значение напряжения
определенное с учетом
силы Р как внешней, следует рассматривать как приращение напря­
жения в арматуре от действия внешней нагрузки. Полное же напря­
жение арматуры равно а, +
где С5,р - предварительное напряже­
ние с учетом всех потерь при условии нулевых напряжений в
окружающем бетоне (см. гл. 5). Это полное напряжение арматуры
при всех расчетах по 2 -й группе предельных состояний не должно
превосходить значения
4.2.4. Учет длительности действия нагрузки
Как показали многочисленные исследования, ширина и высота
первоначально образованной трещины возрастают при длительной
выдержке под неизменной нагрузкой. Это возрастание связано с
тем, что при образовании трещины фактически бетон растянутой
зоны в сечении с трещиной не весь выключается из работы, но с те­
чением времени выключение из работы становится более полным,
254
что приводит к увеличению высоты и ширины трещины. Кроме того,
к этому же приводит и снижение с течением времени напряжения
сцепления между арматурой и бетоном. Это может учитываться пу­
тем увеличения коэффициента у.,. Однако в целях упрощения расче­
та все явления, вызывающие увеличение трещин со временем реше­
но было оценивать общим коэффициентом ф1, равным для тяжелого
бетона 1,4.
Таким образом, в общем случае, расчет по раскрытию трещин
производится дважды:
от постоянных и длительных нагрузок определяется продолжи­
тельное раскрытие трещин;
от постоянных, длительных и кратковременных нагрузок опре­
деляется непродолжительное раскрытие трещин.
продолжительное раскрытие трещин определяется от указанных
нагрузок по формуле (4.23) с учетом коэффициента ф1 = 1,4.
Непродолжительное раскрытие представляет собой сумму про­
должительного раскрытия трещин и приращения раскрытия трещин
от кратковременных нагрузок. Определение этого приращения рас­
крытия трещин производится в соответствии со схемой на р Т А С . 4.14.
Рис. 4.14. Схема, принятая для
определения
непродолжительного раскрытия
трещин
от полной нагрузки
включающей
в себя длительную часть
нагрузки р 1
В этой схеме принято допущение, что кривые зависимости на­
грузка-раскрытие трещин при первоначальном приложении кратко­
временной нагрузки и при ее приложении после длительной вы­
держки под нагрузкой параллельны, т.е. принято, что продолжитель­
ное действие постоянных и длительных нагрузок не отразилось на
характере приращения раскрытия трещин от кратковременных на­
грузок. В соответствии с этой схемой
^сгс
^сгс\
^сгс2 ^ сгсЪу
(4.50)
где а^гсх - ширина раскрытия трещин, определяемая с учетом ф, = 1,4
при действии постоянных и длительных нагрузок;
255
аск2 - то же при ф, = 1 ,0 и действии всех нагрузок (т.е. включая
кратковременные);
а^гсЗ ~ то же при учете ф1 = 1,0 и дейс1 вии постоянных и
длительных нагрузок.
Поскольку ширина раскрытия трещин всегда пропорциональна
выражению
= су, - 0 ,8 а,,сг« то значения асгс.! можно записать через
коэффициент пропорциональности^:
а,.„, = 1,4^(су,, -0,8ст^„,);
-0,8ст^^„.);
= А{а^,
где значения а,/ и а, определяются при действии соответственно
суммы постоянных и длительных нагрузок и всех нагрузок.
Тогда формулу (4.50) можно записать в более простом виде
а
3=д.
= О.
1+ 0,4
ст,/ - 0 ,8 ст,
сг^ -0,8сг
i,c r c
(4.51)
J
в случае, если су,/ < су,^^, выражение а,/ ^ 0 ,8 а,сгс принимается
равйым 0 ,2 ст,/.
При наличии внешней продольной силы значение
, распо­
ложенное в числителе формулы (4.51), следовало бы определить с
учетом продольной силы от постоянных и длительных нагрузок, а
расположенное в знаменателе - с учетом продольной силы от всех
нагрузок. Однако такое уточнение а,,сгс при учете только постоянных
и длительных нагрузок, как правило, приводит к незначительному
уменьшению значения ает Н поэтому для упрощения расчета реко­
мендуется
в обоих слз^аях вычислять как при действии про­
дольной силы от всех нагрузок, но в случае превышения вычислен­
ного а^гс его предельно допустимого значения вычислять
с уче­
том продольной силы от рассматриваемой нагрузки.
Определим условие, при выполнении или невыполнении которо­
го следует проверять либо продолжительное, либо непродолжитель­
ное раскрытие трещины. Для этого определим отношение
0 ,8 ст,
t--ст,,при котором одновременно выполнялись бы условия
ст, - 0 ,8 а
Cicrc - аш, и а^гсл = ciuu,\, где аи„ и aui,,\ - предельная ширина непродолжи­
тельного и продолжительного раскрытия трепщн, т.е. решаем систе­
му уравнений
256
= J ( g ,~ 0,8cr,,,,)(l + 0,40 =
acrc\ = l,4A(a„ - 0,5a,.,„) = l,4^(o, - 0,8a,c..)? = a„„,,
Подставляя из 2 -го уравнения выражение A(g ^.- 0 ,8 cr^
1-е уравнение, получаем
1,4?
(1 + 0,4t) = а „, откуда t =-----"
1,4«
в
О,Ч.,и
При а^и = 0,4 мм, а^„,= 0,3 мм t = 0,68;
при а„/, = 0,3 мм, аши = 0,2 мм t - 0,59.
Таким образом, если выполняется условие
с т - 0 ,8 сг,_
(4.52)
следует проверять только продолжительное раскрытие трещин, если
условие (4.52) не выполняется - только непродолжительное раскры­
тие.
Для изгибаемых элементов без преднапряжения в формулах
(4.51) и (4.52) значения
и а,/ можно заменить соответственно
на Mere, М и М ,- момент от действия постоянных и длительных на­
грузок.
4.2.5. Примеры расчета
Проиллюстрируем приведенные методы определения ширины
раскрытия трещин а^с на примерах расчета.
Пример 4.5. Дано: многопустотная плита перекрыгрм с данными
из примера 4.1; Моменты в середине пролета: от всех нагрузок
Mtot - 57,8 кНм, от постоянных и длительных нагрузок
М, = 46,5 кНм.
Расчет. Из примера 4.1 имеем: Р = 200 кН;
ho = h - a = 220 - 27 = 193 мм;
А '„=Л„ = { b ' f- b ) h } = (1475 - 466)41 = 41369 мм^;
Е,
2 0 0 0 0 0 15 1 0 -^
К
15
Мегс==45,6 кНм, ds~ 12 мм.
Поскольку Merc ^ Hot = 57,8 кН м, расчет по раскрытию трещин
необходим.
17 Заказ 40
257
Применим упрощенный способ определения напряжения арма­
туры с ПОМОПЦ.Ю табл. 4.1 пособия [4].
Определим значение ст, от действия момента М =
=
= 57,8 кНм.
При
= О е = М/Р = 57,8/200 = 0,289 м = 289 мм и
М, = М,о, = 57,8 кНм.
Параметры табл. 4.1 равны:
./ .
4^
41369
Л
565-20
п р и Д = 0 ф = - ^ = ----------= 0,46; ц а . = - ^ а , . = ---------- = 0,126;
^
^
Ьк, 466-193
" Ьк,
466-193
е, = е//2о = 289/193 = 1,497.
Этим параметрам соответствует = 0,835, и тогда
г=
4^0
= 0,835x193 = 161 мм.
По формуле (4,41) определяем
ст.. =
M Jz-P
57,8-10"/161-200 ООО
= 281 МПа.
565
Аналогично определяем
от действия моментов М/ - 46,5 кН-м
и Мсгс^А5,6 кН м, Значение ^ оставляем тем же, поскольку оно не
меняется при ^1 > 1,2, Тогда
М , ! г - Р 46,5-10"/161-200ООО
а . = —^-------- —^------------------------ = 156,7МПа;
565
2- Р
А^
45,6 •10" /161 -2 0 0 ООО , ^
^------------------------ = 146,8 МПа.
565
Проверим условие (4,52), При арматуре класса А800 предельные
значения раскрытия трещин равны а„„ = 0,3 и а^и,! = 0,2 мм. Следова­
тельно, t = 0,59. Поскольку
о , ^ 0 ^ а ^ ^ 5 6 .7 - 0,8.146,8 ^
а-0 ,8 а^ .„
281-0,8-146,8
258
0
проверяем только непродолжительное раскрытие трещин, вычисляя
а^гс по формуле (4.51).
Определим расстояние между трещинами /, по формуле (4.29).
Из примера 4.1 имеем ^ = 0,725, тогда высота растянутой зоны бето­
на равна к ~ х = к { \ - ^ ~ 220(1 - 0,725) = 60,5 мм, что больше
2а = 2 ■27 = 54 мм и меньше 0,5/г =110 мм. Значение Ь - х оставляем
равным 60,5 мм. Учитывая, что к - х > hf - А\ мм, площадь растяну­
той зоны определяем по формуле
Аь, = Ь{к ~ х ) + А„у = 466x60,5 + 41 369 = 69 562 мм^.
/, =
'
4
= 0 ,5 ^ ^ ^ ^ 1 2 = 739мм > 400 мм.
565
Кроме того, 4 > 404 = 480 мм. Поэтому принимаем /, ■400 мм.
Согласно формуле (4.24)
V,, = 1 _ 0 , 8 . ^ = 1- 0 , 8 ^ ^ = 0,582.
а,
281
Определим ширину раскрытии трещин
ф2 = 0,5;
^сгсл = Ф|Ф2¥л
а . - 0 , 8сг,^
^сгс ~~^сгсЛ 1+ 0,4-^'
принимая ф) = 1,0 и
= 0,5 •0 ,5 8 2 - ? ^ 4 0 0 = 0,164 мм;
2*10
= 0,164(1 + 0,4-0,24) = 0,18 мм <
= 0,3 мм,
т.е. раскрытие трещин в пределах допустимого.
В целях сопоставления определим напряжение а, «точным» спо­
собом, т.е. по формуле (4.40). При этом высоту сжатой зоны х нахо­
дим из решения кубического уравнения (4.39) с заменой а,^А^, на
и ö/ на h iß - 20,5 мм. При этом
= 20x565 = 11 300 мм~.
Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­
ском виде, равны:
А = 3 ( е - ho) = 3(289 - 193) = 288 мм;
В = 6 [е(а„Л + а! ^ ) ~ а!,1Ь о- h'j2)]/b = 6[289(11 300 + 41 369) 17*
259
- 4 1 369(193 - 20,5)]/466= 104 101 мм^;
С = - 6 [е(а.И А + А ^о М т ~ А и ^2 {Ь о - и^Щ1Ь =
= -6[289(11 300x193 + 41 369x20,5)-41 369x20,5(193- 20,5)]/466 = -9 387 291 мм1
Расчет ведем итерациями, принимая хо
1-я итерация
х1
+ А 4 + В х„ + С
~
70 мм.
70'+288-70ЧЮ4101-70-9387 291
.....
— /л,1 /мм,
3-7042-288-70 +104101
X, —х „ -------- , ...... ............ .— —70 —
'
Зх1+2Ах„+В
2-я итерация
х^ + Ахг + Вх.+С
7 2 ,1 7 4 288-72,174104101-72,17-938729
х,=х, — !— г—!------------------------------------------------------------------------------------------------------- !----------- - 1
'
'
Ъх1+2Ах,+В
3 -7 2 ,1 7 4 2-288-72,17+ 104101
'
Принимаем X
= хг =
12,16мм. Тогда
5™, = - ^ + (х-А ' / 2 ) 4 , -(Аь-х)а „ А , ^ 466:72,16^ +(72,16-20.5)41369-
- (193 - 72,16)11300 = 1984 870 м м ';
^
Р(К-х)а^,
200000(193-72,16)20
Я«/
1984 870
Как видим, расхождение с упрощенным способом расчета дос­
тигает 13,3% в сторону уменьшения а„ а следовательно, и а^гс •
Пример 4.6. Дано: железобетонная колонна с данными из при­
мера 4.2; усилия от постоянных и длительных нагрузок N 1 = 450 кН,
М/ = 190 кН-м; усилия от кратковременных нагрузок
= 50,0 кН,
М,н - 50 кНм.
Расчет. Усилия от всех нагрузок равны: N,0, = 450 + 50 = 500 кН,
М,„, = М, + М,, = 190 + 50 = 240 кНм
(см. пример 4.2.),
= 84,3 кНм
следовательно, расчет по раскрытию трещин необходим.
260
Из примера 4.2 имеем ко = к - а = 500 - 50 = 450 мм,
а
300 300
= — ^ = -----= ------= 27,27.
К
11
Принимаем упрощенный способ определения напряжения рас­
тянутой арматуры с помощью табл. 4.2 пособия [3].
Определим значение от действия усилий М = М,„, = 240 кНм и
Л^ = ^;„, = 500кН.
Параметры табл. 4.2 равны:
Д
ЪК
а,
1232-27,27
--------------- -0,181;
400-450
М
240
е = 1 1 + ;,/2 - о = І І ^ + 0,5/2-0,05 =
N
500
= 0,68 м = 680 мм;
~ е/Ао = 680/450 - 1,51.
При
= А^ этим параметрам соответствует
формуле (4.42) определяем
ст
^
N6
= 0,543. По
500 0 0 0 -6 8 0 ^ ^ ,^
----------------- 0 ,543 = 333 МПа.
1232-450
ДЛ
Аналогично определяем
И, = 450 кН:
от действия усилий М = 190 кНм и
е = -?І-4.;г/ 2 - а = І?5- + 0,2 = 0,622 м = 622 мм.
Ы,
450
При е, - 622/450 = 1,38 и а, = 0,181 находим фс^г = 0,48.
450 000-622-0,48
^
Тогда а,, = ------------------- ^— = 242,3 МПа.
1232-450
Значение а^с«. определяем с учетом М = М^гс = 84,3 кНм и
Л ^-500 кН:
є = :!!І2і + /,/2 -^ /=
N
261
^ + 0 , 2 = 0,370 мм.
500
при е, = 370/450 = 0,819 и а , = 0,181 находим
Тогда
ст
= 0,096.
500 000-370 0,096
--------------------------- -- 32 МПа.
1232-450
Проверим условие (4.52), принимая t = 0,68:
а , - 0 , 8 а . . ^ ^242.3 - 0 ,8 ,3 2 ^
333-0 ,8 -3 2
Следовательно, проверяем только продолжительное раскрытие
трещин, вычисляя а^гс по формуле (4.23) при а, = а^./ с учетом ф, = 1,4
и ф2 = 0,5 и принимая а„„_, = 0,3 мм.
Определяем расстояние между трещинами I, по формуле (4.29).
Согласно примеру 4.2 высота растянутой зоны перед образованием
трещин равна к - х = к{\
= 500(1 - 0,817) = 91,5 мм, что менее
2а = 2 50 = 100 мм. Принимаем Ь - х - 100 мм, и площадь растяну­
той зоны будет равна
Аь, = Ь ( к - х ) = 400x100 = 40 ООО мм1
I = 0 , 5 ^ с1.= 0,5 — — 28 = 454,5 мм >400 мм,
4
■'
1232
принимаем 4 = 400 мм.
Согласно формуле (4.24)
У ,= 1 _ о, 8 ^ = 1 - 0 . 8 - ^ = 0,907;
242,3
о „ = ф, (ргУ. ^ / , = 1.4 - 0.5 - 0 , 9 0 7 ^ ^ ^ ^ = 0,308 мм >
^ии иии
> а ,,,1 = 0,3 мм,
т.е. раскрытие трещин превысило допустимое значение.
В целях уточнения значения а^гс определим напряжение а, по
формуле (4.40) с заменой Р на. N = 450 кН, а высоту сжатой зоны х
262
определим из решения кубического уравнения (4.39) при е = 622 мм
и а ,1 А,= а,,А^, = 27,27x1232 = 33 597 мм^
Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­
ском виде, равны:
А = 3 ( е - ко) = 3(622 - 450) = 516 мм;
В = 6[ех2а,1А^ - а,уА,{ко - с/)УЬ -
= 6[622х2х33597 - 33 597(450 - 50)]/400 = 425 338 мм^;
С = -в{е{а,\А,ко + а^|^л<з/) -
с/{ко - с/)УЬ =
= -6[622(33 597x450 + 33 597x50) - 33 597x50(450 - 50)]/400 =
= -1,4665x10^ мм1
Расчет ведем итерациями, принимая Хо = /г/2 = 250 мм.
итерация
1 -я
+
2 5 0 Ч 516-250'+425 338-250-1,4665-10'
Ъх1+2Ах,+В
2 -я
итерация
х^+Ах'^.+Вх.+С
=X —
----- - - ‘
^
3 -2 5 0 4 2 -5 1 6 -2 5 0 + 425 338
'
Ъх 1 +1 А х , +В
4 2 5 3 3 8 -2 4 1 ,3 -1 ,4 6 6 5 -1 0 *
13_ 2 4 1 ,3 '+ 5 1 6 -2 4 1 ,3 4—
■-■-- -- ■- —
—
’
3-241,3"+ 2-516-241,3 + 425338
= 241,2 ММ иХь
Принимаем X = Х2 = 241,2 мм.
Определяем статический момент приведенного сечения отно­
сительно нейтральной оси:
=
33 5 9 7 (2 4 1 ,2 -5 0 )-
- 33 597(450 - 241,2) = 11044180;
"
5,^
^450000(450 - 2 4 1 . 2 ) МП ,
”
11044180
263
Как видим, расхождение с упрощенным способом расчета равно
4,25% в сторону уменьшения и, следовательно, можно считать рас­
крытие трещин в пределах допустимого.
Пример 4.7. Дано: связевая плита перекрытия с данными из
примера 4.3; изгибающий момент в середине пролета от вертикаль­
ных нагрузок: постоянных и длительных М/ = 41,8 кНм, от кратко­
временных Msh = 6,0 кН.
Расчет. Согласно примеру 4.3:
ко = И - а = 300 - 45 = 255 мм; А 'оу - Ф/-Ь)И'[ =
= (722-70)50 = 32 600 мм";
а,, = — = — = 16,2; а ,|Л = 16,2x491 = 7962 мм".
К , 18,5
Момент от всех вертикальных нагрузок
М,ог = 41,8 + 6 ,0 = 47,8 кНм.
Момент от всех нагрузок, включая силу Н, приложенную к ниж­
ней грани ребра, относительно центра тяжести сечения определяется
по формуле
Тогда момент от этих нагрузок относительно оси, проходящей
через центр тяжести арматуры, равен
М, = М - Ы(ко - 7 ц) =
+ Щк - ко) = 47,8 + 50x0,045 = 50,05 кНм.
При этом усилие Р не учитьшаем, поскольку esp~0.
применим упрощенный способ определения напряжения растя­
нутой арматуры с помощью табл. 4.2 пособия [4].
Определим значение а , от действия всех нагрузок, заменяя Р на
Р - М = 100 кН. Параметры табл. 4.2 равны:
е = М ДР - ЛО = 50,05/(150 - 50) = 0,5055 м = 505,5 мм;
= е//?о = 505,5/255 = 1,982;
а , = а .ц, =
а, Л,
7962
= --------- = 0,446;
ЬК
70-255
264
А
32600 ,
Ф, = — = --------- 1,826.
^
bh, 70-255
Этим параметрам соответствует ^ = 0,815. По формуле (4.41) оп­
ределяем
M J ( ; h , - P + N 50,05-lO V (0,815-255)-100ООО
а . = --------- -- --------- = -------------------- ---- ------------------- = 286,8МПа.
Аналогично определяем ст^/ от
М/ = 41,8 кН, принимая
= О,
e^ == — —
= — = 1,093, а, = 0,446 и ф, = 1,826
При е,
^ ' РК
’
Ph, 150-0,255 ’ ’ ^
находим Ç = 0,82.
М
,
Тогда
41, 8.10-/(0,82.255)-150ООО ^
Л
491
Значение Gs,crc определяем при моменте образования трещин от­
носительно нейтральной оси согласно примеру 4.3, равном Мск -29,55x10^ Нмм.
Тогда этот момент относительно оси, проходящей через центр
тяжести арматуры, равен
М, = М „ - N{ho - х ) = 29,55x10* - 50 000(255 - 193,9) =
= 26,5x10'’Нмм,
где x - h ^ " 300x0,6464 = 193,9 мм (см. пример 4.3);
т,
е
=265 мм; е, = e/ho = 265/255 = 1,04,
P -N
100000
по табд. 4,2 пособия [4] находим
а, ^
- 0,825,
26,5 ао У (0,825-255)-100000
Поскольку значение су^/ существенно меньше су^, проверяем
только непродолжительное раскрытие трещин, определяя Осгс по
формуле (4.51).
265
Определим расстояние между трещинами, принимая высоту рас­
тянутой зоны /г - X = 300 - 193,9 = 106,1 м и > 2 а = 90 мм, при этом
h - x < 0,5Л = 150 мм, оставляем h - x = 106,1 мм. Учитывая, что
h - x > h f - 90 мм, площадь растянутой зоны определяем по формуле
= b { h - x ) + {bf- b)hf= 70x106,1 + (85 - 70)90 = 8777 мм^;
A
R ill
I = 0,5— с/ = 0,5------25 = 223,4 мм, что меньше 10
^
А '
491
= 250 мм;
принимаем 4 = 250 мм.
