ДОСЛІДЖЕННЯ МОДЕЛІ ВІДНОСИН МЕТОДАМИ ТЕОРІЇ ІГОР
Боровський Денис
Кічмаренко Ольга
Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова
Анотація. В цій роботі було розглянуто сигнальну гру «Ринок
Яблук».Дійшли висновку щодо знаходження оптимальних стратегій кожного
гравця на прикладі моделі «покупець – продавець».
Ключові слова: «Ринок Яблук», теорія ігор,сигнальна гра, змішані
стратегії, рівновага по Нешу, економіка, математика.
ВСТУП
На сьогоднішній день будь – які питання, що пов’язані з економікою є
актуальними та цікавими для дослідження. В умовах складної ситуації в
світовій економіці важливо розуміти базові принципи і закони, якими ця
економіка керується.
Сучасний світ неможливо уявити собі без ринків, а ринки, у свою чергу,
неможливо представити без конкуренції. Однак, ринки і, відповідно,
конкуренція не є однаковими. При рішенні економічних задач часто доводиться
аналізувати ситуації, в яких стикаються інтереси двох або більше конкуруючих
сторін, що переслідують різні цілі – це особливо характерно в умовах ринкової
економіки.
Надалі будемо говорити, що ситуація є конфліктною, якщо є предмет
конфлікту, є зацікавлені сторони, кожна з яких має свою мету стосовно
предмету конфлікту та визначила можливі дії (стратегії), завдяки яким буде
намагатися досягнути своєї мети.
АНАЛІЗ ЛІТЕРАТУРИ
Отже, що таке гра? Гра – це система правил, що визначає можливі дії
учасників, їх кількість, правила розподілу виграшів, які залежать від поведінки
кожного з учасників, а також результату гри, як виграшу кожного гравця.
Розв’язати гру означає дати рекомендації гравцям щодо оптимального вибору
стратегії та вказати
виграш гравця, який відповідає обраній стратегії
поведінки.
Предметом дослідження виступає модель конфліктної ситуації
економічного ринку між покупцем та продавцем. Об’єктом дослідження
являється стратегія обох учасників щодо оптимального вирішення конфліктної
моделі. Методі розв’язання – це методи теорії ігор.
Звернемося до стислого історичного огляду появи та розвитку теорії ігор.
Вже в XVIII столітті деяк формалізували стратегічний підхід у поведінці
суб’єктів ринку, зокрема роботи Ж. Бертрана та А Курно. Згодом Е. Ласкер, Е.
Цермело, Е.Борель пропонують світові ідею математичного підходу для
розв’язання конфліктів. Але відсутність актуальної методології прийняття будь
– яких кроків учасниками ринку вже в XX столітті дала поштовх до створення
теорії ігор. Джон фон Нейман та Оскар Моргенштерн у своїх лослідженнях
дійшли висновку, що на специфіку поведінки учасника ринку впливають не
тільки його особисті наміри і стан, але й аналогічні показники його
конкурентів[1].
В своїй роботі «Теорія ігор та економічна поведінка» Нейман і
Моргенштерн сформулювали поняття «гри», як діяльності двох і більше осіб,
що має умови т.з. «виграшу». Важливо зазначити, що учасники такої «гри»
можуть використовувати певні «ресурси» та взаємодіяти між собою. Отже,
приймають будь – які рішення із урахуванням поведінки інших учасників.
Автори математично описують засоби пошуку оптимальних стратегій – тих, що
призводять до виграшу.
Для подальшого вивчення конфліктних ситуацій, звернемося до
теоретичних матеріалів.
Характер взаємин гравців впливає на можливості формування коаліцій.
Безкоаліційні ігри – це ігри, у яких гравці що неспроможні утворювати коаліції.
