MATAN_2_lectures

§14. Теория кратных интегралов
RN ;Q-невырожденный параллелепипед.
Q={ (x1..,xN) : a1x1b1 .. aNxNbN }
Построим разбиение
x 
1 M1
k k 1
, [ a 1 , b1 ]
...
x 
N MN
k k 1
, [a N , b N ]


Qk1 ...k N  x 1 ...x N : xk11 1  x 1  xk11 ...xkNN 1  x N  xkNN

k  k1 ...k N  - весь набор индексов
Qk , k  Qk
(x1..xN)
    (  k )m( Qk )
k
 - интегральная сумма (по всем возможным индексам)
Q -разбиение
k
 -промежуточные точки
k
  
 Qk ,  k
  
Опр.: J называется пределом, если для любого >0  >0:  Qk ,   k , если
 
  
 Qk    J   Qk ,  k  
- диаметр разбиения
 
 
 Qk  max d Qk
k
Если существует предел интегральных сумм, то функция интегрируема.
1
N
1
N
 ...  ( x ...x )dx ...dx    ( x )dv x
Q
Q
Для введения определения
(1) A- измеримое множество  A- ограничено.
AQ
Предположим, что (x) задано на A.
Доопределим.
 ( x), x  A
~( x)  
0, x  Q \ A
def
  ( x )dv x   ~( x )dv x
A
Q
(2) A- измеримое множество.
M
Предположим, что A   Ak ; Аk - измеримое :Ak, An при kn не пересекаются.
k 1
k  Ak
M
    (  k )m( Ak )
k 1
lim
 A k 0
   ( x)dv x
A
Теорема
Функция интегрируема по первому определению  она интегрируема по второму
определению и пределы совпадают. Оказывается, что
m( A )   1dV
A
§15. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному
a<b, c<d; Q={(x,y):axb,cyd}
(x,y) интегрируема на Q
Предположим, что для каждого x  [a,b] (x,y) интегрируема по переменной y на [c,d].
Тогда функция вида
d
F ( x )    ( x , y )dy
c
интегрируема на [a,b], причем
d

a  c  ( x , y )dy dx  Q  ( x , y )dxdy
b
Док-во:
Построим разбиение {xk}[a,b].
k  [xk-1,xk]
M d
     (  k , y )dy  xk
k 1 c
 -интегральная сумма для внешнего интеграла по форме {yn} [c,d].
 ({yn})({xk})
M
N
  
yn
 ( 
k 1 n 1 yn 1
mk ,n  inf
( x , y )Qk ,n
M d
k
, y )dy  x k     (  , y )dy
k 1 c
( x , y ); M k ,n  sup ( x , y )
( x , y )Qk ,n
Тогда справедлива оценка для (x,y)  Qk,n
mk,n(x,y)Mk,n
M
N
M
N
 mk ,n y n xn    M k ,n y n xn
k 1 n 1
k 1 n  1
Мы воспользовались, что
mk ,n y n 
yn
 ( 
k
, y )dy M k ,n y n
yn 1
sS (для двойного интеграла)
s-нижняя сумма Дарбу для двойного интеграла
 dxdy .
Q
S- верхняя сумма Дарбу для двойного интеграла
 dxdx .
Q
Qk ,n   2xk 
xk2  yn2  2xn
Если ({xk})0, то ({Qk,n})0.
S   dxdy
Q
b

d

    ( x , y )dy dx    ( x , y )dxdy
a
c
Q
ч. т. д.
Формула для криволинейной трапеции.
b  2 ( x )

  ( x , y )dy dx

(
x
,
y
)
dxdy

A
a   ( x )

 1

Доопределяем нулями.
§16. Теорема Фурбини для n-мерного случая
Q1  RN1; Q2  RN2.
Тогда Q1Q2={(x,y):x  Q1, y  Q2}RN1+N2
Предположим, что  интегрируема на Q: для каждого x  Q1 функция (x,y) интегрируема
по у на Q2. Тогда  интеграл

