Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И. Ленина"
Кафедра физики
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Методические указания к выполнению
рассчетно-графического задания
по физике №2
Иваново 2008
Составители:
В.Х. Костюк,
О.А. Кабанов,
Г.А. Шмелева
Редактор
В.К. Ли-Орлов
Содержат
математические
формулировки
основных
определений и законов молекулярной физики и термодинамики с
пояснениями, примеры решений типовых задач, образцы
оформления решений, задания для самостоятельной работы
студентов по курсу "Молекулярная физика и термодинамика".
Предназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов.
Утверждены цикловой методической комиссией инженернофизического факультета.
Рецензент
кафедра
физики
ГОУВПО
"Ивановский
государственный
энергетический университет имени В.И. Ленина"
Молекулярная физика и термодинамика
Методические указания к выполнению расчетно-графического
задания по физике №2
Составители:
КОСТЮК Владимир Харитонович,
КАБАНОВ Олег Альбертович,
ШМЕЛЕВА Галина Александровна
Редактор М.А. Иванова
Лицензия ИД № 05285 от 4 июля 2001 года
Подписано в печать
Формат 60х84
.
Печать плоская. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 150 экз. Заказ №
ГОУВПО "Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И. Ленина"
Отпечатано в РИО ИГЭУ
153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
2
Программа курса
"Молекулярная физика и термодинамика"
Термодинамические системы. Методы молекулярной физики,
статистической физики и термодинамики. Термодинамические
параметры. Состояния термодинамической системы. Уравнения
состояния идеального газа. Термодинамические процессы.
Диаграммы состояний и процессов.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеального газа. Средняя кинетическая энергия молекул.
Абсолютная температура. Число степеней свободы молекулы. Закон
равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул.
Распределение молекул идеального газа по скоростям –
распределение
Максвелла.
Барометрическая
формула.
Распределение молекул идеального газа по энергиям в
потенциальном поле – распределение Больцмана.
Термодинамика идеального газа. Термодинамические функции:
внутренняя энергия, работа, количество теплоты. Первый закон
термодинамики. Работа в изохорном, изобарном и изотермическом
процессах.
Теплоемкость.
Теплоемкость
идеального
газа.
Соотношение Майера. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона.
Циклические процессы. Цикл Карно. Тепловая машина. КПД
тепловой машины. КПД идеальной тепловой машины. Теорема
Карно.
Обратимые и необратимые процессы. Второй закон
термодинамики. Энтропия. Теорема Нернста. Энтропия идеального
газа. Понятия порядка и беспорядка. Статистический вес. Формула
Больцмана. Статистический смысл второго закона термодинамики.
Кинетические явления. Среднее число столкновений и средняя
длина свободного пробега молекул. Диффузия, теплопроводность и
внутреннее трение.
Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы
реального газа. Фазовые переходы 1-го рода. Критическое состояние
вещества.
3
I. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
ПРОЦЕССЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
1. Уравнения состояния идеального газа (производные формы):
p  nkT ,
pV  NkT ,

p  RT ,

pV  RT ,
m
pV  RT ,

где р – давление;
n – концентрация молекул;
k = 1,38 10-23 Дж/К; – постоянная Больцмана;
T – абсолютная температура;
V – объём;
N – число молекул;
ρ – плотность газа;
μ – молярная масса;
m – масса газа;
ν – число молей;
R = 8,31 Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная.
2. Закон Дальтона:
р
 рi ,
где p – давление смеси газов, pi – парциальное давление i – го
компонента смеси газов.
3. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной
массы:
а) изотермический, Т = const,
р V  const ;
V
б) изобарный, p= const,
 const ;
T
р
в) изохорный, V = const,
 const .
T
4
Примеры решения задач
Задача 1. В баллоне объёмом 20 л находится аргон под
давлением 1,0 МПа и температуре 300 К. После того как из баллона
было взято 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до 280
К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.
Дано:
Решение:
V = 20 л = 2,0·10-2 м3
Для решения задачи воспользуемся
р1 = 1,0 МПа = 1,0·106 Па
уравнением состояния идеального
Т1 = 300 К
газа, применив его к начальному и
Т2 = 280 К
конечному состояниям газа:
m
р1V  1 RT1 ,
Δm = 20,0 г = 2,0·10-2 кг
(1)

m
р2V  2 RT2 .
р2 – ?
(2)

Из уравнений (1) и (2) выразим m1 и m2 и найдём их разность:
р
р V
,
m  m1  m2  ( 1  2 )
T1 T2 R
откуда находим
Т
mRT2
.
(3)
р2  р1 2 
Т1
V
Проверку решения проведем по размерности физических
величин. В правую часть вместо символов величин подставим их
единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них
имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей,
первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим
второе слагаемое:
Дж
R m T   моль  кг  кг  К  Дж  Н  Па .
кг
  V 
м3
м2
 м3
моль
Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для
аргона   40  10 3 кг/моль.
280 8,31  2  10 2  2,8  10 2

 93,3  104  5,8  104 
300
40  10 3  2  10  2
 87,5  104 Па  875 кПа .
Ответ: 875 кПа.
р2  1,0  106 
5
Задача 2. В сосуде находится смесь 14,0 г азота и 16,0 г
кислорода при температуре 300 К и давлении 8,3 кПа. Определить
плотность этой смеси, считая газы идеальными.
Дано:
Решение:
m1  14,0 г  1,40  10 2 кг
1  28  10
3
кг / моль
Для каждого компонента в смеси
газов можно записать уравнения
m2  16,0 г  1,60  10 2 кг
состояния:
1  32  10 3 кг / моль
m
р1V  1 RT ,
1
Т  300 К
Р  8,3кПа  8,3  103 Па
р2V 
 ?
m2
2
RT .
(1)
(2)
Давление смеси равно р  р1  р2 (по закону Дальтона).
Суммируя (1) и (2), с учётом закона Дальтона найдём объём газа
m
m RT
.
V ( 1  2)
1 2 р
Для плотности смеси находим
m  m2
m  m2 р
.
 1
 1
m1 m2 RT
V

1
2
Проверка размерности:
m P 
кг  Па
кг  Па кг
.


  R T  моль  ( Дж /( моль  К ))  К Дж м3
Вычисления:

30  10 3 8,3  10 3
кг

 0,1
.
14 16 8,3  3  10 2
м3

28 32
Ответ: 0,1 кг/м3.
Задача 3. Поршневым воздушным насосом откачивают баллон
объёмом 10,0 л. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объём
0,4 л. Через сколько циклов давление в баллоне уменьшится от
6
0,1 МПа до 0,1 кПа? Процесс считать изотермическим, газ –
идеальным.
Дано:
Решение:
V = 10 л = 1,0 10-2 м3
Для изотермического процесса в первом
ΔV = 0,4 л = 0,4 10-3 м3
и следующих циклах можно записать
5
р0 = 0,1 МПа = 1,0 10 Па
р0V  р1 (V  V ) ,
рN = 0,1 кПа = 100 Па
р1V  р2 (V  V ) ,
Т = const
----------------------N–?
р N 1V  р N (V  V ) .
Получаем рекуррентную формулу
V N
(1)
р0  р N (1 
) ,
V
где N – число циклов. Прологарифмировав соотношение (1),
получим для числа циклов
р
lg 0
рN
.
(2)
N
V
lg(1 
)
V
Правая часть (2) содержит отношения однородных величин и
является безмерной.
Вычисления:
N
lg 10 3
3

 176.
0,4
0
,
017
lg(1 
)
10
Ответ: 176 циклов.
Задача 4. Идеальный газ совершает процесс, в котором
давление изменяется в зависимости от объёма по закону p=p0–αV2,
где p0=0,1 МПа, α=1,0·107 Па·моль2/м6. Количество вещества газа
равно 1 моль. Определить максимальную температуру газа в
процессе.
Дано:
Решение:
р = р0 – αV2
Найдём зависимость T V  . Для этого
р0= 0,1 МПа = 105 Па
воспользуемся уравнением состояния для
α = 1,0·107 Па·моль2/м6
одного моля газа
Тmax – ?
Исключая давление, получим
рV  RT .
7
р

T  оV  V3.
R
R
(1)
Из условий
dT
d 2T
0
 0,
dV
dV 2
находим максимум функции T(V). Получается, что в области
положительных значений V и Т зависимость (1) при объёме моля
газа
ро
3
имеет максимальную температуру, равную
2р
ро
.
Tmax  о
3R 3
Проверка размерности:
V
p3 / 2  
R  1 / 2 
Па 3 / 2
Дж
моль  К
Па 1 / 2  моль
м3