За характером виграшів гри відносять до ігор з нульовою сумою та до
ігор з ненульовою сумою. У першому випадку це гра, в якій загальний капітал
всіх гравців не змінюється, а перерозподіляється між гравцями в залежності від
результатів гри, тобто сума виграшів гравців дорівнює нулю. В іншому випадку
гра буде з ненульовою сумою. Прикладом гри з ненульовою сумою можуть
бути торгові відносини між країнами. Внаслідок застосування своїх стратегій
усі країни можуть бути у виграші.
Біматрична гра – безкоаліційна гра, в якій кожний гравець має скінченну
кількість стратегій. Нехай перший гравець має m , стратегій ( i 1,..., m ). У
другого гравця є n стратегій( j 1,..., n ). Виграші першого та другого гравців
відповідно задаються матрицями:
a11 ... a1 j
aij
ai1
a
m1 ... amj
... a1n
ain
... amn
b11 ... b1 j
bij
bi1
b
m1 ... bmj
... b1n
bin
... bmn
.
У контексті дослідження безкоаліційної гри важливо згадати про поняття
«рівноваги», визначеним Джоном Нешом. Рівновага за Джоном Нешем
характеризується тим, що відхилення від ситуації рівноваги одним із гравців не
може збільшити його виграшу, і, таким чином, раціональною стратегією
кожного гравця має бути реалізація рівноваги.
Рівновагою по Нешу називається така сукупність стратегій i* , j * , що для
всіх для будь – якого гравця відхилення від своєї стратегії може лише
погіршити його становище:
aij* ai* j*
, для всіх i, j .
bi* j bi* j*
Отже, розв’язати біматричну гру – це означає знайти всі ситуації
рівноваги та виграші гравців, що їм відповідають.
За кількістю ходів ігри діляться: однокрокові та багатокрокові. У
першому випадку гра закінчується після одного ходу кожного гравця.
Багатокрокові ігри в свою чергу поділяються на: позиційні – ігри, в яких може
бути кілька гравців, кожен з яких може здійснювати ходи. Виграші
визначаються залежно від результатів гри. Якщо у грі ходи призводять до
вибору певних позицій, причому є можливість повернення на попередню
позицію, то гра є стохастичною. Для гри 1 маємо:
a11 ... a1 j
1
ai1
a
m1 ... amj
... a1n
ain
... amn
b11 ... b1 j
1
bi1
b
m1 ... bmj
... b1n
bin
... bmn
В ситуації i, j відбувається розіграш гри 1 в якій кількість стратегій у
гравців – скінченна, але може бути інша. В свою чергу, в грі 1 може бути
здійснено розіграш нової гри:
a11 ... a1l
2
ak1
a
m1 ... aml
... a1n
akn
... amn
b11 ... b1l
2
bk1
b
m1 ... bml
... b1n
bkn .
... bmn
Залежно від стану інформації розрізняються ігри з повною та неповною
інформацією. Якщо кожному етапі кожному гравцю відомо, які вибори були
виконані гравцями раніше, така гра називається з повною інформацією. В
іншому випадку гра з неповною інформацією. Приклад гри з повною
інформацією є гра в шашки .
При багатократному повторенні біматричної гри, гравці з певною
частотою будуть обирати свої чисті стратегії. Тому можна перейти до нової
постановки - біматричної гри у змішаних стратегіях (байєсовською грою).
Вважатимемо повний набір ймовірностей x x1 ,..., xm застосування першим
гравцем своїх чистих стратегій змішаною стратегією першого гравця, та повний
набір ймовірностей y y1 ,..., yn застосування другим гравцем своїх чистих
стратегій – змішаною стратегією другого гравця.
Гра з неповною інформацією чи Байєсівська гра в теорії ігор
характеризується неповнотою інформації про суперників, але при цьому у
гравців є певна довіра до розподілу ймовірності. Байєсівську гру можна
перетворити на гру з повною, але недосконалою інформацією, якщо прийняти
припущення про загальний апріорний розподіл. На відміну від неповної
інформації, недосконала інформація включає знання стратегій та виграшів
супротивників, але історія гри (попередні дії опонентів) доступна не всім
учасникам. Рівновага Байєса є узагальненням рівноваги Неша у змішаних
стратегіях на випадок байєсових ігор. Функція виграшу являє собою
математичне очікування виграшу[2].