    ( x , y )dv
Q
 Q2
y

dv   ( x , y )dv
x ,y
 x Q

§17. Замена переменных в кратных интегралах
Опр.: RN: A  RN.
Будем говорить, что А- область, если А- большое, непустое, открытое множество.
Опр.:. А- замкнутая область, если А   A  int( A ) .
Опр.: А- регулярное множество (Reg [A,RN]), если А A  int( A ) .
: RN1  RN2
(t)=(1(t).. N2(t)), t=(t1,...tN1).
Опр.: Матрицей Якоби назовем матрицу
  1

1
 t
 ...N 2
 
 t 1

 1
...
t N 1
...
...
 N 2
...
t N 1



 D t  ( t )



Если N1=N2  матрица квадратная   определитель
D
det Dt ( t ) 
Dt
.
Отображение :RN1RN2
Отображение :RN2RN3
Dt (  ( t ))  D x x
x  ( t )
 Dt ( t )
N1=N2=N3=N
D ( ( t )) D ( x )
D ( t )


Dt
Dx x  ( t )
Dt
Теорема о замене переменных
Пусть:
А- измеримое множество,
- интегрируемая функция на этом множестве. (т.е.   R(A)).
A* – измеримое множество.
S  A, m( S )  0
A\S- открытая (не равное пустому множеству) область.
S*  A*, m( S * )  0 .
A*\S*- область.
: RNRN
  C1(A*\S*)
 взаимно однозначно отображает A*\S* на A\S
D
 0 при t  A*\S*.
Dt
D
F ( t )   ( ( t )) 
при t  A*\S*.
Dt
F- ограниченная на A*.
Тогда F  R(A*) и
 ( x )dv
x
   ( ( t )) 
A*
A
D
dvt   F ( t )dvt
Dt
A*
Пример:
J
x
2
y 2 dxdy
x 2  y 2 4
Перейдем к полярным координатам:
х=cos, 0, 02
у=sin
x
D( x , y ) 

D(  , ) y

x
cos 


y
sin 

  sin 
 cos 
 = 0 (якобиан превращается в 0).

2
2
2
2
1
1
J    2 cos 2    2 sin 2     d  d   d  d   5  sin 2 2    5 d  sin 2 2  d
4
4
G*
0
0
0
0
Второй вариант теоремы
Пусть:
А- замкнутая область,
  C(A),
A*-замкнутая область.
: RN RN,
  C1(A*),
 взаимно однозначно отображает А* на А.
D
 0 при t  A*.
Dt
Тогда

D 
  t  
  R A*  , и
Dt 

D
A  ( x )dv x  A  ( ( t ))  Dt dvt
*
Док-во:
1) Докажем теорему только для линейного отображения
Формулировка
Лемма 1
Пусть:
А- измеримое множество.
  R(A).
A*- измеримое множество.
T- матрица mn.
det(T)0
Тогда
{(Tt)|det(T)|} R(A*)
и справедлива формула А=TA*
  ( x )dv x    ( Tt ) det( T )dvt
A
A*
Доказательство в Ильине, Позняке.
ч. т. д.
Обозначения:
||t||- норма точки t  max t nk
k 1 ,N
N
||T||- норма матрицы T  max  Tnk .
k 1 ,N
n 1
||Tt||||T|| ||t||.
X k  Tnk t n - функция отображения.
R(C)={x  RN: ||x-(t0)||MS}
Используя теорему о неявной функции можно показать, что
(int(G))=int((G)).
(G)=(G).
 ( G1  G2 )   ( G1 )  ( G2 )
G- замкнутый куб.
S(C)- 0,5 длины стороны.