Согласно формуле (4.24)
V = 1- 0,8— = 1- 0,8-^?^ = 0,852.
ст,
286,8
Определяем значение ûcrc.i, принимая ф1 = 1,0 и (р2 = 0,5:
о.„2
„ , =(р,ф,ш
TIT2V, —
^ г,. =
1+ 0,4
0
,
= 0,153
ст, - 0 ,8 с т , ^.„.
5 200000
- 0 , =
153мм;
286,8-0,8-52,9^
= 0,168 мм <
Clerc - 0,4 мм, т.е. раскрытие трещин в пределах допустимого.
В целях сопоставления определим направление
«точным»
способом, т.е. по формуле (4.40), принимая Р = 100 кН, а высоту
сжатой зоны х находим из решения кубического уравнения (4.39) с
заменой A's на. А о у ^ а ' н а к '/2 = 25 мм при е = 505,5 мм.
Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­
ском виде, равны:
А = 3 { е - ho) = 3(505,5 - 255) = 751,5 мм;
В = 6 [e(asiAs + А 'оу) - А U h - h'/2)]/b=
= 6[505,5(7962+ 32 600) - 32 600(255 - 50/2)]/70 = 1 114 808 мм^;
С = - 6 [е{а ,Л К + А
Щ - А
у2(Ао - h 'Д)УЬ =
- 6[505,5(7962x255 + 32600x25) - 32 600x25(255 - 25)]/70 =
= 1,0722x10^ м м \
266
Расчет ведем итерациями аналогично примерам 4.5 и 4.6. В ре­
зультате имеем X = 90,5 мм.
Тогда
=~
+А
.
2) - а„Д,(ка-х) =
+32 600(90,5 - 25) - 7962(255 -
-90,5) = 1112 210 мм^
^ £ ( ^ ^ ^ 0 0 0 0 0 (2 5 5 - 9 0 .5 ) ^
1112 210
Расхождение с упрощенным способом расчета достигает 16,4% в
меньщую сторону. Это объясняется неточностью определения зна­
чения в связи с выходом параметров еі и а^. за пределы таблицы.
Пример 4,8. Дано: нижний пояс безраскосной фермы с данными
из примера 4.4; максимальные усилия: от постоянных: и длительных
нагрузок Мі = 17,9 кНм, N 1 = 540 кН, от кратковременных нагрузок
Msh = 2,0 кНм, Nsh~ 6,0 кН.
Расчет. Согласно примеру 4.4:
к о = к - а = 240 - 40 = 200 мм;
= ™ = М = 13,64; а „ ^ , = а , , 4 ! =13,64-763 = 10405 и м \
^ьп
22
Усилия от полной нагрузки
М= М +
= 17,9 + 2,0 = 19,9 кНм,
Л/'= =^Nl + Nsh = 540 + 60 = 600 кН.
Поскольку
N = 600 кН > Р = 500 кН, проверим условие (4,45), принимая
7 ц = Ш -2 4 0 /2 = 120 мм,
е,р = кІ2-а =- 2 4 0 /2 -4 0 = 8 0 мм;
^
^ “
М + К у ^ - Р { К ~ 19,9• 1 0 Ч 600-10^ •120-500-10'(200-80) _
Ы~Р
~
(600-500)10'
= 319мм > \ = 200 мм.
т.е. при действии полной нагрузки имеет место 1 -й случай растяже­
ния.
Определим напряжение в растянутой арматуре упрощенным
способом, т.е. по формуле (4.48), принимая
е = е^-йо = 3 1 9 -2 0 0 = 119 мм.
267
а. =
N -P
l, 2 e
+1
[ ho
= 224,6 МПа.
763
Определим напряжение ст^/ от действия усилий М 1 =17,9 кНм и
N 1 =540 кН. Поскольку N 1 >Р, проверим условие (4.45)
, 17,910‘ + 540 10’ 120 - 500-10’ -120
е = —^
^
— ------- — = 567,5 мм > йо = 200 мм,
(540-500)10^
т.е. при действии постоянных и длительных нагрузок также имеет
место 1-й случай растяжения. Тогда при е = 567,5 - 200 = 367,5 мм
=
(540-500)10'
,
1,2-367,5
1
763
200
+ 1 = 136,6 МПа.
Определим напряжение <у^.сгс от действия момента Mere, равного
согласно примеру 4.4 Mere = 2,84x10^ Нмм, и N - Р = 100 кН. Прове­
рим условие (4,45)
2,84-10ЧбОО-10М20-500-10'-120
_
^ --------------------- ------------------= 148,4 мм < йо = 200 мм,
100 - 10'
т.е, имеет место 2 -й случай растяжения и значение Ug,erc определяем
по формуле (4,49), принимая
, М
2,84-10‘
« = - + > '„ - а = - ^ 3 ^ + 1
Ne‘
=
АЛК-а')
2 0
,
- 40 = 84,7мм.
600-10'-84,7-500-104200-40-80)
= ---------------763(200-40)-------------- =
Проверим условие (4,52), принимая t = 0,59, поскольку при ар­
матуре класса А800 аг^и " 0,3 мм,
ст,^-0,8ст,,„.
136,6-0,8>88.6
"' 224,6-0,8-88,6
268
0,428 </=^0,59,
т.е. проверяем только непродолжительное раскрытие трещин, опре­
деляя Qcrc по формуле (4.51).
Определим расстояние между трещинами 4 по формуле (4.29).
Поскольку согласно примеру 4.4 перед образованием трещин все
сечение растянуто, принимаем Аь, = bh = 220x240 = 52 800 мм^.
Тогда
А
8 0 0
4 - Q,5— d^ = 0 ,5 -------- 18 = 622,9 мм > 4 0 0 мм,
А,
763
принимаем 4 = 400 мм.
Согласно формуле (4.24)
\|/, = 1^ 0 , 8 - ^ = 1- 0 , 8 - ^ = 0,684.
а,
224,6
Определяем ширину раскрытия трещин
ф2 = 0,5;
принимая ф 1= 1,0 и
= ОД54 мм;
^.2 Y1Y2Y., ^ ^‘ =0,5-0,684^2^4-400
2 -10 ^
= ОД540 + 0,4 •0,428) = ОД8
ММ
< Quit = 0,3 мм,
Т.е. раскрытие трещин в пределах дoпyctимoгo.
В целях сопоставления определим напряжение а, «точным» спосо­
бом, т.е. по формуле (4.40), с заменой Р и М-Р. При этом высоту сжатой
зоны X находим из кубического уравнения, принимая е = -119 мм.
Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­
ском виде, равны:
А = 3 ( е - //о) = -3(119 + 200) = -957 мм;
В = 6 [е(а,1А, + а , ! ^ ) - а ,,^ ( й о - ^ /)]/6 = -6 [1 19x2x10405 +
+ 10405(200-40)]/220 = -112 941;
С = - 6 [е(а, 1^ А + а^1А ^ ) - a,l^ V (/гo - ^)УЬ =
= 6[119(10 405x200 +
+ 10 405x40) + 10 405x40(200 - 40)] / 220 = 99 206 945.
269
Расчет ведем итерациями аналогично примерам 4.5 и 4.6. В ре­
зультате получаем X = 59,7 мм.
Тогда
ТТЛ с о 7 2
т 2
-^ ) = ^ -7 ^ + 1 0 4 0 5 (5 9 .7 -4 0 )
- 10 405(200 - 59,7) = -863 010 мм^
(Л Г -/> )(/^-х )а.,
100000(200-59,7)13,64_,,^^д^д^^
-5 ^
863 010
Расхождение с упрощенным способом 1,3%.
4.3. Расчет железобетонных конструкций по деформациям
4.3.1. Предельно допустимые прогибы
Ограничение прогибов железобетонных конструкций связано с
необходимостью обеспечения условий для нормальной эксплуата­
ции зданий и сооружений, в которых эти конструкции использованы.
Предельно допустимые прогибы установлены в СНиП 2.01.07-85
для конструкций из любых материалов исходя из следующих требо­
ваний:
а) технологических (обеспечение нормальной эксплуатации раз­
ного рода технологического оборудования);
б) конструктивных (обеспечение целостности примыкающих ;фуг
к другу элементов и их стыков, обеспечение заданных уклонов);
в) физиологических (предотвращение вредных воздействий и
ощущений дискомфорта при колебаниях);
г) эстетико-психологических (обеспечение благоприятных впе­
чатлений от внешнего вида конструкции, предотвращение ощуще­
ния опасности и дискомфорта).
Примером ограничения прогибов по технологическим требова­
ниям может служить назначение предельных прогибов для подкра­
новых балок, равных //400-//600. При больших прогибах нарушается
плавность движения крана и ухудшается самочувствие крановщиков,
так что эти предельные прогибы обусловлены также и физиологиче­
скими требованиями.
270
в качестве конструктивных требований можно указать ограни­
чение прогибов зазором между нижней плоскостью конструкции и
расположенной под ней перегородкой в целях недопущения ее по­
вреждения. в СНиП 2.01.07-85 этот зазор рекомендуется принимать
не более 40 мм.
В общем случае конструктивные требования к вертикальным
прогибам должны определяться конкретными условиями примыка­
ния перегородок и иных элементов в процессе проектирования не­
сущих и ограждаюпщй конструкций.
Конструктивные требования выражаются также в ограничении
горизонтальных перемещений перекрытий каркасных зданий от вет­
ровых нагрузок и температурно-климатических воздействий в целях
обеспечения целостности заполнения каркаса перегородками, стена­
ми и т.п. Эти ограничения зависят от типа креплений перегородок к
конструкциям каркаса, от материала перегородок и стен и выража­
ются в назначении предельных перекосов этажных ячеек каркаса
Ык-з, равных 1/300-1/700 (здесь Л - относительные перемещения пе­
рекрытий в пределах этажа, к-з - высота этажа).
Физиологические требования к предельным прогибам выража­
ются в основном назначением предельных значений вибропереме­
щений, виброскорости и виброускорений в соответствии с
г о с т 12.1.012-90.
Кроме того, физиологические требования связаны с ограничени­
ем вибрации перекрытия, вызванной перемещениями людей. Осо­
бенно это относится к перекрытиям под танцевальными залами, а
также к конструкциям, не связанным с соседними элементами (на­
пример, лестничные марши).
Эстетико-психологические требования к прогибам относятся ко
всем конструкциям покрытий и перекрытий, открытым для обзора.
Эти требования выражаются в ограничении относительных прогибав
fil значениями 1/150-1/300 в зависимости от величины пролета. При
этом за пролет принимается видимый продольный размер элемента.
В частности, если поперек пролета установлены капитальные пере­
городки, то за пролет принимается расстояние между этими перего­
родками или между перегородкой и несущей конструкцией, и тогда
линия отсчета прогиба должна соединять верхние точки этих конст­
рукций.
Если конструкция имеет строительный подъем, то видимый про­
гиб будет равен фактическому прогибу, уменьшенному на этот
строитёльный подъем. Тогда предельное значение прогиба может
быть увеличено на размер строительного подъема.
271
При определении прогибов, подлежащих ограничению, следует
учитывать нагрузки, зависящие от требований, вызвавших эти огра­
ничения. В частности, при ограничении прогибов по эстетико­
психологическим требованиям прогибы определяются при действии
только постоянных и длительных нагрузок, т.е. допускается кратко­
временное превышение прогибов сверх допустимых по этим требо­
ваниям. При этом прогиб отсчитывается от прямой, соединяющей
точки опирания конструкций, т.е. выгиб, вызванный предваритель­
ным обжатием, не учитывается.
При проверке прогибов подкрановых балок учитывается только
нагрузка от одного крена, поскольку ограничение прогиба связано с
движением одного крена.
При ограничении прогиба зазором между конструкцией и ниже­
расположенной перегородкой учитываются нагрузки, приложенные
только после установки перегородки.
Кроме того, во всех случаях, вертикальные прогибы от всех на­
грузок не должны превышать 1/150 пролета или 1/75 вылета консо­
ли. Это связано с тем, что при допущении таких или больших проги­
бов от действия нормативных нагрузок при рассмотрении ситуации
расчета по прочности, т.е. при действии расчетных нагрузок и при
расчетных характеристиках материалов, прогиб может возрасти до
1/50 пролета, что оценивается как исчерпание прочности.
4.3.2. Общие положения по определению прогибов
Прогибы железобетонных конструкций определяются по общим
правилам строительной механики в зависимости от изгибных, сдви­
говых и осевых деформационных характеристик железобетонных
элементов.
Для большинства элементов прогиб в основном зависит от из­
гибных деформаций, и поэтому такие прогибы в общем случае опре­
деляются по формуле
/
где
dx,
м.
(4.53)
- изгибаюпщй момент в рассматриваемом сечении от дейст­
вия единичной силы, приложенной в сечении, для кото­
рого определяется прогиб, в направлении этого прогиба
(рис. 4.15)-,
272
Ґ^Л
\ ' /д
- кривюна в рассматриваемом сечении от внешней нагрузки.
Рис. 4.15. К определению прогиба,
вызванного изгнбными
деформациями:
М
а - схема при действии единичной
силы и соответствующая эпюра М;
б - схема при действии внешней
нагрузки и соответствующая эпюра
( 1/г)
В связи с наличием трещин и неупругих деформаций бетона
п
функцию
невозможно представить в виде аналитической зависимости от внешнего момента, и поэтому интегрирование по форму­
ле (4.53) можно реализовать лишь приближенным способом.
В этом случае элемент разбивается на ряд участков, на границах
которых определяются кривизны от действия моментов в этих сече­
ниях при учете наличия или отсутствия трещин и неупругих дефор­
маций бетона и арматуры. Затем, принимая линейное распределение
кривизны в пределах каждого участка, производят перемножение
эпюр
1
— , пользуясь известным правилом Верещагина. При
и л
этом чем больше участков, тем выше точность определения прогиба,
и поэтому такой «приближенный» способ может быть как угодно
точным.
Следует отметить, что для балок постоянного сечения или сим­
метричного очертания (например, двускатные балки) прогиб, опре­
деленный в середине пролета, даже при весьма несимметричном ха­
рактере внешней нафузки, весьма мало отличается от максимально­
го прогиба. Например, при внешней нагрузке в виде одного груза на
расстоянии 0,3/ от опоры максимальный прогиб превышает прогиб в
середине пролета лишь на 0,5%. Поэтому при любом характере
внешней нагрузки можно рекомендовать определять прогиб в сере­
дине пролета, а каждый полупролет разбивать на равное число уча-
18 Заказ 40
и
273
стков. в этом случае после перемножения эпюр
и — формула
(4.53) приобретает вид
/ 1 л
где
п/2-1
+
+
/ =
г,
"П
УОг
"Г
, (4.54)
+ {Ъ п - 2 )
/=1
/с
го
- кривизна элемента соответственно на левой и праг )г
вой опорах;
- кривизна элемента в симметрично расположенных
(г ) ’I г
сечениях / и г (при / = /) соответственно слева и
справа от оси симметрии (рис. 4.16);
п
- кривизна элемента в середине пролета;
\Г)о
п - четное число равных участков, на которые разделяют пролет,
принимаемое не менее 6 ;
/ - пролет элемента.
Знак кривизны принимается в соответствии с эпюрой кривизны.
С
| “
* 1
0
1
'■
1 '"
1
' о
1/п
с
г
1
Уп
1/п
[
г
Уп
1/п
1/п
0 *
1 '
, 1/п
1/п
-
1
Йс
рп
(?)о/
/
( } ) ,>
/
/
/
1
J/
к
(г)ог
У1
1/2
Рис. 4.16. К определению прогиба путем разбивки пролета на п равных
участков
274
При отсутствии резких переломов эпюры моментов достаточная
точность вычислений прогиба достигается при 6 участках. Тогда при
симметричном характере нагрузки формула (4.54) приобретает вид
/ =
где
г216
"Г
+6
"1"
+ 12
Г)
+1
(4.55)
кривизны соответственно на опорах, на
расстояниях 1/6 и //3 от опоры и в середи­
не пролета.
Для консоли без резких переломов эпюры моментов и резких
изменений сечения достаточную точность вычисления прогиба сво­
бодного конца можно достичь при 3 равных участках разбивки вы­
лета /. Тогда такой прогиб можно вычислить по формуле
/ =
где
+6
27
+3
(4.56)
Уг
rn
yrj05го 1к—г] - кривизны соответственно в заделке и на рас­
—
стояниях //3 и 2/3/ от заделки.
Определение кривизны приводится в разделах 4.3.3 и 4.3.4.
Для достаточно коротких изгибаемых элементов {l/h < 1 0 ) по­
мимо прогиба, вызванного изгибными деформациями, заметную
роль начинает играть дополнительный прогиб, вызванный сдвиго­
выми деформациями.
Учет таких прогибов при проектировании коротких элементов
целесообразно проводить, если имеются жесткие ограничения по
конструктивным, технологическим или физиологическим требова­
ниям, поскольку эстетико-психологическим требованиям прогибы
таких элементов будут заведомо удовлетворять.
Прогибы, вызванные сдвиговыми деформациями, также можно
определять с помощью усилий от единичной силы по формуле
/=
где
18*
(4.57)
- поперечная сила в рассматриваемом сечении от действия
единичной силы, приложенной в сечении, для которого оп­
ределяется прогиб, в направлении этого прогиба;
275
Ух “ угол деформации сдвига элемента в рассматриваемом сече­
нии от действия внешней нагрузки.
Определение значения приводится в разд. 4.3.6.
Поскольку значения ух в пределах длины элемента зависят от на­
личия или отсутствия разного рода трещин, функцию ух невозможно
представить в аналитическом виде, и поэтому интегрирование по
формуле (4.57) также производится способом, аналогичным интег­
рированию по формуле (4.53).
Для некоторых конструкций прогибы существенным образом
проявляются за счет осевых деформаций элементов. Это раскосные и
безраскосные фермы, двухветвевые колонны промзданий, колонны
связевых панелей и т.п. Для таких конструкций следует дополни­
тельно учитывать прогиб, связанный с удлинением и укорочением
отдельных элементов. Этот прогиб также определяется с помощью
усилий от единичной силы по формуле
(4.58)
где Ni ~ продольная сила в /-м стержне конструкции от действия
единичной силы, приложенной в сечении по длине пролета
конструкции, для которого определяется прогиб,
в направлении этого прогиба;
Л/, - укорочение (удлинение) І-ГО стержня конструкции на уров­
не центра тяжести сечения стержня от внешней нагрузки,
определяемое согласно разд. 4.3.8.
4.3.3. Определение кривизны на участках без трещин
в растянутой зоне
Согласно Сводам правил [1], [2] на участках элемента, где в рас­
тянутой зоне не образуются трещины при действии полной норма­
тивной нагрузки [т.е. выполняется условие (4.1)], в общем случае
кривизну определяют на основе нелинейной деформационной моде­
ли, принимая трехлинейную диаграмму гь~<^ь для сжатого и растяну­
того бетона (см. разд. 3.2.3). Эпюры деформаций и напряжений по
высоте сечения представлены на рис. 4.17.
Неизвестные значения
и х определяются из совместного ре­
шения обоих уравнений равновесия: внешних и внутренних про276
дольных сил и моментов. Кривизна при этом будет равна
1 /г =
- л:), Определение значений гы и х можно производить
только последовательными приближениями, поскольку характер
эпюры растягивающих напряжений бетона, как видно из рис. 4.17,
меняется в зависимости от величины момента. Вычисленные таким
образом кривизны непропорциональны моментам и, следовательно,
жесткость участка без трещин будет переменна и зависеть от момента.
а)
бь=£ьЕы
б)
I
?
в) £ь<£ы
б
б
Еы,/
уйь-»
!*—
/
/ ^ыо %■
г \ .
1., .
/
/
Хи
Рис. 4.17. Эпюры деформаций и напряжений бетона при определении
кривизны сечения без трещин изгибаемого элемента:
а - при
< е*л; б - при £йй)> £б/ > £*/1; в - при гы> £бю
Однако для изгибаемых элементов без напрягаемой арматуры
ввиду малой длины участков без трещин влияние жесткостей этих
участков на прогиб элемента весьма незначительно, и поэтому для
этих участков можно принять жесткость как усредненную, не зави­
сящую от моментов величину.
Для предварительно напряженных изгибаемых элементов уча­
стки без трещин могут быть значительны, но в этом случае высота
растянутой зоны бетона обычно весьма мала и, следовательно, мало
влияние неупругих деформаций растяжения бетона. Влияние неуп­
ругих деформаций сжатого бетона при этом также мало, поскольку
они проявляются при больших напряжениях (а* > 0 ,6Кь„).