Пара змішаних стратегій x* , y* утворює рівновагу по Нешу в змішаному
розширені біматричної гри, якщо
i , j aij xi yi* i , j aij xi* y*j
,
*
* *
b
x
y
b
x
y
ij
i
i
ij
i
j
i , j
i, j
де x x1,..., xn змішана стратегія
першого
гравця,
y y1 ,..., yn змішана
стратегія другого гравця [3].
Також у роботі буде використано дерево рішень – математична модель,
яка складається з дуг, вузлів рішень, вузлів подій та кінцевих вузлів (виходів),
що визначає процес прийняття рішень так, що будуть відображені кожне
можливе рішення, що передують, наступні події або інші рішення та наслідки
кожного кінцевого рішення [4].
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
Відомо з теорії ігор, що знайти «ідеальне» рішення для всіх гравців
неможливо, але скористатися оптимальним рішенням – цілком реальна задача.
Даний аспект є особливо актуальним для економіки. Розглянемо модель ринку з
неповною та асиметричною інформацією на прикладі гри «покупець –
продавець».
Припустимо, що продавець торгує лише двома видами вживаних
комп’ютерів: хороші (назвемо їх тарілки), які продаються за 330 $ при
собівартості 200 $ , і погані (назвемо їх яблука), які продаються за 220 $ при
собівартості 150 $ . Це не є аукціоном, де обирається лише один товар, та
виграш залежить від математичного очікування ціни на товар. В даному
випадку є декілька товарів – поганий та добрий гаджети. Тому варто згадати
про стратегії гри. Кількість хороших та поганих комп’ютерів однакова.
Покупець не має додаткової інформації стосовно стану товару, тому
ймовірність того, що він обере тарілку чи яблуко становить
запропонувати за товар середню ціну:
1
. Покупець може
2
330 220
275 $ . Якщо обраний товар є
2
тарілкою, то продавець відмовиться від угоди, бо тоді його прибуток буде:
200 275 75 $ . Але покупцю не має сенсу пропонувати за «яблуко» середню
ціну, так як він може купити цей комп’ютер за меншу ціну: 275 220 $ . Тому
він завжди мусить пропонувати 220 $ . При такому збігу обставин продавець за
один етап продажу може заробити:
1
1
220 150 0 35 $ . Очікуваний дохід
2
2
складає:
1
1
220 150 330 200 100 $ , при
2
2
повній
проінформованості
покупців та однаковий попит на обидва типи гаджетів.
Ця ситуація тягне за собою такі наслідки: продавець буде змушений
зменшити частку або зовсім перестати продавати якісні комп’ютери. Покупці,
яким потрібен якісний комп’ютер, змушені перейти на інший ринок.
2.2 Сигнальна гра «Ринок яблук»
В основу цієї теорії лягла стаття нобелівського лауреата Джорджа
Акерлофа «Ринок лимонів».
Припустимо, що продавець вживаних комп’ютерів знову має однакову
кількість поганих (яблук) та добрих (тарілок) машин. Покупець не відрізняє
яблука від тарілок. Тому продавець вирішує давати на деякі з продаваних
комп’ютерів річну гарантію, яка повністю покриває витрати на ремонт. Відомо,
що протягом року очікувані витрати на ремонт яблука становлять 50 $ , а
тарілки – 10 $ .
Правила гри є наступними. Спочатку покупець робить хід – обирає
комп’ютер. Це випадковий хід. Після цього продавець каже чи дає він гарантію
на вибраний товар. Наступний хід покупця – пропонує свою ціну: 220 $ або
330 $ . Угоди відбудуться за винятком випадку, коли за тарілку буде
запропонована ціна 220 $ .
