a14a88cd3ec669eb5d765058c66e52b7 (1)

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
ЗАДАНИЯ
I тура дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 8 класса
Вариант 1
1. Разложить на множители
(a-x)
-(a-y)
+(x-y)
3
3
3
3
3
2 2
3 3
=ay -xy -ax +x y+(x-y)a =xy(x -y )-a(x -y )+(x-
3
2
2
3
y)a =xy(x-y)(x+y)-a(x-y)(x +xy+y )+(x-y)a =(x-y)(xy(x+y)2
2
3
2
2
2
2
3
a(x +xy+y )+a )=(x-y)(x y+xy -ax +axy+ay +a )
2. Найти все целые и положительные n, при которых дробь
принимает целые значения.
Решение:
2
2
(3n -3n+20):20=(3n -3n):20+1=(3n(n-1)):20+1
3n(n-1)=0
n=0 (не удовлетворяет); n=1.
3n(n-1) делится нацело на 20,если n=20;40;60 и т.д. и n-1=20,
n = 21 , n = 41, n = 61.
Ответ: При n=1, n=20,21,40,41 и т.д.
3. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100
включительно.
Решение:
В каждой десятке есть числа оканчивающееся на цифру 5 , которые при
умножении на четное число дает в конце 0 ,таких чисел всего 10 штук,
имеются 9 десятков оканчивающееся на 0 , и у числа 100 имеется 2 нуля.
Всего 10+9+2=21(нуль)
Ответ: Произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно
оканчивается 21 нулями.
4. Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь,
образуют квадрат.
Дано:
ABCD-прямоугольник
AM,BM,BN,CN,CP,DP,DK,AK-биссектрисы внешних углов ABCD
Доказать,что MNPK-квадрат.
Треугольник ABM= Треугольнику CDP-по стороне и прилегающим к ним
углам.
Угол А= Углу С= 45градусам.
Угол В= Углу D= 45 градусам.
AB=CD(по условию)
Треугольник BCN= Треугольнику ADK-по стороне и прилежащим к ним
углам.
Угол А= Углу В= 45 градусам.
Угол С= Углу D= 45 градусам.
Треугольник BCN, Треугольник ADK, Треугольник ABM, Треугольник CDPпрямоугольные и равнобедренные.
Доказать MNPK-квадрат.
Треугольник ABM и CDP- равнобедренные и прямоугольные.
Треугольник ABM, Угол М=90 градусов,т.к. Угол А= Углу В= 45 градусам.
Треугольник CDP, Угол Р=90 градусов,т.к. Угол С= Углу D= 45 градусам.
Треугольник ABM= Треугольнику CDP- по стороне и прилегающим к ней
углам.
АВ=СD(по условию), Угол А= Углу С, Угол В= Углу D.
Получим АМ=ВМ=СD=PD
Аналогично Треугольник BCN= Треугольникy ADK
Получим BN=CN=AK=DK
Получим, что MN=NP=PK=KM
Угол М= Углу N= Углу Р=Углу К= 90 градусам.
Значит МNPK-квадрат, ч.т.д.
5. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
Решение:
Рассмотрим движение минутной стрелки часов.
20 минут- это 1/3 часа, т.е. 1/3 от 360°. Если идти от нуля, т.е. от штриха,
показывающего 12 часов ровно, но это будет угол 360°/3=120°.
Значит, 120°-это угол между минутной стрелкой и нулём.
Рассмотрим движение часовой стрелки часов. За 20 минут часовая стрелка
пройдёт 1/3 часть между 12ч и 13ч.
Штрихи, показывающие часы, делят круг в 360° на 12 частей.
1/12 часть круга составляет 30°.
Тогда 1/3 из 30° будет 10°.
Значит, часовая стрелка будет отклонена от нуля на 10°.
Тогда угол между часовой и минутной стрелками в 12 часов 20 минут будет
120°-10°=110°.
Ответ: 110°.
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия _________ Азнабаев _________________
Имя _____________ Айнур ____________
Отчество _________ Разихович _________________
Класс ____________8(А)__________________
Школа_ГБОУ_СЛИ_№2________________________
Город (село)_Стерлитамак________________________
Район_______________________________
Ф.И.О. учителя_ Жирнова Луиза Зиннуровна______________________