277
Все это позволило в Сводах правил [1], [2] рекомендовать для
участков без трещин изгибаемых элементов кривизну определять как
для упругого материала, т.е. по формуле
^
'
(4.59)
где жесткость Еы1 гес/ определяется по приведенному сечению бетона
с коэффициентом приведения арматуры к бетону, равным а = Е^/Еы,
здесь Еы - модуль деформации бетона, равный:
при непродолжительном действии нагрузки Еь\ = 0,85^*;
при продолжительном действии нагрузки
Е^. =---- -— (фг, сг - коэффициент ползучести бетона, см. гл. 5).
В этом сл)Л1ае при действии всех нагрузок, включая кратковре­
менные, кривизну можно определить как сумму кривизн от постоян­
ных и длительных нагрузок, учитывая продолжительное их дейст­
вие, и от кратковременных нагрузок, учитывая непродолжительное
их действие, т.е.
/ 1]_л
л
+
\Г а
- кривизна от продолжительного действия постоянных и
где
1
/ 11 л
длительных нагрузок;
- кривизна от непродолжительного действия кратковременных нагрузок.
Для предварительно напряженных элементов в кривизне
отсчитываемой от состояния элемента до приложения каких-либо
нагрузок (включая силу Р), следует учитывать кривизну, вызванную
ГО
моментом усилия обжатия Реор, и, кроме того, кривизну - , обусловленную остаточным выгибом элемента вследствие усадки и пол­
зучести бетона от усилия обжатия в стадии изготовления (т.е. до
278
приложения внешней нагрузки). Значение
определяется по
формуле
"Г
ЕК
но не менее нуля,
(4.61)
где с^г, и а - значения, численно равные сумме потерь предвари­
тельного напряжения арматуры от усадки и ползздгести бетона (см.
гл. 5) соответственно для арматуры растянутой зоны и для арматуры,
условно расположенной на уровне крайнего сжатого волокна бетона.
Однако считается, что ползучесть бетона, учтенная при действии
момента Рвор в кривизне
, частично учтена в кривизне
поэтому в некоторый «запас» принято кривизну
"Г
учета момента Рвор, а кривизну от этого момента
,И
определять без
"Г
определять,
как при непродолжительном его действии, и суммировать ее с кри"Г
визнои
, т.е. формула (4.60) преобразуется в формулу
/1 \
/1 \
+
" 1"
"Г
(4.62)
г]
При этом сумму
-1
+
следует принимать не менее кри­
визны от момента Реор при продолжительном его действии.
Если прогиб предварительно обжатого элемента отсчитывается
от состояния элемента до приложения внешней нагрузки (например,
при вычислении контрольного прогиба), то кривизны от выгиба
не учитываются, а кривизна
определяется без учета
собственного веса.
Для внецентренно сжатых элементов участки без треш;ин могут
быть значительной длины и, кроме того, влияние неупругих дефор­
маций сжатого бетона на жесткость элемента может существенно
279
возрасти. Поэтому, если деформация наиболее сжатого волокна бе­
тона превышает 8*1 = (ifiRbrJEbu кривизну следует определять по об­
щему случаю расчета.
Для элементов прямоугольного сечения с симметричным арми­
рованием, если выполняются условия N > NrpH М < Мргр, жесткость
рекомендуется определять упрощенно, по линейной интерполяции
между жесткостью, соответствующей нулевому моменту и равной
Do = EbJred, и жесткостью, соответствующей моменту Mere ~ Rbnbh^h
и равной Dcrc = Rbnbh^hxXQ^, т.е. по формуле
D = D o - ( D o - Dcrc)M/Mcrc, при этом N^p ~ Rbnbht\,
Коэффициенты t\, t2, и t-i определяются по табл. 4.1,
Таблица 4.1
Кла
сс
бе­ ц%
тона
В
0,1
5
0Q
0,5
20
1,0
1
1,5
gа S
0,1
W
0,5
i I 30
1.0
1,5
0,1
1
0,5
40
6
1,0
к
1,5
0,1
0
S
0,5
0нQ
20
1,0
1,5
■1
0,1
0,5
1 1 30
1,0
gg
S и
1,5
0,1
0,5
1
40
1,0
1,5
Коэффициенты h_ при гг
h
0,186
0,196
0,208
0,219
0,205
0,214
0,226
0,238
0,218
0,228
0,239
0,251
0,241
0,290
0,353
0,415
0,243
0,280
.0,327
0,374
0,244
0,274
0,312
0,350
Коэффициенты h при п
n=ti
0,25
0,35
0,45
0,55
n=t]
0,25
0,35
0,45
0,55
0,066
0,074
0,084
0,094
0,064
0,071
0,079
0,087
0,063
0,068
0,075
0,082
0,068
0,094
0,127
0,161
0,065
0,084
0,108
0,132
0,063
0,079
0,097
0,116
0,076
0,083
0,092
0,101
0,071
0,077
0,083
0,089
0,068
0,072
0,077
0,082
0,069
0,085
0,102
0,116
0,066
0,078
0,090
0,100
0,064
0,074
0,83
0,92
0,082
0,093
0,105
0,116
0,079
0,087
0,097
0,105
0,077
0,084
0,091
0,098
0,083
0,105
0,127
0,144
0,080
0,097
0,113
0,127
0,078
0,091
0,105
0,116
0,081
0,097
0,114
0,128
0,080
0,092
0,105
0,116
0,080
0,090
0,100
0,109
0,093
0,121
0,148
0,169
0,090
0,111
0,132
0,149
0,089
0,106
0,123
0,137
0,081
0,101
0,122
0,138
0,081
0,097
0,112
0,126
0,082
0,095
0,108
0,119
0,100
0,136
0,167
0,191
0,098
0,126
0,150
0,169
0,097
0,120
0,139
0,156
0,138
0,155
0,177
0,198
0,115
0,127
0,142
0,156
0,099
0,108
0,119
0,130
0,044
0,061
0,082
0,103
0,039
0,051
0,066
0,080
0,037
0,046
0,057
0,068
0,135
0,154
0,177
0,199
0,114
0,127
0,142
0,156
0,099
0,108
0,119
0,130
0,044
0,060
0,078
0,096
0,039
0,051
0,063
0,075
0,035
0,046
0,055
0,065
0,110
0,133
0,161
0,187
0,095
0,111
0,130
0,148
0.084
0,096
0,110
0,124
0,040
0,060
0,082
0,102
0,037
0,050
0,066
0,080
0,035
0,045
0,057
0,068
0,080
0,106
0,137
0,166
0,071
0,089
0,110
0,130
0,064
0,078
0,093
0,109
0,035
0,056
0,081
0,103
0,032
0,047
0,064
0,079
0,031
0,042
0,054
0,067
0,057
0,084
0,115
0,145
0,052
0,070
0,092
0,102
0,049
0,062
0,079
0,094
0,030
0,052
0,078
0,102
0,028
0,043
0,061
0,077
0,027
0,038
0,052
0,064
280
в табл. 4.1
п ~ ~ Л . , м =4и.100% t t ~
R^bh' ^ bh'■ R ^bh’ ‘^ -R ^ b h ^ ’ ' ' -
t
R Jh ^
■
Здесь значение Еы принимается равным Е^ при непродолжи­
тельном действии нагрузки и равным Еь1{\ + ц>ь.сг) - при продолжи­
тельном действии нагрузки.
N
Коэффициент /, = —
соответствует внутренней продольной
Kbh
силе iVrp при деформациях бетона в крайних волокнах є^і и гьа- Ко­
эффициенты ti и h определялись следующим образом:
Сначала при наибольшей деформации растяжения бетона Вьа из
условия равновесия продольных сил определялась наибольшая де­
формация бетона сжатию є*; затем по деформациям выг и єг, и внеш­
ней силе N определялся внутренний момент относительно оси, про­
ходящей через центр тяжести сечения Mere ~ Rb„bh~t2, и тогда
е*+е*,2’
При учете продолжительного действия нагрузок принималась нор­
мальная относительная влажность окружающего воздуха (40-75%), т.е.
Єбо ” 3,4’10'^; EbtQ"0,24’10'^; Вьа - 0,ЗМ 0'^ а при бетоне классов В20, ВЗО,
В40 значения фб.ег, равные соответственно 2,8; 2,3; 1,9.
Если N < //гр> кривизну можно определять по формуле (4.59).
43,4, Определение кривизны на участках с трещинами
в растянутой зоне
Определение кривизны на участках с трещинами в общем случае
сводится к определению деформации крайнего сжатого волокна бе­
тона е^, и высоты сжатой зоны д: из решения уравнений равновесия
внешних и внутренних усилий на основе нелинейной деформацион­
ной модели, аналогичной принятой при расчете по раскрытию тре­
щин, т.е. когда для сжатого бртона принимается двухлинейная диа­
грамма
а сопротивление растянутого бетона не учитывается.
При этом дополнительно учитывается следующее:
281
а) в диаграмме аь~£ь учитывается продолжительность действия
нагрузки при расчете на действие только постоянных и длительных
нагрузок;
б) за деформацию растянутой арматуры, соответствующую ли­
нейному распределению деформаций по высоте сечения, принимает­
ся усредненная деформация арматуры в пределах между трепщнами,
равная
где 8^ - деформация арматуры в сечении с трещи­
ной, напряжение которой соответствует условию равновесия внещ­
них и внутренних усилий, \|/^ - коэффициент, определяемый по фор­
муле (4.24) (рис. 4.18).
Рис. 4.18. К определению кривизны для участка с трещинами
изгибаемого элемента:
а —схема сечения; б —эпюра усредненных деформаций арматуры и бетона;
в —эпюра напряжений в сечении с трещиной
Для сечений произвольной формы уравнения равновесия рещаются последовательными приближениями аналогично общему слу­
чаю расчета по раскрытию трещин. При этом, поскольку напряжение
арматуры в трещине зависит от коэффициента \|/^, который, в свою
очередь, зависит от
то согласно уравнению
Е
ст =8 —^ = 8 -------- ^------ имеем
+ 0,8а^,сгс“ V.
“ 1-0,8ст_/ст,
Для изгибаемых элементов без предварительного напряжения
прямоугольного, таврового и двутаврового сечения значение х мож­
но определить аналитически из уравнения равновесия продольных
усилий.
Составим это уравнение для сечения с полкой в сжатой зоне.
Согласно рис. 4.18 в при Н ~ О имеем
282
I
X
X
М'==»—
;с
— 4 . (4.63)
\}/^
где А'^ = {У /- Ь)к'^ {сш.рис. 4.10, а).
Е
Е
Исключая Еь и принимая а^, = — ^ и аз, = ----- — , получаем
Еь,ге(1
квадратное уравнение с неизвестным х
^
+ { х - а ' )а „
+ (х - /г| /
= {к^
х)а^А •
Решение этого уравнения имеет вид
х = ^ 2 ^ + 2(а,,ЛЛ„ + а „ Л 'а ' +
/2 )/Ь -2 ,
(4.64)
где г = ( а ,, 4 + а„А' + А^,)/ Ь.
Если при этом значение х оказывается меньше высоты сжатой
полки й/, то значение х следует снова вычислить как для прямо­
угольного сечения шириной Ь = Ь/. Для таврового сечения с полкой
в растянутой зоне (см. рис. 4.10, б), если к - х < к/, значение х снова
вьиисляется по формуле (4.64) при Ь = Ь/, А оу = ~(Ь/ - Ь){к - к^ и,
k'f= k-kf.
.Значение Еь определяется путем решения уравнения равновесия
моментов. Это уравнение имеет вид
т ■п
е/
■Еь,г«14Л ^
+ Е ..^
- а; / 2) + е , ^ ^ Е , А ‘, ( х - а ' ) +
^ А . ( К - х ) = М.
Откуда
____________________ М х / Е , ^ ____________________
^
+ { х - к ' / 2 )^Л1 , + ( х - а ' У а , Х + ( К - х ) - а ^ Л
283
Как видим, знаменатель представляет собой момент инерции
приведенного сечения относительно нейтральной оси Ired при коэф­
фициентах приведения для сжатой и растянутой арматуры соответ­
ственно а ^1 и а^2- Это справедливо для сечений любой формы.
Отсюда кривизна равна
1=
.
(4.65)
Здесь следует отметить, что в отличие от расчета сечений без
трещин жесткость Eb.redred зависит от момента, поскольку расчет веМ
дется с учетом коэффициента \f/^ =1-0,8—
М
Анализ графиков М - —, построенных по приведенным формуг
лам для сечений с различными значениями
ц / = а о^+ а^1|л ^ и
5 = -^
К
bh^
Ыц
bh„
(гдеa , = h ' f /
а^=а'), показал, что при М > Мсгс приращение кривизн
практически пропорционально приращениям моментов. Эта бли­
зость зависимости
М - — к линейной была положена в основу упг
рощенного способа определения кривизн, приведенного в пособии
[3]. Отмеченную связь можно выразить формулой
1
"Г
г Ч'
в
где ~ - кривизна от действия момента Мегс, определенная как для
г)„.
сечения с трещиной;
В = tga ” величина, характеризующая наклон зависимости М - г
к оси кривизн {рис, 4,19),
Вычисленные для различных сечений величины В = ^ / ^<\ ”
г
оказались мало зависимыми от моментов. Эту величину удобнее все­
го выражать через армирование в виде формулы
284
5=
где ф1 - коэффициент, зависящий от
и ц /п р и постоянном зна­
чении 5 = 0,15 и приведенный в табл. 4.5 пособия [3].
Рис. 4.19. Упрощенная зависимость момент-кривизна при расчете
изгибаемых элементов без напрягаемой арматуры
Для большей простоты вычисления кривизны — формулу (4.66)
г
решено
представить
в
виде
1
м -м ,
г
в
—= -------- L
где
величина
М\ = Мсгс - В{11г)сгс представляет собой отрезок, отсекаемый на оси
моментов продолжением зависимости М — .
г
Эту величину, сильно связанную с моментом Мсгс, решено выра­
зить через (p2bh^Rbt.n, где коэффициент ф2 весьма мало зависит от ар­
мирования, но существенно от размеров сжатых и растянутых полок,
/
А
т.е. от коэффициентов
и Ц/ =
. Коэффициенты ф2 в округленbh
ном виде приведены в табл. 4.6 пособия [3].
Таким образом, упрощенная формула для кривизны изгибаемых
элементов без предварительного напряжения имеет вид
(4.67)
Г
285
Для изгибаемых предварительно напряженных элементов урав­
нение равновесия продольных сил при наличии полки в сжатой зоне
имеет вид, аналогичный уравнению (4.63) с добавлением к правой ее
части усилия обжатия Р. В таком уравнении исключить неизвестное
Еь нельзя, И поэтому значение X определяется из совместного реше­
ния обоих уравнений равновесия.
Из уравнения равновесия продольных сил имеем
^ ь Е ,^ = Т - г ------------------------------------------------------------ ■ (4.68)
^
+ (;с - а; / 2 ) < + (X - а 'К , Л ' -
Здесь знаменатель правой части представляет собой статический
момент приведенного сечения относительно нейтральной оси Згес/
при коэффициентах приведения для арматуры 5"и 5" соответственно
а ^1 и а ,2 =
Поскольку, как видно из рис. 4.11 и 4.18, расчетные схемы уси­
лий в сечении при определении кривизны и при расчете по раскры­
тию трещин отличаются друг от друга только заменой Es на EJvfs,
т.е. заменой коэффициента приведения при арматуре 5" а ^1 на а^2, вы­
сота сжатой зоны X определяется из кубического уравнения, анало­
гичного уравнению (4.39), т.е. из уравнения
бх' /3 + (;с-А; /2 )^ ^ Х х -а ^ )^ а ,Д Ч (/|о - х ) ^ а ,л
Ьх Ч 2 + { х - к ' 1 2 )А1^ + (х -
~~
= е-/г„+ х,(4.69)
где е =М/Р ± esp = м /р .
Это уравнение решается методом Ньютона.
Из уравнения (4.68) следует, что кривизна равна
Р
1_е._
(4.70)
Еь,гес1^гес1
Коэффициент
необходимый для определения as2, вычисляет­
ся по формуле (4.24), как при расчете по раскрьггию трещин.
Анализ графиков М - — для предварительно напряженных сечег
ний не выявил пропорциональность приращений кривизн и момен­
тов, и поэтому упростить вьшисление кривизны было решено путем
286
определения жесткости сечения по формуле ^ М 1 Еь,гес1, где фс - ко­
эффициент, определенный по табл. 4.5 пособия [4].
Табличные значения коэффициента ф^ вычислялись по формуле,
полученной из приравнивания формулы (4.70) величине
^
M JP ,
т-е- Ф с - 7 - %
к,
^red ' ^red
где к = I , J b h \ = 4 V3 + (% -8 ) V /+ (1 ^ =xthQ,
5 = У/Ш о, при Л 0V= О 5 = с//ho,
„/ _ 4 v + a . i 4 -
М -/ -
ЪК
А
ЬК
а используя принятые относительные характеристики, можно запи­
сать
е /\
Ф = --------2---- к,
,
где значение ^ определяется из решения кубического уравнения
^ У З + ( ^ - 5 ) У ;+ ( 1 - ^ ) Ч 2 ^ ^ ,
^ ^ 2 + (^ -5 )ц ;-(1 -^ )а ,.з И ,
в
К
^
Как видим, значение фс зависит от четырех параметров а^гЦд-, Ц/,
—-ии о.
к
Поскольку значение 5 обычно меняется в узких пределах, таб­
личные значения фс вычислены в зависимости от первых трех пара­
метров при постоянном значении 5 = 0,15. При этом оговорено, что
пользоваться упрощенным методом определения кривизны можно
при /г/ < 0,3ho и с/ < 0,2ho, поскольку при больших значениях b'f я а
кривизны будут иметь существенную погрешность в сторону зани­
жения.
287
Для внецентренно сжатых элементов определение кривизны
аналогично определению кривизн для предварительно напряженных
элементов, при этом Р заменяется на продольную силу N, а выраже­
ние e - h o + X в уравнении (4.69) на M /N ->*4 + х, где М - момент из
статического расчета конструкции относительно оси, проходящей
через центр тяжести бетонного сечения, >^ц- расстояние этого центра
тяжести от сжатой грани элемента.
Поскольку внецентренно сжатые элементы в большинстве пред­
ставляют собой колонны (стойки) прямоугольного сечения с сим­
метричным армированием, приведем кубическое уравнение для оп­
ределения высоты сжатой зоны.
ЬхЧЗ + (х-аУа^А + (К-^У^х2А
Ьх^ 1 2 + { х - а )а ^ А ~ (^о “
К~а ^^
^
^
Это уравнение можно решать вышеуказанным методом Ньюто­
на, принимая
А ===3(6- йо);
В - 6 [e(aszAs + а ^ Л ) - а^]Л(/го- «)]/Ь;
С = -b[e(as 2A^ho +
- а^\А^а{ко - а))\1Ъ,
М К-а
где е ----- +—-----.
N
2
Следует отметить, что определение кривизн для внецентренно
сжатых элементов в целях проверки их прогибов, как правило, не
является актуальным. Кривизны таких элементов могут использо­
ваться для определения жесткостей участков этих элементов, равных
М /~ при расчете рам с учетом физической нелинейности с испольг
зованием компьютерных программ. В этом случае деформации сжа­
тия бетона могут превысить-значение гьх.гы, и, следовательно, следу­
ет учитывать трапециевидную эпюру сжимающих напряжений и ис­
пользовать ее вплоть до достижения крайней деформацией бетона
значения 8й2.
Таким образом, принятая деформационная модель позволяет оп­
ределять жесткость сечения при любых моментах вплоть до пре­
дельных по прочности, что отсутствовало в прежних нормах.
288
кривизны внецентренно растянутых элементов при приложении
продольной силы N вне рабочего сечения (см. рис. 4.12), т.е. при вы­
полнении условия
e ' = M / N + y^>ho,
(4.71)
определяются аналогично определению кривизны внецентренно
сжатых элементов с заменой N на -N.
В условии (4.71) М - момент внепших сил из статического расчета
конструкции относительно оси, проходящей через центр тяжести бе­
тонного сечения и отстоящей от сжатой грани на расстояние ^ц.
При наличии напрягаемой арматуры и Р > кривизна определя­
ется так же, как кривизна изгибаемого элемента с заменой Р на P - N
M ± P e^^-N (h,-yJ
и при е = ------------------------- ^ .
P -N
При > Р и приложении равнодействующей N -P вне рабочего
сечения, т.е. при выполнении условия
.
М+
- Р(йо N -P
)
^ >к ,
^
(4.72)
кривизна определяется так же, как кривизна изгибаемого элемента
при значении е в уравнении (4.69), равном е = ho - е^, к с заменой в
формуле (4.70) Р на P-N. При этом кривизна всегда будет больше
нуля, поскольку статический момент Sred в этом случае всегда менее
нуля.
При расположении силы N или равнодействующей N -P в преде­
лах рабочего сечения, т.е. при невьшолнении условия (4.71) или
(4.72), весь бетон сечения оказывается в растянутой зоне и поэтому в
расчете не учитывается. В этом случае кривизна определяется как
разность деформаций арматур S и S^, деленная на расстояние между
ними (рис. 4.13), т.е.
1
^
Л ь-о'
у.
£.
