Число Рейнольдса

Число Рейнольдса. Ламинарное и турбулентное течения
Полученные нами точные решения гидродинамических уравнений относятся к
простейшим идеализированным течениям. В более сложных случаях точное решение
становится невозможным.
Важные сведения относительно динамики течения можно получить, оценив порядки
величин, входящих в уравнение членов, и сравнив их друг с другом.
Рассмотрим стационарное движение несжимаемой вязкой жидкости, когда
отсутствуют внешние объемные силы. В этом случае
 v  v  
1

P  v .
Обозначим характерный масштаб скорости течения через u (например, какое-то
среднее значение скорости течения, или максимальное значение, или скорость
движения стенки и т.д.), а характерный масштаб длины – через
(радиус трубки,
диаметр, линейный размер обтекаемого тела, или расстояние, на котором скорость
претерпевает изменение порядка
u : u u ). В этом
случае нелинейный член
 v  v ,
который описывает роль сил инерции в течении, будет иметь следующий порядок
величины:
 v v
u2 ,
а порядок величины вязкости будет
v 
u
2
.
Отношение этих величин является важной безразмерной характеристикой течения и
называется числом Рейнольдса:
u 2  u u
: 2 
 Re .
(19.83)
Число Рейнольдса выражает относительную роль сил инерции и трения в
динамике течения. В течениях с малым значением числа Рейнольдса превалирует роль
вязкости, которая сглаживает возникающие небольшие неоднородности. Подобные
течения характеризуются плавно меняющимися гидродинамическими полями скорости,
давления и плотности. Соответствующие течения называются ламинарными. В
течениях с большим числом Рейнольдса преобладают силы инерции, которые
способствуют возникающим в жидкости случайным неоднородностям. В этом случае
течение характеризуется резкими, очень нерегулярными изменениями полей скорости,
давления и плотности. Это турбулентное движение жидкости. Рассмотренные до сих
пор течения являются примерами ламинарных течений, которые редко встречаются в
природе.
В природе и технике подавляющее большинство реальных движений жидкостей и
газов турбулентное. Таковы разнообразные виды движений воздуха в атмосфере,
начиная со слабых поверхностных ветров и заканчивая движениями при общей
циркуляции атмосферы (циклоны, антициклоны). Турбулентными являются движения
воды в реках, морях, океанах, также как многие, имеющие практическое значение
движения: в трубах, реактивных двигателях, за обтекаемым телом.
Беспорядочные колебания гидростатических полей в турбулентных течениях
приводят к интенсивному размешиванию жидкости, что, в свою очередь, ускоряет
процессы теплопередачи и диффузии. По этой причине важно знать те причины, при
которых ламинарное течение переходит в турбулентное. Этот вопрос еще не получил
исчерпывающего ответа и в настоящее время является предметом бурных обсуждений.
Первые экспериментальные результаты исследования турбулентности принадлежат
Хагену (1839), который, постепенно уменьшая вязкость жидкости в прямом цилиндре
при постоянной разности давлений, показал, что поток жидкости (19.82) возрастает до
определенного максимального значения, после чего резко убывает.
Общий признак возникновения турбулентности дал Рейнольдса (1883). Согласно
этому признаку, течение остается ламинарным, пока число Рейнольдса (19.83) не
начинает превышать определенное критическое значение
Rcr .
Однако дальнейшие
исследования показали, что только по величине числа Рейнольдса невозможно
однозначно описать возникновение турбулентности. Так, например, выяснилось, что
значение
Rcr
существенно зависит от гладкости стенок трубки (так называемая степень
«начальной возбужденности» жидкости). Если в трубке с шероховатыми стенками
Rcr  2800 , то,
значений Rcr  20000
переход в турбулентное состояние происходит, скажем, при
устранив
неровности, можно продлить ламинарный режим до
и более.
Причем, неясно до каких значений числа Рейнольдса возможно это «затягивание».
Rcr   , то есть вообще не
max
значение Rcr , после которого
Можно ли продлить ламинарное течение до значений
переходить в турбулентный режим, или существует
течение точно будет турбулентным?
исчерпывающего ответа.
Этот
Установлено, что существует такое значение
вопрос
также
Rcrmin  2300 ,
еще
не
получил
что течения с меньшим
числом Рейнольдса, независимо от степени «начальной возбужденности», всегда
ламинарные.
Явление возникновения турбулентности можно продемонстрировать с помощью
эксперимента, изображенного на рис. 19.16.
Рис.19.16
Рис.19.17
В течениях с маленьким числом Рейнольдса жидкость, вытекающая из трубки В
имеет вид непрерывной струи. В течении, соответствующем
Rcr
недалеко от выхода
из трубки В струя расширяется, на ней появляются волны, дающие начало одной - двум
вихрям большого масштаба, которые распадаясь на множество мелких вихрей в конце
трубки захватывают все ее поперечное сечение. В течениях с
Re  Rcr
струя,
вытекающая из трубки В уже имеет турбулентный характер и наполняет весь объем
трубки А окрашенной жидкостью. Возникающие вихри увеличивают сопротивление
течения, благодаря чему уменьшается количество жидкости, текущей через трубку за
единицу времени. На рис. 19.17 представлены профили скорости плоскопараллельного течения Куэтта, или течения в трубке при ламинарном и турбулентном
течении при одинаковом перепаде давлений. Как видим, в турбулентном течении
скорость одинакова почти по всему сечению трубки за исключением тонкого слоя
вблизи стенок.
Звуковые волны
Получим уравнение распространения малых возмущений в сжимаемой идеальной
жидкости (газе). Воспользуемся уравнением движения идеальной жидкости (19.6),
(19.12), (19.18).
В случае малых возмущений состояния жидкости нелинейный член в левой части
уравнения Эйлера намного меньше члена
v t .
Действительно, за время