max t 1  t01 ... t N  t0N  S ; M ( C )  sup Du ( u )
uC
C={t  R : ||t-t0||S}
N
Лемма 2
Пусть выполнены все условия теоремы.
(1) C  A*- замкнутый куб.
Тогда образ замкнутого куба при отображении (С)  R(C)
(2) Если G- измеримое множество,
G  int( A* ) .
(G)- измеримое множество (т.е. замена
переменных сохраняет измеримость, но в том
случае, когда G  int( A* ) ).
(3) Если С- замкнутый куб;
С  int(A*),
то m((С))(M(C))Nm(C)
Докажем лемму:
(1) C  A*
Фиксируем t  C, k  1, N
 k
 ( t )   ( t0 ) 
u n
k
 ( t n  t0n ) ,0    1
k
(t)- (t0)=Du ()(t-t0)
 - промежуточная точка.
u t0  ( t t0 )
|| (t)- (t0)||||Du()|| ||t-t0||
 ( t )   ( t 0 )  sup Du ( u )  t  t 0  M ( C )  S ( C )
uC
(C)  R(C)
m(R(C))=(M(C))N m(C)
Докажем (2).
G  int(A*)
(G)  A  (G) ограничено.
Чтобы доказать измеримость, нужно доказать (G) имеет
меру 0.
Q- замкнутый куб.
А*  Q
Q   Qk
k
Qk-замкнутые кубы
K- множество таких номеров, что Qk  G  
D
Q
k
kK
По построению, очевидно, что
G  D  (G)=(G)
(граница образа совпадает с образом границы)
  ( D )   ( Qk )   R( Qk ) .
kK
kK
Qk  A* (если разбиение достаточно мелкое).
Дальше будем считать, что Qk  int(A*).
N
N




m(  R(Qk ))   m( R(Qk ))    sup Du (u )   m(Qk )    sup Du (u )   m(Qk ) 

kK
kK  uQk
kK  uA*

kK
 sup Du (u )   m(Qk )
N
m(D)  0 при ({Qk})0


m  R( Qk )  0 при ({Qk})0
 kK

m(  ( G ))  0 -следовательно, оно измеримо.
(3) C  int(A*)
(С)  R©, m(©)m(R©)=(M©)N m©
ч. т. д.
Лемма 3
Пусть G- измеримое по Жордану множество.
G  int( A* )
Тогда
D
m( ( G ))  
dvt
Dt
G
Доказательство(с помощью оценок, полученных в первой лемме) в Ильине-Позняке.
ч. т. д.
Доказательство теоремы о замене переменных.
B  sup(  ( x ))
xeA
 ( x )dv  ( B  ( B  ( x )))dv
x
A
x
B  dv x  ( B  ( x ))dv x
A
A
A
Каждый интеграл содержит неотрицательную функцию (докажем для них)
Без ограничения общности: (х) 0 при х  A
Q- замкнутый куб.
АQ
Q   Qk
k
Рассмотрим множество номеров K1, что
Qk  int ( A ) при mk  inf ( x )
kK1
xQk
Gk   1 ( Qk ) -прообраз Qk
mk  inf ( ( t ))
tGk
 m m( Q
k
k
keK 1
)    ( x )dv x при ({Qk})0.
k
С другой стороны, воспользуемся леммой 2
 m m( Q
k
k
)
keK 1
Т.к. mk=inf 

   ( ( t ))
kK 1 Gk
m 
k
keK 1
Gk
D
dvt 
Dt
D
dvt 
Dt
функция неотрицательная  можно аппроксимировать дальше
   ( ( t ))
A*
D
dvt .
Dt
Переходя к пределу получаем такую оценку:
D
A  ( x )dv x  A  ( ( t )) Dt dvt .
*
В нашем случае A и A* взаимозаменяемы и все условия вообще выполняются
D
g ( t )   ( ( t ))
Dt
Применим те же рассуждения не к функции (х), а к функции g(t). Получаем:
D 1 ( x )
1
g
(
t
)
dv