Па  К
К.
Дж
м3
Вычисления:
Tmax 
2  10 5
10 5
 465 К .
3  8,31 3  107
Ответ: 465 К.
8
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Определить число молекул водорода в объёме 1,55 л при
температуре 27 °С и давлении 750 мм рт. ст.
1.2. Определить концентрацию и плотность азота при
температуре 15 °С и давлении 10-4 мм рт. ст.
1.3. Определить массу одной молекулы: азота (N2), аммиака
(NH3), ацетилена (C2H2), ацетона (CH3COCH3).
1.4. Сколько молекул содержится в 22 г водорода?
1.5. Сколько молекул газа находится в колбе объёмом 2 л при
давлении 0,66·105 Па и температуре 17 °С.
1.6. Плотность некоторого газа при нормальных физических
условиях (р = 760 мм рт. ст., t = 0 °С) составляет 88,15 г/м3.
Определить молярную массу газа.
1.7. Масса кислорода 0,02 кг, температура 40 °С. Какое
давление оказывает кислород на стенки сосуда объемом 200 л?
1.8. Давление кислорода 2·105 Па, плотность 1,2 кг/м3.
Определить температуру.
1.9. Определить массу метана (СН4), который содержится в
баллоне объемом 15 л при давлении 106 Па и температуре 27 °С.
1.10. Определить давление, оказываемое 1 кг азота на стенки
сосуда объемом 1 м3, при температуре 27 °С.
1.11. Баллон ёмкостью 12 л наполнен азотом при давлении
8,1·106 Па и температуре 17 °С. Какое количество азота находится в
баллоне?
1.12. На сколько уменьшится масса воздуха в комнате объемом
50 м3 при повышении температуры в ней от 17 °С до 27 °С?
Атмосферное давление остается постоянным и равным 760 мм рт. ст.
1.13. 716 мг органического соединения с формулой (С3Н6О)n
превращается при 200 °С и давлении 750 мм рт. ст. в пар объемом
242,6 см3. Определить число n.
1.14. Определить химическую формулу молекулы некоторого
соединения углерода с кислородом, если 1 г этого вещества в
газообразном состоянии создаёт в сосуде объёмом 1 л давление
0,56·105 Па при температуре 27 °С.
1.15. Сколько электронов содержится в кислороде, который
занимает при давлении 106 Па и температуре 200 °С объём 1 л?
1.16. В баллоне объемом 15 л находится 96 г неизвестного газа
при давлении 106 Па и температуре 300 К. Определить химическую
9
формулу газа, если в состав молекулы газа входят атомы водорода и
углерода.
1.17. Определить плотность паров ртути при 420 °С и давлении
2,3 мм рт. ст. Молярная масса ртути 200 г/моль.
1.18. Определить подъёмную силу заполненного гелием
аэростата, представляющего собой шар радиусом 6 м. Давление
гелия и окружающего воздуха равно 760 мм рт. ст., температура 17
°С.
1.19. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри
воздушного шара, чтобы шар взлетел? Диаметр шара 10 м, масса его
оболочки 10 кг. Атмосферное давление 760 мм рт. ст., температура
окружающего воздуха 27 °С.
1.20. В баллоне находится полый стальной шарик радиусом
2 см и массой 5 г. Какое давление воздуха надо создать в баллоне,
чтобы шарик находился в состоянии невесомости? Температура
воздуха 20 °С. Считать, что для воздуха справедливо уравнение
состояния идеального газа.
1.21. В сосуд, на дне которого лежит твёрдый шар радиусом
5 см, нагнетают воздух при температуре 27 °С. Когда давление в
сосуде становится равным 2·105 Па, шар поднимается. Определить
массу шара.
1.22. При изобарном нагревании газа на 1 °С его объём
увеличился на 1/335 часть начального объема. Определить
начальную температуру газа.
1.23. До какой температуры нужно нагреть баллон объемом 1 л,
содержащий 17,5 г водяного пара, чтобы баллон разорвался? Стенки
баллона выдерживают давление не более 107 Па.
1.24. Цилиндрическая трубка длиной 66 см наполовину
погружена в ртуть. Верхний конец трубки закрывают пальцем и
вынимают трубку из ртути. Часть ртути при этом вытекает. Какой
длины столбик ртути остался в трубке? Атмосферное давление равно
750 мм рт. ст.
1.25. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г
кислорода при температуре 7 °С и давлении 700 мм рт. ст.
1.26. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца,
содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком
ртути длиной 15 см. При вертикальном положении трубки, когда
закрытый конец находится вверху, длина столбика воздуха равна 30
см, когда закрытый конец находится внизу, длина столбика воздуха
равна 20 см. Определить атмосферное давление.
10
1.27. Горизонтально
расположенный
цилиндр
разделён
подвижным поршнем на две части. В одной части находится 8 г
кислорода, а в другой – некоторое количество гелия. Определить
массу гелия, если он занимает 0,67 часть объёма всего цилиндра.
Температура газов одинакова.
1.28. Горизонтально
расположенный
цилиндр
разделён
подвижным поршнем на две части. В одной части находится 3 г
кислорода, а в другой – 17 г азота. Какую часть объёма всего
цилиндра занимает водород?
1.29. В вертикально расположенном закрытом цилиндрическом
сосуде с площадью основания 25 см2 находится газ, разделённый
поршнем массой 1 кг на два равных отсека. Масса газа под поршнем
в два раза больше массы газа над поршнем. Определить давление
газа в каждом отсеке. Трением в системе пренебречь, температура в
обеих частях сосуда постоянна.
1.30. При нагревании газа в закрытом сосуде на 1 0С, давление
газа увеличилось на 0,2 %. Определить начальную температуру газа.
1.31. В баллоне находился газ при атмосферном давлении
105 Па и температуре 10 °С. При открытом вентиле баллон нагрели, а
затем вентиль закрыли и баллон остудили до начальной
температуры. Давление газа в баллоне после этого стало равно
0,7 атм. На сколько градусов нагрели баллон?
1.32. Сколько молекул воздуха вышло из комнаты объёмом
120 м3 при увеличении температуры от 15 °С до 25 °С? Атмосферное
давление 760 мм рт. ст.
1.33. Из баллона объемом 10 л вследствие неисправности
вентиля вытекает водород. Начальная температура газа 7 °С,
давление 5·106 Па. Через некоторое время при температуре 17 °С
манометр показал такое же давление. На сколько уменьшилась масса
газа?
1.34. Определить молярную массу неизвестного газа, свойства
которого соответствуют свойствам смеси 64 г кислорода и 8 г гелия.
1.35. Сухой воздух по массе состоит из азота (75,52 %),
кислорода (23,15 %), аргона (1,28 %) и углекислого газа (0,05 %).
Пренебрегая примесями других газов, определить молярную массу
сухого воздуха.
1.36. В сосуде объёмом 2 м3 при температуре 100 °С и давлении
4·105 Па находится смесь кислорода и 8 кг сернистого газа (SO2).
Определить парциальные давления газов.
11
1.37. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м3 при
температуре 320 К и давлении 2·105 Па. Определить концентрацию
молекул водорода в смеси.
1.38. В закрытом сосуде емкостью 1 м3 находится 0,9 кг
водяного пара и 1,6 кг кислорода. Определить давление этой смеси
на стенки сосуда при температуре 600 °С.
1.39. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при
температуре 20 °С и давлении 105 Па. Определить молярную массу
смеси и объём сосуда.
1.40. Определить массу водяных паров в 1 м 3 воздуха при
давлении 760 мм рт. ст., относительной влажности воздуха 60 % и
температуре 25 °С. Давление насыщенного водяного пара при этой
температуре равно 3167 Па.
1.41. В баллоне ёмкостью 2 м3 содержится смесь азота и окиси
азота (NO). Масса смеси равна 14 кг, температура 300 К, давление
0,6·106 Па. Определить массу окиси азота.
1.42. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м 3. Какова
концентрация молекул азота в смеси, если концентрация молекул
водорода в смеси равна 4,2·1019 см-3?
1.43. Молярная масса смеси кислорода и гелия равна 18 г/моль.
Масса гелия 8 г. Определить массу кислорода в смеси.
1.44. В сосуде объёмом 10 л содержалась смесь 2 г водорода и
2 г кислорода. В результате реакции в баллоне образовалась вода.
Определить парциальное давление водорода при 17 °С.
1.45. В сосуде находится смесь азота и водорода. При
температуре Т и давлении р азот полностью диссоциирован на
атомы, а водород остается двухатомным. При температуре 2Т и
давлении 3Р, оба газа полностью диссоциированы. Определить
отношение масс азота и водорода в смеси?
1.46. При комнатной температуре жидкая четырёхокись азота
N2O4 частично диссоциирует в двуокись азота NO2, которая
превращается в газ. В сосуде объёмом 250 см 3 находится 0,9 г N2O4
при температуре 27 °С и давлении 960 мм рт. ст. Определить степень
диссоциации газа.
1.47. В результате диссоциации из одной исходной молекулы
газа образуются две одинаковые молекулы газа. Определить степень
диссоциации газа, если молярная масса образующейся смеси
составляет 62,5 % молярной массы исходного газа?
1.48. Определить массу воздуха в колодце площадью сечения
2 м2 и глубиной 6 м. Температура воздуха уменьшается в
12
зависимости от глубины по линейному закону от 27 °С у
поверхности до 7 °С на дне. Атмосферное давление 100 кПа.
1.49. Воздух находится под давлением 0,1 МПа между двумя
одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура возрастает
линейно от 17 °С у нижней пластины до 117 °С у верхней. Объём
пространства между пластинами 3 л. Определить массу воздуха
между пластинами.
1.50. В результате диссоциации из одной исходной молекулы
газа образуются две одинаковые молекулы газа. Степень
диссоциации газа равна 60 %. Определить молярную массу
образующейся смеси.
1.51. Давление воздуха внутри бутылки при температуре 17 °С
равно 0,1 МПа. На сколько градусов нужно нагреть бутылку, чтобы
пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вытянуть, приложив
силу 15 Н. Площадь поперечного сечения пробки 3 см2.
1.52. Сколько качаний нужно сделать поршневым насосом с
рабочим объёмом 1 л, чтобы повысить давление от 0,1 МПа до
0,3 МПа в сосуде объёмом 10 л?
1.53. За какое число качаний поршневым насосом с рабочим
объёмом 1 л можно понизить давление от 0,1 МПа до 50 кПа в
сосуде объёмом 10 л?
1.54. Объём идеального газа изменяется пропорционально
давлению по закону V=αp, где α > 0. Во сколько раз изменится
давление газа при уменьшении температуры от 327 °С до 27 °С?
1.55. Объём идеального газа изменяется пропорционально
давлению по закону V=αp, где α > 0. Во сколько раз изменится объём
газа при увеличении температуры от 400 К до 625 К?
1.56. В некотором процессе давление газа изменяется по закону
p=αV2, где α > 0. Определить начальную температуру газа, если
после увеличения объёма в 1,2 раза температура газа оказалась
равной 200 °С.
1.57. Давление газа изменяется по закону p  αV , где α > 0.
Во сколько раз изменится температура газа при увеличении его
объёма в 1,4 раза?
1.58. Определить наименьшее давление идеального газа в
процессе, в котором температура изменяется по закону T=T0+αV3,
где Т0=273 К, α=4·109 К/м3, V – объём моля газа.
1.59. Определить максимальную температуру идеального газа в
процессе, в котором давление изменяется по закону р=р0–αV3, где
р0=0,1 МПа, α=2·108 Па/м3, V – объём моля газа.
13
1.60. В левой части цилиндрического сосуда длиной 1 м,
разделённого теплонепроницаемым поршнем, находится водород, а в
правой – гелий. Объём гелия в 3 раза больше объёма водорода. При
нагревании гелия поршень сместился на 5 см. На сколько градусов
изменилась температура гелия, если начальные температуры газов
были
одинаковы?
Температура
водорода
поддерживается
постоянной и равной 300 К.
14
II. ОСНОВЫ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
1
1
2
р  n  mо   2     2  n   к ,
3
3
3
где р – давление газа; n – концентрация молекул; m0 – масса
молекулы; <υ2> – средний квадрат скорости поступательного
движения молекулы; ρ – плотность; <εк> – средняя кинетическая
энергия поступательного движения молекулы.
2. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы:
на каждую степень свободы поступательного и вращательного
1
движения молекулы приходится средняя энергия    kT .
2
i
3. Средняя энергия молекулы газа    kT ,
2
где i – число степеней свободы молекулы.
4. Скорости молекул газа:
3kT