Ця сигнальна гра має:
1. множину типів продавця: T T , N , де T позначає – комп’ютер добрий
(тарілка), N – комп’ютер поганий (яблуко);
2. множину повідомлень продавця: M W , J , де W – комп’ютер з
гарантією, J – комп’ютер без гарантії;
3. множину дій покупця: R 220;330 , де 220 – покупець запропонує за
товар 220 $ , 330 – запропонує 330 $ .
4. множину собівартості комп’ютерів Q = {S,Z}, де S – собівартість яблука
150, Z – собівартість тарілки 200;
Уява того, що покупець обирає яблуко чи тарілку, тобто уява покупця
1
2
про сигнали продавця становить: N T .
Дерево сигнальної гри має наступний вигляд ( мал. 2.2.1).
Стратегічна форма гри виглядає таким чином: (табл. 2.2.2). Знайдемо
математичне очікування виграшів гравців. Тоді як платіжна матриця набуває
10; 25
наступних значень
35;0
125; 25
.
95;5
Звернемо увагу, що дана біматрична гра (табл. 2.2.3) не має рівноваги у
чистих стратегіях. Знайдемо рівновагу у змішаних стратегіях. Скористуємося
методом домінуючих стратегій – зведемо матрицю розміру 4 4 до матриці 2 2
, так як стратегія 220, 220 домінує стратегію 220,330 та 330,330. Після цього
бачимо, що стратегія JW домінує стратегію JJ , а стратегія WW домінує WJ (табл.
2.2.4). Маємо наступну платіжну матрицю:
Рішення біматричної гри будемо шукати, вирішуючи системи для
першого та другого гравців відповідно:
p 1 55q 30 0,
p 55q 30 0.
q 1 55 p 5 0,
q 55 p 5 0.
Точка
рівноваги
буде
p ; q 111 ; 116 ,
*
*
де
змішані
стратегії
1 10
6 5
p* p;1 p ; , q* q;1 q ; .
11 11
11 11
Розподіли
*
pWW
ймовірностей
будуть
наступні:
1 *
10
6
5
, pWJ
0, p*JW , p*JJ 0, q*220;220 , q*220;330 0, q*330;220 , q*330;330 0.
11
11
11
11
Тоді
ціна
гри
для
першого
гравця
становить:
1 6
1 5
10 6
10 5 685
1 1
H S ; 10 125 35 95
62.
11 11
11 11
11 11
11 11 11
11 6
Для другого гравця:
1 6
1 5
10 6
10 5 25
1 6
H R ; 25 25 0 5
2.
11 11
11 11
11 11
11 11 11
11 11
Застосування сигналів дозволяє продавцю (гравцю S ) збільшити свій
виграш без сигналів зі 35 $ , до виграшу з сигналами 62 $ . Тоді дерево
сигнальної гри набуде наступних значень (мал. 2.2.5).
Байєсовська рівновага гри має вигляд. У рівноважній ситуації продавець
завжди дає гарантію на якісний комп’ютер:
pW* T 1
p T *
,
pJ T 0
*
а на поганий комп’ютер дає гарантію випадковим чином: у середньому
1
*
p N 11
одну гарантію на 11 комп’ютерів: p* N W*
.
pJ N 10
11
Натомість покупець завжди пропонує ціну 220 $ за комп’ютер без
*
q220
J 1, а
q J *
q330 J 0
гарантії:
*
q
випадковим чином: q* W
*
220
*
330
q
ймовірністю
на гаджет із гарантією призначає ціну
6
W 11 ,
6
та 330 $ з
220 $ з ймовірністю
11
W 5
11
5
.
11
В свою чергу після сигналів продавця, у покупця складається наступна
думка. Якщо продавець запропонував гарантію, то покупець вважає:
1
N |W D ;
1
12 з
з ймовірністю , що він вибрав поганий комп’ютер:
12
11
T | W G .
