Лекция № 5. Квантование сигналов по уровню.

Лекция № 5.
Квантование сигналов по уровню.
Постановка задачи. Процесс преобразования сигнала с непрерывным
множеством значений x(t ) в сигнал с дискретными значениями xi (t ) называют
квантованием по уровню. По существу, операция квантования заключается в округлении
значения непрерывной величины до разрешенных значений шкалы квантования в
соответствии с принятым правилом.
Обычно диапазон измеряемой величины, ограниченный значениями umin и umax ,
разбивают на n равных интервалов (шагов) квантования  :
   umax  umin  / n .
(5.1)
Из множества мгновенных значений, принадлежащих i  му шагу квантования
ui 1  u  ui , только одно значение ui является разрешенным ( i  й уровень квантования).
Совокупность величин ui образует дискретную шкалу уровней квантования. Следует
иметь в виду, что при выборе ui в качестве его значения принимают либо верхнюю
границу интервала квантования, либо нижнюю, либо середину интервала. В результате
возникает методическая погрешность квантования, носящая случайный характер и
характеризуемая либо ее максимальным значением  m  max i  max u  ui , либо
среднеквадратичным отклонением  для всего диапазона изменения мгновенных
значений сигнала.
С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантования
непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно разбить на n шагов
квантования и уровни квантования разместить в середине каждого шага (см. рисунок).
ui

ui 1
u
ui
2

u
 2
1
Из рисунка, на котором представлена статическая передаточная характеристика
преобразования, следует, что максимальная погрешность квантования  m равна  2 . Если
уровень квантования выбрать равным верхней или нижней границе интервала
квантования, то максимальная ошибка квантования возрастет до величины  .
Оценим величину среднеквадратической погрешности квантования при
следующих условиях: во-первых, возможные значения измеряемого сигнала
распределены равномерно, во-вторых, измеряемая величина и случайная погрешность
независимы. Доказано, что при условии  umax  umin 
 , закон распределения
погрешности квантования не зависит от u и близок к равномерному, т.е. плотность
вероятности погрешности характеризуется постоянной величиной p( )  1  . Тогда
погрешность квантования на i  м интервале может быть оценена дисперсией и
соответствующим среднеквадратическим отклонением:
2

Di   
2
i
 2 p( )d 
 2
2
.
12
(5.2)
Дисперсия полной ошибки квантования для всей непрерывной шкалы
мгновенных значений сигнала может быть определена как математическое ожидание
дисперсий Di  i 12 на отдельных шагах квантования:
2 n
D   
 p(ui),
12 i 1
i 1
n
2
i
(5.3)
где величина p(ui)  характеризует вероятность попадания мгновенного значения
сигнала в пределы данного шага. Так как
n
 p(u)  1, то величина дисперсии
i 1
i
погрешности будет равна:
D   2  2 12 .
(5.4)
Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и размещении уровней
квантования в середине шага (равномерное квантование) среднеквадратическая
погрешность квантования связана с интервалом квантования соотношением:


2 3
.
(5.5)
Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню реализация,
представляющая собой случайный процесс u (t ) , заменяется ступенчатой зависимостью
u  (t ) . Изменяющуюся во времени погрешность квантования, также представляющую
собой случайный процесс, называют шумом квантования:
2
 (t )  u (t )  u(t )
(5.6)
Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага квантования и
равномерности распределения в нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные
процессы u (t ) и  (t ) эргодическими, среднеквадратическую ошибку равномерного
квантования  можно определить по реализации 1 (t ) .
u (t )
u (t )
u(t )
t
ti 1

ti
1 (t )
2
t
 2

T
В пределах каждого шага квантования  зависимость 1 (t ) можно заменить
прямой t  tg  , где   переменный угол наклона прямой. При размещении уровней
квантования в середине каждого шага математическое ожидание погрешности
квантования равно нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется из дисперсии
погрешности:
1
1
 2
2
2
,
D
(
t

tg

)
dt

(
t

)
dt

T T 2
T T 2 T
12
T 2
T 2
(5.7)
и соответствует ранее полученному значению:

2 3
.
Наряду с шумом квантования у реальных АЦП, выполняющих функцию
квантования, имеются составляющие шума, обусловленные неидеальными
характеристиками компонентов, т.е. инструментальные (аппаратурные) составляющие.
Суммарная мощность шумов квантования Dш , определяемая величиной дисперсии шума,
равна:
Dш  
2
12
 Pш.ин
(5.8)
где Pш.ин – средняя мощность дополнительных шумов, численно равная дисперсии
отклонения реальной передаточной характеристики АЦП по сравнению с идеальной.
3
Квантование сигналов при наличии помех. В реальных условиях на
квантуемый сигнал всегда воздействует помеха. Выберем интервал квантования с учетом
вероятностных характеристик этой помехи и условия ее аддитивности с сигналом.
Очевидно, что мгновенное значение сигнала u , попадавшее ранее в i  й шаг квантования
и сопоставлявшееся с уровнем квантования ui , в результате действия помехи примет
значение ( u   ) и может быть поставлено в соответствие другому уровню квантования
uk . Такой исход приводит к искажению информации и вероятность его не должна
превышать допустимого значения.
Обозначим через pi (k ) условную вероятность сопоставления значения сигнала
u уровню квантования uk вместо уровня ui при условии, что сигнал u принадлежит
i  му шагу квантования. Очевидно, что при наличии помехи условная вероятность
ошибочного решения pi (k ) >0, а pi (i ) <0.
Полная вероятность того, что величина ( u   ) останется в пределах i  го шага
квантования, равна:
ui
Pi  pi (i )  p(u )du .
(5.9)
ui 1
Эту вероятность можно также найти, используя совместную плотность вероятности
p(u,  ) двух случайных величин u и  :
Pi   p(u,  )dud ,
(5.10)
S
где S  некоторая область интегрирования, границы которой найдем, исходя из рисунка:
u
min  ui 1  u
ui
ui 1

max  ui  u
i
u

u1
u0

Рассмотрим i  интервал квантования, в котором границами интегрирования по u
являются значения ui 1 и ui . Верхняя max и нижняя  min границы интегрирования по 
определяются из условия, что алгебраическая сумма сигнала и помехи не должна выйти за
пределы i  го шага квантования.
4
Считая помеху некоррелированной с сигналом, запишем:
ui
pi (i) 
 max
 
ui1
p(u ) p( )dud 
,
min
ui

(5.11)
p(u )du
ui1
где p ( ) – плотность распределения помехи. Знаменатель выражения (5.11) для случая
равномерного квантования сигнала, мгновенные значения которого в диапазоне от umin до
umax распределены равномерно, равен
ui

p(u )du   (umax  umin ) .
(5.12)
ui1
Определим условную вероятность pi (i ) в предположении воздействия помехи,
распределенной по равномерному закону: p( )  1 a , где a 2 – амплитуда помехи,
симметричной относительно мгновенного значения сигнала. Учитывая, что результаты
расчета инвариантны относительно номера интервала квантования и зависят от
соотношения амплитуды помехи a и величины  , найдем pi (i ) при a   :


1 max 1
a
.
pi (i )    d du  1 
 min a
4
0
(5.13)
Аналогично находим pi (i ) при   a  2a и a  2 :
1  a 4 ,   a  2a
pi (i)  
a  2a
 a ,
(5.14)
Анализ соотношений (5.13) и (5.14) показывает, что нецелесообразно 
выбирать меньше a , поскольку при (a )  1 резко возрастает вероятность неправильного
квантования сигнала.
Аналогично рассчитывают зависимости для случая помехи, распределенной по
нормальному закону распределения. Сравнение результатов расчетов показывает, что для
вероятности правильного квантования pi (i ) воздействие помехи с нормальным законом
распределения эквивалентно воздействию равномерно распределенной помехи при
соотношении a  3 п , где  п – среднеквадратическое отклонение помехи  .
5