g
(

(
x
))
dv x
t

A
Dx
A*
D ( t )
Dt
t   1 ( x )
  ( ( t ))
A*
D 1

1
Dx
D
dvt    ( x )dv x
Dt
A
Две встречных оценки могут выполняться, только если есть точное равенство 
  ( ( t ))
A*
D
dvt    ( x )dv x
Dt
A
(смотри второй том Ильина- Позняка).
ч. т. д.
Составим интегральную сумму для
такого разбиения
~
  (  k )m( Qk )
k
Заменим параллелограмм
S=произведению векторов ( ab )
 x 1 
 1
a   t 2 t 1 - это производная нашей функции по первой переменной.
 x 
 1
 t 
 x 1 
 2
b   t 2 t 2 - это производная нашей функции по второй переменной.
 x 
 2
 t 
Глава 5. Криволинейные интегралы
§1. Криволинейные интегралы первого рода
Рассмотрим плоскость XOY и кривую L на ней:
L:
x   (t ),
y   (t ),
t  [ ,  ]
Опр.: Кривая L называется простой незамкнутой кривой, если различным значениям
параметра t соответствуют различные точки кривой L.
Опр.: Кривая L называется простой замкнутой кривой, если точки
A( ( ),  ( ))  B( (  ),  (  )) .
Опр.: Кривая L называется спрямляемой, если существует предел длин ломаных,
вписанных в данную кривую при L  0 , где L – длина наибольшего звена ломаной.
Пусть функция f(x, y) задана на кривой L, т.е. f(x, y) задана во всех точках плоскости,
принадлежащих данной кривой.
Рассмотрим разбиение сегмента [ ,  ] на n элементарных сегментов.
Указанное разбиение влечет соответствующее разбиение кривой L на элементарные дуги

( M k 1 , M k ) .
Составим интегральную сумму:
n
I ( M k , N k )   f ( k , k )l k ,
k 1

где l k  M k 1 M k
Пусть l  max l k
1 k  n
Опр.: Число I называется пределом интегральной суммы при l  0 , если   0,   0
такое, что для любого разбиения, удовлетворяющего условию l   , выполняется
I (M k , N k )  I  
для любого выбора точек Nk на сегменте разбиения.
Если I существует, то он называется криволинейным интегралом первого рода и
обозначается
 f ( x, y)dl или  f ( x, y)dl .
L
AB
Замечание. Значение криволинейного интеграла I рода не зависит от «направления
разбиения»: нумерация точек разбиения может идти как от A к B, так и наоборот.
Поэтому
 f ( x, y)dl   f ( x, y)dl .
AB
BA
§2. Свойства криволинейных интегралов первого рода
1. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода по кривой AB для функций
f(x, y) и g(x, y). Пусть a, b – некоторые константы. Тогда: существует криволинейный
интеграл первого рода:  (af ( x, y)  bg ( x, y))dl  a  f ( x, y)dl  b  g ( x, y)dl
AB
AB
AB
2. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода f(x, y) по кривой AB,
которая представима в виде совокупности двух кривых AC и CB, по которым
криволинейный интеграл первого рода от данной функции также существует.
Тогда выполняется равенство
 f ( x, y)dl   f ( x, y)dl   f ( x, y)dl
AB
AC
CB
3. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода
 f ( x, y)dl ,
AB
тогда существует интеграл

f ( x, y) dl ,
AB
причем выполняется неравенство
 f ( x, y)dl  
AB
f ( x, y) dl
AB
§3. Правило вычисления криволинейных интегралов первого рода
Опр.: Кривая L называется гладкой на сегменте [ ,  ] , если производные  / (t ) ,  / (t )
функций  (t ) ,  (t ) являются непрерывными на сегменте [ ,  ] и не равняются нулю
одновременно.
Опр.: Кривая L называется кусочно гладкой, если для нее выполняются все требования
гладкой кривой за исключением конечного числа точек.
Опр.: Функция f(M) = f(x, y) называется непрерывной вдоль кривой L, если
lim f (M )  f (M 0 ) .
M M 0 , M L
Опр.: Функция f(M) называется кусочно непрерывной вдоль кривой L, если для нее
выполнены все требования непрерывности за исключением конечного числа точек, в
которых функция имеет разрыв первого рода.
Теорема
Пусть L является кусочно гладкой кривой, а функция f(x,y) – кусочно непрерывная функция
вдоль кривой L. Тогда существует следующий криволинейный интеграл первого рода,
вычисляемый по формуле