^4 731
К -а '’
где Gs - напряжение в арматуре S, определяемое по формуле (4.48)
или (4.49);
а 4 - напряжение в арматуре Sf, определяемое в общем случае по
формуле
19 Заказ 40
289
(4,74)
здесь е = Йо->’ц - M
IN.
Для элемента с симметричным армированием
=
и осевым
обжатием напрягаемой арматурой [т.е. при е^р = ( h - а )/ 2 ] формула
(4.73) преобразуется следующим образом:
1
М\|/,
г
Е А ( К - а У /2
Эта формула наглядно показывает, что жесткость такого сечения
и равна жесткости сечения всей арматуры в упругой стадии, т.е.
т. Е 1
г
В=
, где Л - момент инерции сечения всей арматуры.
Вышеперечисленные формулы для определения кривизны при
наличии сжатой зоны бетона получены исходя из линейного распре­
деления напряжений сжатия бетона, т.е. при гь < Чх.геа- Однако, как
показал анализ, моменты от нормативных нагрузок, как правило, не
вызывают деформации сжатого бетона более Вь\.гес1- Поэтому при оп­
ределении прогибов можно всегда пользоваться вышеприведенными
формулами. Но при расчетах рам с учетом физической нелинейности
при вьшислении кривизн следует учитьтать возможность деформа­
ций бетона, превышающих &ь\.геа, в виде учета трапециевидной эпю­
ры напряжений сжатого бетона. Такой учет приводит к существен­
ному увеличению кривизн (уменьшению жесткости) по сравнению с
вьшисленными, как указано выше, кривизнами.
Поскольку для участков элемента с трещинами отсутствует про­
порциональность между моментом и кривизной, при действии всех
нагрузок, включая кратковременные, определить кривизну как сум­
му кривизны от продолжительного действия постоянных и длитель­
ных нагрузок и кривизны от непродолжительного действия кратко­
временных нагрузок нельзя. В этом случае исходят из того, что при­
ращение кривизны от кратковременных нагрузок при непродолжи­
тельном действии предшествующей нагрузки равно этому прираще­
нию кривизны после продолжительного действия предшествующей
нагрузки, что выражается формулой
290
(4.75)
где
"1"
кривизна от продолжительного действия постоянных и
длительных нагрузок;
- кривизны от действия всех нагрузок соответственно
/2
при учете продолжительного и непродолжительно­
го действия нагрузок.
Для предварительно напряженных элементов в кривизне, отсчи­
тываемой от состояния элемента до приложения каких-либо нагру­
зок (например, при оценке прогиба по эстетико-психологическим
требованиям), следует учитывать кривизну
— , обусловленную
Уг],
остаточным выгибом элемента вследствие усадки и ползучести бе­
тона от усилия обжатия в стадии изготовления и определяемую по
формуле (4.61). Поскольку эта кривизна во всех трех кривизнах
формулы (4.75) одинакова, достаточно эти кривизны вычислить без
Го
учета кривизны — , но добавлять в правую часть этой формулы
значение -
"Г
4.3.5. Упрощенные способы определения прогибов
Для большинства случаев определение прогибов может быть
существенно упрощено, в практике проектирования широкое при­
менение находит так называемый расчет по минимальной жесткости.
Он состоит в том,, что для элементов постоянного сечения, имеющих
трещины на каждом участке, в пределах которого изгибающий мо­
мент не меняет знака, кривизну допускается определять для наибо­
лее напряженного сечения, принимая ее для остальных сечений та­
кого участка изменяющейся пропорционально значениям изгибаю­
щих моментов {рис. 4.20). Такой подход при расчете изгибаемых
элементов без предварительного напряжения дает достаточно точ­
ный результат и рекомендуется Сводами правил [1], [2].
19*
291
Рис. 4.20. Эпюры изгибающих моментов и кривизн в железобетонном
элементе постоянного сечения:
а - схема расположейия нагрузки; б —эпюра моментов; в - эпюра кривизн
Для предварительно напряженных изгибаемых элементов, у ко­
торых участки без трещин занимают значительную часть длины, по­
грешность увеличивается, однако и для них во многих случаях рас­
чет по минимальной жесткости позволяет с некоторым запасом
удовлетворительно оценить прогибы.
в соответствии с этим подходом для свободно опертых и кон­
сольных элементов прогиб определяется по формуле
(4.76)
/ = 5'/-
где
- кривизна в сечении с небольшим изгибающим моментом;
5* - коэффициент, приведенный в Сводах правил [1], [2] и в
табл. 4.3 пособий [3] и [4].
Значения коэффициента 5 были определены из приравнивания
"О
прогиба по формуле (4.76), где величина заменена на Маах/Е1.
и Ужа,
И прогиба по формуле строительной механики.
Например, для балки при равномерно распределенной нагрузке д
0^2
Е1
5 д1\
384 Е1 ’
292
384 Р др
48
Для балки при одном грузе Р в середине пролета
8Р
ЕІ
4 8 £ /’
Р1
РР 4
1
= — имеем 5" = ----------- — .
4
48 РР/ 12
Если балка загружена разными видами нагрузок с соответст­
вующими коэффициентами 5, и Мтах./, ТО также можно использовать
формулу (4.76), принимая 8 из уравнения
при
^
/ =
' Е1
= 8 ^ Р , т.е.
Е1
3=
,
(4.77)
где Мш - максимальный момент от всех нагрузок.
Однако некоторые нагрузки могут быть несимметричны, и тогда
сечение с максимальным моментом не будет совпадать с сечением,
где прогиб максимальный. Но, как было указано выше, максималь­
ный прогиб всегда близок к прогибу в середине пролета, и тогда при
определении прогиба в середине пролета за момент Мщах,/ удобнее
принимать момент от /-й нагрузки в середине пролета.
Если любую несимметричную нагрузку представить в виде ком­
бинации грузов Р/, расположенных на расстояниях а, < ~ от опоры,
то коэффициент 8 і можно определить из уравнения
'
ЕІ
ПЕГ
где Мті - момент ОТ груза Р/ в середине пролета, равный
.
3 о 75
і б?”
Тогда 5'. = ---- ^------- %■=-----при этом за момент Mtot прини12
МР 8 6/’ ^
мается суммарный момент от всех нагрузок в середине пролета.
293
Таким образом, используя формулу (4.77), прогиб можно опре­
делить по формуле (4.76) практически при любых нагрузках.
Для предварительно напряженных элементов, а также для слабоармированных (|л^ < 0,5%) элементов без напрягаемой арматуры оп­
ределение прогиба по минимальной жесткости может заметно завы­
сить прогиб. Это связано с повышенной жесткостью на участках без
треш;ин, а также в некоторой степени с переменной жесткостью на
участках с треш;инами.
Для свободно опертой предварительно напряженной балки с
равномерно распределенной нагрузкой влияние жесткости на участ­
ках без треш.ин, а также влияние выгиба на прогиб можно учесть,
определяя прогиб согласно пособию [4] по формуле
1
"Г
48
где
"О
уЄІ
1
48
- полная кривизна в середине пролета, определенная без
учета наличия трещин по формуле (4.62);
П
ГП
+
- кривизна от выгиба, вызванная усилием
Г)
уI
обжатия Р и остаточным выгибом [см. формулу (4.61)];
З с гс ~ коэффициент, определенный по табл. 4 А пособия [4] в
зависимости отношения М с г / М т а х , Г Д Є М т а х ~ НаибоЛЬПШЙ
момент от всех нагрузок,
при выводе формулы (4.78) принято, что на участке с трещина­
ми кривизны изменяются пропорционально моментам. Для правиль­
ного учета кривизны от выгиба
г)
эпюра кривизны — разбивается
г
на прямоугольную эпюру отрицательных кривизн
"О
и эпюру по-
ложительных кривизн, равных сумме фактических кривизн и кри­
визн от вьп’иба (рис. 4.21, в).
Выражение (4.78) получено путем перемножения по правилу
Верещагина каждой из этих эпюр на эпюру моментов от единичной
силы, приложенной в середине пролета, с последующим сложением
результатов.
В результате формула для коэффициента 8 сгс имеет вид
294
{2 + т ) у 1 \ - т
^СГС г
о
ю
1
12
16
^ Мсг(/М^^^.
а)
Рис. 4.21. К выводу формулы (4.78):
а - эпюра моментов; б - эпюра кривизн; в - разделенные эпюры кривизн (1/г)в и (1/г)+(1/г)в; г - эпюра моментов от единичной силы, приложенной в
середине пролета
Формулой (4.78) можно пользоваться и для определения проги­
бов балок без предварительного напряжения, принимая
=0.
Однако для этих элементов большее значение имеет отклонение же­
сткости от минимального ее значения на участках с треш.инами. По­
этому для малоармированных балок с равномерно распределенной
нагрузкой для определения прогиба предлагается формула
/ =Г
^1"
/ \
+ У:
295
1
(4.79)
где Yi и у2 - коэффициенты, определенные по табл. 4.2 ъ зависимо­
сти от m = McJMmixТаблица 4.2
0,85 0,90 0,95 0,98 1,00
0,8
0,0
0,4
0,6
0,7
0,062
0,055
0,092
0,072
0,046 0,034 0,022 0,000
0,104
0,080
Уі
0,040
0,000
0,012
0,022
0,030
0,047
0,056 0,068 0,081 0,104
У2
т
При выводе формулы (4.79) было принято, что эпюра кривизн на
участке с трещинами изменяется по параболе от максимального зна-
^ до wго
в вершине параболы
- на границе участка с
Ч^/тах
\^Jel
трещинами, т.е. принимается отсутствие скачка в эпюре кривюн в
сечении, где М = Mere, что близко соответствует точным расчетам
(рис. 4.22).
чения
(—л
а)
Mere
X N.
>
и т -т
\
\у
Mere
/
112
//2
у
'/
m*(f)ei
б)
(г)шм
в)
//4(l-Vl-m)
^ //4
!
//4(lWl-m)
Рис. 4.22. К выводу формулы (4.79):
а - эпюра моментов; б - эпюра кривизн;
в - эпюра моментов от единичной силы, приложенной
в середине пролета
В результате перемножения эпюры кривизн и эпюры моментов
от единичной силы по правилу Верещагина формулы для у] и у2 при­
обретают вид
296
VI-/и (2 -0 ,7 5 л /1
-----ч.
4 ,5 -1 ,5 т -4
л /Г ^ ’- т /2т.
^ = ———
-т ); у, -------------------------------12
24
4.5.6. Определение углов деформации сдвига
При отсутствии любых трещин углы деформации сдвига опре­
деляются как для упругого материала, т.е. по формуле сопротивле­
ния материалов
т
где о - модуль сдвига бетона, равный О = 0,АЕь\
т - среднее касательное напряжение по сечению, равное для
элемента прямоугольного сечения т =: ^ 2 2 .; эту формулу
Ък
используют с некоторым запасом и для прочих сечений, при­
нимая за 6 - ширину сечения на уровне середины ее высоты.
При учете продолжительного действия нагрузок значение у ум­
ножается на коэффициент ф/, 1 + ф^.^т- (где
- см. табл. 5.1), от­
ражающей влияние ползучести бетона.
Таким образом, для участков без трепщн значение ух определя­
ется по формуле
у
(4.80)
где фь - коэффициент, равный: при непродолжительном действии
нагрузок фь = 1 ,0 , при п р о д о л ж и т е л ь н о м 1 ,0 + щ,сгПри наличии трещин углы деформации сдвига увеличиваются.
Анализ экспериментальных данных показал, что при наклонных
трещинах значение ух в среднем в 4 раза больше значений, вычис­
ленных по формуле (4.80). Кроме того, также установлено, что при
наличии нормальных трещин, независимо от наличия наклонных
трещин, рост углов сдвига примерно пропорционален росту кривизн,
при этом в среднем соблюдается равенство
297
/ГО
V' Лп- V' Уе1
гд е Усгс И
"О
- угол сдвига и кривизна при наличии нормальных
трещин;
Те/И
- то же при отсутствии как нормальных, так и наклон­
ных трещин.
при этом кривизны
и
т
г
соответствует непродолжи-
тельному действию нагрузок при Еь\ = Е^.
3
М
Таким образом, угол сдвига можно определять по общей формуле
Ф*Фс
(4.81)
где {^ск - коэффициент, принимаемый равным:
для участков элемента, где отсутствуют нормальные и на­
клонные трещины, фсп: = 1 ,0 ;
для участков, где имеются только наклонные трепщны, ц>сгс 4,0;
для участков, где имеются нормальные трещины.
М.
где Мх и
- соответственно момент и кривизна от внешней на­
грузки при непродолжительном действии;
1 ге(1 ~ момент инерции приведенного сечения при коэффициенте
приведения арматуры к бетону а = Е^ЕьОбразование наклонных трещин соответствует минимальной
прочности наклонного сечения без учета поперечной арматуры и при
учете нормативного сопротивления бетона растяжению Кы.т что со298
гласно разд. 3.3.6 для элементов без преднапряжения соответствует
выполнению условия
д > о,5Кь,,.ьк •
4.3.7. Определение прогиба, вызванного деформациями сдвига для
частных случаев
Ниже приведены формулы для определения прогиба, вызванно­
го деформацией сдвига, для свободно опертых балок, нагруженных
равномерно распределенной нагрузкой и одним сосредоточенным
грузом, приложенным посредине пролета. Формулы получены пере­
множением эпюры углов сдвига ух-, вычисленных по формуле (4.81),
на эпюру поперечных сил от единичной силы в середине пролета
(рис. 4.23, 4.24). При этом коэффициент (рск для участков с нормаль­
ными трещинами вычислялся в предположении пропорциональности
ЗЕI " Г
кривизн и моментов, т.е. по формуле
Балки с равномерно распределенной нагрузкой;
а) при отсутствии нормальных и наклонных трещин
(Minax Мсгс J бтах Qcr<^
f = Q ^ .L "
А
(4.82)
б) при отсутствии нормальных трещин и наличии наклонных
{ .М т а \
M c r c i Q m sx. ^ Q c rc )
(4-83)
в) при наличии нормальных трещин и отсутствии наклонных
^ Мсга Qxsm. Qcr^
D
(4.84)
4
299
Vl-m<niq
Vl-m>mq
а)
Men:
/■Мщах
in
//2
б)
Merc Mmax Mere
1/
/
_
Qinax ф -
in
т
^сгс
■' & , Qmax
Qcrc
в)
Фс«|]
4
//2(1 Wl-m)
Фсге||
Kl-ш
//2Vl-m
г)
ч
С
0,5
0,5
(5
kl-niq)
oi
Рис. 4.23. К определению прогиба от сдвиговых деформаций
при равномерно распределенной нагрузке;
т = McrcfMraax <!,»*,= QcJQmax < 1’
а - эпюра моментов; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра коэффициентов
фс«-; г - эпюра поперечных сил от единичной силы, приложенной
в середине пролета
а)
ю !1
б)
Qraax
в)
!
' ■ 49 '
41
1------ ■’q.)
Mere
1 112
1
1
F -------L
>
1
0,5
М тах
Mere
1
!
!1----Фсгс1111
Qmax
4 при mq<l
f^-'l при niq>l
1
1i0,5
........... ■-........... 1
Рис. 4.24. К определению прогиба от сдвиговых деформаций
при одной сосредоточенной силе в середине пролета;
Ш Л/сгс/Л/щцх< 1 » ®QerJQmш'
а - эпюра моментов; б - эпюра поперечных сил;
в - эпюра коэффициентов
г “ эпюра поперечных сил
от единичной силы, приложенной в середине пролета
300
г) при наличии нормальных и навслонных трещин
(■^^^пах ^ ^ с г с г б т а х ^ 2 с г с )з
если ^/^-m ^
,
+ (1- ш)9^];
если л11-т <
(4.85)
,
/ , = -^ ~ [з (1 -ш ,^ ) + т + 0 -т )(р „ ].
(4.86)
ч
Балки с сосредоточенным грузом в середине пролета:
а) при отсутствии нормальных и наклонных трещин
—;
Ч
б) при отсутствии нормальных трещин и наличии наклонных
/■ _ втах Т/ .
А - ^
ч
в) при наличии нормальных трещин и отсутствии наклонных см. формулу (4.84);
г) при наличии нормальных и наклонных трещин - см. формулу
(4.85).
З д е с ь . Ш — М с гс /^ г ш х л
^
“
б с « / |0 т а х 5 б е г е ~
ОЬк
---------- сдвиговая жесткость элемента.
При одновременном действии равномерно распределенной на/ 11л
ВЫЧИС­
грузки и сосредоточенной силы значения Мтах, бтах И
от действия суммарной нагрузки, а прогиб вычисляется по
формуле
ЛЯЮТСЯ
.
’
/д + л а
’
г д е ^ и ^ - прогибы, определенные соответственно как при действии
равномерно распределенной нагрузки, так и при действии
сосредоточенной силы;
б? и - максимальные поперечные силы соответственно от
каждой из этих видов нагрузки.
301
4.5.8. Определение продольных деформаций
Укорочение или удлинение железобетонного стержня в общем
случае определяется по формуле
Д /= - Ё е .,,
(4.87)
где п - число участков, на которые разбивается стержень длиной /;
Ео^ - относительная продольная деформация в сечении посредине
г-го участка на уровне центра тяжести бетонного сечения.
При использовании незшругой деформационной модели относи­
тельные продольные деформации для элемента, имеющего сжатую
зону, определяются по формуле
1
£о
г
Уш
где 1 /г - кривизна в рассматриваемом сечении, определяемая соглас­
но разд. 4.3.3 и 4.3.4;
&ь “ деформация крайнего сжатого волокна бетона, используемая
при определении кривизны 1 /г;
7 ц - расстояние центра тяжести бетонного сечения от сжатой
грани элемента.
Положительное значение во означает укорочение, отрицатель­
ное - удлинение.
При отсутствии сжатой зоны, т.е. при внецентренном растяже­
нии по 2 -му случаю, относительная продольная деформация удлине­
ния определяется по формуле
а +су^ \1/
(4.88)
где OsV^(^s- напряжения арматуры 5 и *5^, определяемые по форму­
лам (4.49) и (4.74);
\|/5 - коэффициент, определяемый по формуле (4.24) с учетом а^.
Продольные деформации существенно влияют на прогиб конст­
рукции в основном при внецентренном сжатии или растяжении с
малыми эксцентриситетами продольных сил.
302
Поскольку внецентренно сжатые элементы представляют собой,
как правило, элементы прямоугольного сечения с симметричной ар­
матурой, для таких элементов в случае отсутствия в них трещин раз­
работана упрощенная методика определения относительных про­
дольных деформаций.
При N < Ыгр = Кь„ЬШ] (см. табл. 4.1) продольная деформация оп­
ределяется как для упругого тела по формуле
£|>
ft
N
E,,bh +1 E X
(4.89)
При N > iVjp продольная деформация определяется по линейной
интерполяции между продольной деформацией, соответствующей
нулевому моменту и равной Ео,о, и продольной деформацией
соответствующей моменту Мсгс (см. табл. 4.1), т.е. по формуле
(4.90)
£о = £о,о + (£о,с/-с - го,о)М/Мс
где деформация ео.сгс определяется по табл. 4.3.
Табличные значения Ео,сгсвычислялись по формуле
£о,сгс
(^6
£ьС^12,
где - деформация крайнего сжатого волокна бетона, определяемая
согласно пояснениям к табл. 4.1.
Деформации Ео в пределах участка элемента с однозначной эпю­
рой моментов {рж. 4.25) можно усреднить, т.е. принимать в формуле
(4.90) значение М равным половине максимального момента на этом
участке, и тогда укорочение элемента будет равно А/ = / 1Е01 + /гвог-
а) м,
N б)
Рис. 4.25. К определению осевых
деформаций стоек:
а —эпюра моментов;
б - эпюра деформаций 8о
Ео2
303
Таблица 4.3
Класс
ц%
бетона
20
30
40
0,1
0,5
1,0
1,5
0,1
0,5
1,0
1,5
0,1
0,5
1.0
1.5
Непродолжитсльиос действие нагрузки
продольные деформации
ео.сгс-10"^прйи
и
п = и 0,25 0,35 0,45 0,55
0,186 0,086 0,130 0,221 0,361 0,560
0,121 0,199 0,309 0,456
0,196
0,208
0,111 0,178 0,266 0,377
0,219
0,104 0,162 0,235 0,326
0,205 0,128 0,162 0,265 0,417 0,628
0,214
0,153 0,244 0,371 0,539
0,226
0,144 0,223 0,329 0,463
0,238
0,135 0,206 0,297 0,410
0,218 0,167 0,194 0,308 0,471 0,688
0,228
0,185 0,287 0,427 0,609
0,239
0,175 0,265 0,386 0,537
0,251
0,248 0,354 0,484
В таб л .4.3:„_
^
К,„Ьк
ц = ^ ^ .]0 0 % ,
^ Ьк
Продолжительное действие нагрузки
продольные деформации
и
Ео,с„•10'^ при п
п -ь 0,25 0,35 0,45
0,55
0,241 0,467 0,486 0,719 1,011 1,353
0,290
0,570 0,768 0,993
0,353
0,606 0,764
0,415
0,507 0,630
0,243 0,515 0,531 0,782 1,091 1,446
0,280
0,655 0,886 1,147
0,552 0,729 0,925
0,327
0,374
0,626 0,784
0,244 0,546 0,559 0,821 1,140 1,501
0,274
0,711 0,964 1,248
0,615 0,817 1,041
0,312
0,350
0,546 0,715 0,900
1,=
.
' RJ>k
Для внецентренно растянутых элементов без трещин продоль­
ные деформации 8 о можно определить как при осевом растяжении,
учитывая трехлинейную диафрагму &ьг<^ы, т.е. если выполняется
условие
N <
(4.91)
N
Е.Я +ЕХА.
если условие (4.91) не выполняется,
где значения Вьа = ^,6Кы^Еьь ?1 = 1,5 —
для раз­
личных классов бетона и при нормальной влажности воздуха можно
определить по табл. 4.4. При этом значение Еь\ принимается рав­
ным: Еь - при непродолжительном действии нагрузки, Еь1{\ + ф ь .с г) при продолжительном ее действии.
При осевом предварительном обжатии силой Р < N значение N
заменяется ш .Ы -Р .
304
Таблица 4.4
Класс
бетона
В
15
20
25
30
35
40
Действие нагрузки
продолжительное
непродолжительное
Еь\у<Ш-
BfaixlO
/|
5,455
7,237
8,571
9,949
11,129
12,414
0,121
0,483
0,627
0,675
0,701
0,721
0,767
0,112
0,109
0,107
0,105
0,102
0,119
0,128
0,132
0,133
0,135
0,139
Еь\хЮ'
gfe/ixlO
24.0
27.5
30.0
32.5
34.5
36.0
0,0275
0,0295
0,0310
0,0323
0,0339
0,035
/2x 10^
1,121
1,083
1,051
1,023
0,987
0,962
0,0725
0,0706
0,0690
0,0677
0,0661
0,0650
4.3.9. примеры расчета
Проиллюстрируем приведенные методы определения прогибов
на примерах расчета.
Пример 4.9. Дано: железобетонная плита перекрытия прямо­
угольного сечения размерами h = 200 мм, Ь = 1000 мм, Ао = 173 мм,
пролет / = 5,6 м; бетон класса В20 {Еь = 27500 МПа, Кьп~ 15 МПа,
Кы.п =1,35 МПа); растянутая арматура класса А400 площадью сече­
ния As= 565 мм^ (5012); полная равномерно распределенная нагруз­
ка ^ = 7,5 кН/м, в том числе ее часть от постоянных и длительных
нагрузок qi = 6,3 кН/м; прогиб ограничивается только эстетико­
психологическими требованиями; относительная влажность воздуха
помещения нормальная
~ 2 ,8 ; £b\,red = 28x10"^).
Расчет. Прогиб определяем только от действия постоянных и
длительных нагрузок, поскольку он ограничивается эстетико­
психологическими требованиями.
Момент от этих нагрузок в середине пролета
М =М , = ^ =
= 24,7 кНм.
Сначала определим максимальную кривизну по упрощенной
формуле (4.67). Для этого определим
а.., -
Е.
""h,red
Е л ,..,
RЪп
Ь\
20 З&каз 40
2 -10^-2810^ „ з ^ з.
15
565
= 0,00327.
1000 173
305
Из табл. 4.5 пособия [3] при ц а ^1 = 0,00327x37,3 = 0,122 и
- 0,0 находим ф 1 = 0,524, а из табл. 4.6 при а,,
= 1 ^ = 20,
{лал = 0,00327x20 = 0,065 и
= О находим соответствующий
продолжительному действию нагрузки коэффициент ф2 = 0,15.
Тогда
П
М -ф ,г )й % ,„ ^ 24,7-10^-0,15-1000-200^1,35
.^.ах
фЛ
Л ^о
1
0,524-2-10^-565-173^
’
‘
мм'
Прогиб определим по упрощенной формуле (4.76), принимая
5 = — , как при равномерно распределенной нагрузке:
48
"Г
- — •5600' -9,37 ■10"' =30,6 мм.
48
Учитывая, что по эстетическим требованиям прогиб при пролете
м равен 6/200 = 0,03 м = 30 мм, а при пролете 3 м равен 3/150 =
= 0,02 м = 20 мм, то при пролете 5,6 м предельный прогиб равен
6
/ „ = 2 0 + ( 3 0 - 2 0 ) ^ ^ = 28,7мм.
что несколько меньше прогиба, вычисленного упрощенным спосо­
бом.
Вычислим прогиб «точным» способом, т.е. по формулам, прямо
вьггекающим из неупругой деформационной модели.
Сначала определим момент образования трещин по формуле
(4.4), принимая относительные характеристики:
ЗОЛ,
30-565
(X --------= ---------------------- = 0,0628;
R,^J)h 1,35-1000-200
^
0,733 + а , / 2
0 ,7 3 3 - г /2
0,733 + 0,0628/2 ^
0,733-1,111/2 “ ’
306
’
V
0,Ш -гП
V
0,1775
M^.=R,^bh^{QA516{\-^y +rr^V3 + ( l-^ -5 )^ a J /(l-^ )} =
= 1,35-1 ООО•200^ {0,4526 •0,45^ + [1,111 •0,55 V З + (0,865 - 0,55)^ 0,0628] / 0,45]} =
=13,09x10® Нмм = 13,09 кНм.
Отсюда коэффициент i|/^ равен
I]/, = 1 1 - 0,8x13,09/24,7 = 0,576
и as2 - o,s\!\^s = 37,3/0,576 = 64,76.
Определяем максимальную кривизну по формуле (4.65). Для
этого вычисляем усредненную высоту сжатой зоны X по формуле
(4.64)
Z = asiAJb = 64,76x565/1000 = 36,59;
;с =
+2а^2АК ! b - Z ^ V^6,59' +2• 36,59• 173 -3 6 ,5 9 = 81,72мм.
Момент инерции приведенного сечений
Ьх^
,
1000-81,72^
tred = — + (^ - ^) а .зЛ = ------- ^------- +
+(17 3 -8 1 ,1 2 f 64,76 •565 = 4 ,8 6 8 •1О*мм".
Модуль деформации бетона при продолжительном действии на­
грузки
Еь.геС= RbJ4x.red^ 15/28x10-" = 5357,1 МПа;
"Г
V у шах
h,recl red
5357,1.4,868.10*
мм
Поскольку плита относится к малоармированным элементам
= 0,327% < 0,5%), прогиб определяем по уточненной формуле
(4.79). Определяем кривизну от полной нагрузки без учета наличия
(\\
. Момент от полной нагрузки равен
трещин
(|1
др 7,5-5,6^
« „ = ^ = - ^ ^ ^ = 29,4кНм.
20»
307
Вычисляем момент инерции приведенного сечения при
Еы = Еь1{\ +фб.сг) = 27 500/(1 + 2 ,8 ) ^ 7236,8 МПа,
а = Е^Еы = 2x10^7236,8 = 27,64.
Агес1 = Ьк + оА^ - 1000x200 + 27,64x565 =
= 200 ООО + 15 646 = 215 646 мм^;
у = {Ьк^П + оА^аУАгеа = (200 000x100 + 15 646х27)/215 646 =
= 90,5 мм;
1гес1= Ь к Ч
п
+ Ь к { к /2
~у)^
+
а Л ,(у-а У
=
= 1000x200^12 + 1000x200(100 -■у)'^ + 15 646(у - 27)^ = 7,478x10* мм^
29,4 10'
К,
Еь^гы
7236,8-7,478-10’
■±=5,43 10'
мм
Из табл. 4.2 при т = Мсгс/Мш =13,09/29,4 = 0,445 находим
71
=0,0893 и 72 -0,0142.
Тогда прогиб равен
го
/ = 1‘ У, —
уг)
го
■
+ Уз — = 5600^ (0893 •9,47 + 0,0142 ■5,43) 10-“^= 28,9 мм.
кг) е1
_
т.е. примерно равен его предельному значению (28,7 мм).
Пример 4.10. Дано: многопустотная плита перекрытия с данны­
ми из примеров 4.1 и 4.5; плита пролетом / = 7,0 м; все нагрузки рав­
номерно распределенные; влажность воздуха помещения нормаль­
ная (фб.сг = 2 ,8 ; гы.ге(1 = 28x10'"^); потери предварительного напряже­
ния от усадки и ползучести для сечения в середине пролета на уров­
не напрягаемой арматуры
= 80,1 МПа; то же на уровне верхней
грани плиты
- 8 6 МПа; прогиб ограничивается эстетическими
требованиями.
308
Расчет, Определяем прогиб в середине пролета от постоянных и
длительных нагрузок, т.е. при М = М 1 = 46,5 кНм.
Из примера 4.5 для этих нагрузок имеем
е _М ^ _
К
а также ф/= 0,46,
РК
46,5
200-0,193
- 1, 2 ,
= 0,582 и ц = — = —
— = о, 00628.
Ь \ 466-193
При продолжительном действии нагрузки
=—
= т Л ^ = 5357,1МПа.
'Ы,ге11 28-10'
Тогда а,г
2 - 10’
У Л ..
0,582-5357,1
= 64,15,
= 0,00628x64,15 = 0,403.
По табл. 4.5 пособия [4] при — = 1,2 , ф,. =0,46 и ца ^2 = 0,403 на^0
ходим фс= 0,37. Тогда кривизна равна
ГР
Гу
М
Поскольку
46,5-10“^
= 7-10мм
0,37-466-193' -5357,1
кривизну
г
согласно формуле (4.61)
"О
= 1 = 7-10"'' —
г
мм
Определим прогиб плиты по упрощенной формуле (4.76), при5
48’
принимаем равной нулю, и тогда
/ = 5'/-
= — 7000' -7 -10'“ = 35,7 мм.
48
309
Если учтем, что по эстетическим требованиям предельный про­
гиб при пролете 6 м равен 6/200 = 0,03 м = 30 мм, а при пролете 12 м
равен 12/250 - 0,048 м = 48 мм, то при пролете 7 м предельный про­
гиб равен
Л ,= 3 0 + (48 - 3 0 ) - ^ = 33 мм,
IZ —0
что меньше прогиба, вычисленного упрощенным способом.
Вычислим прогиб по формуле (4.78), учитывающей повышен­
ную жесткость на участках без трещин и вьпиб.
Для этого определим жесткость участка без трещин Ebdred- Мо­
дуль деформации бетона Еь\ = Еь/{\ + фб.сгс) = 27 500/(1 + 2 ,8 ) =
= 7236,8 МПа.
Момент инерции приведенного сечения Ired вычисляем при ко­
эффициенте приведения арматуры к бетону
а = EJEbx = 2xloV7236,8 = 27,64.
Из примера 4.5 имеем A’ov = ^ov = 41 369 мм^.
^red ~ bh + 2Aov + ccAs —466x220 + 2x41 369 +
+ 27,64x565 = 102 520 + 82 738 +15 617 = 200 875 мм^;
у = {bh^/2 + 2AoJi/2 + oAsa)IAred= (466x220^2 + 41 369x220 +
+ 15 617x27)/200 875 = 101,6 мм;
Ired = b h ^ m + b h { h ! 2 - y f + Ao,{h - /z//2 + o A ^ i y - a f =
= 466x220Vl2+ 102 520(110-:и)^ + 41 369 (2 2 0 -4 1 )^2 + .
+ 15617(y-27)^= l,1704xl0^мм"
Тогда жесткость равна
Ebdred = 7236.8x1,1704x10’ = 8,47x10'^ Памм1
310
"О
от полной нагрузки без учета трещин
\r j
"О
по формуле (4.62), принимая
=0 и
= О. При этом еор= у - а =
Определяем кривизну
V' /4
=101,6 - 27 = =74,4 мм, а кривизна от выгиба равна
г
у el
в
ММ
E bJred
57,8-10‘ -2 0 0 0 0 0 -74,4 ^
1
5,07-108,47-10*'
мм
У1
Согласно примеру 4.1 Mere ~ 45,6 кН м. По табл. 4.4 пособия [4]
при т = Merc/M,ot = 45,6/57,18 = 0,789 находим Sere = 0,0211;
' 5
f = J .. 48
- S сгс
max
rn
[ г ) max
— -7 -0 ,0 2 1 1 (7 -5 ,0 7 )-—
48
’
^
^ 48
1
^ -1
е /_
48
г- =
в^
-10'®-7000" =31,9 мм < /,/,= 3 3 мм,
т.е. прогиб оказался в пределах допустимого.
Пример 4Л1.Дано: свободно опертая балка прямоугольного се­
чения размерами Ь = 200 мм, h = 600 мм, ho = 550 мм; пролет 5,4 м;
равномерно распределенная нагрузка: постоянная qe = 25 кН/м, дли­
тельная qt= 30 кН/м, кратковременная нагрузка отсутствует; растяну­
тая арматура площадью сечения As = 1609 мм^(2032); бетон класса
В20 (Rbn =15 МПа, Rbt,„ = 1,35 МПа, Еь= 27500 МПа, (рь,а- = 2,8); про­
гиб балки ограничивается зазором 2 0 мм между низом балки и рас­
положенной под ней перегородкой.
Расчет. Суммарная нагрузка на балку
+ ф = 25 + 30 = 55 кНм.
Максимальный момент от этой нагрузки
= - ^ = 2 1 :5 d l = 200,5 кНм.
311
Определим максимальную кривизну балки по формуле (4.67), учи­
тывая продолжительность действия всей нагрузки {гь\,ге(і ~ 28x10""):
2-10^28-10-^_
а ,- —
Д
1609
ц = —^ = ------------= 0,0146 .
Ък, 200-550
По табл. 4.5 пособия [3] при
= 37,33x0,0146 = 0,545 и
}Х/ = О находим ф1 = 0,2865, а по табл. 4.6 того же пособия при
0,0146 = 0,292 и ц /^ = Ц /= 0 находим ф2 = 0,13, Тогда
^
200,5-10*^-0,13-200-600--1,35
=0,/30'Ш
0,2865-2-10'^-1609-550^
1
ММ
Прогиб, вызванный изгибными деформациями, определим цо
формуле (4.76). К уточненной формуле (4.79) прибегать не имеет
смысла, поскольку балка не относится к слабоармированньм эле­
ментам (}х > 0,005):
у
5
48
Поскольку l/h = 5,4/0,6 = 9 < 10, следует учесть дополнительный
прогиб fq от сдвиговых деформаций.
Определим момент инерции приведенного сечения, принимая
а = Es/Eb = 2x10^27 500 = 7,27.
Ared= bh + oAs= 200x600 + 7,27x1609 =
= 120 000+ 11 700 = 131 700 мм^;
y = (bhxhll + oA^ayAred = (120 000x300 + 11 700x50)/131 700 = 277,8 m m ;
312
Ired = bh4\2 + bh{h/2 ~ у f + oAs(y - <?)" =
= 200x600Vl2 + 120 000(300- y f +
+ 11 700(y- 50)^ = 4,266x10^ mm".
Момент сопротивления приведенного сечения равен
Wred = Ire/y = 4,266x10^/277,8 = 1,536x10^ м м і
Момент образования трещин
с учетом у - 1,3;
М сгс
определяем по формуле (4. 1 0 )
Мсгс - l,^Rbt.nWred = 1,3x1,35x1,536x10^ =
= 26,95x10^ Нм = 26,95 кНм.
Отсюда т = M cJM ^^ = 26,95/200,5 = 0,1344.
Максимальная поперечная сила равна
e » » = |- =^ ^
= 14S.5KH.
Поперечная сила, вызывающая образование трещин, равна
Qcrc = 0,5Кы.„ЬЫ ^ 0,5x1,35x200x550 - 74 250 Н = 74,25 кН.
Отсюда niq = QcJQm^ = 74,25/148,5 = 0,50.
Поскольку m < 1 и
< 1, имеют место нормальные и наклон­
ные трещины. При этом V l-w = “^0,134 = 0,93 > = 0,5, следова­
тельно, прогиб fq определяем ПО формулс (4.85).
Определим кривизну
(\\
—
Jшах
по формуле (4.67) как при непро-
должительном действии нагрузки. При agip. = 0,292 и }Х/ = О по
табл. 4.5 пособия [3] находим фі = 0,385, а по табл. 4 . 6 - ^ 2 - 0,17.
^1^
200,5-10®-0,17-200-600^-1,35
0,385-2-10'-1609-550'
313
’
909-10''® —
мм'
Тогда коэффициент (рсгс равен
"Г
3-27 500*4,266-10
200,5-10®
4,909-10"'=8,613.
Определим сдвиговую жесткость Вд, принимая
С = 0,4Вь = 0,4x27500 = 11 ООО МПа и
Фб = 1+Ф б.сг=1+2 ,8 = 3,8.
= ^ ^ 1 1 0 0 0 -2 0 0 -6 0 0 ^
^ 1, 2 ф,
1,2-3,8
бтах
НММІ
Ь а
П
N
148500 5400,,
- 4 т + (1~т)ф^,, = ------------- г ----- (4-0,1344+
^
2,895-10* 4
+0,8656-8,613) = 5,54 ММ.
Итого, полный прогиб балки равен
/~ Л » 20,46 + 5,54 = 26 ММ.
По эстетическим требованиям предельный прогиб при пролете
5,4 м равен 28 мм > / = 2 6 мм, т.е. прогиб удовлетворяет эстетиче­
ским требованиям, но он превышает величину зазора между балкой
и перегородкой 20 мм. Однако, если учесть, что перегородка уста­
новлена после кратковременного действия постоянных нагрузок,
прогиб следует уменьшить на величину кратковременного прогиба
от постоянных нагрузок. Определим этот прогиб.
Момент от постоянных нагрузок равен
M = З^L=
8
= 91,125 кНм.
8
При учете принятых выше коэффициентов ф1 = 0,385 и ф2 = 0,17
максимальная кривизна равна
1
'^''Утах.с
91,12510® -0,17-200-600'-1,35
0,385-2-10'-1609-550'
314
,
= 1,99-10“
1
мм
а прогиб от изгибных деформаций равен
/»,г = ~ •1.99 -10"®- 5400- = 6,05 мм.
Пренебрегая «в запас» прогибом fq, получаем
/ = 26,0 - 6,05 == 19,95 мм < 20 мм,
т.е. прогиб балки после кратковременного приложения постоянных
нагрузок не превысил величину зазора 2 0 мм.
315
Глава 5
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Система расчета железобетонных элементов является общей как
для конструкций с предварительным напряжением, так и для обыч­
ных. При этом железобетон с ненапрягаемой арматурой можно рас­
сматривать как частный случай предварительно напряженного желе­
зобетона. Класс бетона для предварительно напряженных конструк­
ций должен быть не ниже В20. Существуют два основных способа
натяжения арматуры: на упоры с передачей напряжения на бетон
после набора им необходимой прочности и непосредственно на бе­
тон с одновременной передачей обжатия.
Способ натяжения арматуры влияет на учитываемое при расчете
напряженное состояние арматуры и бетона. Общим требованием
является создание такого натяжения арматуры, которое привело бы к
оптимальному напряженному состоянию бетона и арматуры. При
расчете предварительно напряженных элементов в расчет вводится
напряжение в арматуре Gsp и <^^р, отвечающее такому состоянию
конструкции, когда под действием усилия предварительного обжа­
тия и внешних нагрузок напряжение в бетоне на уровне напрягаемой
арматуры равно нулю. Поэтому полные напряжения в арматуре в
предельном состоянии конструкции могут определяться как сумма
предварительных напряжений
и
и приращения напряжений от
деформации растянутой зоны бетона в предельном состоянии.
Для предварительного напряжения арматуры устанавливаются
верхний и нижний пределы. Верхний предел для арматуры классов
А500, А540, А600, А800, А 1000 - 0,9Л,„; для арматуры классов
Вр1200 - Вр1500, К1400, К1500 - 0,8i?j„, а нижний предел - 0,ЗЛ,„.
Верхний предел назначается с тем, чтобы при натяжении арматура
не попала в область больших неупругих деформаций и не произошел
ее разрыв, нижний предел обеспечивает определенный минималь­
ный уровень предварительного напряжения после проявления по­
терь. При этом предварительные напряжения следует назначать с
учетом максимальных допустимых отклонений предварительного
напряжения, вызванных технологическими причинами. При любом
способе натяжения отклонение р принимается 0,05ст,р.
Условия для назначения предварительного напряжения
Qsp+P< 0,9Л^,„; <3sp- р > 0,3Rs,n.
316
(5.1)
Искусственно созданные предварительные напряжения в арма­
туре и бетоне не остаются постоянными, а изменяются, особенно
значительно в начальный период. Изменение напряжений может
продолжаться длительное время даже при отсзггствии внешней на­
грузки; это связано со свойствами бетона и арматуры, характером
нагрузки, окружающей средой, способом изготовления конструкции.
Предварительные напряжения вводятся в расчет с учетом потерь
предварительного напряжения, которые зависят от характера натя­
жения арматуры (на упоры или на бетон) и от стадии работы конст­
рукции, для которой производится расчет. Потери, происходящие до
окончания предварительного обжатия и учитываемые при расчете в
стадии предварительного обжатия, называются первыми потерями.
Потери, происходящие после окончания обжатия и учитываемые в
расчете совместно с первыми потерями, называются вторыми поте­
рями.
При натяжении арматуры в качестве первых потерь учитывают­
ся: потери от релаксации напряжений в арматуре, проявляющиеся в
натянутой арматуре; от температурного перепада арматуры между
зоной нагрева и упорами при тепловой обработке изделия; от де­
формации форм; от деформации анкеров, передающих усилия на
упоры. В качестве вторых потерь учитываются: потери от усадки
бетона и от ползучести бетона.
Проведено большое количество исследований по определению
потерь, что связано с определенными колебаниями величины потерь,
получаемыми в различных экспериментах и зависящими от состава
бетона, условий твердения, характера спуска натяжения, анкерных
устройств и т.п. Эти факторы не всегда можно учесть при проекти­
ровании. В СП52-102-2004 «Предварительно напряженные железо­
бетонные конструкции» даются достаточно обобщенные методы,
которые должны отвечать требованиям простоты и надежности рас­
чета в любых случаях, встречающихся на практике. Независимо от
расчета суммарные потери при проектировании принимаются не ме­
нее 100 МПа.
Кратко охарактеризуем каждый вид потерь напряжения.
Первые потери. 1. Релаксация напряжений в арматуре,
Релаксация - это снижение напряжения с течением времени при
отсутствии изменения длины, зависящее от механических свойств и
химического состава стали; величина этого снижения возрастает для
термически упрочненной и высоколегированной стали и упрочнен­
ной вытяжкой проволоки, с повышением температуры свыше 40 °С,
например при электротермическом и электротермомеханическом
317
способах нат51жения, потери от релаксации в арматуре таюке резко
увеличиваются. Для учета этого явления в СП приведены эмпириче­
ские формулы, которые при механическом натяжении имеют вид:
а) для проволочной арматуры
Асу,,. =
0 ,2 2 -
^ Л.
0,1
(5.2)
б) для стержневой арматуры
(5.3)
При электротермическом и электротермомеханическом способах
натяжения: для проволочной арматуры Асг,^,, = 0,05а,,, для стержне­
вой Да,,, = 0,03ст,р, кроме А540, для которой Да = О. Значение
принимается без учета потерь. Если полученная величина потерь при
механическом способе натяжения окажется отрицательной, то ее
следует принимать равной 0 .
2. Температурный перепад при иатяже]»ии на упоры,
Под температурным перепадом подразумевается разность между
температурами натянутой арматуры в зоне прогрева и в зоне устрой­
ства, воспринимающего усилие натяжения при прогреве бетона.
Причина потери напряжения арматуры заключается в том, что при
прогреве бетона до его схватывания натянутая арматура также на­
гревается без изменения ее длины и вследствие этого ее напряжение
уменьшается. Затем при схватывании еще нагретого бетона это
уменьшенное напряжение фиксируется сцеплением арматуры с за­
твердевшим бетоном, и после остьшания бетона и арматуры возврат
к первоначальному напряжению арматуры не происходит.
Величина потерь Дст^^ арматуры, находящейся в твердеющем
бетоне, составляет 1,25А/ МПа. Значение температурного перепада
А/ при отсутствии точных данных, например при разработке типо­
вых конструкций, рекомендуется принимать 65 °С.
Существующая технология изготовления конструкций позволяет
при механическом способе натяжения производить во время термо­
обработки вторичное натяжение арматуры, так называемое подгяги^
ванне на величину, компенсирующую потери от температурного пё318
репада. При использовании подтягивания потери принимаются рав­
ными 0 .
3. Деформация стальной формы при изготовлении предвари­
тельно напряженных железобетонных конструкций, Aas^,з.
Потери учитываются в зависимости от способа и последователь­
ности натяжения. Для уже натянутых стержней потери происходят
от усилий вновь натягиваемых стержней, передающихся на форму и
вызывающих ее деформацию. При групповом натяжении всей арма­
туры эти потери принимаются равными 0. Они также равны О при
электротермическом способе натяжения, так как учитываются при
определении полного удлинения арматуры. При натяжении армату­
ры одиночными стержнями или группами потери вычисляются по
формуле
Ао , = - —
2п
I
'
(5. 4)
^ ^
где п - число стержней (групп стержней), натягиваемых неодновре­
менно; / - расстояние между наружными гранями упоров; А/ - сбли­
жение упоров по линии действия усилий обжатия, определяемое из
расчета деформации форм в упругой стадии работы. Для вычисления
деформации форм необходимо знать линейные и жесткостные ха­
рактеристики, точку приложения усилия. При отсутствии данных о
технологии изготовления и конструкции формы потери от ее дефор­
мации принимаются 30 МПа.
4. Деформация анкеров, расположенных у натяжных уст­
ройств, AxJgp^^•
Деформация анкеров происходит под воздействием напряжен­
ной арматуры.
При натяжении на упоры величина потерь определяется по фор­
муле
Aasp4 = (А1/1)Е^,
(5.5)
где А/ - обжатие опрессованных шайб, смятие высаженных головок,
смещение стержней в инвентарных зажимах и т.д., при от­
сутствии данных принимаемое 2 мм;
/ - длина натягиваемого стержня, т.е. расстояние между наруж­
ными гранями упоров формы или стенда, мм.
319
при электротермическом способе натяжения потери от дефор­
мации анкеров в расчете не учитываются, так как они должны быть
учтены при вычислении значения полного удлинения арматуры.
Как видно из приведенных формул, величина потерь в значи­
тельной степени зависит от длины конструкции и увеличивается для
коротких элементов. Следовательно, для коротких конструкций
нужно стараться использовать жесткие анкеры.
5. Усадка бетона, Асг^рзСвойство бетона уменьшаться в объеме в процессе твердения
называется усадкой. Она зависит от вида, класса и состава бетона,
включая количество и вид цемента, заполнителей, воды, способа
твердения и возраста. Физическая сущность явления состоит в испа­
рении избыточной влаги и уменьшении объема геля при превраще­
нии его в цементный камень. Значение
определяется по фор­
муле
Аст^рз
(5-6 )
где
- деформация усадки бетона, принимаемая равной; 0 ,0 0 0 2 для бетона классов В35 и ниже; 0,00025 - для бетона класса 40;
0,0003 - для бетона класса В45 и выше. Допускается определять по­
тери от усадки более точными методами.
6. Ползучесть бетона A(Jsp6^
Природа этого явления выражается в росте деформаций с тече­
нием времени при неизменных напряжениях.
Потери напряжений в рассматриваемой напрягаемой арматуре
(5' или 5^) от ползучести бетона определяют по формуле
------------- .
(1 + 0 ,8 9 j^J
1 ±-
(5.7)
red
где ц>ь,сг - коэффициент ползучести бетона, определяемый согласно
табл. 5.1;
а - коэффициент приведения арматуры к бетону, равный
а = EJEb;
- коэффициент армирования, равный Asp/A, где А и Aspплощади поперечного сечения соответственно элемента и
напрягаемой арматуры;
320
<3ьр - напряжение в бетоне на уровне центра тяжести рассматри­
ваемой напрягаемой арматуры, определяемое как для упру­
гих материалов по приведенному сечению согласно фор­
муле
^n^d
(5.8)
Р( 1) - усилие предварительного обжатия с учетом первых потерь,
равное
Р(1) = (Лр + ^зр){^зр- Асг,р(1)),
(5.9)
здесь Аа^р(1) - сумма первых потерь напряжения;
еор(1) - эксцентриситет усилия Р(1) относительно центра
тяжести приведенного сечения элемента, равный
__
^0„ | -
spysp
,
/
>
Аsp
. + ААчр
здесь у^р, у!sp - см. рис. 5.1;
ys - расстояние между центрами тяжести рассматриваемой
напрягаемой арматуры и приведенного поперечного
сечения элемента (т.е. ysp илиУ^^);
М - изгибающий момент от собственного веса элемента,
действующий в стадии обжатия в рассматриваемом
сечении;
Ared и
площадь приведенного сечения и ее момент
инерции относительно центра тяжести
приведенного сечения,
в формуле (5.8) сжимающие напряжения учитываются со зна­
ком «плюс», а растягивающие - со знаком «минус». Тот же знак
применяется и в формуле (5.7).
Если абр<0,0, то потери от ползучести и усадки бетона прини­
маются равными нулю.
Если передаточная прочность бетона Кьр меньше 70% класса бе­
тона В, то при определении Аа^рб значения (^ь.сг принимаются по
табл. 5.7, а £"6 - по таблицам СП и пособиям при В = Кьр.
Приведенное сечение включает в себя площадь сечения бетона и
площадь сечения всей продольной арматуры (напрягаемой и нена-
21 Заказ 40
321
прягаемой) с коэффициентом приведения арматуры к бетону
а = EJEb.
г: А'
tp 11
'>- 1
і1 —
Рис. 5.1. Схема усилий
предварительного
напряжения арматуры
в поперечном сечении
железобетонного
элемента
U т,
с
ІЛ
Q
Ш
CL'
_ L.
'^sp ^ sp
6
Относительная
влажность воз­
духа окружаю­
щей среды, %
Выше 75
(повышенная)
40-75
(нормальная)
Ниже 40
(пониженная)
. А.
Значение коэффициента ползучести
при классе бетона на сжатие
В15
В20
В25
ВЗО
В35
В40
В45
В50
В55
В60
2,4
2,0
1,8
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
3,4
2,8
2,5
2,3
2,1
1,9
1,8
1,6
1,5
1,4
4,8
4,0
3,6
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
•2,2
2,0
Примечание. Относительную влажность воздуха окружающей среды принима]от по
СНиП 23-01-99 как среднюю месячную относительную влажность наиболее та плого
месяца для района строительства.
Геометрические характеристики приведенного сечения опреде­
ляются по формулам:
площадь приведенного сечения
Ared = А + oAsp + oU'sp + oA s + aA's\
(5.11)
расстояние от центра тяжести приведенного сечения до грани,
растянутой в стадии эксплуатации,
^
у
8 + а А ^а ^+ а А !^{к-а '^+ а А ,а ,+ а А [(к -а ',)
,
■^red
(5.12)
где 8 - статический момент сечения бетона относительно растянутой
грани;
322
момент инерции приведенного сечения относительно его центра тя­
жести
1+
(5.13)
г д е л , = г - а , ; у'„,= Ь -а'^-у, у, = у - а , \ у [ = Н - а [ - у {си.рис. 5.1).
Допускается не уменьшать площадь всего сечения элемента А за
счет площади сечения всей армат)фы ЪА^, если YЛs < 0,03^. В про­
тивном случае в формулах (5.7)-(5ЛЗ) вместо а используется а - 1.
Назначенное для расчета предварительное напряжение должно
быть обеспечено при изготовлении предварительно напряженного
элемента. Для этого устанавливаются так называемые контролируе­
мые предварительные напряжения <5соп\ и ^сопи которые указываются
в проекте и контролируются при натяжении арматуры на заводе.
При натяжении арматуры на упоры контроль натяжения проис­
ходит до обжатия бетона, когда элемент не деформирован, т.е. де­
формации его равны нулю. Поэтому контролируемые напряжения
^соп\ и о^со«1 В напрягаемой арматуре 5 и <5^ по окончании натяжения
на упоры равны назначенным в расчете предварительным напряже­
ниям
и ^sp за вычетом потерь от деформации анкеров (5sp^^.
При натяжении арматуры на бетон контроль напряжений в ар­
матуре происходит в процессе обжатия бетона, т.е. при деформации
элемента. Деформации изменяют напряжения в арматуре по сравне­
нию с теми, которые были бы в ней, если бы эти деформации отсутст­
вовали. Поэтому при назначении контролируемого напряжения
^соп2 й сУсой2 в напрягаемой арматуре
следует учесть деформации
в бетоне от действия усилия предварительного обжатия и связанные с
ними изменения напряжений в самой напрягаемой арматуре.
Сжимающее напряжение в бетоне в стадии предварительного
обжатия не должно превышать: если напряжения уменьшаются или
не изменяются при действии внешних нагрузок - 0,9Кьр1 если напря­
жения увеличиваются от внешних нагрузок - 0,7Кьр.
Обжатие бетона должно назначаться с учетом того, что чрезмер­
ное обжатие может вызвать в бетоне образование микро- и макротрещин, возрастание деформаций ползучести, образование продоль­
ных трещин и усложнение анкеровки напрягаемой арматуры.
Напряжение Сьр определяется на уровне крайнего сжатого во­
локна бетона с учетом потерь
Да^р2, Аа^ръ, Аа,р4 при коэффици­
енте точности натяжения
= 121*
323
При применении бетона в водонасыщенном состоянии и рас­
четной температуре воздуха ниже минус 40 “С указанные предель­
ные значения сжимающих напряжений бетона следует уменьшить на
0,05Кьр.
Если напрягаемые стержни арматуры натягиваются на упоры, а
в их концах в бетоне отсутствуют анкерующие устройства
(см. п. 2.4), то передача обжатия на бетон при спуске натяжения
происходит путем самозаанкеривания. В этом случае учитываемые в
расчете предварительные напряжения арматуры изменяются линей­
но от нуля в торце элемента до максимальной величины Gsp в конце
зоны длиной 1р.
Длина зоны передачи напряжения 1р определяется аналогично
определению длины анкеровки арматуры в бетоне [см. формулу
(2.3)] с заменой расчетного сопротивления арматуры
на напряже­
ние <3зр. Таким образом, предварительное напряжение
в пределах
длины 1р следует умножать на коэффициент у* = У1р, где 4 - расстоя­
ние от начала зоны передачи напряжения до рассматриваемого сече­
ния.
Самозаанкеривание не допускается, если в пределах длины 1р
возможно образование нормальных или наклонных трещин.
При мгновенной передаче усилия обжатия на бетон (например,
путем разрезки натянутой арматуры между упором и элементом);
- для арматуры класса А значение 1р увеличивается в 1,25 раза;
при этом, если диаметр арматуры превышает 18 мм, мгновенная пе­
редача усилия не допускается;
- для арматуры классов Вр и К начало зоны передачи напряже­
ний принимается на расстоянии 0,25 1р от торца элемента.
После проявления усадки и ползучести бетона до приложения
внешней нагрузки в ненапрягаемой арматуре 5 и 5" возникают сжи­
мающие напряжения а , и с/у, вызванные укорочением элемента от
этих явлений.
При одинаковых модулях упругости напрягаемой и ненапрягае­
мой арматуры эти напряжения можно приравнять к потерям напря­
жения от усадки и ползучести в напрягаемой арматуре, если бы она
находилась в месте ненапрягаемой. Для упрощения расчета потери
от ползучести на уровне соответствующей ненапрягаемой арматуры
(.^ или 5^) можно принять равными Да 5 - ^ , где Аст,рб - потери от
%
ползучести соответствующей напрягаемой арматуры ( 5 или 5 ^),
оьяр или (Зьр - напряжения в бетоне на уровне соответствующих не324
напрягаемой и напрягаемой арматуры; если аьр < О, напряжение
с/, принимается равным нулю.
Таким образом, усилие обжатия бетона с учетом всех потерь на­
пряжений напрягаемой арматуры и напряжений в ненапрягаемой
арматуре равно
Р=
- <У.Л
(5.14)
а эксцентриситет этого усилия относительно центра тяжести приве­
денного сечения равен
%
где у„,,у'„„ у ,, у' - см.рис. 5.1.
Приведем примеры определения усилия обжатия Р с учетом
всех потерь напряжений.
Пример 5.1. Дано: плита покрытия размером 1,5x6 м; попереч­
ное сечение - по черт. 5.2\ бетон класса В25 {Еь = 30 ООО МПа); пе­
редаточная прочность бетона Кьр = 17,5 МПа; напрягаемая арматура
класса А600
600 МПа, Es = 2'10^ МПа); площадь сечения
Ахр ~ 2 0 1 мм^ (1016), ненапрягаемая арматура сжатая и растянутая
класса А400 площадью сечения А^= А^ = 50,3 мм^ (108); способ на­
тяжения арматуры электротермический; технология изготовления
плиты агрегатно-поточная с применением пропаривания; масса пли­
ты 1,3 т.
325
Требуется определить значение и точку приложения усилия
предварительного обжатия Р с учетом всех потерь для сечения в се­
редине пролета, принимая максимально допустимое натяжение ар­
матуры.
Р а с ч е т . Ввиду симметрии сечения расчет ведем для полови­
ны сечения плиты. Определяем геометрические характеристики при­
веденного сечения согласно формулам (5.11)-(5.13), принимая
20 10'
площадь бетона
А = 730x30 + 50x270 + 60x270/2 + 97,5x15 = 21900 + 13500 + 8100 +
+ 1462,5 = 4 4 962,5 мм^;
приведенная площадь
Ared=^A + oAsp + oAs + а
= 4 4 962,5 + 6,67x201 + 6,67x50,3x2 =
= 44 962,5 + 1340,7 + 671 = 46 974 мм^;
статический момент сечения бетона относительно нижней грани
ребра
S = 21 900x285 + 13 500x135 + 8 100x180 + 1462,5x48,7 = 9 593 200 мм^;
расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней гра­
ни ребра
S
+ с Ц а , + о ^ ' (а - я ')
------------------ ^red
А--------------------- “
9 593 200 +1340,7x35 + 335,5x20 + 335,5(300-20)
= --------------------- ^
^
^
= 207,4 мм;
46 974
y sp = y -a p = 207,4 - 35 = 172,4 мм;
уз = у - а ^ = 207,4 - 20 = 187,4 мм;
y's - / ? - « i - j ^ = 3 0 0 -2 0 -2 0 7 ,4 = 72,6MM;
326
момент инерции приведенного сечения
г
Ired= I +
и
2 ^ . 2 ,
730-30'
+ оА^у, + аЛ ^у- = -----------+
1^
+21900(285 - 207,4)' + ^ ^ ^ ^ + 13500(207,4-135)"
+
+8100(207,4-180)" + ^ ^ ^ ^ ^ + 1462,5(207,4 - 48,7)" + .
1^
+ 1340,7x172,4^+ 335,5x187,44335,5x72,6' =4,166x10« мм".
Максимально допустимое значение ог^^, без учета потерь равно
о^р= 0,9^?^,„ = 0,9x600 = 540 МПа.
Определим первые потери.
Потери от релаксации напряжений в арматуре равны
Аа,р1 = 0,03ха,р = 0,03x540 = 16 МПа.
По агрегатно-поточной технологии изделие при пропаривании
нагревается вместе с формой и упорами, поэтому температурный
перепад между ними равен нулю и, следовательно, Аа^р2~ 0 .
Потери от деформации формы Аа^^з и анкеров Аа^р4 при электро­
термическом натяжении арматуры равны нулю.
Таким образом, сумма первых потерь равна
=
16 МПа,
а усилие обжатия с учетом первых потерь равно
Р(1) = А^р{а^р - Аа,р(1)) = 201(540-16) = 105 324 И.
В связи с отсутствием в верхней зоне напрягаемой арматуры
(т.е. при А'^р = 0) из формулы (5.10) имеем вор1 ^ Узр~ 172,4 мм.
Проверим максимальное сжимающее напряжение бетона аьр на
уровне низа плиты от действия усилия Р( 1), вычисляя аьр по формуле
(5.8) при у^ = у = 207,4 мм и принимая момент от собственного веса
Мравным нулю:
327
-Р(1)
105324
1гы
105 324-172,4-207,4 _
“ 4 6 9 7 4 '^
4,166-10*
= 11,28 МПа < 0,9/?бр= 0,9x17,5 = 15,75 МПа.
Максимальное напряжение бетона не превыщает допустимое
значение.
Определяем вторые потери напряжений.
Потери от усадки равны
= 0 ,0 0 0 2 х 2 х 10^ = 40 МПа,
Потери от ползучести определяем по формуле (5.7), принимая
значения
и Еь по классу бетона В25 (поскольку Кьр == 0,7В), т.е.
согласно табл. 5.1 фб,сг= 2,5.
а = - ^ = 6,67;
н ,,
'
=— =^ ^
= 4,47-10-’.
А
44962,5
Определим напряжение бетона на уровне арматуры S по форму­
ле (5.8) при ys = ysp = 172,4 мм. Для этого определяем нагрузку от по­
ловины веса плиты, равного 1300x0,01 = 13 кН.
а =0,5— = 1,083 кН/м,
6
’
и момент от этой нагрузки в середине пролета
q f 1,083-5,7^
„
М = ^ ^ = - -----^— = 4,4кНм
8
8
(здесь / = 5,7 м - расстояние между прокладками при хранении пли­
ты); тогда
CJ - ^ ‘) I
''''' Л е /
МУх ^ 105 324 105 324-172,4'
Ъ 46 974"^
4,166-10«
—4,4-10"-172,4
:------------ ^ = 7
4,166-10*
328
94
МПа.
Напряжение бетона на уровне арматуры 3^
(т.е. при Уs=^ у 1= 72,6 мм)
/ _105324
'^ ‘* 46974
105324-172,4-72,6
4,166-10*
4,4-Ю "-72,6 _
4,16610*
,16М П а<0,0.
Потери от ползучести
sp6
1+
(1 + 0 ,8 (р.„,)
^гЫ У
0,8-2,5-6,67-7,94
= 76,25 МПа.
7"
172,4--46974
(1+ 0,8-2,5)
1+ 6,67-4,47-10' 1+
4,166.10'*
1 + аЦ,,
Вторые потери для арматуры 5 равны
= 40 + 76,2 >= 116,2 МПа.
Суммарная величина потерь напряжения
Дст^ + Да^^^)"^ 16 + 116,2 - 132,2 М Па> 100 МПа,
т.е. превышает минимально учитываемое значение.
Напряжение а,р2 с учетом всех потерь равно
0 ,^,2 =
540 - 132,2 = 407,8 МПа.
Усилие обжатия с учетом всех потерь напряжений Р определяем
по формуле (5.14). При этом сжимающее напряжение в ненапрягае­
мой арматуре условно принимаем равным вторым потерям напря­
жений, вычисленным для уровня расположения арматуры 5, т.е.
Оз116,2 МПа, а поскольку
< О, напряжение
принима­
ем равным нулю.
1 .Р
= ст,р2 Л р - о , Л =407,8x201-116,2x50,3^76 123 Н.
329
Эксцентриситет усилия Р равен
Р
407,8-20 М 72.4-116.2-50,3-187,4^ 171 2мм.
76123
Пример 5.2. Дано: свободно опертая балка с поперечным сече­
нием по рис 5.3; бетон класса В40 (Еь = 36 ООО МПа); передаточная
прочность бетона Кьр = 20 МПа; напрягаемая арматура из канатов
класса К1400 {Rs,„ = 1400 МПа, Es = 18*Ю'' МПа) площадью сечения:
в растянутой зоне А^р - 1699 мм^ (12015), в сжатой зоне А^^ =283 мм^
(2015); способ натяжения механический на упоры стенда; бетон
подвергается пропариванию; длина стенда 2 0 м; масса балки 1 1 ,2 т;
длина балки / = 18 м.
2015К14ОО
зео
80
1; '^
»■1 ф
2130
12015К14ОО
ь
Тч
Рис. 5.3. К примеру расчета 5.2
Требуется определить величину и точку приложения усилия
предварительного обжатия с учетом всех потерь Р для сечения в
середине пролета, принимая максимально допустимое натяжение
арматуры.
330
Р а с ч е т . Определяем геометрические характеристики приве­
денного сечения согласно формулам (5.11)-(5.13), принимая коэф= 5 (площадь сечения конструктивной нена3,6*10
прягаемой арматуры не учитываем в виду ее малости)
Для упрощения расчета высоту свесов полок усредняем
Площадь сечения бетона
фициент
=
А = 1500x80 + 280x240 + 200x250 =
= 120 ООО + 67 200 + 50 ООО = 237 200 мм";
площадь приведенного сечения
Ared = Aл-oЛsp+G.J^^ =237 200 + 5x1699 + 5x283;=?=■
= ТЫ
200
+ 8495 + 1415 = 247
110
мм^
расстояние от центра тяжести сечения арматуры 5 до нижней
грани баж и (учитывая, что сечения всех четырех рядов арматуры
одинаковой площади)
ар^ (50 +
100
+ 150 + 200)/4 = 125 мм;
статический момент сечения бетона относительно нижней грани
балки
120 000x750 + 67 200x1380 + 50 000x125 = 1,89x10^ мм^;
расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней
грани балки
*5' + --------^ = —-----------) 1,89
■1 0 Ч 8495 •125 +1415
•1450 = I I I мм;
Угг------------------------------------------247110
y s p = y -a p - 777 - 125 = 652 мм;
- ; ; = 1450-777 = 673м м ;
момент инерции приведенного сечения
+
+
120 000(777-750)" +
+ 67 200(1380 - 777)" +
+ 5 0 000(777 -125)" +
+ 8495(777-125)"+1415(1450 - 777)" = 7 ,ЗМ 0'"м м ‘ .
3 3 1
Максимально допустимое значение
без учета потерь равно
ОМ^,п= 0,8x1400 = 1120 МПа.
Определим первые потери.
Потери от релаксации напряжений в канатной арматуре равны
=
0 ,2 2 -
^ -
0 ,1
= (0,22 •0 ,8 - 0,1)1120 = 85 МПа.
Температурный перепад между упорами стенда и упорами при
пропаривании принимаем равным At ~ 65“. Тогда потери от этого
перепада равны
1,25-Дґ= 1,25'65 ” 81 МПа.
Потери от деформации анкеров при Д/ - 2 мм и / = 20 м равны
Д о„, = — £ = —3 — 18 X10" -1 8 МПа.
•РІ I . 2 . 1 0 "
Потери от деформации стальной формы отсутствуют, поскольку
усилие обжатия передастся на упоры стенда.
Таким образом, сумма первых потерь равна
Дст^д,)= 85 + 81 + 18 = 184 МПа > 100 МПа,
т.е. потери в дальнейшем не корректируем.
Усилие обжатия с учетом первых потерь и его эксцентриситет
равны
^,) = (Лр +
- Д'^,р(0 ) - (1699 + 283X1120 - 184) = 1855'Ю’ Н;
- К К
1699 •652 ~ 283.673
1699 + 283
,
Проверим максимальное сжимающее напряжение бетона оьр на
нижней грани балки от действия усилия Р(\), вычисляя аьр по форму­
ле (5.8) при ys= у = 777 мм и принимая момент от собственного веса
Л/равным нулю;
332
4 )^ »
1855-10\ 1855.10^463-777
7,31.10'“
= 16,63 МПа <0,9Д,,=
л.
= 0,9-20 = 18 МПа,
Т.е.
напряжение
не превышает допустимое значение.
Определяем вторые потери напряжений.
Потери от усадки равны
£6,./^.= 0,00025-18 10"= 45 МПа.
Потери от ползучести определяем по формуле (5.7), принимая
значения фйсг и Еь по классу бетона, равному Кьр = 20 МПа (т.е. по
классу В20, поскольку Кьр< 0,7 • 40 = 28 МПа). Согласно табл. 5.1
,J „
Е.
18-10ф4,ст=2 ,8 , при В20 £4=27,5’Ю’МПа, а = — = ----------- 5- = б,55.
27,5-10
Для арматуры^
А„
1699
= - ^ t =— -------= 7,16-10
А
237 200
А^
783
= -----------= l,19•10"^
А
237 200
Определим напряжение бетона на уровне арматуры 5" по формуле
(5.8) лртАу^ = уsp- 652 мм, принимая момент от собственного веса бал­
ки в середине пролета. Вес балки в кН равен 11 200x0,01 = 112 кН, а
нагрузка от него равна
для арматуры У ц
ау. = —
18 =6,22кН м;
а р = 6,22-17,5'
ТОО 1 кНм
гг
^— =238,1
8
8
(здесь / = 17,5 м - расстояние между прокладками при хранении балки);
^0
Му^
1855-10'
1855-10'-463-652
7.3Г.ТГ
Напряжение бетона на уровне арматуры
333
2 38,М 0*-652
(т.е. приУs = -у,р = -673 мм)
1855 10^
1855 •10' •463 •673 238,М 0" •673
=1,79 МПа >0,0.
+■
7 ,З М 0 ‘
7,3110 10
247110
Тогда потери от ползучести равны :
для арматуры 5"
Аа.„б =
1+
ац ,
(1
гес1
+ 0 , 8 <Р4 „ )
у
0,8-2,8-6,55-13
1+ 6,55-7,1610-'
463-652-247110^
(1 + 0,8 -2,8)
7 ,З М 0 ‘"
=145,9 МПа;
1 + --------------- гт;-----
для арматуры З'
0,8-2,8-6,55-1,79
А < 6 =1+ 6,551,19-10,-3 1
-
463-673-247110^
(1 + 0,8 -2,8)
7,31-10'®
= 26,3 МПа.
Напряжения оьр с учетом всех потерь равны:
для арматуры 5
^ ..2
=
- Аа
- Аа ,^5 - = 1120 - 184 - 45 -145 = 745 МПа;
для арматуры 8^
< 2 = <У.г ~ Д%(.) -
- Д<
6
= 1120 - 1 8 4 - 45 - 26 = 865 МПа.
Определим усилие обжатия с учетом всех потерь Р и его эксцен­
триситет еор’.
р =
745x1699 + 865x283 = 1510x10^ Н = 1510 кН;
- <^,р2 К у 'у
'0/>
745.1699 ■652 - 865.283.673
1510.10^
334
437 мм.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОСНОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Значения физических величин в этой книге, так же как в СНиП
52-01-2003, Сводах правил и пособиях, даны в Международной сис­
теме единиц СИ. В частности, силы в этой системе принимаются в
ньютонах (Н) или килоньютонах (кН), где 1 Н = 0,102 кгс, сопротив­
ления, напряжения, модули упругости и т.п. - в мегапаскалях (МПа),
где 1 МПа = 1 Н/мм^ = 10,2 кгс/см', при использовании в какой-либо
формуле величины в МПа остальные величины в этой формуле ре­
комендуется принимать в Н и мм (мм').
Одновременно использована система буквенных обозначений,
разработанная Международной организацией стандартизации
(ИСО). Особенность этой системы состоит в том, что для индексов
используются буквы латинского алфавита, а соответствующие ин­
дексам слова, как правило, взяты из английского языка. Обозначение
состоит из одного знака или нескольких индексов. Основной знак
может изображаться приписной буквой или строчной латинского
алфавита*. Все безразмерные величины обозначаются греческими
буквами. Индексы используются буквенные или цифровые. Буквен­
ные индексы обозначают, как правило, сокращенное английское
слово-термин и бывают одно-, двух- и трехбуквенными. Цифровой
индекс обозначается арабскими цифрами. Двух- и трехбуквенные
индексы отделяют от однобуквенных запятой.
Прописными латинскими буквами обозначаются не содержа­
щиеся в стандарте показатели бетона: класс по прочности на сжатие
В (франц. beton) и марки по средней плотности D (англ. density), мо­
розостойкости F (англ. frost), водонепроницаемости W (англ. water),
а также ряд характеристик и усилий.
‘И склю чение составляет ст (греч. - сигм а) - напряж ение.
335
ОСНОВНЫЕ БУКВЕННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Усилия от внешних нагрузок и воздействий
в поперечном сечении элемента
М - изгибающий момент;
N —продольная сила;
Q “ поперечная сила;
Т - крутящий момент;
М^н, М і, Мш - изгибающие моменты соответственно от кратко­
временных нагрузок, от постоянных и длительных нагрузок и от
всех нагрузок, включая постоянные, длительные и кратковременные.
Характеристики материалов
Кь,ц - нормативное сопротивление бетона;
Р-ь.зег - расчетные сопротивления бетона осевому сжатию для
предельных состояний соответственно первой и вто­
рой групп;
- нормативное сопротивление бетона оСевому растяжению;
Ры, Рь(.^ег - расчетное сопротивление бетона осевому растяжению
для предельных состояний соответственно первой и
второй групп;
- расчетное сопротивление арматуры растяжению для
предельных состояний соответственно первой и вто­
рой групп;
Rs„ - расчетное сопротивление поперечной арматуры растяже­
нию;
К^с - расчетное сопротивление арматуры сжатию для предельных
состояний первой группы;
Кьр - передаточная прочность бетона;
расчетное сопротивление сцепления арматуры с бетоном;
Еь - начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяже­
нии;
приведенный модуль деформации сжатого бетона;
Е,. - модуль упругости арматуры;
Єйо, £&о- предельная относительная деформация бетона соответственно
при равномерном осевом сжатии и осевом растяжении;
Вь.зн “ относительные деформации усадки бетона;
(рь.сг - коэффициент ползучести бетона;
а - отношение соответствующих модулей упругости Es и бетона Еь,
V- коэффициент Пуассона.
336
Характеристики положения продольной арматуры
в поперечном сечении элемента
5 - обозначение продольной арматуры:
а) при наличии сжатой и растянутой от действия внешней на­
грузки зон сечения - расположенной в растянутой зоне;
б) при полностью сжатом от действия внешней нагрузки сече­
нии - расположенной у менее сжатой грани сечения;
в) при полностью растянутом от действия внешней нагрузки
сечении: для внецентренно растянутых элементов - располо­
женной у более растянутой грани сечения;
для центрально растянутых элементов - всей в поперечном
сечении элемента;
8 " - обозначение продольной арматуры:
а) при наличии сжатой и растянутой от действия внешней на­
грузки зон сечения - расположенной в сжатой зоне;
б) при полностью сжатом от действия внешней нагрузки сече­
нии - расположенной у более сжатой грани сечения;
в) при полностью растянутом от действия внешней нагрузки
сечении внецентренно растянутых элементов - расположен­
ной у менее растянутой грани сечения.
Характеристики предварительно напряженного элемента
Р - усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь
предварительного напряжения в арматуре;
Р(1) - то же с учетом первых потерь напряжений;
- Предварительные напряжения соответственно в напря­
гаемой арматуре 5 и до обжатия бетона или в момент
снижения величины предварительного напряжения в
бетоне до нуля воздействием на элемент внепших фак­
тических или условных сил, определяемые с учетом
потерь предварительного напряжения в арматуре, соот­
ветствующих рассматриваемой стадии работы элемен­
тов;
^зри ^ 8р1 - напряжения a,^, с учетом соответственно первых и
всех потерь;
<5ьр- сжимающие напряжения в бетоне в стадии предварительно­
го обжатия, определяемые согласно гл. 5 с учетом потерь
22 Заказ 40
337
предварительного напряжения в арматуре, соответст­
вующих рассматриваемой стадии работы элементов;
Уsp —коэффициент точности натяжения арматуры.
Геометрические характеристики
Ь - пшрина прямоугольного сечения; ширина ребра таврового и
двутаврового сечений;
bf и Уf - ширина полки таврового и двутаврового сечений соот­
ветственно в растянутой и сжатой зонах;
h - высота прямоугольного таврового и двутаврового сечений;
hfi А /- высота полки таврового и двутаврового сечений соответ­
ственно в растянутой и сжатой зонах;
Asp, ^sp - площадь сечения напрягаемой части арматуры
соответственно S и S \
As, и A^s - площадь сечения ненапрягаемой части арматуры соот­
ветственно 5 и S';
а - расстояние от равнодействующих усилий в арматуре S до
ближайшей грани;
а ' - расстояние от равнодействующей предельных растягиваюцщх усилий в арматуре 6 "до ближайшей грани;
c/g, dp - расстояние от равнодействующей усилий в арматуре соот­
ветственно площадью As и А,р до ближайшей грани;
Ао - рабочая высота сечения, равная h - a \
X - высота сжатой зоны бетона;
^ - относительная высота сжатой зоны бетона;
расстояние между хомутами, измеренное по длине элемента;
во - эксцентриситет продольной силы N относительно центра тя­
жести приведенного сечения;
е, ^ - расстояния от точки приложения продольной силы N до
равнодействующей усилий соответственно 5 и 5^;
еор - эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р отно­
сительно центра тяжести приведенного сечения;
е^р - расстояние соответственно от точки приложения усилия
предварительного обжатия Р до центра тяжести сечения
арматуры S;
I - пролет элемента;
/о - расчетная длина элемента, подвергающегося действию сжи­
мающей продольной силы;
338
Ian - длина зоны анкеровки;
Ip - длина зоны передачи предварительного напряжения в арма­
туре на бетон;
i - радиус инерции поперечного сечения элемента относительно
центра тяжести сечения;
ds. dsw - номинальный диаметр стержней соответственно про­
дольной и поперечной арматуры;
As, A^s - площади сечения арматуры соответственно S и S^-,
Asw ~ площадь сечения хомутов, расположенных в одной нор­
мальной к продольной оси элемента плоскости, пересе­
кающей наклонное сечение;
[Is - коэффициент армирования, определяемый как отношение
площади сечения арматуры S к площади поперечного сече­
ния элемента bho без учета свесов сжатых и растянутых по­
лок;
А - площадь всего бетона в поперечном сечении;
Аь~ площадь сечения бетона сжатой зоны;
Лгес/- площадь приведенного сечения элемента;
/-м о м е н т инерции сечения бетона относительно центра тяжести
сечения элемента;
Ired - момент инерции приведенного сечения элемента относи­
тельно его центра тяжести;
W - момент сопротивления сечения элемента для крайнего рас­
тянутого волокна;
Dcir - диаметр кольцевого и круглого сечений.
Внутренние усилия (напряжения) в поперечном сечении
элемента
Ncr ^ условная критическая сила;
Qsw, Qsjnc, Qb - поперечные СИЛЫ, воспринимаемыс соответствен­
но поперечной арматурой, отгибами и бетоном;
Мсгс и Ncrc - усилия, вызывающие образование трещин;
Gmc И Gmt ~ главныс сжимающие и главные растягивающие на­
пряжения;
Mult - несущая способность сечения при изгибе, предельный мо­
мент, момент в пластическом шарнире.
22*
339
Индексы прй буквенных обозначениях
а - заполнитель (aggregate);
aft - последействие (after effect);
an - анкеровка (anchoring);
b - балка (beam);
бетон (beton);
нижний (bottom);
ветвь (branch);
кладка кирпичная (bricklaying);
разрыв (breakage);
b o n d - сцепление (bond);
br ^ торможение (braking);
с - выгиб (curve);
консоль (console);
конструктивный (constructive);
контур (contour);
коньковый фонарь (clerestory);
кран (crane);
крупность (coarseness);
покрытие (covering);
сжатие (compressing);
стойка (column);
сочетание (combination);
цементное тесто, цементный камень (cement paste grout);
сЬ - подкрановая балка (crane beam);
c f - подколонник (column footing);
cir - круглый, кольцевой (circular);
con - контролируемый (control);
cr - критический (critical);
ползучесть (creep);
crc - трещина (crack);
d - случайный (accidental);
деталь (detail);
деформация (deformation);
расчетный (design);
собственный вес (dead weight);
dis - смещение (displacement);
e - крайний (end);
e f - эффектив1ш й (effective);
el - упругость (elasticity);
340
ext - внешний (exterior);
inc - наклонная, отогнутая арматура (inclined reinforcement);
ins - мгновенные деформации (instantaneous deform);
int - внутренний (interior);
j - защемление (jamming);
связь (joining);
стык (joint);
шарнир (joint);
/ - нагрузка, сила (force);
задежа (fix);
закрепление (fixing);
заливка (flooding);
полка, балка (flange);
трение (friction);
усталость, выносливость (fatigue);
фактический (factual);
фиктивный (fictitious);
фундамент (foundation);
g - сцепление (grip);
грунт (ground);
gr - ростверк (grid);
h - гнездо, стакан (housing);
горизонтальный (horizontal);
крюк (hook);
к - шпонка (key);
/ - длительный (long);
левый (left);
линейный (linear);
накладка (lap);
нижняя ступень (lower stag);
петля (loop);
lb - легкий бетон (lightweight concrete);
Urn - граница, предел (limit);
loc - местный (local);
m - момент (moment);
главный (main);
середина (middle);
среднее значение (mean);
me - главные сжимающие (main compressive);
w r - сетчатая арматура (mesh reinforcement);
mt - главные растягивающие (main tensile);
341
n - ядро (nucleus);
нелинейность (non-linear);
нормальный (normal);
нормативный (normative);
ov - нахлестка (overlap);
p - преднапряжение (prestressing);
p i - пластичность (plastic);
r - железобетон (reinforced concrete);
правый (right);
ядровая точка (расположена на расстоянии г от центра
тяжести);
круг (round);
r e d - приведенный (reduced);
s - плита (slab);
пространство (space);
распорка (strut);
сталь (steel);
ser - эксплуатация (service);
sh - кратковременный (short);
сдвиг, срез (shear);
усадка (shrinkage);
sn - снег (snow);
sp - пролет (span);
sr - спиральная армат)фа (spiral reinforcement);
sup - опора (support);
набухание (swelling);
t - верхний (top);
кручение (torsion);
время (time);
распор (thrust);
растяжение (tension);
tot - суммарный, полный (total);
и - равномерный (uniform);
ult - предельный (ultimate);
V - вертикальный (vertical);
VC- виброползучесть (vibration creep);
w - ветер (winter);
стена (wall);
арматура стенки железобетонной балки (webreinforcement);
web - ребро или стенка балки;
у - текучесть (yielding).
342
Приложение 2
Сортамент арматуры
Расчетная площадь поперечного стержня, мм^, при числе стержней
Номи­
наль­
ный
диа­
метр
стерж­
ня, мм
3
4
5
6
8
10
12
14
16
18
20
22
25
28
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7,1
12,6
19,6
28,3
50,3
78,5
113,1
153,9
201,1
254,5
314,2
380,1
490,9
615,8
14,1
25,1
39,3
57
101
157
226
308
402
509
628
760
982
1232
21,2
37,7
58,9
85
151
236
339
462
603
763
942
1140
1473
1857
28,3
50,2
78,5
113
201
314
452
616
804
1018
1256
1520
1963
2463
35,3
62,8
98,2
141
251
393
565
769
1005
1272
1571
1900
2454
3079
42,4
75,4
117,8
170
302
471
679
923
1206
1527
1885
2281
2945
3685
49,5
87,9
137,5
198
352
550
792
1077
1407
1781
2199
2661
3436
4310
56,5
100,5
157,1
226
402
628
905
1231
1608
2036
2513
3041
3927
4926
63,6
ИЗ
176,7
254
453
707
1018
1385
1810
2290
2828
3421
4418
5542
Теоре­ Диаметр арматуры
тиче­
классов
ская
масса
1 м А240
длины А400 АЗОО В500
арма­ А500
туры,
кг
+
0,052
+
0,092
+
0,144
+
+
0,222
+
+
0,395
+
+
+
0,617
+
+
+
0,888
+
+
1,208
+
+
1,578
+
+
1,998
+
+
2,466
+
+
2,984
+
+
3,84
+
+
4,83
-
Макси­
мальный
размер
сечения
стержня
периодич
еского
профиля,
мм
6,75
9,0
11,3
13,5
15,5
18
20
22
24
27
30,5
Окончание прш. 2
Расчетная площадь поперечного стержня, мм^, при числе стержней
Номи­
наль­
ный
диа­
метр
стерж­
ня, мм
32
36
40
45
50
55
60
•70
1
2
3
4
804,3
1017,9
1256,6
1590,4
1963,5
2376
2827
3848
1609
2036
2513
3181
3927
4752
5654
7696
2413
3054
3770
4771
5891
7128
8481
11544
3217
4072
5027
6362
7854
9504
11308
15392
5
6
4021 4826
5089 6107
6283 7540
7952 9542
9818 11781
11880 14256
14135 16962
19240 23088
7
8
9
5630
7125
8796
11133
13745
ШЪ2
19789
26936
6434
8143
10053
12723
15708
19008
22616
30874
7238
9161
11310
14313
17672
21384
25443
34621
Теоре­ Диаметр арматуры
Макси­
тиче­
классов
мальный
ская
размер
масса
сечения
1м
А240
стержня
длины А400 АЗОО В500 периодич
арма­ А500
еского
туры,
профиля,
кг
мм
+
+
6,31
34,5
+
+
7,99
39,5
+
+
9,865
43,5
+
12,49
49
+
15,41
54
+
18,65
59
+
22,19
64
+
30,46
74,0
-
Примечания: 1. Номинальный диаметр стержней для арматурных сталей периодического профиля соответствует номи­
нальному диаметру равновеликих по площади поперечного сечения стержней. Фактические размеры стержней периоди­
ческого профиля устанавливаются ГОСТ 5781-82. 2. Знак «+» означает наличие диаметра в сортаменте для арматуры
данного класса.
Приложение 3
Наименование
величины
Сила, вес, сосредо­
точенная нагрузка
Распределенная линеиная нагрузка
Распределенная
по поверхности
нагрузка
Удельный вес
Момент сил
Механическое напря­
жение, модуль упру­
гости, модуль сдвига
Жесткость при сяа-тии,
растяжении, сдвиге
Жесткость при изгибе,
кручении
Некоторые единицы СИ и их соотношение с ранее изъятыми
Основные единицы СИ
Единицы изъятые
Рекомендуемые
Обозначения
и допускаемые
Соотношение
Наименование
Наименование
единицы
с единицей СИ
русские международные
I кгс = 9,80655 Н
1 кН= Ю^Н
Килограмм-сила
(точно)
Ньютон
Н
N
1 тс = 9,8065 кН
1 МН= Ю^Н
Тонна-сила
(точно)
1
кН/м=
10'Н/м
1
кгс/м
= 9,81 Н/м
Ньютон
Килограмм-сила на меі-р
Н/м
К/т
на метр
Тонна-сила на метр
1 МН/м= Ю^Н/м
1 тс/м = 9,81 кН/м
Килограмм-сила
1 кПа= 10^ Па
1 кгс/м^ = 9,81 Па
на квадратный метр
Паскаль
Ра
Па
Тонна-сила
на
квадрат­
1 МПа^= 10®Па^
1 тс/м^= 9,81 кПа
ный метр
Килограмм-сила на
Ньютон
1 кН/м^= Ю^Н/м^
1 кгс/м^ = 9,81 Н/м^
кубический метр
на кубический
Н/м^
Ы/т^
: МН/м^= Ю'^Н/м^ Тонна-сила на кубиче­ 1 тс/м^=9,81 кН/м^
метр
ский метр
Килограмм-сила-метр
1
кНм=
10'Нм
1 кгс м = 9,81 Нм
Ньютон-метр
Нм
Ыт
1 Нем = 10'^ Нм
Тонна-сила-метр
1 тем = 9,81 «Нм
Паскаль
Па
Ра
1 кПа= 10^ Па
Ньютон
Н
N
1 кН= Ю^Н
Паскаль квадратный
метр
Пам^
Рам^
Килограмм-сила на
1 кгс/см^ = 0,0981 МПг
квадратный сантиметр
Килограмм-сила
Килограмм-сила1 кПам^= Ю^Пам^ квадратный сантиметр
1 кгс = 9,81 Н
1 кгссм^ =
= 9,81 10'^ Нм^
Приложение 4
Соотношение класса и марки бетона
Класс бетона В, МПа
10
20
15
25
30
35
40
45
50
Марка бетона, кгс/см^
131
197
393
458
262
327,5
524
589
655
Примечание. Указанные марки бетона соответстауют уфедненному коэффициенту вариации 13,5% и обеспеченности 95%.
Класс арматуры
А-1/А240
А-П/АЗОО
А-Ш/А400
-/А500*
А-1У/А600
А-У/А800
А-У1/А1000
Вр-1/В500
Вр-П/В 1200(08)
Вр-П/В 1300(07)
Вр-П/В1400(04-6)
Вр-П/В 1500(03)
К-7/К1400(015)
К-7/К15ОО(06-12)
К-19/К1500
55
720
60
786
Расчетные сопротивления арматуры для предельных состояний первой группы, МПа (кгс/см )
растяжению, К,
сжатию,
225(23а0)/215(2190)
280(2850)/270(2750)
365(3750)/355(3600)
./435 *(4430)
510(5200)/520(5300)
680(6950)/695(7050)
815(8300)/830(8450)
415(4200)/415(4200)
850(8700)/! 000(10200)
9 15(9300)/1070(10900)
1000(10200)/1170(11900)
1170(И900)/1250(12750)
1180(12050)1170(11900)
1250(12750)/1250^2750)
1250(12750)/1250(12750)
225(2300)/215(2190)
280(2850)/270(2750)
365(3750)/355(3600)
-/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
375(3 850)/360(3 650)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
400(4100)/400(4100)
Примечания: 1. Значения перед косой чертой соответствуют СНиП 2.03.01-84*, а после косой черты - СП 52-102-2004
и СП 52-101-2003.
2. При расчете конструкции на действие только постоянных и длительных нагрузок значения
увеличиваются до
500 МПа, а для класса А600 - до 470 МПа, но не более Я.,.
Список литературы
1. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструщии без предвари­
тельного напряжения арматуры. М., 2005. 54 с.
2. СП 52-102-2004. Предварительно напряженные железобетонные конст­
рукции, М., 2005. 38 с.
3. Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций
из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры. М.:
ЦНИИПромзданий, 2005, 212 с.
4. Пособие по проектированию предварительно напряженных железобетонных
конструкций из тяжелого бетона. М.: ЦНИИПромзданий, 2005.158 с.
5. СНиП 52-01-2003. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные
положения. М., 2004. 26 с.
6. Байков В,Н., Сигалов Э,Е. Железобетонные конструкции. Общий курс.
М.: Стройиздат, 1991. 768 с.
7. Бондаренко В.М., Бакиров P.O., Назаренко В.Г., Римшин В.И. Железобе­
тонные и каменные конструкции. М.: Высшая школа, 2007. 888 с.
8. Васильев В.Ф., Богаткин И.Е., Залесов A.C., Паньшин Л.Л. Расчет желе­
зобетонных конструкций по прочности, деформациям, образованию и
раскрытию трещин. М.: Стройиздат, 1965. 360 с.
9. Гвоздев A.A. и др. Новое в проектировании бетонных и железобетонных
конструкций. Сборник статей. М.: Стройиздат, 1978. 208 с.
10. Залесов A.C., Кодыш Э.Н., Лемыш Л.Л,, Никитин И.К Расчет железобе­
тонных конструкций по прочности, трещиностойкости и деформациям.
М.: Стройиздат, 1988. 320 с.
11. Иванов А,, Залесов A.C. Многоэтажные железобетонные монолитные
здания. Развитие методов расчета конструктивных систем и несущих
железобетонных элементов. М., 2006. 142 с.
12. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. М.:
Стройиздат, 1976. 208 с,
13. Кодыш Э.Н., Трекин H.H., Никитин И.К. Проектирование многоэтаж­
ных зданий с железобетонным каркасом. М.: АСВ, 2009. 352 с.
14. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М.:
Стройиздат, 1949. 326 с.
15. Мадатян С.А. Арматура железобетонных конструкций. М.: Воентехлит,
2000. 256 с.
16. Мурашев В.И, Трещиноустойчивость, жесткость и прочность железобе­
тона. М.: Машстрониздат, 1950. 268 с.
347
Оглавление
П р е д и с л о в и е ............................................................................................ 3
В в е д е н и е ....................................................................................................... 8
Г л а в а 1. Общие положения по расчету железобетонных элементов.... 13
1.1. Группы и виды предельных состояний............................. 13
1.2. Основные положения по расчету
железобетонных элементов..............................................15
1.3. Нагрузки и воздействия.................................................... 17
Г л а в а 2. Материалы для железобетонных конструкций.......................... 20
2.1. Бетон...................................................................................20
2.2. Перспективы совершенствования бетона..........................26
2.3. Арматура............................................................................ 29
2.4. Анкеровка арматуры..........................................................35
2.5. Факторы запаса.
Нормативные и расчетные сопротивления.............................. 41
Г л а в а 3, Расчет железобетонных элементов по прочности.....................51
3.1. Основные положения............................................................ 51
3.2. Расчет прочности нормальных сечений............................... 53
3.2.1. Расчетная схема усилий............................................... 53
3.2.2. Характер разрушения железобетонного элемента......... 54
3.2.3. Напряжения в бетоне сжатой зоны............................ 56
3.2.4. Напряжения в сжатой продольной арматуре.............62
3.2.5. Напряжения в продольной арматуре,
расположенной .........................................................64
3.2.6. Расчетные уравнения для нормальных сечений........70
3.2.7. Расчет нормальных сечений.......................................75
3.2.8. Изгибаемые элементы................................................ 81
3.2.9. Расчет элементов на косой изгиб...............................96
3.2.10. Внецентренно сжатые элементы............................ 105
3.2.11. Продольный изгиб....................................................120
3.2.12. Внецентренно растянутые элементы....................... 129
3.3. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям.......................................................136
3.3.1. Формы разрушения................................................... 136
3.3.2. Расчет по наклонной трешине.................................. 138
3.3.3. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям на действие
поперечных сил........................................................ 139
3.3.4. Практические методы расчета элементов,
армированных хомутами без отгибов,
на действие поперечной силы................................. 149
3.3.5. Расчет элементов, армированных
отогнутыми стержнями, на действие
поперечной силы..................................................... 161
3.3.6. Практические методы расчета элементов
без поперечной арматуры на действие
поперечной силы.................................................... 162
348
3.3.7. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям на действие
изгибающего момента.............................................167
3.3.8. Расчет железобетонных элементов
по наклонным......................................................... 184
3.4. Расчет по прочности пространственных сечений
железобетонных элементов............................................... 185
3.5. Расчет по прочности на продавливание............................. 198
Г л а в а 4. Расчет элементов железобетонных конструкций
но предельным состояниям второй группы............................ 210
4.1. Расчет железобетонных конструкций
по образованию трещин.................................................... 210
4.1.1. Расчет изгибаемых элементов.................................. 210
4.1.2. Расчет внецентренно сжатых элементов..................219
4.1.3. Расчет растянутых элементов.................................. 222
4.1.4. Примеры расчета...................................................... 226
4.2. Расчет железобетонных конструкций
по раскрытию трещин...........................................................235
4.2.1. Предельно допустимая ширина раскрытия трещин....... 235
4.2.2. Определение ширины раскрытия трещин...................237
4.2.3. Определение напряжения в растянутой арматуре...... 240
4.2.4. Учет длительности действия нагрузки....................... 254
4.2.5. Примеры расчета.........................................................257
4.3. Расчет железобетонных конструкций по деформациям........270
4.3.1. Предельно допустимые прогибы................................270
4.3.2. Общие положения по определению прогибов............272
4.3.3. Определение кривизны на участках
без трещин в растянутой зоне^...................................276
4.3.4. Определение кривизны на участках
с трещинами в растянутой зоне................................. 281
4.3.5. Упрощенные способы определения прогибов............ 291
4.3.6. Определение углов деформации сдвига..................... 297
4.3.7. Определение прогиба, вызванного
деформациями сдвига для частных случаев..............299
4.3.8. Определение продольных деформаций...................... 302
4.3.9. Примеры расчета.........................................................305
Гл а
в а 5. Предварительное напряжение................................... 316
Приложение 1. Значения физических величин и основные
обозначения............................................................................335
Приложение 2. Сортамент арматуры........................................................... 343
Приложение 3. Некоторые единицы СИ и их соотношение с ранее
изъятыми............................................................................... 345
Приложение 4. Соотношение класса и марки. Соотношение
расчетных сопротивлений арматуры
по старым и новым нормам..............................................346
Список литературы........................................................................................347
349
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
КОДЫШ
Эмиль Наумович
Родился в 1933 г. в Москве. После
окончания МИСИ в 1955 г. проработал 8 лет
на строительных объектах Москвы. С 1963
г. работает в ЦНИИПромзданий.
Под его руководством и при непосредствен­
ном участии разработаны 18 серий типовых
конструкций, в том числе серии хмногоэтажных зданий 1.020 и объединенная серия
многопустотных плит 1.041.
Им опубликовано 308 работ, в том чис­
ле в 1997-2009 Гг. - 95, получено 50 автор­
ских свидетельств и патентов. Среди опубликованных работ - монографии
«Расчет железобетонных конструкций по прочности, деформативности и
трещиностойкости», «Промышленные многоэтажные здания из сборных
железобетонных конструкций», «Учет влияния работы железобетонных
конструкций в стадии монтажа на эксплуатационный период», «Проектиро­
вание зданий ж/д транспорта», «Проектирование многоэтажных зданий с
ж/б каркасом для сейсмических районов» и др.
Результаты исследований использованы при разработке с его участием
нормативных документов: СНиПов, пособий по проектированию.
Научный стаж Э.Н. Кодыша составляет 37 лет. Он ведет педагогиче­
скую работу с 1985 г в МГСУ, МИИ1СХС. 10 лет он заведовал кафедрой
ПГС в РГОТУПСе (сейчас МНИТ), а в настоящее время работает по со­
вместительству профессором. В течение 20 лет является председателем
ГАК № 1 МГСУ. Под его руководством защищено И кандидатских и две
докторские диссертации.
В течение 12 лет Э.Н. Кодыш организует занятия по повышению ква­
лификации специалистов Москвы и Московской области и сотрудников
института.
Отдел, в котором он работает, осуществляет проектирование и рекон­
струкцию объектов, из которых можно выделить реконструкцию завода
ТНК в г. Рязани, около 100 проектов установки башен сотовой связи, про­
водит обследования таких зданий, как Большой театр РФ, здание МХАТ,
комплекс аэропорта Шереметьево 1 и 2, отдельные здания полигона Байко­
нур, ряд предприятий «Росавиакосмос», Московский планетарий и др.
Э.Н. Кодыш- заслуженный деятель науки РФ, доктор технических на­
ук, профессор, почетный строитель, гл. инженер ОКСа ЦНИИПромзданий,
директор учебного центра.
350
Э.Н. Кодыш со школьной скамьи полюбил горы - имеет звание мастер
спорта СССР, заслуженный путешественш1К России и др. Увлечение гора­
ми сейчас ограничил горными лыжами.
ТРЕКИН
Николай Николаевич
Родился в 1957 г. в г. Фергане
(Узбекистан), окончил Томский ИСИ в 1979 г.,
имеет квалификацию инженера-строителя. В
1979-1983 гг. работая младшим научным
сотрудником на кафедре ЖБК Томского ИСИ.
В 1988 г. окончил очную аспирантуру по
кафедре ЖБК МГСУ и успешно защитил
кандидатскую диссертацию.
С 1988 по 1997 г. работал заведующим
лабораторией
Экспериментально-произ­
водственных исследований Сумского филиала
ЦНИИПромзданий. Под его руководством
были
проведены
экспериментальные
исследования основных узловых сопряжений сборных железобетонных
элементов и фрагментов многоэтажных каркасных зданий серии 1.020.
В 1997 г. поступил в докторантуру на кафедру «здания и сооружения
на транспорте» Российского государственного открытого технического
университета путей сообщения и по совместительству работал на должно­
сти доцента до 2006 г. В 2004 г. защитил докторскую диссертацию. С 2000
г. работает начальником отдела конструктивных систем ОАО «ЦНИИ­
Промзданий». Основное направление деятельности - обследование техни­
ческого состояния строительных конструкций и разработка рекомендаций
по восстановлению эксплуатационной пригодности конструкций, зданий и
сооружений. Среди них следует отметить ряд крупных и уникальных:
Большой театр РФ, комплексы аэропорта Шереметьево 1 и 2, отдельные
здания полигона Байконур, предприятия «Росавиакосмос» - РКК «Энергия»
им. С.П. Королева, НПО Энергомаш им. В.П. Глушко, ФГУП НИИхиммаш,
а также здания в г. Новый Уренгой.
Общий научный стаж работы составляет 27 лет, опубликовано 91 на­
учная работа, среди которых 6 монографий и учебных пособий в соавторст­
ве. Он ведет педагогическую работу по совместительству, является профес­
сором кафедры ЖБК МГСУ, общий педагогический стаж работы - 16 лет.
351
НИКИТИН
Игорь Константинович
Родился в Москве в 1935 г. В 1958 г, окон­
чил обучение в МИСИ им. Куйбышева. С
1958 по 1963 г. работал в Гипротисе Гос­
строя СССР инженером, руководителем
группы. С 1963 г. по настоящее время рабо­
тает в ОАО «ЦНИИПромзданий» главным
инженером проекта, главным специалистом.
Занимался в основном разработкой руко­
водств, инструкций и пособий по проектиро­
ванию железобетонных конструкций, в част­
ности пособий к Сводам правил СП 52-1012003 и СП 52-102-2004, изданных в 2005 г.
И.К. Нлкитин принимал участие в разработке типовых конструкций
каркасов многоэтажных зданий и в различных научно-исследовательских
работах по совершенствованию расчетов железобетонных конструкций. Им
в соавторстве написаны книги «Расчет железобетонных конструкций по
прочности, трещиностойкости и деформациям» (изд. 1988 г.) и «Проекти­
рование многоэтажных зданий с железобетонным каркасом для сейсмиче­
ских районов» (изд. 2008 г.).
352
УДК 624.012.45.044
Рецензенты:
руководитель лаборатории теории железобетона НИИЖБ,
доктор техн. наук, профессор А С. Залесов
Кодыш Э.Н., Никитин И.К., Трекин H.H.
Расчет железобетонных конструкций из тяжелого бетона по прочности,
трещиностойкости и деформациям. - Монография. М.: Издательство Ас­
социации строительных вузов, 2010. - 352 с.
ISBN 978-5-93093-723-7
Обобщен материал по расчету железобетонных конструкций по проч­
ности, трещиностойкости и деформациям. Даны рекомендации по расчету в
соответствии со СНиП 52-01-2003 «Бетонные и железобетонные конструк­
ции. Основные положения», СП-52-101-2003 «Бетонные и железобетонные
конструкции без предварительного напряжения арматуры», СП-52-102-2004
«Предварительно напряженные железобетонные конструкции» и пособия­
ми к упомянутым Сводам правил.
Основное внимание в книге уделено раскрытию физического смысла
основных методов расчета.
Для инженерно-технических работников строительных и проектных
организаций, преподавателей, аспирантов и студентов вузов.
ISBN 978-5-93093-723-7
© Издательство АСВ, 2010
S) Кодыш Э.Н., Никитин И.К.,
Трекин Н.Н.,2010
Научное издание
Эмиль Наумович Кодыш, Игорь Константинович Никитин,
Николай Николаевич Трекин
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
из тяжелого бетона по прочности,
трещиностойкости и деформациям
Дизайн обложки: К С . Романова
Редактор; В.Ш. Мерзлякова
Лицензия ЛР № 0716188 от 01.04.98. Подписано к печати 12.01.10.
Формат 60x90/16. Бумага офс. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Уел. 22 п.л. Тираж 500 экз. Заказ № 40.
Издательство Ассоциации строительных вузов (АСВ)
129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, отдел реализации - оф. 511
тел., факс: (499) 183-56-83, e-mail: iasv@mgsu.ru. httD://vtww.iasv.ru/
Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «ПК «Зауралье».
640022, г. Курган, ул. К. Маркса, 106.