периода
колебаний частица жидкости успевает совершить перемещение порядка амплитуды
колебаний
. Это означает, что скорость частицы жидкости (порядка v
/ )
претерпевает
(
v  ).
v
заметное
Значит,
изменение
v t
на
расстоянии
v  ,  v  v
v .
2
порядка
длины

волны
Из малости нелинейного члена
следует 
 v  , что и является условием малости возмущений. Значит, малы те
возмущения, амплитуда которых намного меньше длины волны.
Возбудим в среде малое возмущение, вследствие которого уравновешенные
плотность и давление среды подвергнутся малым изменениям:
P  P0  P,   0   ,
где
P
P0 ,  
0 .
(19.94)
подставляя эти возмущения в уравнения гидродинамики и
пренебрегая бесконечно малыми, являющимися производными возмущений второго и
более высокого порядка, получим
 P 
 
v 1
 0v  0;
 P  0; P   0    .
t
t 0
 0 ад
(19.85)
В последнем соотношении, получаемом из уравнения состояния, предполагается,
что процесс является адиабатным. Обозначим
 P 
cs2   0  ,
 0 ад
(19.86)
которое имеет размерность квадрата скорости и смысл адиабатной сжимаемости.
Для ясности предположим, что все возмущенные величины зависят только от времени
t
и координаты
x.
Дифференцируя первое уравнение (19.85) и исключая
v
и

с
помощью двух остальных уравнений, получим
2
 2 P
2  P
 cs
 0.
t 2
x 2
(19.87)
Подобное уравнение получается и для возмущений плотности и скорости. В
предыдущей главе мы увидели, что (19.87) – это волновое уравнение, которое
описывает плоскую волну, распространяющуюся со скоростью cs. Значит, в жидкостях и
газах малые возмущения давления и плотности распространяются с одной и той же
скоростью
cs . cs
называется
скоростью
звука
и
ее
можно
выразить
через
изотермическую сжимаемость следующей формулой:
cs2 
где
  c p cv
c p  P0 
 P0 

  
 ,
cv  0 T


 0 T
(19.88)
называется показателем адиабаты.
Определим скорость звука в идеальном газе. Учитывая уравнение состояния
идеального газа
P  R T 
,
с помощью (19.88) получим:
cs   RT 
.
(19.89)
Заметим, что в газах скорость звука порядка скорости теплового движения молекул.
Так как γ слабо зависит от температуры, то скорость звука в газах пропорциональна
.
Напоследок получим условие несжимаемости жидкости в стационарных
течениях. Мы видели, что при адиабатном процессе изменение плотности,
обусловленное изменением давления, равно
T
p  P cs2
Согласно уравнению Бернулли, изменение давления жидкости – величина порядка
P 0 v2 . Так что


v2
,
cs2
(19.90)
откуда следует, что изменением давления из-за изменения плотности можно
пренебречь (т.е. считать жидкость несжимаемой течения
v
2
c
2
.
достаточно
мала
скорости

распространения
0 ),
звука
если скорость
в
жидкости: