Методические рекомендации по изучению элективного курса

Методические рекомендации по изучению элективного курса
«Акценты на проценты»
9 класс
Тема 1. Что такое процент?
Начать следует с краткого изложения содержания элективного курса, обратив внимание на то,
что учащимся предстоит изучать проценты более глубоко, чем это было на уроках
математики. Необходимо указать на практическую направленность курса.
Изложение материала следует начать с повторения основных соотношений, с нахождения
процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения.
Процентом от любой величины (денежной суммы, массы добытой в стране нефти, числа
учащихся школы) называется её одна сотая часть. Обозначается процент знаком %.
Рассматриваемая величина составляет 100 сотых или 100% от самой себя.
Слово « процент » происходит от латинского pro centum,означающего « от сотни », или « на
сто ».
Простейшие задачи на проценты (найти заданное число процентов от заданной величины).
Задача: Найти 13% от дохода в 350 тыс. рублей.
1способ. Решаем задачу, рассуждая и делая два шага.
1) 350 000: 100 = 3500 р.- находим 1% ;
2) 3500 ·13 = 45500р. – находим 12%;
2 способ. Используем десятичные дроби. Переведём заданное число процентов в десятичную
дробь и перемножим два числа.
13% = 0,13; 350 000 · 0,13 = 45500 р.
3 способ. По формуле, допуская некоторое отступление от строгих требований ма
тематического языка.
р % от S = p · S / 100, где
р – заданное число процентов;
S – заданная величина.
Эту формулу называют формулой процентов и пользуются ею, подставляя вместо букв
нужные числовые значения.
13% от 350 000 = 13 · 350 000 / 100 = 45500 р.
4 способ. Составляя пропорцию.
350 000 р. – 100%;
х р. – 13%;
х =( 350 000 ·13) / 100 = 45500 р.
Обратные задачи на проценты ( известна не исходная величина, а заданное число
процентов от неё, и требуется найти саму исходную величину )
Задача: Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо
найти заказ, чтобы получить 1 000 р.?
1 способ. Решаем задачу, рассуждая и делая два шага.
1) 1 000 : 5 =200 р.- находим 1% ;
2) 200 · 100 = 20 000 р.- находим 100% или весь заказ.
2 способ. Используем десятичные дроби. Переведём заданное число процентов в десятичную
дробь и разделим одно число на другое.
5% = 0,05; 1 000: 0,05 = 20 000 р.
3 способ. По формуле
допуская некоторое отступление от строгих требований
математического языка.
Пусть р% от S = S1, тогда S=S1·100 / p
4 способ. Составляя пропорцию.
1000 р.- 5 %
х р.- 100 %
х =(1000 ·100) / 5= 20 000 р.
Процентное отношение двух величин.
1
Используется в повседневной жизни при сравнении данных экономического, политического и
демографического характера.
Процентное отношение двух величин - это частное от деления первой величины на вторую,
выраженное в процентах.
Процентное отношение А к В равно (А: В) ·100 %.
Процентное отношение двух величин зависит от того, какая из них принимается за исходную:
отношение А к В –это не тоже самое что отношение В к А.
Например, если отношение А к В составляет 125%, т. е. А = 1,25В=5/4В,
то В =4/5А = 0,8А, так что В составляет 80% от А.
При нахождении процентного отношения важно правильно определить, какую величину
принимать за 100%.
Тема 2.Процентное изменение величин.
На практике, часто, с помощью процентов показывают изменение конкретной величины. Эта
форма является наглядной числовой характеристикой, характеризующей значимость
произошедшего изменения. Например, если уровень подростковой преступности повысился
на 3%, в этом ничего страшного еще нет, но если он повысился на 30%, это уже говорит о
серьезности проблемы.
При решении задач на нахождение значения величины после её изменения на некоторое
число процентов, применяются те же рассуждения что и при решении простейших задач на
проценты. Вначале нужно найти на сколько изменится данная величина, а затем найти
значение величины после изменения.
Задача. Фирма оптом покупает товар по цене 23 р. за 1 кг и продает его в розницу с
надбавкой 25%. Какова розничная цена товара? Решим задачу, используя рассуждения.
0,25·23=5,75 р.- величина надбавки; 23+5,75=28,75р. - розничная цена.
Рассуждать можно иначе. Розничная цена составляет 100%+25%=125% оптовой цены, тогда
розничная цена будет равна 1,25· 23=28,75 р.
