Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 1

Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
1. Основные сведения
1. Арифметическая прогрессия (𝑎𝑛 ) – числовой ряд, в
котором каждый следующий член 𝑎𝑛+1 отличается от
предыдущего, начиная со второго, на одну и ту же величину
d, называемую разностью арифметической прогрессии:
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑 (рекуррентная формула)
2. Основные формулы:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1) – формула п-го члена.
𝑎 +𝑎
2𝑎 +𝑑(𝑛−1)
3. Геометрическая прогрессия (𝑏𝑛 ) – числовой ряд, в
котором
каждый
следующий
член
𝑏𝑛+1 отличается от предыдущего в q раз (q – знаменатель
геометрической прогрессии):
𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 ∙ 𝑞 (q  0, q  1, 𝑏1 ≠ 0) (рекуррентная формула)
4. Основные формулы:
𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞 𝑛−1 – формула п-го члена.
𝑏1 (𝑞 𝑛 −1)
𝑆𝑛 = 1 𝑛 ∙ 𝑛 = 1
∙ 𝑛 – формула суммы п первых
2
2
членов арифметической прогрессии.
𝑎
+𝑎
𝑎𝑛 = 𝑛−1 𝑛+1 - характеристическое свойство А.П.
𝑆𝑛 =
*п – номер члена числового ряда, принимает только
натуральные значения (1, 2, 3, 4, …).
геометрической прогрессии (|𝑞| < 1).
𝑏𝑛 = √𝑏𝑛−1 ∙ 𝑏𝑛+1 – характеристическое свойство Г.П.
–
𝑞−1
формула
суммы
геометрической прогрессии.
𝑏
𝑆= 1
– формула суммы
2
1−𝑞
п
первых
бесконечно
членов
убывающей
2. Примеры
Найдите 50-ый член арифметической прогрессии Найдите 9-ый член геометрической прогрессии
1
1
(𝑎𝑛 ), если 𝑎1 =–4, d = .
(𝑏𝑛 ), если 𝑏𝑛 = , 𝑞 = 2.
7
2
𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞 𝑛−1 ;
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1);
1
𝑎50 = −4 + ∙ (50 − 1) = −4 + 7 = 3.
7
Ответ: 𝑎50 = 3.
1
28
𝑏9 = ∙ 29−1 = = 27 = 128.
2
2
Ответ: 𝑏9 = 128.
Найдите
первый
положительный
член Найдите знаменатель геометрической прогрессии,
арифметической прогрессии (𝑎𝑛 ), если 𝑎1 =–100, если 𝑏5 = 36, 𝑏7 = 12.
d = 2. Какой у него номер?
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1); 𝑎𝑛 > 0
−100 + 2(𝑛 − 1) > 0;
2𝑛 > 100 + 2;
𝑛 > 51  первый положительный член – 52-ой.
𝑎52 = −100 + 2(52 − 1) = 2.
Ответ: 𝑎52 = 2.
𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 ∙ 𝑞;
𝑏7 = 𝑏5 ∙ 𝑞 2 ;
2
𝑏7
1
5
Сколько членов в арифметической прогрессии,
если 𝑆𝑛 = −575, 𝑎1 = 13, 𝑑 = 3.
2𝑎1 +𝑑(𝑛−1)
2
𝑞 = 𝑏 ; 𝑞 = 36; 𝑞 = 3; [
Ответ: 𝑞 =
𝑆𝑛 =
12
2
√3
3
или 𝑞 = −
𝑞=
𝑞=
√3
;
3
√3
− 3.
√3
.
3
∙ 𝑛;
2
2∙13−3(𝑛−1)
−575 =
∙ 𝑛;
2
−1150 = (26 − 3𝑛 + 3) ∙ 𝑛;
3𝑛2 − 29𝑛 − 1150 = 0;
𝑛 = 25;
1
[
𝑛 = −15 − не удовл. опр. А. П.
3
Ответ: в арифметической прогрессии 25 членов.
3. Задачи
1) Сколько нужно сложить последовательных натуральных чисел, начиная с 25, чтобы их сумма равнялась 196?
2) Сколько нужно сложить последовательных нечетных натуральных чисел, начиная с 11, чтобы их сумма равнялась 96?
3) Между числами 6 и -3,6 вставьте семь чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.
4) Между числами 2 и −18√2 вставьте четыре числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
5) При каком положительном значении х последовательность чисел 3х, 7-х, 5х+7 является геометрической прогрессией?
6) Между числами -2 и -32 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия?
7) Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна -40, знаменатель прогрессии равен -3. Найдите сумму первых
восьми членной этой прогрессии.
8) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый равен 24.