L

f ( x, y)dl   f ( (t ),  (t ))  / 2 (t )   / 2 (t )dt

Замечания.
1) В том случае, если L является частью графика функции, тогда

L
b
f ( x, y)dl   f ( x, y( x)) 1  y / 2 ( x)dx ,
a
x  x
- параметрическое задание

 y  y(x)
2) Допустим, что L : r  r ( ),   [1 , 2 ] , задана в полярных координатах
2
 f ( x, y)dl   f (r ( ) cos  , r ( ) sin  )
L
r 2 ( )  r / 2 ( )d
1
Замечание:
В трехмерном случае криволинейный интеграл вводится
совершенно аналогичным образом:
L : x   (t ), y   (t ), z   (t )
t  [ ,  ]
В этом случае:

 f ( x, y, z)dl   f ( (t ),  (t ),  (t ))
 / 2 (t )   / 2 (t )   / 2 (t )dt
L
Пример:
Вычислить криволинейный интеграл первого рода:
L – астроида: x 2 / 3  y 2 / 3  a 2 / 3
Параметрическое уравнение астроиды:
 x  a cos 3 t

3
 y  a sin t
t  [0;2 ]

2
4/3
4/3
4/3
4
4
2
4
2
4
2
 ( x  y )dl   a (cos t  sin t ) a 9(cos t sin t  sin t cos t dt 
L
0
2
3a
7/3
 (cos
0
2
4
t  sin t ) sin t cos t dt  4  3a
4
7/3
 (cos
0
5
t sin t  sin 5 t cos t )dt
То, что рассматриваемая область состоит из четырех
одинаковых фрагментов еще, не является достаточным
2
 /2
0
0
условием для перехода  (...)  4  (...)
Достаточным условием такого перехода является то, что и
значения функции на всех идентичных сегментах будут
совпадать.
 12a 7 / 3 (
cos 6 t  / 2 sin 6 t
) 
6
6
0
 /2
)  4a 7 / 3
0
§4. Криволинейные интегралы второго рода
L : x   (t ), y   (t ), t  [ ,  ]
Также, как и раньше устроим разбиение кривой L
M k 1 ( x k 1 , y k 1 )
M k ( xk , y k )
x k  x k  x k 1
y k  y k  y k 1
Пусть на кривой L заданы две функции: P( x, y), Q( x, y)
Составим следующие интегральные суммы:
n
I 1 ( M k , N k )   P( k , k )x k
k 1
n
I 2 ( M k , N k )   Q( k , k )y k
k 1
Для указанных сумм Im, m =1,2 аналогичным образом вводится понятие интегральной
суммы.
Пределы интегральных сумм обозначим:
I1 , I2
Если указанные пределы интегральных сумм существуют пределы интегральных сумм, то
они называются криволинейными интегралами второго рода:
I1 
 P( x, y)dx
AB
I 2   Q( x, y )dy
AB
При этом вводится понятие общего криволинейного интеграла второго рода:
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy ,
AB
где знак интеграла относится ко всему выражению.
Замечание:
Для криволинейных интегралов второго рода справедливо следующее свойство:
 (...)    (...) .
AB
BA
RN [a,b]
{x(t)}  C1([a,b])
a1(x).. aN(x)
 1
dx 1
dx N 
N
l a dx  ...  a dx  a a ( x( t )) dt  ...  a ( x( t )) dt dt
b
1
1
N
N
§5. Формула Грина
Теорема
1) G  R2- замкнутая ограниченная область на плоскости.
G состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких кривых.
2) Пусть на границе задано направление обхода, причем таким
образом, чтобы область оставалась слева.
3) P,Q  C1(G)- гладкие.
Тогда справедлива формула Грина.
 Q
P 
 dxdy x  y    Pdx  Qdy
G
Можно сказать иначе.
G
Q
 dxdy y   Qdy
G
G
  dxdy
G
P
 Pdx
x G
Опр. 1: G- y – трапециевидная область, если это замкнутая ограниченная
область,
Причем её можно представить в виде криволинейной трапеции:
G={(x,y):x1xx2;y1(x)yy2(x)},
y1,y2- кусочно-гладкие кривые.
Опр. 2: G- x – трапециевидная область, если это замкнутая
ограниченная область, представимая в следующем виде.
G={(x,y):y1yy2;x1(y)xx2(y)}
х1,x2 –кусочно-гладкие кривые
Опр. 3: G- простая область, если
1) G можно разбить на конечное число y-трапециевидных областей;
2) При этом G можно также разбить и на конечное число х- трапециевидных областей.
§6. Упрощенный вариант формулы Грина:
1. G- простая область.
2. На G задано направление обхода таким образом, чтобы при
движении на этом направлении область оставалась слева.
3. P,Q  C1(G)- гладкие.
Тогда справедлива формула Грина.
 Q
P 
 dxdy x  y    Pdx  Qdy
G
G
И справедливы два равенства отдельно.
Q
 dxdy x   Qdy
G
G
  dxdy
G
P
 Pdx
y G
Док-во:
1) Пусть G- y- трапециевидная область
Докажем для нее утверждение:
  dxdy
G
  dxdy
G
P
 Pdx
y G
2
 P  2
P 2
  dxP( x , y 1 ( x ))  P( x , y 2 ( x )) 
  dx  dy 
x x1 y1 ( x )  y  x1
x
y (x)
x
x2
x2
x1
x1
  dxP( x , y 1 ( x ))   dxP( x , y 2 ( x ));
 Pdx  Pdx   Pdx   Pdx   Pd x
G
l1
l2
l3
l4
l1: y=y1(x), x1xx2
x=x,
x2
 Pdx   P( x , y ( x ))dx
1
l1
x1
l2: y=y, y1(x2)yy2(x2)
x=x2
y 2 ( x2 )
 Pdx  
l2
P( x 2 , y )
y1 ( x 2 )
l3: y=y2(x)
dx 2
dy  0 (так как x2=const)
dy
x=x, x1xx2
x2
 Pdx    P( x , y ( x ))dx
2
l3
x1
l4: y=y, y1(x1)yy2(x1)
x=x1
 Pdx  
l4

