Подсчеты
Количество подмножеств множества.
2023
1
План темы
• Основные принципы комбинаторики принципы умножения и
сложения
• К-элементные подмножества множества М
• Тождество Коши
• Биномиальная теорема
• Мультимножества
• Обобщенное сочетание. Обобщенная перестановка
• Последовательности
• Производящие функции
• Решение рекуррентных уравнений
• Числа Фибоначчи
• Числа Каталана
• Исчисление конечных разностей
2
Литература
1. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и
комбинаторика. : 2004. — 960 с.
Стр.316-346, 489-508, 523-548
2. Кнут Д. Искусство программирования. Том 1.
Гл 1. радел 1.2.5-1.2.9 Стр.75-127.
3. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: Наука 1969 г. 323с.
3
Основные принципы комбинаторики
принципы умножения и сложения
Пусть задана последовательность событий E1,E2,E3, . . . , Em
таких, что событие Еi осуществляется ni способами/
Тогда существует п1* n2*…* nm способов осуществления всей
последовательности событий.
Принцип сложения Пусть E1,E2,E3, . . . , Em попарно
непересекающиеся множества, и пусть для каждого i, множествоEi
содержит ni элементов.
Количество вариантов выбора одного элемента из любого из этих
множеств равно п1+ n2+…+ nm
4
Булеан.
•Семейство всех подмножеств
множества М называется булеаном и
обозначается 2М.
М
•2 = А|𝐴 ⊇ 𝑀
5
Для любого конечного М,
М
2
=2
М
.
• Множество всех характеристических векторов булеана M,
• |M|=n ?
• Характеристическому вектору bnbn-1 …b1b0 можно поставить в
соответствие число к, 𝑘 = 𝑛𝑖=0 𝑏𝑖 ∗ 2𝑖 , тогда количество
подмножеств равно максимальному числу +1.
6
К-элементные подмножества множества М.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
M={1,2,3,4,5}
1 00011
{4,5}
2 00101
{3,5}
3 01001
{2,5}
4 10001
{1,5}
5 00110
{4,3}
6 01010
{4,2}
7 10010
{4,1}
8 01100
{2,3}
9 10100
{1,3}
10 11000
{1,2}
7
Свойства P(k, n)
• P(k, n) - количество к-элементных подмножеств множества М,
|M|=n
• P(2,5) =10
• P(0,n)=1, P(k,n)=0, k>n
• P(n,n)=1
• P(1,n)=n
• P(k,n)=P(n-k,n)
8
Свойства P(k, n) 2
• P(k,n)=P(k,n-1)+P(k-1,n-1)
0001𝟏
0010𝟏
•
P(1,4)
0100𝟏
1000𝟏
0011𝟎
0101𝟎
1001𝟎
•
P(2,4)
0110𝟎
1010𝟎
1100𝟎
9
Свойства P(k, n) 3
• 𝑃 𝑘, 𝑟 + 𝑘 + 1 = 𝑘𝑖=0 𝑃(𝑖, 𝑟 + 𝑖)
• P(k,n)=P(k,n-1)+P(k-1,n-1)= P(k,n-1)+(P(k-1,n-2)+P(k-2,n-2))=
• P(k,n-1)+P(k-1,n-2)+(P(k-2,n-3)+P(k-3,n-4))=
• P(k,n-1)+P(k-1,n-2)+…+(P(1,n-k)+P(0,n-k-1))
10
Свойства P(k, n) 3.1P(k,n)=
𝑛−1
𝑖=0 𝑃(𝑘
− 1, 𝑖)
• P(k,n)=P(k,n-1)+P(k-1,n-1)= (P(k,n-2)+P(k-1,n-2))+P(k-1,n-1)=P(k1,n-1)+P(k-1,n-2)+(P(k,n-3)+P(k-1,n-3))=P(k-1,n-1)+P(k-1,n-2)
+…+P(k-1,k-1)= 𝑛−1
𝑖=0 𝑃(𝑘 − 1, 𝑖)
0001𝟏
0010𝟏
• 0100𝟏 P(1,4)
1000𝟏
0011𝟎
0011
0101𝟎
0101 𝑃(1,3)
1001𝟎
1001
•
P(2,4) 011
0110𝟎
𝑃(1,2)
101
1010𝟎
110 𝑃(1,1)
1100𝟎
11
Свойства P(k, n) 4
• 𝑃 𝑘 + 1, 𝑛 + 1 = 𝑛𝑖=0 𝑃(𝑘, 𝑖)
• P(k,n)=P(k,n-1)+P(k-1,n-1)=[ P(k,n-1)=P(k,n-2)+P(k-1,n-2)]=
• P(k,n-2)+(P(k-1,n-2)+P(k-1,n-1))=
• P(k,n-3)+P(k-1,n-3)+(P(k-1,n-2)+P(k-1,n-1))=
• P(k,0)+P(k-1,0)+…+P(k-1,n-2)+P(k-1,n-1))
12
k*P(k,n)=n*P(k-1,n-1)
00011
00101
•
P(1,4)
01001
10001
00110
01010
10010
•
P(2,4)
01100
10100
11000
13
Тождество Коши
𝑚
𝑛
𝑃 0, 𝑚 ∗ 𝑃(𝑘, 𝑛)
0
𝑘
1 𝑘 − 1 𝑃 1, 𝑚 ∗ 𝑃(𝑘 − 1, 𝑛)
…
• …
…
𝑘 − 1 1 𝑃 𝑘 − 1, 𝑚 ∗ 𝑃(1, 𝑛)
𝑘
0
𝑃 𝑘, 𝑚 ∗ 𝑃(0, 𝑛)
• P(k,n+m)=
𝑘
𝑖=0 𝑃
𝑖, 𝑚 ∗ 𝑃(𝑘 − 𝑖, 𝑛)
14
𝑛
𝑖 ∗ 𝑃 𝑖, 𝑛 = 𝑛 ∗ 2𝑛−1
• 00 … 000
00 … 001
•
…
10 … 000
00 … 011
•
…
11 … 000
•…
• 11 … 111
0
𝑖=0
1 ∗ 𝑃 1, 𝑛
2 ∗ 𝑃(2, 𝑛)
n∗P(n,n)
• 2𝑛−1 … +2𝑛−1
15
P(k,n)=(n/k)*P(k-1,n-1)
• k*P(k,n)=n*P(k-1,n-1)
• P(k,n)=(n/k)*P(k-1,n-1)
• P(k,n)=(n/k)*P(k-1,n-1)=(n/k)*((n-1)/(k-1))*P(k-2,n-2)=…=
•
•
𝑛∗ 𝑛−1 ∗⋯∗(𝑛−𝑘+1)
=
P(0,n-k)
𝑘∗ 𝑘−1 ∗⋯∗1
𝑛∗ 𝑛−1 ∗⋯∗(𝑛−𝑘+1)
𝑛!
P(k,n)=
=
𝑘∗ 𝑘−1 ∗⋯∗1
𝑘! 𝑛−𝑘 !
𝑛
• P(k,n) -число сочетаний из n элементов по k,
𝑘
биномиальный коэффициент
𝐶𝑛𝑘
16
3.1 P(k,n)=
𝑛−1
𝑖=0 𝑃(𝑘
• P(1,i)=I, 𝑛−1
𝑖=0 𝑃(1, 𝑖)=P(2,n),
• i*i=2*P(2,i)+P(1,i)
•
𝑛
2
𝑖
𝑖=1
=
𝑛
𝑖=1
− 1, 𝑖)
𝑛−1
𝑖=0 𝑖
=P(2,n)=n*(n-1)/2
2 ∗ 𝑃 2, 𝑖 +
17
𝑘
𝐶𝑛
• Количество к-элементных подмножеств,
• Количество способов выбрать к элементов из n,
• Количество к-значных чисел в n-ичной системе счисления, цифры
идут строго по возрастанию.
•…
18
Биномиальная теорема.
• Для произвольного положительного числа n
• (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑛𝑖=0 𝐶𝑛𝑖 𝑎𝑖 𝑏 𝑛−𝑖
19
Следствие
• 𝑛𝑖=0 𝑃 𝑖, 𝑛 = 2𝑛
• Доказать, что
• 𝑛𝑖=0(−1)𝑖 𝑃 𝑖, 𝑛 = 0
• Последовательность 𝑎𝑖 действительных чисел называется
унимодальной , если существует такое k, что
• a0< a1<…<ak≥ak+1>ak+2>…>an
• ( максимальное значение принимается не более чем в двух точках
k и, может быть, k+1)
• Последовательность С𝑖𝑛 унимодальна и k=[n/2].
21
Примеры задач
• Виленкин стр.222-224
• В группе 25 человек, 15 юношей и 10 девушек. Сколькими
способами можно составить из них команду из 5 человек (3
девушки и2 юноши)?