mо
ск    2  
  
в 
8 kT

mо
2kT

mо
8 RT

2 RT

3RT

– среднеквадратичная скорость;
– средняя арифметическая скорость;
– наиболее вероятная скорость.
5. Функция распределения Максвелла
 m 
F ( )  4  о 
 2kT 
3/2
 m 2 
 2 exp   о  .


2kT 

6. Распределение Больцмана
 E 
n  nо exp   П  ,
 kT 
где n – концентрация молекул с потенциальной энергией EП;
n0 – концентрация молекул с потенциальной энергией EП=0;
EП – потенциальная энергия молекулы.
15
Примеры решения задач
Задача 1. При давлении газа, равном 0,1 МПа, его двухатомные
молекулы обладают средней кинетической энергией 2,5·10-20 Дж.
Определить концентрацию молекул газа.
Дано:
i=5
р = 1·105 Па
<εк>= 2,5·10-20 Дж
Решение:
Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической
теории газов:
2
(1)
р  n  к  .
3
n–?
Так как средняя кинетическая
3
энергия поступательного движения молекулы   к  kT , а
2
средняя энергия молекулы, включая кинетическую энергию
вращательного движения,
i
   kT ,
2
то с учетом закона равномерного распределения энергии по
степеням свободы для <ε> получаем
3
(2)
  k     .
i
Используя формулы (1) и (2), находим
рi
.
n
2 
Проверка размерности:
 р   Па 
Н
1

 м 3 .
2
  Дж м  ( Н  м) м3
Вычисления:
n
1,0  10 5  5
2  2,5  10  20
Ответ: 1,0·1025 м-3.
16
 1,0  10 25 м 3 .
Задача 2. Определить наиболее вероятную скорость, среднюю
арифметическую скорость и среднюю квадратичную скорость
молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении
плотность равна 0,3 кг/м3.
Дано:
Решение:
р = 105 Па
Для нахождения искомых скоростей
ρ = 0,3 кг/м3
воспользуемся формулами их определений.
При этом параметры (температуру и
в ,   , u  ?
молярную массу), входящие в эти формулы, выразим из уравнения
RT
р
 .
состояния идеального газа


Таким образом, получаем
в 
  
ск 
2 RT

2р

8 RT


3RT


8р

3р

– наиболее вероятная скорость;

– средняя арифметическая скорость;
– средняя квадратичная скорость.
Проверка размерности:
 р1 2
 1 2

12
 Н  м3 


1 2  м 2  кг 
 кг 




 м3 
Па 1 2
12
 Дж 


 кг 
12
 м2 


 с2 



м
.
с
Вычисления:
в 
2  1,0  105
 8,2  10 2 м / с ;
0,3
  
3  1,0  105
 9,2  10 2 м / с ;
3,14  0,3
ск 
3  1,0  105
 10,0  10 2 м / с .
0,3
Ответ:  в  8,2  10 2 м / с ,    9,2  10 2 м / с ,  ск  10,0  10 2 м / с .
17
Задача 3. Определить наиболее вероятную скорость молекул
газа, находящегося в состоянии теплового равновесия, при котором
значениям скоростей молекул 300 м/с и 600 м/с соответствуют
одинаковые значения функции распределения Максвелла.
Дано:
Решение:
υ1 = 300 м/с
Функция распределения Максвелла:
υ2 = 600 м/с
3/2
 m 2 
 m 
F ( )  4  о   2 exp   о  .
в  ?
 2kT 
 2kT 


Учитывая выражение для определения наиболее вероятной скорости
в 
2kT
,
mо
получаем функцию распределения Максвелла в следующем виде:
3/2
 2 
 m 
.
F ( )  4  о   2 exp  
 2 
 2kT 
 в 
Применив полученное выражение для двух значений скоростей, с
учетом условия задачи F (1 )  F (2 ) получаем
2
  2  2 
 2 
1 .
   exp   2
2



в
 1


Логарифмируем и выражаем искомую величину.

1 1
в  2
2
22
.

2 ln 2
1
Соответствие размерности очевидно.
1
1
2
4  441 м / с .
Вычисления: в  6  10
2 ln 2
Ответ: 441 м/с.
Задача 4. При наблюдении в микроскоп взвешенных в
жидкости частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в
одной фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в
другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм.
18
Температура жидкости 17 °С. Диаметр частиц 0,4 мкм, а плотность
гуммигута на 0,2 г/см3 больше плотности окружающей жидкости.
Определить по этим данным число Авогадро.
Дано:
Решение:
∆h = 40 мкм = 4 ·10-5 м
Распределение частиц, взвешенных
n1
в жидкости, подчиняется закону
2
n2
Т = 17 °С = 290 К
Больцмана:
 E 
d = 0,4 мкм = 4·10-7 м
(1)
n  nо exp   П  .
 kT 
 г   ж  2  10 2 кг / м 3
NA ?
Поле тяжести Земли в пределах рассматриваемых изменений
высоты можно считать однородным. Если учесть, что частицы
гуммигута испытывают действие выталкивающей силы Архимеда
(2)
Fа   ж gV ,
где V – объем частицы, то для потенциальной энергии частицы
следует записать
E П  (mg  Fа )h  (  гVg   жVg )h  (  г   ж )Vgh
Концентрации частиц в фокальных плоскостях на высотах h1 и h2,
отсчитанных от дна сосуда, согласно уравнению (1), равны
 (    ж )Vgh1 
n1  n0 exp   г
,
kT


 (    ж )Vgh2 
n2  n0 exp   г
.
kT


Найдем отношение
n1
 (    ж )Vg ( h1  h2 ) 
 exp   г
(3)
.
n2
kT


R

Учитывая, что k 
, V  d 3 , ∆h= h1 – h2 , из (3) находим
NA
6
n
6 RT ln 1
n2
NA 
.
3
d (  г   ж ) gh
19
Дж
Проверка размерности:
R T   моль  К  К  1 .
d 3    g  h м3 кг  м  м моль
 
