МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИИ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН КАРШИНСКИЙ ФИЛИАЛ ТАШКЕНТСКОГО УНИРВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛЬ-ХОРЕЗМИ ФАКУЛТЕТ ТТ • Алгоритмы «Разделяй и властвуй» • Одна большая задача может казаться трудной. Но если разделить её на две задачи в • • • • два раза меньше, она станет намного проще. Для таких случаев хорошо подходят алгоритмы «разделяй и властвуй». Они так и работают: разделяют задачу на более мелкие подзадачи, независимо находят решения для них и соединяют результаты в решение изначальной задачи. Конечно, реальные ситуации бывают более сложными, чем мы описали. После разделения одной задачи на подзадачи, алгоритм обычно делит их на ещё более мелкие под-подзадачи и так далее. Он продолжает это делать, пока не дойдёт до точки, где в рекурсии уже нет необходимости. Важнейший шаг в работе с алгоритмами «разделяй и властвуй» — это соединить решения подзадач в решение изначальной задачи. В качестве примера алгоритма «разделяй и властвуй» приведём задачу сортировки: Сортировка: Отсортируйте набор целых чисел. Входные данные: Список из $n$ разных чисел $a = (a_1, a_2, \dotsc , a_n)$.n разных чисел a=(a1,a2,…,an). Выходные данные: Отсортированный список целых чисел. Измененный порядок $(b_1, b_2, \dotsc , b_n)$ целых чисел от $a$, где $b_1 < b_2 < \dotsb < b_n$.(b1,b2,…,bn) целых чисел от a, где b1<b2<⋯<bn. — это простой итерационный метод решения задачи по сортировке. Сначала он находит самый маленький элемент в $a$, а затем меняет его местами с первым элементом (то есть с $a_1$). Затем он находит второй самый маленький элемент в $a$ и переставляет его на второе место, меняя элемент местами с $a_2$. Повторяя это действие в $i$-й раз, a, а затем меняет его местами с первым элементом (то есть с a1). Затем он находит второй самый маленький элемент в a и переставляет его на второе место, меняя элемент местами с a2. Повторяя это действие в i-й раз, SelectionSort находит $i$-й самый маленький элемент в $a$ и переставляет его на $i$-е место.i-й самый маленький элемент в i и переставляет его на i-е место. Если $a = (7, 92, 87, 1, 4, 3, 2, 6)$, a=(7,92,87,1,4,3,2,6), SelectionSort(a) будет состоять из следующих семи шагов: будет состоять из следующих семи шагов: SelectionSort Время выполнения SelectionSort квадратично, то есть $O(n^2)$: используется $n$ итераций, для каждого из которых требуется время, чтобы просканировать не более $n$ элементов и найти самый большой из них для суффикса $a$. Обратите внимание, что $n^2$ — это завышенная оценка времени выполнения, так как при $i$-м повторе O(n2): используется n итераций, для каждого из которых требуется время, чтобы просканировать не более n элементов и найти самый большой из них для суффикса a. Обратите внимание, что n2 — это завышенная оценка времени выполнения, так как при i-м повторе SelectionSort сканирует суффикс размером $n-i+1$: при первой итерации находится максимальное значение в массиве размера $n$, при второй итерации сканируется массив размера $n-1$ и так далее. Тем не менее общее время выполнения растёт как $n^2$:n−i+1: при первой итерации находится максимальное значение в массиве размера n, при второй итерации сканируется массив размера n−1 и так далее. Тем не менее общее время выполнения растёт как n2: n+(n−1)+(n−2)+⋯+2+1=n(n+1):2, MergeSort — классический пример алгоритма «разделяй и властвуй» для сортировки. Он намного быстрее, чем SelectionSort. Начнём с задачи слияния, в которой нам нужно будет объединить два отсортированных списка — $List_1$ и $List_2$ — в один отсортированный список.1 и 2 — в один отсортированный список. Алгоритм Merge объединяет два отсортированных списка в один за время $O(|List_1| + |List_2|)$. Для этого алгоритм повторно выбирает самый маленький элемент из оставшихся в $List_1$ и $List_2$ и перемещает его в растущий отсортированный список.O(|LIST1|+|LIST2|). Для этого алгоритм повторно выбирает самый маленький элемент из оставшихся в LIST1 и LIST2 и перемещает его в растущий отсортированный список. Merge — полезный инструмент для сортировки произвольного списка, если мы знаем, как разделить неотсортированный список на две отсортированные половины. Вам может показаться, что мы вернулись к тому, с чего начали, только теперь нам нужно отсортировать два меньших списка вместо одного большого. Но сортировка двух мелких списков — более предпочтительная алгоритмическая задача. Чтобы понять, почему это так, мы рассмотрим алгоритм MergeSort. Он разделяет неотсортированный список на две части и использует рекурсию для выполнения мелких задач перед тем, как объединить отсортированные списки. Merge(List_1,List_2): SortedList = ... // empty list while both List_1 и List_2 are non-empty: if the smallest element in List_1 is smaller than the smallest element in List_2: move the smallest element from List_1 to the end of SortedList else: move the smallest element from List_2 to the end of SortedList move any remaining elements from either List_1 or List_2 to the end of SortedList return SortedList MergeSort(List): if List consists of a single element: return List FirstHalf = first half of List SecondHalf = second half of List SortedFirstHalf = MergeSort(FirstHalf) SortedSecondHalf = MergeSort(SecondHalf) SortedList = Merge(SortedFirstHalf,SortedSecondHalf) return SortedList