22
Мультимножества
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1 00011
{4,5} 45
2 00101
{3,5} 35
3 01001
{2,5} 25
4 10001
{1,5} 15
5 00110
{4,3} 34
6 01010
{4,2} 24
7 10010
{4,1} 14
8 01100
{2,3} 23
9 10100
{1,3} 13
10 11000
{1,2} 12
Количество двузначных чисел в пятеричной с/с, причем последовательность цифр
строго возрастающая.
23
Множества с повторениями
(мультимножества).
• Каждый элемент универсума может входить в любое множество
произвольное число раз – кратность элемента.
• Характеристический вектор bnbn-1 …b1b0
• Здесь bi кратность i-го элемента 0≤bi≤mi , mi – количество i-го
элемента в универсуме.
• Мультимножество В подмножество мультимножества А, если
кратность каждого элемента в В не больше кратности этого
элемента в А.
24
• Число |X|= bn+bn-1 +…+b1+b0 мощность множества Х.
• Число всех подмножеств множества Х
• (bn+1)(bn-1 +1)…(b1+1)(b0 +1)
• (Связь с количеством различных делителей числа )
25
Количество к-элементных мультимножеств универсума
состоящего из n различных элементов (сортов).
• Каждому элементу поставим в соответствие цифру в n-ичной
системе счисления, тогда к-элементное мультимножество это кзначное число в n-ичной системе счисления, в записи числа все
цифры неубывают.
• Например: двухэлементные мультимножества множества из пяти
элементов: 11, 12, 13, 14, 15, 22, 23, 24, 25, 33, 34, 35, 44, 45, 55
• Иначе: n10n20…0nk здесь ni – последовательность из ni - единиц
• 24 -010010, 33 – 001100, 011000 - 22
• Количество к-элементных мультимножеств универсума
состоящего из n различных элементов (сортов). С𝑘𝑛+𝑘−1
26
• Сколько решений имеет уравнение
• xk+xk-1 +…+x1=n
• xi - неотрицательное целое число.
• С𝑘𝑛+𝑘−1
27
Обобщенное сочетание.
•
𝑠
𝑛
х
𝑖=0 𝑖
=
𝑘1 𝑘2 …𝑘𝑠
𝑘1 +𝑘2 +⋯+𝑘𝑠 =𝑛
𝑘1 𝑘2 …𝑘𝑠
𝐶𝑛
называется
• Величина
обобщенным размещением.
•
𝑛!
𝑘 𝑘
𝑥1 1 𝑥2 2
𝑘1 !𝑘2 !…𝑘𝑠 !
𝑘
… 𝑥𝑠 𝑠
обобщенным сочетанием или
𝑛!
𝑘1 𝑘2 …𝑘𝑠
𝐶𝑛
=
𝑘1 !𝑘2 !…𝑘𝑠 !
28
Найти коэффициент при x7 в разложении
полинома (x2 – 3x+2)10
•
𝑥2
− 3𝑥 + 2
10
=
10!
𝑘1 !𝑘2 !𝑘3 !
𝑥2
𝑘1 (−3𝑥)𝑘2 2𝑘3
=
𝑘1 +𝑘2 +𝑘3 =10
10!
2𝑘1 +𝑘2 (−3)𝑘2 2𝑘3
(𝑥)
𝑘1 +𝑘2 +𝑘3 =10 𝑘 !𝑘 !𝑘 !
1 2 3
• 2k1+k2=7,
29
2k1+k2=7, k1+k2+k3=10
k1
k2
k3
C
P
0
7
3
10! (7! 3!) (-3)723
1
5
4
10! (5! 4!) (-3)524
2
3
5
10! (2! 5! 3!)(-3)325
3
1
6
10! (3! 1! 6!)(-3)126
• (10! (7! 3!))(-3)723+(10! (5! 4!))(-3)524+(10! (2! 5! 3!))(-3)325
+(10! (3! 6!))(-3)126
30
Обобщенная перестановка.
• Пусть множество S содержит n объектов различных типов, в том
числе n1 неразличимых объектов типа 1, n2 - неразличимых
объектов типа 2 и , вообще, ni неразличимых объектов типа i.
Тогда количество различных размещение элементов множества S:
• - количество разбиение множества S из n объектов на s
подмножеств S1 , S2, …Ss содержащих k1 , k2 ,…,ks элементов.
соответственно
•
𝑘1 𝑘2 …𝑘𝑠
𝐶𝑛
=
𝑛!
𝑘1 !𝑘2 !…𝑘𝑠 !
