Алгебра из глубины веков

АЛГЕБРА ИЗ ГЛУБИНЫ ВЕКОВ
Разработка урока-конференции в 9 классе
Учитель математики Субботина Н.А.
План конференции



Исторический экскурс и теория решения уравнений
Язык алгебры – уравнение. Перевод «с родного языка на язык алгебры»
Решение исторических задач на составление уравнения
Алгебра – один из важнейших
разделов математики, который помогает решать сложные задачи, встречающиеся в науке,
технике и практической жизни.
Уравнения умели решать еще в Вавилоне, Индии и Древней Греции. Древнегреческий
математик Диофант умел решать уравнения и даже применял буквы для обозначения
неизвестных.
Но по-настоящему метод решения уравнений был
сформулирован арабскими учеными.
Первым книгу о решении уравнений
написал на арабском языке Ал-Хорезми Мухаммед бен-Муса (783-850).
Название у нее было очень странным – «Краткая книга об исчислении ал-джабры и алмукабалы» («Китаб ал-джабр ва-л-мукабала». Трактат, написанный в IX в., явился первым в
мире самостоятельным сочинением по алгебре.
Для ал-Хорезми алгебра – это искусство решения уравнений, необходимое людям «в случае
наследования, наследованных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех деловых
взаимоотношениях или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических
вычислений и других предметов различного рода».
В его трактате впервые прозвучало хорошо известное нам слово «алгебра». Что же означают
слова «ал-джабра» и «ал-мукабала»?
При решении уравнения
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям,
С этим членом сличив,
Равный член придадим,
Только с знаком другим
- И найдем результат нам желательный
Дальше смотрим на уравнение,
Можно ль сделать приведенье,
Если члены в нем подобны,
Сопоставить их удобно,
Вычтя равный член из них,
К одному приводим их.
Таким образом, «ал-джабра» называлась операция переноса отрицательных членов из одной
части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово означает
«восполнение».
В те времена отрицательные числа считались абсурдными, фиктивными. Перенесение же
их с противоположным знаком в другую часть уравнения и превращение их таким образом в
положительные числа как бы восстанавливало их, превращало в настоящие числа.
Слово «ал-мукабала» означало приведение подобных членов. В отличие от слова «алджабра», которое в форме «алгебра» стало одним их самых употребительных в математике,
про «ал-мукабалу» помнят только историки науки.
Какие же операции мы выполняем при решении уравнения 6х – 13 = 2х -5 ?
Решение исторических задач с помощью уравнений
«Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно
лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон.
Как именно выполняется такой перевод, Ньютон показал на примерах.
Вот одни из них.
Купец имел некоторую сумму денег.
В первый год он истратил 100 фунтов.
К оставшейся части добавил третью ее часть.
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов. И увеличил оставшуюся сумму на третью
ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того, как он добавил к
остатку третью его часть, капитал стал вдвое больше первоначального.
На родном языке
На языке алгебры
Купец имел некоторую сумму денег
Х
В первый год он истратил 100 фунтов
Х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее
часть
Х-100+
Х-100
3
В следующем году он вновь истратил
100 фунтов
4х - 400 _
3
100 = 4х - 700
3
=
4х - 400
3
И увеличил оставшуюся сумму на
третью ее часть
4х - 700 + 4х - 700
3
= 16х-2800
9
9
В третьем году он опять истратил 100
фунтов
?
После того, как он добавил к остатку
третью его часть,
?
Капитал стал вдвое больше
первоначального
64х-14800
= 2х
27
Практически не сохранилось фактов биографии замечательного древнегреческого
математика Диофанта. Все, что известно о нем, получено из надписи на его надгробии,
составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представило
прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетье, он был осчастливлен
Рожденьем прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни прекрасной
и светлой дал на земле по сравненью с отцом.
В печали глубокой старец земного удела
конец восприял, переживши года четыре
с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
смерть восприял Диофант.
В XI веке происходит захват и разорение мусульманами Северной Индии (Махмуд Газневи).
Культурные центры переносятся в Южную Индию. Научная жизнь на длительный период
угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономоматематического трактата «Сиддханта-широмани».
Задача Бхаскары
Из множества чистых цветков лотоса
были принесены в жертву:
Шиве – третью долю этого множества,
Вишпу – пятую,
Солнцу – шестую,
Четвертую долю получил Бхавани,
А остальные шесть цветков получил уважаемый учитель.
Сколько было цветков?
Решение. Пусть было х цветков, тогда
При огромном участии Петра I в России выходит первый отечественный учебник по
математике. Идет 1703 год. Леонтий Филиппович Магницкий издает "Арифметику".
"Арифметика, сиречь наука числительная.
С разных диалектов на славянский язык переведенная, и воедино собрана и на две части
разделенная"
Труд Леонтия Филипповича не был переводным, аналогов учебника в то время не существовало.
Это была уникальная книга.
"Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, ..."
Из «Арифметики» Магницкого:
Некий человек нанял работника на год, обещая ему дати 12 рублей и кафтан. Но тот,
проработав 7 месяцев, востотел уйти и просил достойные платы с кафтаном; он же дади ему
по достоинству расчет 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.
Решение. Пусть кафтан стоил х рублей, если бы работник отработал год, то за 1 месяц
оплата составила бы А так как он отработал 7 месяцев, то оплата за 1 месяц составила –
Приравняв эти отношения, используем свойство пропорции и решим уравнение
В рассказе «Репетитор» великий русский писатель А.П.Чехов приводит следующую задачу:
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он
купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?
Решение. Пусть было х аршин синего сукна, тогда черного Старинная русская задача:
 Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как я хочу отдать
сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же,
сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100».
Сколько же было у учителя учеников?
Решение: Пусть у учителя было х учеников.
Подведение итогов конференции.