Для такого рода задач можно составить формулу, показывающую как найти значение
величины после ее изменения на несколько процентов. S1= ( 1+ p/100) S, где S1-значение
величины после ее изменения; p - процент изменения величины; S-первоначальное значение
величины.
На практике величины не всегда увеличиваются. Тогда говорят об отрицательном росте и
формула принимает вид S1= ( 1- p/100) S .В реальной жизни величины изменяются не
равномерно , а по сложным законам -это рост и падение цен, изменение численности
населения и др. Такие задачи решаются поэтапно.
Рассмотрим задачу. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца ? При решении задач такого типа
нужно вводить параметр, так как значение начальной величины не указано. Так же ошибочно
утверждение о том, что цена изменилась на 50%.
Решение. Пусть цена на яблоки в конце декабря была x , тогда в конце января она стала 1,3х.
В течение февраля цена повысилась на 20% и стала равной1,2· 1,3х = 1,56х. Следовательно,
она выросла на 56%.
При решении задач полезно знать наизусть связь между простейшими значениями процентов
и соответствующими дробями: половина- 50%, четверть- 25%, три четверти- 75%, пятая
часть- 20% и т.п. Полезно научиться понимать разные формы одного и того же изменения
величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например:
«Заработная плата повышена на 30% » и «Заработная плата повышена в 1,3 раза».
Аналогично: увеличиться в 2 раза – это значит увеличиться на 100%; увеличиться в3 раза –
это значит увеличиться на 200%; уменьшиться в 2 раза – это значит уменьшиться на 50%.
Точно также: увеличиться на 300% - это значит увеличиться в 4 раза; увеличиться на 200% это значит увеличиться в 3 раза; уменьшиться на 50% - это значит уменьшиться в 2 раза.
Тема 3: Простой процентный рост.
Формула простого процентного роста применяется при решении задач, когда некоторая
величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период
2
времени. Это задачи, в которых требуется найти сумму на банковском счете или например,
рассчитать сумму штрафа при расчете просроченных платежей.
Полезно рассказать учащимся о штрафах, которые называются «пеня» ( от лат, poena –
«наказание») и решить задачу по данной тематике.
Задача.Пеня составляет 1% от суммы платежа за день просрочки. Какую сумму заплатит
человек за задержку платежа в 50 р.на 19 дней?
Решим задачу , используя рассуждения. За 19 дней просрочки штраф составит 1% •19 = 19%
от суммы платежа и будет равен 50 • 0,19 = 9,5 р. ,а всего он заплатит 50 + 9,5 = 59,5 р. Далее
можно вывести формулу для похожих ситуаций.
Пусть S – ежемесячный платеж, штраф составляет p% за каждый день просрочки уплаты за
некоторый месяц, а n- число просроченных дней. Тогда штраф за n просроченных дней
составит p• n %, от суммы S это составит p• n•S/ 100, а сумма, которую придется заплатить
составит S+ p•n•S/100 = (1+ p•n/100)•S.Эта формула называется формулой простого
процентного роста.она показывает значение, которое принимает величина через n
промежутков времени, если в каждый из промежутков она увеличивается на одно и тоже
число процентов, считая от её начального значения.
Задача. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесённой суммы.Клиент сделал
вклад в размере 200 тыс. р.Какая сумма будет на счете через 5 лет; через10 лет?
Решение: Применив полученную формулу получим в первом случае (1+8•5/100)• 200000 =
= 280 000 р., а во втором случае получим (1+8•10/100)•200000 = 360 000 р.
Формула простого процентного роста описывает и ситуации, когда рассматриваемая
величина убывает на одно и тоже число процентов. Тогда формула принимает вид
( 1- p•n/100)•S.
Эта формула применима при решении «обратных задач» .
Задача. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650
рублей?
Решение. Подставим известные величины в формулу простого процентного роста: 650 = ( 1 +
6p/100)•500. Получим уравнение с неизвестным p. Решив это уравнение найдем, что
p = (( 650/500 – 1)•100)/6; p = 5%.
Тема 4.Сложный процентный рост.
Приступив к изучению темы следует обсудить с учащимися ситуации, в которых происходит
такое изменение величин, при котором «проценты начисляются на проценты».Необходимо
так же сказать, что при сложном росте 100% каждый раз новые – это предыдущее значение
величины.