11
12
ймовірністю , що він вибрав добрий:
12
Якщо ж продавець не запропонував гарантії, то покупець вважає, що він
вибрав поганий товар: N | J E 1, T | J F 0.
РЕЗУЛЬТАТИ
Мал. 2.2.1
Табл. 2.2.2
Подія
𝐃
Хід
𝑡1
Гравець
Виграш
𝑆
220 − 𝑆 − 𝑊 = 20
𝑅
220 + 𝑊 − 𝑁 = 50
𝑡2
𝐆
𝐄
330 − 𝑆 − 𝑊 = 130
𝑅
𝑁 + 𝑊 − 330 = −60
Угоду не склали
𝑡7
𝑆, 𝑅
𝑡8
𝑆
330 − 𝑍 − 𝐽 = 120
𝑅
330 + 𝑊 − 𝑇 = 10
𝑆
220 − 𝑆 = 70
𝑅
𝑁 − 220 = 0
𝑆
330 − 𝑆 = 180
𝑅
𝑁 − 330 = −110
𝑡3
𝑡4
𝐅
𝑆
Угоду не склали
𝑡5
𝑆, 𝑅
𝑡6
𝑆
330 − 𝑍 = 130
𝑅
330 − 𝑇 = 0
Табл. 2.2.3
[𝟐𝟐𝟎; 𝟐𝟐𝟎]
[𝟐𝟐𝟎; 𝟑𝟑𝟎]
[𝟑𝟑𝟎; 𝟐𝟐𝟎]
[𝟑𝟑𝟎; 𝟑𝟑𝟎]
𝐖𝐖
10; 25
10; 25
125; −25
125; −25
𝐖𝐉
10; 25
−55; 25
65; −30
0; −30
𝐉𝐖
35; 0
90; −55
95; 5
150; −50
𝐉𝐉
35; 0
25; −55
35; 0
25; −55
Табл. 2.2.4
[𝟐𝟐𝟎; 𝟐𝟐𝟎]
[𝟑𝟑𝟎; 𝟐𝟐𝟎]
𝐖𝐖
10; 25
125; −25
𝐉𝐖
35; 0
95; 5
Мал. 2.2.5
ВИСНОВКИ
В цій роботі ми дійшли висновку, що використання стратегії – важливий
аспект функціонування економічного ринку, для якого, безумовно, актуальне
поняття «гри». Досліджували стратегію саме як засіб створення оптимальної
моделі для всіх учасників «конфлікту». Було показано, що за відсутності
інформації у покупців неякісні дешеві товари витісняють із асортименту дорогі
якісні товари. На основі аналізу можна зробити наступні висновки щодо
перспектив використання теорії ігор і формальних моделей у дослідженні
сучасних конфліктів. Важливим, але недостатньо дослідженим напрямком є
аналіз дій супротивників у кількох періодах, стратегічної поведінки учасників в
умовах наявності неповної інформації. Іншою сферою, яка практично не
приймається до уваги як в класичних, так і в сучасних дослідженнях та іграх –
це моральні норми, цінності суспільства, моральна сторона кожної стратегії.
Основною особливістю досліджуваної теорії залишаться аспект
«невизначеності». Теорія ігор дозволяє структурувати процес прийняття
оптимальних стратегічних рішень у ситуації невизначеності, коли не відомо, як
поведуться опоненти у грі, що, безумовно, є однією з властивостей
економічного ринку.
БІБЛІОГРАФІЯ
1. von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (1944), “Theory of games and economic
behavior”, Nature, Princeton University Press, 157 (3981): 172 p.
2. Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. – Princeton University Press,
Princeton,New Jersey, 1992. – 288 p.
3. Phlips, Louis (June 30, 1983). The Economics of Price Discrimination. Cambridge
University Press. p. 239.
4. George A. The Market for “Lemons”: Quality Uncertainty and the Market Mechanism, –
1970 . – 488 – 500 p.
ар