31
Пример:
• Сколькими способами можно выбрать из колоды 36 карт четыре
набора по 6 карт?
• Колода разбивается на 5 подмножеств 6+6+6+6+12
•
6,6,6,6,12
𝐶36
=
36!
6!6!6!6!12!
32
Число счастливых билетов. 1
1. Существует взаимно-однозначное соответствие между
множеством «счастливых» 6-значных номеров и множеством 6значных номеров с суммой цифр 27 .
2. A множество всех решений уравнения
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥6 = 27 в целых неотрицательных числах
5
𝐴 = 𝐶27+6−1
,
5
𝐴𝑖 -множество решений для которых 𝑥𝑖 ≥ 10, 𝐴𝑖 = 𝐶17+6−1
5
𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 𝐶7+6−1
33
Число счастливых билетов.2
•
•
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖
=𝐴 −
𝑛
𝑖=1
𝑛
1≤𝑖<𝑗≤𝑛 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗
5
𝐶62 *𝐶12
= 55252
𝐴𝑖 +
5
5
=𝐶32
− 6 ∗ 𝐶22
+
-….+(−1)𝑛
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖
34
Последовательности.
• Строка длины m символов n
• Размещения с повторениями: nm
• Размещения без повторения: [n]m=n(n-1)…(n-m+1)
Каждый символ не более одного раза (перестановка из n элементов
по r)
• Перестановки: n!
35
36
37
Задачи
• Виленкин стр.225-229
• Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр
числа 12335233
• Сколькими способами это можно сделать так, чтобы никакте две
одинаковые цифры не шли друг за другом?
• Сколько различных четырехбуквенных слов можно составить из
слова ававпавпра.
• Вывести формулу для чисел Фибоначи через биномиальные
коэффициенты 𝐹𝑛+1 = 𝑖=0 𝐶𝑗𝑖
38
Производящие функции
2022
39
Производящей функцией
для последовательности 𝑎0 , 𝑎1 , … 𝑎𝑖 , … называется формальный
степенной ряд
𝑎𝑖 𝑥 𝑖
𝐴 𝑥 =
𝑖=0
Термин «формальный» означает, что, 𝐴 𝑥 интересует нас не как
числовая функция от переменной x , а как «носитель»
последовательности 𝑎𝑖
40
Действия над степенными рядами
•𝐴 𝑥 =
𝑖 𝐵 𝑥 =
𝑎
𝑥
𝑖=0 𝑖
• 𝐴 𝑥 +𝐵 𝑥 =
𝑖
𝑏
𝑥
𝑖=0 𝑖
𝑖
(𝑎
+
𝑏
)𝑥
𝑖
𝑖=0 𝑖
• 𝑝𝐴 𝑥 = 𝑖=0 𝑝𝑎𝑖 𝑥 𝑖
• Произведение Коши.
• 𝐴 𝑥 ∗𝐵 𝑥 =
𝑘=0(
𝑘
𝑘
(𝑎
𝑏
))𝑥
𝑖=0 𝑖 𝑘−𝑖
41
ПРИМЕРЫ 1
•1
•1
1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + ⋯
=
1
+
𝑥
(1−𝑥)
(1−𝑥)2
=1
1
∗
(1−𝑥)
1 + 3𝑥 2 + ⋯ + (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 + ⋯
=
1
+
2𝑥
(1−𝑥)
• 1 (1+𝑥)2 = 1 (1−(−𝑥))2 = 1 − 2𝑥 1 + 3𝑥 2 − ⋯ + (−1)𝑛 (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 +
⋯
• Для любого m
𝑖
𝑖 𝑖
𝐶
𝑎
𝑥
𝑖=1 𝑚+𝑖−1
•1
(1−𝑎𝑥)𝑚
•1
2 2
𝑘 𝑘
=
1
+
2𝑥
+
2
𝑥
+
⋯
+
2
𝑥 +…
(1−2𝑥)
=1+
42
ПРИМЕРЫ 2
• Сочетания без повторений из n по k. Каждый элемент в
выборке встречается не более одного раза.