Для вывода формулы сложного процентного роста необходимо решить задачу, используя
рассуждения, а затем на примере этой задачи нужно вывести формулу.
Задача. Сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на счет1 500 р., ни
разу не будет брать деньги со счета, а сумма ежегодно будет увеличиваться на10%.
Решение. Через год сумма вклада увеличится на 10% и будет составлять110% от1500р, это
будет
!,1 · 1500 = 1650 р.. Через год новая сумма увеличится на 10% и будет составлять 110%от
1650 р.и на счёте будет1,1· 1,1·1500 =1815 р. Через три года на счете будет 1,1·1,1·1,1·1500
=1,13·1500 =1996,5 р.. Исходя из этого можно сделать вывод, что через n лет сумма вклада
будет составлять
1,1n · 1500 рублей.
Решив эту задачу в общем виде, получим формулу сложных процентов. Пусть банк начисляет
p% годовых , внесённая сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна
Sn р.
S n = (1+p /100) n · S. Данная формула также применима при отрицательном процентном росте.
В этом случае в формуле появляется знак минус: S n = (1- p /100)n · S.
Используя эту формулу можно решать «обратные задачи», при этом , после подстановки
известных величин, получаем уравнение, решив которое, получим ответ.
Тема 5.Задачи на смеси, сплавы, растворы.
3
Приступая к решению задач этой темы нужно рассмотреть такие понятия как
«концентрация», «процентное содержание», «проба».
Концентрация - это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет
растворимое вещество. Объемная концентрация- отношение объема чистого компонента в
растворе ко всему объему смеси. Массовая концентрация – отношение массы чистого
вещества в сплаве к массе всего сплава. Между массой смеси (m кг), массой растворимого
вещества ( a кг) и концентрацией( p% ) существует зависимость, выраженная формулой:
p
a
= .
100 m
Если проба выражена двузначным числом, то она показывает процентное содержание
драгоценного металла в сплаве. Если проба выражена трёхзначным числом, то она
показывает, сколько г чистого драгоценного металла содержится в 1 кг сплава.
При решении задач данной темы необходимо учитывать некоторые допущения:
- все получающиеся сплавы и смеси однородны;
- при слиянии двух растворов получается смесь, объем которой равен сумме объемов
растворов;
- при слиянии двух растворов масса смеси равна сумме масс, составляющих ее компонентов.
Задача. В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия, добавили 15 кг магния,
после чего содержание магия в сплаве повысилось на 33%.Какова первоначальная масса
сплава?
Решение. Пусть первоначальная масса сплава x кг, тогда содержание в нем магния (x – 22) кг.
x  22
Первоначальное процентное содержание магния в сплаве равно
· 100(%). После того,
x
как в сплав добавили 15 кг магния, масса сплава стала (x +15) кг, а масса магния в нем стала
(x – 22) + 15 = ( x-7 ) кг.
x7
Процентное содержание магния в новом сплаве равно
· 100(%).
x  15
Так как процентное содержание магния уменьшилось на 33%, составим уравнение:
x  22
x7
· 100 · 100 =33. Решив уравнение, получим x=25 кг.
x
x  15
Решение задачи можно оформить в виде таблицы:
Масса сплава, кг
Было первоначально
x
стало
x +15
Масса магния, кг
x - 22
x -7
x  22
· 100
x
x7
· 100
x  15
Процентное содержание
магния, %
Тема 6. Проценты в нашей жизни.
Сюжеты задач, решаемых при изучении данной темы, взяты из реальной жизни – из газет,
объявлений, документов и могут отражать такие жизненные ситуации, как распродажи,
изменение тарифов, штрафы, результаты голосования и т. д.
На первых занятиях курса можно предложить учащимся подобрать задачи по данной теме из
различных источников
Рекомендуемая литература
1. Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е. и др. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по
математике. - М.: «5 за знания »,2006.
2.Дорофеев Г.В., Седова Е. А. Процентные вычисления: Учебно-методическое пособие. – М.
Дрофа, 2003.
4
3.Кузнецова Л. В., Суворова С. Б. и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой
аттестации в 9 классе.- 2-е изд.-М.: Просвещение,2007.
4. Шевкин А.В. Текстовые задачи: Учебное пособие по математике. – М.: « ТИД «Русское
слово – РС »,2003.
5