y 2 ( x1 )

y1 ( x1 )
P( x1 , y )
dx1
dy  0 (так как x1=const)
dy
x2
x2
x1
x1
 Pdx   dxP( x , y1 ( x ))   dxP( x , y 2 ( x )) -
G
это совпадает с тем, что мы получили для двойного интеграла
2) Пусть G- простая область.
Опираясь на результат, полученный в первом пункте, докажем формулу
  dydx
G
P
 Pdx
y G
N
G   Gk ;
k 1
Gk- у - трапециевидная область, kn :
Gk и Gn не имеют общих внутренних точек,
(т.е. int( Gn )  int( Gk )   )
G k  G n =конечное число дуг.
Запишем двойной интеграл.
N
P N  P 
dxdy    Pdx   Pdx
  dydx
    
y k 1 Gk  y 
k 1 Gk
G
G
3) Пусть G- x – трапециевидная область.
Q
 dxdy y   Qdy
G
G
Доказательство аналогично пункту 1.
 dxdy
G
2
2
Q 2 2
Q 2
  dy  dx
  dyQ( x2 ( y ), y )  Q( x1 ( y ), y )   Q( x 2 ( y ), y )   Q( x1 ( y ), y )
y x1 x1 ( y ) x y1
y1
y1
x
x (y)
y
y
y
С другой стороны
y2
y2
y1
y1
 Qdy   Qdy   Qdy   Qdy   Qdy    Q( x1 ( y ), y )dy  0   Q( x2 ( y ), y )dy  0  
G
l1
l3
l3
l4
4) G- простая область. Докажем, что
Q
 x dxdy   Qdy
G
G
N
G   Gk ;
k 1
k  n,int( Gk )  int( Gn )  
Gk  Gn = конечное число дуг.
G
Q
dxdy
x
N
N
Q
Q
dxdy

dxdy



G x

 Qdy  GQdy
k 1 Gk x
k 1 Gk
ч. т. д.
§7. Теорема о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути
интегрирования
G- открытая область;
P,Q  С(G).
Предположим
1)  Pdx  Qdy  0
l
2) Предположим, что  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy
l1
l2
(А не зависит от формы пути).
l- кусочно-гладкая замкнутая кривая
l1, l2 – кусочно-гладкие.
3) Предположим
u
( x , y );
x
u
Q( x , y )  ( x , y )
y
Предположения (1), (2), (3) эквивалентны друг другу.
P( x , y ) 
Док-во:
(1)  (2)  (3)  (1)
доказать самостоятельно.
ч. т. д.
Теорема
Предположим, что P,Q  C1(G) – гладкие
4) Предположим:
Тогда из (3)  (4)
P Q

y x
Док-во
P
u
u
;Q 
x
y
P  2 u Q  2 u
P Q

;



y yx x xy
y x
ч. т. д.
Опр. 4: G- линейно-связанное множество, если любые две его точки можно соединить
непрерывной дугой
Опр. 5: G- односвязное множество, если оно
1)
линейно связано;
2)
любые две кривые, целиком лежащие и с общими концами, можно непрерывно
продеформировать одну в другую.
Теорема
Если G- односвязная область, а функции P и Q  C1(G) – гладкие, то из (4)  (1)
P Q
-не только необходимое, но и достаточное условие или условие интегрируемости.

y x
 u
 x  P
 u
 Q
 y
Док-во:
 Pdx  Qdy 
l
Применим формулу Грина.
 Q P 
  
 dxdy  0

x
y 

D
ч. т. д.
Переход (1)  (2).
Можно заменить каждую из произвольных дуг на ломаную так, чтобы интеграл не
изменился.
Переход (2)  (3)
(x0,y0)- фиксированные.
(х,у) – 
Используя теорему о среднем.
Глава 6. Кривые на плоскости
§1. Кривые на плоскости.
Кривая на плоскости L:
(1)
x   (t )
y   (t )
t – параметр
,
Функции ,  имеют непрерывные производные.
(2)
F(x,y)=0
t  t 0 : x0   (t 0 ), y0   (t 0 )
Тем самым получаем M 0 ( x0 , y0 )
Точка M 0 называется обыкновенной, если
  2 (t )    2 (t )  0
(производные функций ,  одновременно не обращаются в нуль).
M 0 - особая точка, если
  2 (t )    2 (t )  0
Опр. Если кривая задана (2) способом и F(x,y) является дифференцируемой в некоторой
окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) и имеет непрерывные частные производные, тогда если
2
2
Fx  Fy  0 , то
M 0 является обыкновенной точкой кривой L.
2
2
Если Fx  Fy  0 , то такие точки называются особыми точками кривой L.
Утверждение:
Если точка M 0 - обыкновенная точка кривой L , то в некоторой ее окрестности график
кривой представим в качестве графика некоторой дифференцируемой функции y  f (x)
(либо x  g ( y ) ).
Док-во:
Т.к. точка M 0 является обыкновенной, то по крайней мере одна из производных не
обращается в 0.
Пусть  (t )  0 .
В силу непрерывности производной, сама функция  (t ) будет являться дифференцируемой
и строго монотонной функцией в некоторой окрестности M 0 . Можно указать окрестность
точки, в которой функция  (t ) сохраняет свой знак.
Следовательно, по теореме об обратной функции, существует дифференцируемая
монотонная функция t   1 ( x) .
Подставляя x в функцию , получаем:
y   ( 1 ( x)) ,
таким образом, мы получаем y, как функцию x.
ч. т. д.
§2. Касание кривых
Опр. Говорят, что кривые L1 и L2 касаются в некоторой их общей точке M 0 , если
касательные к указанным кривым в данной точке совпадают (имеется в виду,
соприкосновение кривых).
Получим условие касания двух кривых:
L1:
L2:
y  f1 ( x)
y  f 2 ( x)
В точке касания выполняется условие
f1( x0 )  f 2( x0 ) ,
x 0 - абсцисса точки касания.
Допустим, что кривая L1 задана параметрически , по средствам (1), а L2 – по средствам (2).
t0 
 x0