м3 с 2
Вычисления:
NA 
6  8,31  2,9  10 2  ln 2
3,14  6 ,4  10  20  2  10 2  10  4  10 5
 6 ,4  10 23
1
.
моль
Ответ: 6,4·1023 1/моль.
Задачи для самостоятельного решения
2.1. Определить отношение средних квадратичных скоростей
молекул гелия и водорода при одинаковых температурах.
2.2. Средняя квадратичная скорость молекул газа равна 500 м/с
при давлении 4·105 Па. Определить плотность газа.
2.3. Определить среднюю арифметическую и среднюю
квадратичную скорости молекул газа, плотность которого при
давлении 2·105 Пa равна 0,8 г/м3.
2.4. Во сколько раз средняя квадратичная скорость теплового
движения пылинок, взвешенных в воздухе, меньше средней
квадратичной скорости молекул кислорода, входящего в состав
воздуха? Масса пылинки 10-8 г.
2.5. Два одинаковых сосуда содержат одинаковое число
молекул кислорода. Сосуды соединены краном. В первом сосуде
средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, во втором –
500 м/с. Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий
сосуды?
2.6. При какой температуре средняя квадратичная скорость
атомов гелия станет равной второй космической скорости на Земле?
2.7. При какой температуре молекулы кислорода имеют такую
же среднюю квадратичную скорость, как и молекулы водорода при
температуре 100 K?
2.8. Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под
давлением 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость
молекул газа.
2.9. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1 200 К.
Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю
кинетическую энергию атомов гелия и аргона.
20
2.10. Определить среднюю арифметическую скорость молекул
газа, если их средняя квадратичная скорость равна 1 км/с.
2.11. Определить средние квадратичные скорости теплового
движения молекул водорода, азота, кислорода при 0 °С.
2.12. Определить средний квадратичный импульс молекулы
водорода Н2 при температуре 27 °С.
2.13. При какой температуре средняя квадратичная скорость
молекул кислорода равна средней
О
квадратичной скорости молекул азота при
температуре 100 °С?
2.14. На
рисунке
схематично
изображена молекула кислорода. Момент
инерции
молекулы
кислорода
относительно оси О равен 19,2·10-40 г·см3. Определить значение
средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при
27 °С относительно оси О.
2.15. Определить кинетическую энергию теплового движения
всех молекул кислорода, занимающих объем 5,5 л при давлении
2·105 Па. Энергией, приходящейся на колебательные степени
свободы, пренебречь.
2.16. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул,
находится при температуре 300 К. Определить среднюю
квадратичную угловую скорость вращательного движения
молекулы, если ее момент инерции 2,1·10-39 г·см2.
2.17. Считать, что воздух состоит из молекул азота, кислорода,
водорода и углекислого газа. Молекулы какого из газов обладают
наибольшей средней скоростью?
2.18. Сравнить средние квадратичные скорости молекул двух
газов с параметрами: a) p1=600 кПа, р=1,2 кг/м3; б) Р2=400 кПа,
ρ2=0,8 кг/м3.
2.19. При какой температуре средняя кинетическая энергия
теплового движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы
атомы гелия преодолели земное тяготение и навсегда покинули
земную атмосферу?
2.20. Частицы гуммигута диаметром 10-6 м участвуют в
броуновском движении. Плотность гуммигута 1,2·103 кг/м3.
Определить среднюю квадратичную скорость частиц при 17 °С.
2.21. В момент взрыва атомной бомбы температура достигает
107 °С. Считать, что при этой температуре молекулы полностью
диссоциированы на атомы, а атомы ионизированы. Определить при
этих условиях среднюю квадратичную скорость иона водорода.
21
2.22. Пользуясь функцией распределения Максвелла и
определением относительной скорости u (относительная скорость
равна отношению скорости молекулы υ к наиболее вероятной
скорости υв), получить функцию распределения Максвелла в
4
exp( u 2 ) u 2 .
приведенном виде: F(u) 

2.23. Определить вероятность того, что какая-нибудь молекула
кислорода при температуре 0 °С имеет скорость, точно равную
наиболее вероятной скорости.
2.24. Перейти от функции распределения Максвелла по
скоростям к функции распределения молекул газа по значениям
2

( kT ) 3 / 2 exp( 
)  , где ε – кинетическая
энергии: F( ε) 
kT

энергия поступательного движения молекулы.
2.25. Доказать, что функция распределения Максвелла
достигает максимального значения, если значение скорости
молекулы равно значению наиболее вероятной скорости.
2.26. Сколько процентов молекул кислорода обладает
скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не
более чем на 1 %?
2.27. Сколько процентов молекул кислорода обладает
скоростями, отличающимися от средней квадратичной скорости не
более чем на 1 %?
2.28. Какая часть молекул азота при нормальных условиях
имеет значения скоростей в интервале от 99 м/с до 101 м/с?
2.29. При какой температуре число молекул азота, обладающих
скоростями в интервале от 299 м/с до 301 м/с, равно числу молекул
азота, обладающих скоростями в интервале от 599 м/с до 601 м/с?
2.30. Сколько процентов молекул азота при температуре 280 К
обладает скоростями в интервале от 500 м/с до 510 м/с?
2.31. Сколько процентов молекул кислорода обладает
скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более чем на
10 м/с, при температуре 0 °С.
2.32. Водород находится при температуре 273 К. Определить
отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в
интервале от 2 000 м/с до 2 001 м/с, к числу молекул водорода,
обладающих скоростями в интервале от 1000 м/с до 1001 м/с.
2.33. Определить
температуру,
при
которой
функция
распределения молекул кислорода по скоростям имеет максимум
при скорости 500 м/с.
22
2.34. Сколько процентов молекул кислорода обладает
скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не
более чем на 10 м/с при температуре 300 °С?
2.35. Определить температуру кислорода, при которой
скоростям молекул 400 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые
значения функции распределения Максвелла.
2.36. Определить высоту горы, если атмосферное давление на ее
вершине равно половине атмосферного давления на уровне моря.
Температуру считать одинаковой и равной 273 К.
2.37. Определить показания барометра на высоте Останкинской
телевизионной башни, равной 540 м. Температуру считать
одинаковой и равной 280 К. Атмосферное давление на поверхности
Земли равно 760 мм рт. ст.
2.38. При подъеме аэростата барометр изменил свое показание
на 11 кПа. На какой высоте находится аэростат, если на поверхности
Земли барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воздуха считать
одинаковой и равной 290 К.
2.39. Чему равна концентрация молекул воздуха на высоте 2 км
над уровнем моря? Давление на уровне моря 101 кПа, а температура
10 °С. Изменением температуры с высотой пренебречь.
2.40. Пылинки массой 10-10 г взвешены в воздухе. Определить
толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок
различается не более чем на 1 %. Температуру воздуха во всем
объеме считать равной 27 °С.
2.41. У поверхности Земли концентрация молекул водорода
почти в 106 раз меньше, чем концентрация молекул азота. На какой
высоте концентрации молекул водорода и молекул азота будут
равны? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 0 °С.
2.42. При наблюдении в микроскоп взвешенных в жидкости
частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной
фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в другой
фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм.
Температура жидкости 17 °С. Диаметр частиц 0,4 мкм, а плотность
гуммигута на 0,2 г/см3 больше плотности окружающей жидкости.
Определить по этим данным число Авогадро.
2.43. Определить массу водяного пара, заключенного в столбе
атмосферного воздуха сечением 1,0 м2 и высотой 4,15 км.
Температура воздуха во всех слоях постоянна и равна 15 °С.
Парциальное давление паров воды на поверхности Земли 10 3 Па.
2.44. Толщина слоя воздуха, в пределах которого концентрация
взвешенных в воздухе пылинок изменяется не более чем на 1%,
23
равна 4,2 мм. Определить массу пылинки. Температуру воздуха
считать одинаковой и равной 300 К.
2.45. На высоте 123 км от поверхности Земли концентрации
молекул водорода и азота равны. Определить отношение
концентраций молекул водорода и азота у поверхности Земли.
2.46. При наблюдении в микроскоп взвешенных в воде частиц
гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной
плоскости в два раза больше их концентрации в другой фокальной
плоскости, расстояние между которыми 40 мкм. Плотность
гуммигута 1,2 г/см3. Температура воды 290 К. Определить диаметр
частиц.
III. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
1. Первый закон термодинамики:
Q  dU  A ,
где δQ – элементарное количество теплоты, сообщенное
термодинамической системе;
dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии
термодинамической системы;
δA – элементарная работа, совершенная термодинамической
системой.
2. Количество теплоты, полученное или отданное системой в
процессе,
T2
2


Q  Q  vC  dT ,
1
T1
где T1 и T2 – температуры начального и конечного состояния газа;
v – количество молей газа; C  – молярная теплоемкость газа в
процессе.
3. Внутренняя энергия идеального газа
i m
U
RT .
2
Изменение внутренней энергии идеального газа в процессе:
T2

U  dU 
T1
T2
 2  RdT  2  RT .
i m
T1
24
i m
4. Элементарная работа газа (работа газа при равновесном,
бесконечно малом изменении объема)
A  pdV .
Работа газа в процессе
V2
 pdV ,
A
V1
где V1 и V2 – объемы начального и конечного состояния газа.
5. Теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и
постоянном давлении:
i
i2
C V  R , Cp 
R.
2
2
6. Соотношение Майера:
Cp  CV  R .
7. Уравнение
процесса:
адиабатного
(происходящего
без
теплообмена)
PV   const ,
где  
C p
C V

i2
– коэффициент Пуассона.
i
8. Уравнение политропного (происходящего
теплоемкости) процесса:
при постоянной
PV n  const ,
где n – показатель политропы.
Примеры решения задач
Задача 1. Газообразный водород, находившийся при
нормальных физических условиях в закрытом сосуде объемом 5,0 л,
охладили на 55 К. Определить приращение внутренней энергии газа
и количество отданного им тепла.
Дано:
Решение:
ро= 105 Па
Первый закон термодинамики:
То= 273 К
(1)
Q  U  A .
Vo= 5,0·10-3 м3
Для изохорного процесса работа газа
25
V2
∆Т = – 55 К
A
 pdV  0 .
(2)
V1
Q, ∆E – ?
Изменение внутренней энергии идеального газа
i m
U 
RT .
(3)
2
Уравнение состояния идеального газа:
m
poVo  RTo .
(4)

Решая систему уравнений (1) – (4), получаем
i
T
.
Q  U  poVo
2
To
Для молекулярного водорода число степеней свободы молекулы i=5.
Проверка размерности:
 p V   Па  м3  Н2 м3  Н  м  Дж .
м
Вычисления:
5
55
Q  U   1,0  105  5,0  103 
 252 Дж .
2
273
Ответ: Q  U  252 Дж .
Задача 2. Три моля идеального газа при температуре 300 К
изотермически расширили в 4 раза, а затем изохорно нагрели так,
что его давление стало равно первоначальному. За весь процесс газу
сообщили количество теплоты 67 кДж. Определить коэффициент
Пуассона для этого газа.
Дано:
Решение:
Т1= 300 К
В процессе изотермического расширения
газа из состояния ( р1,V1 ) в состояние
n  V2 V1  4
Q= 6,7·104 Дж
 ?
( р2 ,V2 ) к газу подводится теплота
Q12  A12  vRT ln(V2 V1) .
В процессе изохорного нагрева к газу подводится количество
теплоты
Q23  U  vCV (T3  T1 ).
26
Для нахождения T3 воспользуемся уравнениями изохорного и
изотермического процессов:
P1 P2
,
P1V1  P2V2 .