𝑛
•
𝑛
𝑘 𝑘
𝐴 𝑥 = (1 + 𝑥) =
𝐶𝑛 𝑥
𝑖=0
• Сочетания с повторениями из n по k. Каждый элемент в
выборке может появиться любое число раз
• 𝐴 𝑥 = (1
1−𝑥
)𝑛 =
𝑛
𝑘
𝑘
𝐶
𝑥
𝑖=0 𝑛+𝑘−1
43
Ряд Ньютона
• Если t положительное число и |x|<t, то для любого
действительного числа имеет место a
𝑎
𝑎
• (𝑥 + 𝑡) = 𝑡 + 𝑎𝑡
𝑎 𝑎−1 … 𝑎−𝑘+1
1∗2∗⋯∗𝑘
𝑡
𝑎−1
𝑥+
𝑎(𝑎−1) 𝑎−2 2
𝑡
𝑥
1∗2
+ ⋯+
𝑎−𝑘 𝑘
𝑥 +⋯
44
Решение рекуррентных уравнений 1
• 𝑎0 = 1; 𝑎1 = 4; 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘−1 + 6𝑎𝑘−2
•𝑓 𝑥 =
• 𝑥𝑓 𝑥 =
𝑖
𝑎
𝑥
𝑖=0 𝑖
𝑖+1
𝑎
𝑥
𝑖=0 𝑖
• 6𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑖=0 6𝑎𝑖 𝑥 𝑖+2
• 𝑓 𝑥 − 𝑥𝑓 𝑥 − 6𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 − 𝑎0 𝑥 + (𝑎2 − 𝑎1 −
45
Решение рекуррентных уравнений 2
• 𝑓 𝑥 − 𝑥𝑓 𝑥 − 6𝑥 2 𝑓 𝑥 = 1 + 3𝑥
•𝑓 𝑥 =
•𝑓 𝑥 =
•
•
1+3𝑥
1−𝑥−6𝑥 2
6
5
+
=
−1
𝑎
1−3𝑥
5
+
𝑏
1+2𝑥
=
1−3𝑥
1+2𝑥
6
1
𝑖
𝑖
3𝑥
−
−2𝑥
5 𝑖=0
5 𝑖=0
1
𝑎𝑛 = ( )(6 ∗ 3𝑛 − (−2)𝑛 )
5
=
1
( 𝑖=0(6
5
∗ 3𝑖 − −2 𝑖 )𝑥 𝑖
46
Числа Фибоначчи 1
• 𝑎0 = 1; 𝑎1 = 1; 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘−2
•𝑓 𝑥 =
𝑖
𝑎
𝑥
𝑖=0 𝑖
• 𝑥𝑓 𝑥 =
• 𝑥 2𝑓 𝑥 =
𝑖+1
𝑎
𝑥
𝑖=0 𝑖
𝑖+2
𝑎
𝑥
𝑖=0 𝑖
• f 𝑥 − 𝑥𝑓 𝑥 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 − 𝑎0 𝑥 + 𝑎2 − 𝑎1 − 𝑎0 𝑥 2 +
𝑖
(𝑎
−𝑎
−
𝑎
)𝑥
𝑖−1
𝑖−2
𝑖=3 𝑖
47
Числа Фибоначчи 2
• 𝑓 𝑥 − 𝑥𝑓 𝑥 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 1
•𝑓 𝑥
• 𝑎=
1
=
1−𝑥−𝑥 2
(1+ 5)
2
=
𝐴
1−𝑎𝑥
+
𝐵
1−𝑏𝑥
(1− 5)
• 𝑏=
• 𝐴=𝑎
• 𝐵=
2
(𝑎−𝑏)
−𝑏
(𝑎−𝑏)
•𝑓 𝑥 =
𝐴
1−𝑎𝑥
𝐵
+
1−𝑏𝑥
=
𝑎
(𝑎−𝑏)
𝑖=0
𝑎𝑖 𝑥 𝑖
−
𝑏
𝑎−𝑏
𝑖=0
𝑏𝑖 𝑥 𝑖
=
𝑎𝑖+1 −𝑏𝑖+1 𝑖
𝑥
𝑖=0
𝑎−𝑏
48
Числа Фибоначчи 3
• 𝐵𝑛
=1
𝑛+1
(1+ 5)
5
2
−
𝑛+1
(1− 5)
2
49
Числа Каталана
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
1
𝑛
𝑛
𝐶2𝑛+1 =
𝐶2𝑛
2𝑛+1
𝑛+1
00111 01110 11100 11001 10011
01011
01101
01110 11100
10011 00111 01110 11100
10101
10110
11001 10011 00111 01110 11100
11010
11100
50
Числа Каталана 2
• 𝑐𝑘 = 𝑐0 𝑐𝑘−1 + 𝑐1 𝑐𝑘−2 + ⋯ + 𝑐𝑘−1 𝑐0
• 𝑓 𝑥 = 𝑖=0 𝑐𝑖 𝑥 𝑖
• 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑓2 𝑥 + 1
•𝑓 𝑥
• (𝑥 +
1± 1−4𝑥
=
2𝑥
𝑡)𝑎 = 𝑡 𝑎 + 𝑎𝑡 𝑎−1 𝑥
𝑎 𝑎−1 … 𝑎−𝑘+1
1∗2∗⋯∗𝑘
+
𝑎(𝑎−1) 𝑎−2 2
𝑡
𝑥
1∗2
+ ⋯+
𝑡 𝑎−𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
51
Числа Каталана 3
• 1+𝑥
1/2
=1+
−1 𝑥 2
22 2!
• 1+
1∗3∗𝑥 3
+ 3 …=
2 3!
𝑥 1/2 = 1 +
• =1+
• 1−𝑥
• (1
1𝑥
2∗1!
+
1/2 1/2−1
2!
𝑥2
1
+
1
1/2 2−1 (2−2)𝑥 3
…
3!
1∗3∗⋯∗(2𝑘−3) 𝑘
𝑘−1
(−1)
𝑥
2𝑘 𝑘!
=1+
𝑥
2∗1!
+
=
𝑘−1
𝐶
2𝑘−2
(−1)𝑘−1 2𝑘−1
𝑥𝑘
2
𝑘
−1/2
𝑘
=1+
− 4𝑥)1/2 =
1+
𝐶2𝑘 𝑘
𝑘
(−1) 2𝑘 𝑥
2
𝑘
𝐶2𝑘
𝑘
(−1) 2𝑘 (4𝑥)𝑘 =
2
𝑘
1+
𝐶2𝑘 𝑘
𝑘
(−1) 2𝑘 𝑥
2
52
Исчисление конечных разностей
• Пусть дана функция φ, определённая на множестве
действительных чисел и принимающая действительные значения.
• Первая разность ∆𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 + 1 − 𝜑(𝑥)
• Δ - разностный оператор первого порядка
• ∆𝑘 - k-й разностный оператор
• ∆𝑘 𝜑 𝑥 = ∆(∆𝑘−1 𝜑 𝑥 )
• 𝐸𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 + 1 - оператор сдвига
• Единичный оператор 𝐼𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 , ∆= 𝐸 − 𝐼
53
Исчисление конечных разностей 2
• ∆𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 + 1 − 𝜑 𝑥 = 𝐸𝜑 𝑥 − 𝐼𝜑 𝑥 = (𝐸 − 𝐼)𝜑 𝑥
• ∆𝑘 𝜑 𝑥 = (𝐸 − 𝐼)𝑘 𝜑 𝑥 = 𝑘𝑖=0(−1)𝑘−𝑖 𝐶𝑘𝑖 𝐸 𝑖 𝜑 𝑥 =
𝑘
𝑘−𝑖 𝑖
(−1)
𝐶𝑘 𝜑 𝑥 + 𝑖
𝑖=0
• ∆𝑘 𝜑 0 = 𝑘𝑖=0(−1)𝑘−𝑖 𝐶𝑘𝑖 𝜑 𝑖
• 𝜑 𝑘 = 𝐸 𝑘 𝜑 0 = (∆ + 1)𝑘 𝜑 0 = 𝑘𝑖=0 𝐶𝑘𝑖 ∆𝑖 𝜑 0
54
• Функция 𝜑 -полином степени, не превосходящей d, тогда и только
тогда, когда ∆𝑑+1 𝜑 𝑘 = 0 (или∆𝑑 𝜑 𝑘 - постоянная).
55
1
𝐶𝑛
2
𝐶𝑛
𝑆2 𝑛 = 1 ∗
+3∗
2
𝑛
= (2𝑛 + 3𝑛 + 1) 6
𝑖2
k
∆1
∆2
+2∗
∆3
3
𝐶𝑛
∆4
0
0
1
1
1
2
5
4
3
3
14
9
5
2
4
30
16
7
2
5
55
25
9
2
0
56
1
𝐶𝑛
2
2
𝐶𝑛
𝑆3 𝑛 = 1 ∗
+7∗
+ 12 ∗
3
𝑛
= (𝑛 + 2𝑛 + 𝑛) 4
𝑖3
k
0
1
2
3
4
5
0
1
9
36
100
225
∆1
1
8
27
64
125
∆2
7
19
37
61
∆3
12
18
24
3
𝐶𝑛
+6∗
4
𝐶𝑛
∆5
∆4
6
6
0
57
58
59
60
61
62
63
64