 (t 0 )
F (M 0 )
 x

 (t 0 )
F (M )
y
0


Fx ( M 0 ) (t 0 )  Fy ( M 0 ) (t 0 )  0 - является условием касания двух кривых в точке M 0 .
Примеры:
§3. Однопараметрическое семейство кривых
F ( x, y, )  0 , где  - некоторый параметр.
I
y  (x   )2  0
II ( y   ) 2  ( x   ) 3  0
(Жирная заштрихованная прямая – является особой прямой, т.е. прямой состоящей из
особых точек.)
Остальные кривые рассматриваемого семейства получаются из кривой   0 , в результате
параллельного переноса (или параллельного сдвига) вдоль биссектрисы I и III четвертей.
Точка M ( x, y ) называется характеристической точкой однопараметрического семейства
кривых, если
 F ( x, y ,  )  0
 
F ( x, y, )  0
отвечающей данному значению .
Опр. Огибающей однопараметрического семейства кривых называется кривая, которая:
1) в каждой своей точке касается только одной кривой данного семейства
2) в разных своих точках касается различных кривых указанного семейства.
Опр. Дискриминантной кривой называется кривая реализующая собой геометрическое
место характеристических точек на плоскости.
Лемма 1
Пусть точка M 0 ( x0 , y0 ) - характеристическая точка однопараметрического семейства
F ( x, y, )  0 , отвечающая =0.

Пусть функция F ( x, y, )  0 и функция F ( x, y, )  0 являются дифференцируемыми
функциями в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 , 0 ) и их частные производные по
переменным x,y непрерывны в самой точке ( x0 , y0 , 0 ) , тогда, если в точке ( x0 , y0 , 0 )
якобиан

D( F , F )
 0 (в точке ( x0 , y0 , z 0 ) ), то
D ( x, y )
дискриминантная кривая, проходящая через точку М0, в некоторой окрестности этой точки
может быть задана параметрически, как функция параметра .
x   ( )
y   ( )
,
где функции  и  дифференцируемы в некоторой окрестности ( x0 , y0 ) .
Теорема 1
Пусть выполнены все условия леммы 1, кроме этого, выполнены следующие условия:
 



в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 , 0 ) Fx , Fy , Fx , Fy , F являются непрерывными
функциями.
2
2

В точке ( x0 , y0 , 0 ) выполняются соотношения Fx  Fy  0 и F  0 .
Тогда дискриминантная кривая, проходя через точку M 0 ( x0 , y0 ) , является в некоторой
окрестности этой точки огибающей.
Пример:
I
y  (x   )2  0
F ( x, y, )  y  ( x   ) 2
Для нахождения характеристических точек запишем условие:

F  0

F  2( x   )  0  x   , y  0
x  , y  0
Проверим условия сформулированной теоремы.
2
2
Fx  Fy  1

F  2
Тогда, дискриминантная кривая, согласно сформулированной теореме, представляет собой
ось X и является огибающей.
II
( y   )2  (x   )3  0
Рассмотрим семейство полукубических парабол и найдем дискриминантную кривую
F ( x, y, ) : ( y   ) 2  ( x   ) 3  0
F ( x, y, ) : 2( y   )  3( x   ) 2  0
9
(x   )4  (x   )3  0
4
9

( x   ) 3  ( x   )  1  0
4

1)
x 
y 
4

9
8
y

27
x
2)
(убедиться самостоятельно, что прямая, получающаяся в 1), не является огибающей, а в 2) –
является огибающей семейства кривых)
Вычислить частные производные, указанные в теореме: в первом случае они обращаются в
нуль, а во втором - нет.
§4. Кривизна плоской кривой
Кривые бывают разные.
Опр. Кривизной плоской кривой в точке М0 называется
величина
k ( M 0 )  lim
l 0
 (t )
l (t )
в том случае, когда кривая на плоскости задана параметрически
x=x(t), y=y(t)
xy  yx
k (M 0 )  2
[ x  y 2 ]3 2
Порядок соприкосновения плоских кривых
Если
 lim
M 1M 2
,
n 1
MM 0
то говорят, что кривые L1 и L2
имеют порядок соприкосновения
равный n.
M M 0
Замечание 1
Если указанный предел равен нулю, то кривые L1 и L2 имеют порядок соприкосновения
выше, чем n.
Замечание 2
Если L1 и L2 имеют порядок соприкосновения выше любого значения n , то говорят, что они
имеют в данной точке бесконечный прядок соприкосновения.