T3 T1
V
Для T3 получим T3  T1 2  nT1 .
V1
Коэффициент Пуассона связан с числом степеней свободы молекулы
C p i  2
газа соотношением  
.

C V
i
Из этого выражения следует, что i 
2
.
 1
Для Q23 окончательно получаем
vRT1
Q23 
( n  1) .
 1
При переходе газа из состояния I в состояние III затрачивается
количество теплоты

n 1
.
Q  Q12  Q23  vRT1  ln n 
(1)
 

Из (1) выразим коэффициент Пуассона
n1
.
  1
Q
 ln n
vRT1
Q
Убедимся, что соотношение
является безразмерной величиной:
vRT
Q  
v    R   T  моль 
Вычисления:
  1
Дж
.
Дж
К
моль  К
4 1
6 ,7  104
 ln 4
3  8,31  300
Ответ: 1,4.
27
 1,4 .
Задача 3. Объем одного моля идеального газа с коэффициентом
Пуассона γ = 5/3 изменяют по закону VT = a, где а – положительная
константа. Определить количество теплоты, полученное газом в
этом процессе, если его температура возросла на 60 К.
Дано:
Решение:
Первый закон термодинамики:
 5 3
ν = 1 моль
(1)
Q  dU  A .
∆Т = 60 К
Бесконечно малое изменение внутренней энергии
i
(2)
dU  RdT .
Q?
2
Элементарная работа
(3)
A  pdV .
Перепишем первый закон термодинамики, выразив изменения
термодинамических функций через изменения термодинамических
параметров, т.е. подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1):
i
(4)
Q  RdT  pdV .
2
Выразим уравнение процесса в параметрах P и V. Для этого
воспользуемся уравнением состояния газа и уравнением процесса,
данным в условии задачи:
a
pV  RT , T  .
V
Исключая температуру, получим
aR
.
(5)
p
V2
Выразим число степеней свободы через коэффициент Пуассона:
2
i
.
(6)
 1
Подставляя уравнения (5) и (6) в уравнение (4) приходим к
выражению
R
dV
.
Q 
dT  aR
 1
V2
(7)
Интегрируя (7), получаем
 a
R
a  R
2
Q
T R   
T RT 
RT .
 1
 1
 V1 V2    1
Проверка размерности:
28
  R T   моль 
Вычисления:
Q
Дж
 Дж .
моль  К
25/3
 1  8,31 60  250 Дж .
5/31
Ответ: 0,25 кДж.
Задача 4. Определить молярную теплоемкость идеального газа
в политропном процессе р V n    const , если n = 3, а
коэффициент Пуассона этого газа γ = 5/3.
Дано:
Решение:
n=3
Первый закон термодинамики:
γ = 5/3
(1)
Q  dU  A .
Выразив изменения термодинамических функций
Cn  ?
через изменения термодинамических параметров,
Q  vCn dT , dU  vCV dT , A  рdV ,
и подставив их в уравнение (1), получаем
Cn dT  CV dT  pdV .
(2)
Выразив давление из уравнения процесса, данного в условии, и
подставив в уравнение (2), получаем
1  dV
.
(3)
Cn  CV 
v V n dT
Определим производную dV dT . Для этого воспользуемся
уравнениями политропического процесса и состояния идеального
газа и выразим уравнение процесса в параметрах V и T:
TV n1 

.
(4)
vR
dT  1  n
Дифференцируя (4), получаем
и подставляем в (3):

dV vR V n
R
R
R
R( n   )
C n  C V 



.
1  n   1 n  1 (  1)( n  1)
Проверка размерности:
Дж
.
C  R 
моль  К
Предельные случаи:
1) при n = 0 получаем р = const, т.е. теплоемкость дли изобарного
процесса Cμn = Cμp;
 
29
2) при n = γ получаем S = const, т.е. теплоемкость адиабатного
процесса Cμn = 0.
35/3
Дж
 8,31
Вычисления: C n  R 
.
(5 / 3  1)( 3  1)
моль  К
Дж
Ответ: 8,31
.
моль  К
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Для газообразного ацетона (СН 3СОСНз) определить
коэффициент Пуассона.
3.2. Определить удельную теплоемкость при постоянном
давлении двухатомного газа, если его плотность при нормальных
условиях равна 1,43·10-3 г/см3.
3.3. Определить удельную теплоемкость при постоянном
объеме смеси 2 молей азота и 5 молей гелия.
3.4. Молярная масса газа равна 18 г/моль. Коэффициент
Пуассона равен 1,33. Определить удельную теплоемкость при
постоянном давлении этого газа.
3.5. Какой из указанных газов при комнатной температуре
имеет наибольшую удельную теплоемкость при постоянном объеме:
1) О2; 2) H2; 3) Не; 4) Ne; 5) I2?
3.6. Определить молярную теплоемкость при постоянном
давлении смеси 0,5 молей паров воды и 0,2 моля азота.
3.7. Приняв массу атома гелия, равной 6,6·10-27 кг, определить
удельную теплоемкость гелия при постоянном объеме.
3.8. Удельная теплоемкость влажного воздуха при постоянном
объеме равна 1,2·103 Дж/(кг·К). Определить относительную
влажность воздуха. Молярная масса сухого воздуха 29 г/моль.
Температура 300 К.
3.9. Определить коэффициент Пуассона газовой смеси,
состоящей из 3,0 молей гелия и 2,0 молей водорода.
3.10. Молярная масса газа равна 32 г/моль, коэффициент
Пуассона – 1,4. Определить удельные теплоемкости газа при
постоянном объеме и постоянном давлении.
3.11. Плотность газа равна 1,76·10-3 г/см3 при нормальных
условиях. Определить удельные теплоемкости газа при постоянном
объеме и постоянном давлении.
3.12. Определить удельные теплоемкости газа при постоянном
объеме и постоянном давлении для углекислого газа.
30
3.13. Определить коэффициент Пуассона для смеси, состоящей
из 2,0 молей кислорода и 3,0 молей углекислого газа.
3.14. Определить удельные теплоемкости при постоянном
объеме и постоянном давлении для смеси, состоящей из 7 г азота и
20 г аргона.
3.15. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении
равна 970 Дж/(кг·К), а молярная масса равна 30 г/моль. Определить
число степеней свободы молекулы этого газа.
3.16. Разность между удельной теплоемкостью при постоянном
давлении и удельной теплоемкостью при постоянном объеме
некоторого газа равна 260 Дж/(кг·К). Определить молярную массу
газа.
3.17. Для газа коэффициент Пуассона равен 1,4, а плотность
при нормальных условиях – 1,25 кг/м3. Определить удельные
теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении этого
газа.
3.18. Отношение удельной теплоемкости при постоянном
давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме смеси,
состоящей из азота и 5 молей аммиака, равно 1,35. Определить число
молей азота в смеси.
3.19. Определить удельную теплоемкость при постоянном
давлении смеси, состоящей из 1 моля азота, 4 молей метана и 8 г
аргона.
3.20. Воздух содержит 25 % (по массе) водяного пара.
Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме
влажного воздуха. Для сухого воздуха молярную массу принять
равной 29 г/моль.
3.21. Определить удельную теплоемкость при постоянном
объеме и удельную теплоемкость при постоянном давлении воздуха,
считая, что в его состав входит 76 % азота, 23 % кислорода, 1 %
аргона.
3.22. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа на
25 К при постоянном давлении, равно 500 Дж. Количество теплоты,
выделяемое этим газом при охлаждении на 75 К при постоянном
объеме, равно 1,07 кДж. Определить коэффициент Пуассона.
3.23. При изотермическом сжатии 14 г азота, взятого при 20 °С,
была совершена работа 2 200 Дж. Во сколько раз возросло давление
газа?
3.24. В закрытом сосуде находится 14 г азота при давлении
105 Па и температуре 27 °С. После нагревания давление повысилось
31
до 5·105 Па. Какое количество теплоты сообщено газу? Определить
приращение внутренней энергии.
3.25. Из баллона, содержащего водород под давлением 10 6 Па и
при температуре 18 °С, выпустили половину находящегося в нем
газа. Считая процесс адиабатным, определить конечную
температуру и давление газа в баллоне.
3.26. При изобарном расширении водород совершил работу
4 000 Дж. Какое количество теплоты подведено к газу? Определить
приращение его внутренней энергии.
3.27. В адиабатном процессе внутренняя энергия кислорода
уменьшилась на 2 000 Дж, а его объем увеличился в 10 раз.
Начальная температура газа 47 °С. Определить работу, совершенную
газом, и массу газа.
3.28. Углекислый газ массой 3,2 кг находится в термостате при
температуре 17 °С. Объем газа изотермически уменьшают в 3 раза.
Какую работу совершил газ? Как изменилась внутренняя энергия
газа? Какое количество теплоты выделилось?
3.29. При изобарном расширении 2 кг кислорода совершена
работа 98 Дж. Начальная температура 0 °С. Определить приращение
внутренней энергии газа. Какое количество теплоты получил газ? До
какой температуры нагрели газ?
3.30. Какое количество теплоты надо сообщить кислороду,
находящемуся в сосуде объемом 30 л при температуре 27 °С и
давлении 400 мм рт. ст., чтобы нагреть газ на 120 °С? Определить
приращение внутренней энергии газа и совершенную газом работу.
3.31. Водяной пар при изобарном расширении совершил
работу, равную 2 100 Дж. Какое количество теплоты подвели к пару?
Определить изменение внутренней энергии пара.
3.32. Находившийся
при
нормальных
условиях
азот,
расширился адиабатно. Его конечный объем увеличился по
отношению к первоначальному в 7 раз. Количество вещества азота
равно 1 моль. Определить работу газа.
3.33. При адиабатном сжатии 10 г водорода температура
повысилась на 100 °С. Определить работу газа, совершенную при
сжатии.
3.34. Водород под давлением 105 Па занимает объем 5 л. Газ
адиабатно сжали до объема 1 л. Определить работу газа,
совершенную в этом процессе.
3.35. Водород массой 4 г нагрет при постоянном давлении на
50 °С. Определить количество теплоты, переданное газу,
приращение его внутренней энергии и работу, совершенную газом.
32
3.36. При изобарном расширении двухатомный газ совершил
работу 2·106 Дж. Какое количество теплоты подвели к газу?
3.37. Кислород массой 4 г находится в термостате при
нормальных условиях. При изотермическом расширении объем газа
увеличился до 12 л. Определить работу, совершенную газом, и
количество теплоты, сообщенное газу.
3.38. При изобарном расширении внутренняя энергия
трехатомного газа увеличилась на 1 кДж. Какую работу совершил
газ? Какое количество теплоты сообщили газу?
3.39. Трехатомный газ находится в начальном состоянии при
температуре 27 °С. Количество вещества газа 1 кмоль. Далее газ
охлаждается изохорно, при этом давление газа уменьшается в 3 раза.
Затем газ расширяется изобарно так, что в конечном состоянии его
температура равна первоначальной. Изобразить процессы на
диаграмме рV. Определить количество теплоты, полученное газом в
изобарном процессе.
3.40. Двухатомный газ расширяется изобарно. Какая часть
теплоты расходуется на увеличение его внутренней энергии, а какая
на совершенную им работу?
3.41. Баллон, содержащий 20 г водорода и 1 г гелия, нагрели на
50 °С. Определить приращение внутренней энергии смеси и
сообщенное количество теплоты.
3.42. Газ, расширяясь, переходит из одного и того же состояния
с объемом V1 в состояние с объемом V2: а) изобарно; б) адиабатно;
в) изотермически. Изобразить процессы на диаграмме рV. В каких
процессах газ совершает наименьшую, а в каких наибольшую
работу?
3.43. Один моль идеального газа находился при нормальных
условиях. При изотермическом расширении газу подвели 2,27 кДж
теплоты. Какую работу совершит этот газ, расширяясь изобарно до
того же объема, что и в первом случае?
3.44. Моль идеального газа изотермически сжимают до объема
в 2,7 раза меньше начального и отводят от газа 2,24 кДж количества
теплоты. Какую работу необходимо совершить, чтобы изобарно
вернуть газ в состояние с объемом, равным начальному? Изобразить
процессы на диаграмме рV.
3.45. Идеальный газ, расширяясь один раз изобарно, другой раз
изотермически из одного и того же состояния, увеличивает объем в
5 раз. Изобразить процессы на диаграмме рV. Определить
отношение работы газа при изобарном расширении к работе газа при
изотермическом расширении.
33
3.46. Кислород, расширяясь один раз изотермически, другой
раз адиабатно из одного и того же состояния, увеличивает объем в
4 раза. Изобразить процессы на диаграмме рV. Определить
отношение работы газа при изотермическом расширении к работе
газа при адиабатном расширении.
3.47. Один моль идеального газа, находящегося при
температуре 300 К, изотермически увеличивает объем в 2 раза, затем
газ изохорно увеличивает давление до значения, равного
начальному. За весь процесс газу сообщают количество теплоты,
равное 7,96 кДж. Изобразить процессы на диаграмме рV.
Определить коэффициент Пуассона этого газа.
3.48. Определить молярную теплоемкость идеального газа в
процессе, при котором температура газа пропорциональна квадрату
его объема.
3.49. Определить молярную теплоемкость идеального газа в
процессе, при котором температура газа обратно пропорциональна
его объему.
3.50. Объем 3 молей гелия изменяется по закону V=αT4, где
α>0. Определить количество теплоты, полученное газом в этом
процессе, если его температура увеличилась на 40 К.
3.51. Работа идеального газа пропорциональна приращению его
внутренней энергии. Определить уравнение данного процесса
(выразить давление, как функцию объема.
3.52. Определить молярную и удельную теплоемкости
кислорода в процессе pV2=const.
3.53. В политропном процессе pV2 =const азоту сообщили
количество теплоты, равное 3,0 кДж. Какую работу совершил газ?
3.54. В политропном процессе pV1,2 =const кислород
расширяется. При этом он отдает количество теплоты 5,0 кДж.
Определить работу, совершаемую газом.
3.55. В политропном процессе pV2 =const два моля кислорода
нагревают на 40 К. Определить количество теплоты, сообщенное
газу.
3.56. Определить молярную и удельную теплоемкости азота в
процессе TV0,2=const.
3.57. Два моля азота совершают политропный процесс,
подчиняющийся уравнению TV0,2=const. Температура газа
увеличивается на 30 К. Определить количество теплоты, отведенное
от газа.
3.58. Один моль гелия совершает процесс, в котором
температура меняется по закону T=To+αV, где Т0=200 К, α=104 К/м3.
34
Определить количество теплоты, сообщенное газу при расширении
от объема 10 л до объема 20 л.
3.59. Один моль кислорода совершает процесс, в котором
давление изменяется по закону p=po+αV, где ро=0,1 МПа,
α=10 кПа/м3. Определить количество теплоты, сообщенное газу при
расширении от объема 10 л до объема 20 л.
3.60. Один моль неона совершает политропный процесс с
показателем политропы n=1,5. Температура газа понижается на 26 К.
Определить: а) количество теплоты, полученное газом; б) работу,
совершенную газом; в) изменение внутренней энергии газа.
3.61. Идеальный двухатомный газ расширяется так, что
давление в процессе изменяется по закону p=αV, где α=107 Па/м3.
Объем газа в начальном состоянии 1 л, в конечном 3 л. Определить:
а) изменение внутренней энергии газа; б) работу, совершенную
газом; в) молярную теплоемкость газа.
3.62. Идеальный газ совершает процессы: а) pVγ=const;
б) pV=const; в) pV2=const. В каком из этих процессов внутренняя
энергия газа увеличивается при увеличении объема газа?
3.63. 3Идеальный газ совершает процессы: а) pV2=const;
б) pV=const; в) pV1/2=const. В каком из этих процессов газ совершает
максимальную работу при равном приращении объема?
3.64. Воздух, поднимаясь в
атмосфере, расширяется.
Определить зависимость температуры воздуха от высоты. Считать
воздух идеальным газом. На сколько уменьшится его температура
при подъеме на высоту 1км?
35
IV. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
1. Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины
Q
A

 1 х ,
Qн
Qн
где A – работа, совершенная тепловой машиной за цикл;
Qн – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл;
Qх – количество теплоты, переданное холодильнику за цикл.
2. КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно
T
  1 х ,
Tн
где Tх – температура холодильника; Tн – температура нагревателя.
3. Бесконечно малое изменение энтропии термодинамической
Q
системы
.
dS 
T
Изменение энтропии при переходе системы из состояния 1 в
2
состояние 2:
S  S 2  S1 
Q
T
.
1
4. Энтропия одного моля идеального газа (определяется с точностью
до аддитивной постоянной):
S   C V ln T  R ln V  const;
S   C p ln T  R ln р  const;
S   C V ln р  C p ln V  const.
5. Изменение энтропии одного моля идеального газа при переходе
системы из состояния 1 в состояние 2:
Т
V
S   C V ln 2  R ln 2 ;
Т1
V1
Т2
p2
S   C p ln
 R ln
;
Т1
p1
p
V
S   C V ln 2  C p ln 2 .
p1
V1
6. Аддитивность энтропии:
S  S .
7. Связь между энтропией и статистическим весом (формула
S  k ln  ,
Больцмана):
где Ω – статистический вес.
36
Примеры решения задач
Задача 1. Цикл состоит из двух изохор и двух адиабат.
Отношение наибольшего объема газа к наименьшему в цикле равно
8. Рабочим веществом является одноатомный идеальный газ.
Определить КПД цикла.
Дано:
Решение:
V2 / V1  8
i=3
р
 ?
1
2
4
3
V1
V2
V
КПД тепловой машины определяется отношением работы за цикл к
количеству теплоты, получаемому рабочим телом за цикл:
A
.

Qн
Применим первый закон термодинамики для адиабатных процессов.
С учетом выражения для изменения внутренней энергии и
определения адиабатного процесса получаем
i m
A12   U 12 
R(T1  T2 ) ,
2
i m
A34   U 34 
R(T3  T4 ) .
2
В данном цикле работа равна алгебраической сумме работ,
выполняемых
системой
в
двух
адиабатных
процессах
A  A12  A34 . В изохорных процессах 2-3 и 4-1 работа не
совершается.
Для процесса 4-1 применим уравнение изохорного процесса:
р1 р4
.

T1 T4
37
Так как р1 > р4, то T1 > T4. Газ получает количество теплоты от
нагревателя. Это количество теплоты, согласно первому закону
термодинамики, равно
i m
Qн  Q41 
R(T1  T4 ) .
2
Для КПД цикла получаем
A  A34 Т 1  T2  Т 3  T4
Т T
Т (1  T3 / Т 2 )
.
  12

 1 2 3  1 2
Q41
T1  T4
T1  T4
T1 (1  T4 / T1 )
Применим уравнение Пуассона для процессов 3-4 и 1-2. Применим
уравнение изохорного процесса для процессов 4-1 и 2-3. Получим
систему из четырех уравнений:
р4V4   р3V3 ,
р V   р V .
1 1
2 2
р4 р1
р2 р3
,
.


Т 4 Т1
Т2 Т2
Решая систему уравнений, получаем
T4 T3
.

T1 T2
Таким образом, КПД цикла
T
  1 2 .
T1
Применим уравнение Пуассона в параметрах ТV для процесса 1-2:
Т 1V1 1  Т 2V2 1.
Окончательное выражение для КПД цикла:
 1
V 
.
  1   1 
 V2 
Правая часть уравнения является безразмерной.
Учитывая, что для одноатомного идеального газа i = 3, γ = 5/3,
производим вычисления:
1
1
  1
 1   0,75 .
5
/
3

1
4
8
Ответ: 0,75 (75 %).
38
Задача 2. Азот совершает цикл Карно. Определить КПД цикла,
если при адиабатном расширении объем газа увеличивается в 3 раза.
Дано:
Решение:
T
КПД цикла Карно   1  х .
V3 / V2  3
Tн
i=5
Определим Tх/Tн, воспользовавшись уравнением
Пуассона TV  1  const для процесса адиабатного
 ?
расширения газа:
 1
Tх  V2 
 
Tн  V3 
Для КПД цикла Карно получаем
.
1
V 
  1   3 
.
 V2 
Правая часть выражения является безразмерной.
i2
Учитывая, что для азота  
 1,4 , производим вычисления:
i
  1  311,4  0,36 .
Ответ: 0,36 (36 %).
Задача 3. Идеальный газ с коэффициентом Пуассона γ=5/3
совершает процесс, в котором давление изменяется по закону p=p0–
αV, где р0=0,1 МПа, α=50 кПа/м3. При каком значении объема
энтропия газа будет максимальной?
Дано:
Решение:
Энтропия идеального газа
  5/3
ро=0,1 МПа=105Па
S  CV ln T  R ln V  const .
α =50 кПа/м =5·10 Па
(1)
Используя уравнения состояния
идеального газа и уравнение проV ?
цесса, получим зависимость T(V):
1
(2)
T
( ро  V )V .
vR
Подставив (2) в (1), получим зависимость энтропии газа от объема:
S  CV ln( ро  V )V   R ln V  const .
3
4
39
Объем V0, соответствующий максимуму энтропии, найдем из
условий
d 2S
dS
 0,
dV
 0.
d 2V
 ро
Vо 
.
 1 
 р  Па  м3 .
  Па / м3
Этот объем
Проверка размерности:
Вычисления: Vо 
5/3
105

 1,25 м3 .
5 / 3  1 5  104
Ответ: 1,25 м3.
Задача 4. Во сколько раз следует изотермически увеличить
объем идеального газа в количестве 3 моль, чтобы его энтропия
увеличилась на 25 Дж/К?
Дано:
Решение:
Q
ν = 3 моль
Для обратимого процесса S 
,
T
∆S = 25 Дж/К
где Q  dU  A .
V2
Так как процесс изотермический, то для
?
V1
идеального газа dU  0 , а элементарная работа равна
dV
.
A  pdV  vRT
V
Изменение энтропии S для изотермического процесса будет равно

S 
A
T
V2
 vR
V
V1
dV
V
 vR ln 2 .
V1
Из последнего соотношения находим
V2
 S 
 exp 
.
V1
 vR 
Показатель экспоненты – величина безразмерная.
V
 25 
Вычисления: 2  exp 
  2,7 .
V1
 3  8,31 
Ответ: V2 / V1  2,7 .
40
Задачи для самостоятельного решения
4.1. На рис 4.1 изображены два
р
1
цикла Карно: 1-2-3-4-1 и 4-3-5-6-4.
Процессы 6-4-1 и 2-3-5 адиабатные.
2
4
Сравнить КПД циклов, если для
температур изотермических процессов
3
6
выполняется равенство Т12–Т34=Т34–Т56.
5
4.2. Тепловая машина работает по
циклу Карно с температурой нагревателя
V
Рис. 4.1
Тн и температурой холодильника Tх. В
первом случае увеличивают только Т н на
∆Т, а во втором случае температуру холодильника Т х уменьшают на
∆Т. Сравнить КПД новых циклов.
4.3. На диаграмме рV (рис. 4.2)
р
1
изображен цикл Карно. При адиабатном
расширении газа значение произведения
2
рV уменьшается в 1,5 раза. Определить
КПД цикла.
4.4. На диаграмме рV (рис. 4.2)
4
3
изображен цикл Карно. Определить КПД
цикла при условии, что в состояниях 2 и 4
V
Рис. 4.2
давления газа равны, а отношение
объемов V2/V4=2.
4.5. На диаграмме рV (рис. 4.2) изображен цикл Карно.
Определить КПД цикла при условии, что в состояниях 2 и 4
давления газа равны, а отношение объемов V2/V4=4/3.
4.6. На диаграмме рV (рис. 4.2) изображен цикл Карно.
Определить КПД цикла при условии, что в состояниях 2 и 4
отношение объемов V2/V4=1,5, а отношение давлений р2/р4=2.
4.7. На диаграмме рV (рис. 4.2) изображен цикл Карно.
Определить КПД цикла при условии, что в состояниях 1 и 3
отношения объемов V3/V1=2, а отношение давлений р1/р3=1,5.
4.8. Изобразить цикл Карно на диаграмме TS (S – энтропия). По
диаграмме определить: а) переданное рабочему телу количество
теплоты; б) отданное рабочим телом холодильнику количество
теплоты; в) работу, совершенную рабочим телом в цикле.
4.9. Как изменится КПД цикла Карно, если в качестве рабочего
тела взять одноатомный газ вместо двухатомного? Относительное
изменение объема газа при адиабатном расширении оставить без
изменений.
41
4.10. Тепловая машина работает по циклу Карно. Рабочим
веществом машины является идеальный одноатомный газ. При
адиабатном расширении газа объем газа увеличивается в 8 раз.
Определить КПД машины.
4.11. Тепловая машина работает по циклу Карно. Работа,
совершенная рабочим телом при изотермическом расширении, по
абсолютной величине в 1,5 раза больше, чем при изотермическом
сжатии. Определить КПД машины.
4.12. Тепловая машина работает по циклу Карно (рис. 4.2). Как
изменится работа, совершаемая за цикл, если в качестве рабочего
тела взять одноатомный газ вместо двухатомного? Состояния 1 и 3 в
цикле не изменяются.
4.13. Как изменится работа, совершаемая за цикл Карно, если в
качестве рабочего тела взять двухатомный идеальный газ вместо
трехатомного? Состояния 2 и 4 в цикле не изменяются (рис. 4.2).
4.14. Идеальный одноатомный газ совершает цикл Карно. Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении, равна его
работе при адиабатном расширении. Объем газа при изотермическом
расширении увеличивается в 2,72 раза. Определить КПД цикла.
4.15. Идеальный одноатомный газ совершает цикл Карно
(рис. 4.2). Как изменится количество теплоты, полученное от
нагревателя, и количество теплоты, отданное холодильнику, если в
качестве рабочего тела взять двухатомный газ? Состояния 1 и 3 в
цикле не изменяются.
4.16. Идеальный трехатомный газ совершает цикл Карно
(рис. 4.2). Как изменится количество теплоты, полученное от
нагревателя, и количество теплоты, отданное холодильнику, если в
качестве рабочего тела взять двухатомный газ? Состояния 2 и 4 в
цикле не изменяются.
4.17. Идеальный газ с числом степеней свободы i совершает
цикл Карно. Количество теплоты, полученное газом от нагревателя,
равно его работе при адиабатном расширении. Объем газа при
изотермическом расширении увеличивается от V1 до V2. Определить
КПД цикла.
4.18. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура
нагревателя в n раз больше температуры холодильника. Нагреватель
передал газу количество теплоты Q1. Определить работу,
совершенную газом за цикл.
4.19. В цикле Карно газ отдал холодильнику 3/4 теплоты,
полученной от нагревателя. Определить температуру нагревателя,
если температура холодильника 300 К.
42
4.20. Внутри теплоизолированного цилиндра с подвижным
поршнем находится газ. При горизонтальном положении цилиндра
поршень находится посередине цилиндра. Температура газа по обе
стороны поршня одинакова. Когда цилиндр поставили вертикально,
поршень сместился под действием силы тяжести. Определить
изменение энтропии газа в обеих частях цилиндра. Считать, что
поршень не проводит тепло.
4.21. Внутри теплоизолированного цилиндра с подвижным
поршнем находится газ. При горизонтальном положении цилиндра
поршень находится посередине цилиндра. Температура газа по обе
стороны поршня одинакова. Когда цилиндр поставили вертикально,
поршень сместился под действием силы тяжести. Определить
изменение энтропии газа в обеих частях цилиндра. Считать, что
поршень является теплопроводящим.
4.22. Как будет изменяться энтропия термодинамической
системы при изотермическом расширении и изотермическом
сжатии? Сравнить изменения энтропии системы в этих процессах по
абсолютной величине.
4.23. Газ в закрытом теплоизолированном сосуде разделен
теплопроводящей перегородкой на две части с разными
температурами. В результате теплообмена температура газа в обеих
частях становится одинаковой. Сравнить изменения энтропии газа в
разных частях сосуда по абсолютной величине?
4.24. Нагретый кусок металла бросают в холодную жидкость.
Как изменится энтропия куска металла и жидкости после
установления равновесия? Сравнить изменения энтропии куска
металла и жидкости по абсолютной величине?
4.25. Холодный кусок металла бросают в горячую воду. Как
изменится энтропия куска металла и воды после установления
теплового равновесия? Сравнить изменения энтропии куска металла
и воды по абсолютной величине?
р
1
3
4.26. Воздушный
пузырек
всплывает
со
дна
водоема
на
поверхность. Определить изменение
энтропии воздуха в пузырьке. Считать,
что температура воды на глубине и у
2
поверхности одинакова.
4.27. На диаграмме рV (рис. 4.3)
V
Рис. 4.3
показаны обратимые процессы перехода
идеального газа из состояния 1 в
43
состояние 2 (1-2 изотерма). Доказать, что приращения энтропии газа
в процессах 1-2 и 1-3-2 равны.
4.28. На диаграмме рV (рис 4.4)
р
2
изображены три процесса. Процесс 2-3 –
изотермический. Все процессы обратимы.
Сравнить приращения энтропии в
процессах 1-2 и 1-3.
1
3
V
Рис. 4.4
4.29. На диаграмме рV (рис. 4.5)
изображены три процесса. Процесс 1-2 –
изотермический, 1-3 – адиабатный. Все
процессы
обратимы.
Определить
приращения энтропии в процессах 1-2 и
2-3. Значения давлений и объемов в
состояниях 1,2,3 считать известными.
р
1
2
3
V
Рис. 4.5
4.30. На диаграмме рV (рис. 4.6)
изображены три процесса. Процесс 1-2 –
изотермический, 1-3 – адиабатный. Все
процессы обратимы. Сравнить изменения
энтропии в процессах 1-2 и 3-2.
р
1
3
2
V
Рис. 4.6
4.31. На диаграмме рV (рис. 4.7)
изображен цикл 1-2-3-4-1, состоящий из
двух изобарных и двух изохорных
процессов. На каких участках этого цикла
происходит увеличение энтропии газа?
4.32. На диаграмме рV провести
44
р
1
2
4
3
Рис. 4.7
V
адиабату. Доказать, что состояния газа, которые расположены на
диаграмме выше адиабаты, имеют большее значение энтропии, чем
состояния, расположенные ниже адиабаты.
4.33. На
р
2
3
диаграмме
рT
изображен цикл,
совершенный
идеальным
1
газом (рис. 4.8).
Определить
изменение
Т
Рис. 4.8
энтропии газа на
участках 1-2, 2р
3, 3-1. Значения давления и температуры
2
в состояниях 1, 2, 3 считать известными.
1
4
4.34. На диаграмме рV изображены
процессы 1-2, 1-3, 1-4 (рис 4.9). В каком
процессе приращение энтропии газа
минимально, а в каком – максимально?
4.35. На диаграмме рV изображен
цикл
(рис.
4.10),
состоящий
из
изотермического (1-2), изохорного (2-3),
изобарного (3-1) процессов. Определить
изменение энтропии газа в этих
процессах. Значения давления и объема в
состояниях 1, 2, 3 считать известными.
3
V
Рис. 4.9
р
1
3
2
V
Рис. 4.10
4.36. Идеальный газ переходит из
состояния 1 в состояния 2, 3, 4
(рис. 4.11). Как изменяется энтропия
45
р
2
3
4
1
Рис. 4.11
V
газа в этих процессах? В каком процессе приращение энтропии
будет максимально, а в каком минимально?
4.37. На диаграмме рV изображены
процессы идеального газа 1-2, 1-3, 4-5
(рис 4.12). Процесс 4-5 адиабатный.
Сравнить алгебраические (с учетом
знака) значения приращения энтропии
газа в процессах 1-2 и 1-3.
р
4
3
2
5
1
V
Рис. 4.12
4.38. На диаграмме рV изображены
процессы идеального газа 1-2, 3-4, 5-6
(рис 4.13). Процесс 5-6 адиабатный.
Сравнить приращения энтропии газа в
процессах 1-2 и 3-4.
р
5
2
4
6
1
3
Рис. 4.13
V
4.39. Два моля двухатомного идеального газа переходят из
состояния c давлением р и объемом V в состояние c давлением 2р и
объемом 2V. Определить изменение энтропии газа.
4.40. В адиабатном процессе объем 2 молей двухатомного газа
уменьшили в 2 раза, затем газ при постоянном объеме охладили до
начальной температуры. Изобразить процессы на диаграмме рV.
Определить изменение энтропии газа.
4.41. Идеальный газ в количестве 2 молей сначала адиабатно
сжимается так, что объем уменьшается в 3 раза, затем изотермически
расширяется до начального объема. Изобразить процессы на
диаграмме рV. Определить изменение энтропии газа.
4.42. Идеальный газ в количестве 3 молей сначала изобарно
уменьшает объем в 2 раз, затем изохорно увеличивает давление за
счет нагревания в 2 раза. Изобразить процессы на диаграмме рV.
Определить изменение энтропии газа.
46
4.43. В термосе смешивают горячую воду массой 1 кг при
температуре 50 ºС с холодной водой такой же массы при
температуре 10 ºС. Определить приращение энтропии системы.
4.44. На диаграмме рV изображены
процессы идеального газа (рис. 4.14). Газ
переходит из состояния 1 в состояние 2
процессами 1-3-2 и 1-4-2. Все процессы
обратимы. Показать расчетом, что
приращения энтропии газа в процессах 13-2 и 1-4-2 равны. Значения давления и
объема в состояниях 1,2,3,4 считать
известными.
р
1
3
4
2
Рис. 4.14
V
4.45. На диаграмме рV изображены
р 1
процессы идеального газа (рис. 4.15).
Процесс 1-2 – изотермический, 1-3 –
адиабатный, 3-2 – изобарный. Газ
переходит из состояния 1 в состояние 2
процессами 1-2 и 1-3-2. Все процессы
3
2
обратимы. Показать расчетом, что
приращения энтропии газа в обоих
V
Рис. 4.15
случаях равны. Значения давления и
объема в состояниях 1,2,3 считать
известными.
4.46. Кусок льда массой 100 г нагревают от температуры 250 К
до температуры плавления и плавят. Определить приращение
энтропии льда.
4.47. Водяной пар массой 100 г при температуре 100 °С превращается в воду, которая затем охлаждается до температуры 0 °С.
Определить приращение энтропии.
4.48. Температура вещества зависит от энтропии по закону
Т=αSn, где α, n – постоянные. Определить теплоемкость С вещества
как функцию энтропии S. При каком условии С<0?
4.49. Один моль идеального газа совершает процесс, в котором
энтропия газа изменяется в зависимости от температуры по закону
S=αТ+СμVlnТ, где α – постоянная больше нуля; СμV – молярная
теплоемкость газа при постоянном объеме. В начальном состоянии
заданы объем V0 и температура Т0. Определить зависимость
температуры газа от объема.
47
4.50. Один моль идеального газа совершает процесс, в котором
температура газа изменяется в зависимости от объема по закону
R V
, где Т0 – начальная температура газа; V0 –
T  Tо  ln
 Vo
начальный объем газа, а=const, a>0. Определить зависимость
энтропии газа от температуры.
4.51. Идеальный газ с коэффициентом Пуассона γ совершает
процесс, в котором давление изменяется в зависимости от объема по
закону р=ро–αV, где ро и α – положительные постоянные. При каком
значении объема энтропия газа будет иметь максимальное значение?
4.52. Один моль идеального газа с известным значением
теплоемкости CμV совершает процесс, в котором энтропия S
изменяется в зависимости от температуры по закону S=α/T, где
α=const. Выразить теплоемкость газа в этом процессе как функцию
температуры. Определить количество теплоты, сообщенное газу, и
работу, совершенную газом, при изменении температура газа от T1
до Т2.
4.53. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две
части так, что объем одной из них в 2 раза больше другой. В
меньшей части находилось 0,3 моля азота, а в большей части – 0,7
моля кислорода. Температуры газов были одинаковы. Перегородку
убрали, и газы перемешались. Определить приращение энтропии
системы.
4.54. Процесс расширения двух молей аргона происходит так,
что давление увеличивается прямо пропорционально объему.
Определить приращение энтропии газа при увеличении его объема в
2 раза.
4.55. На диаграмме рV (рис. 4.16)
р
2
1
изображен обратимый цикл, который
совершает идеальный газ. Процесс 1-3
адиабатный. Значения давления объема и
температуры в состояниях 1, 2, 3 считать
известными. Определить работу газа за цикл
3
и КПД цикла как функции температур Т1,
Т 2, Т 3.
V
Рис. 4.16
48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
авельев, И.В. Курс физики. В 3т. Т.1. Механика. Молекулярная
физика / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989.
2.
родов, И.Е. Физика макросистем. Основные законы / Е.И.
Иродов. – М.; СПб.: Физматлит, 2001.
3.
олков, В.Н. Физика. В 3т. Т.1. Механика. Основы молекулярной
физики и термодинамики / В.Н. Волков, Г.И.Рыбакова,
М.Н. Шипко; Иван. гос. ун-т. – Иваново, 1993.
4.
етлаф, А.А. Курс физики. В 3т. Т.1. Механика. Молекулярная
физика / А.А. Детлаф, В.М. Яворский, Л.Б. Милковская. – М.:
Высш. шк., 1977.
5.
исман, Г.А. Курс физики. В 3т. Т.1. Механика. Молекулярная
физика / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – М.: Наука, 1974.
Таблица вариантов контрольных заданий
для студентов заочной формы обучения
Контрольная работа по физике №2
“Молекулярная физика и термодинамика” - МУ №1831
Вариант
0
1.1
1
1.2
2
1.3
3
1.4
4
1.5
5
1.6
6
1.7
7
1.8
8
1.9
9
1.10
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
Номера задач
2.1 2.22 3.1
2.2 2.23 3.2
2.3 2.24 3.3
2.4 2.25 3.4
2.5 2.26 3.5
2.6 2.27 3.6
2.7 2.28 3.7
2.8 2.29 3.8
2.9 2.30 3.9
2.10 2.31 3.10
49
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30