Kitob 7781 uzsmart.uz

1-bob. Aniqmas integral
31-ma’ruza.
Aniqmas integralning ta’rifi. Aniqmas integralning xossalari.
Reja:
31.1. Boshlang’ich funksiya tushunchasi.
31.2. Aniqmas integral tushunchasi.
31.3. Aniqmas integralning xossalari.
31.4. Elementar funksiyalarning aniqmas integrallari.
Tayanch iboralar: Funksiya, boshlang’ich funksiya, aniqmas integral, hosila,
defferensial.
Darsning maqsadlari:
Ta’limiy maqsadi: talabalarda boshlang’ich funksiya tushunchasi,
aniqmas integral tushunchasi, aniqmas integralning xossalari, elementar
funksiyalarning aniqmas integrallari.haqida bilimlarni amaliy masalalarga qo’llash
ko’nikmasini hosil qilish.
Rivojlantiruvchi maqsadi: talabalarning izlanuvchanlik faoliyatini
rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko’nikmalarini
hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish mantiqiy va ijodiy qobiliyatini,
muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Tarbiyaviy maqsadi: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish
faoliyatiga jalb yetish, ularda o’zaro xurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish
hamda fanga bo’lgan qiziqishni o’stirish.
Darsning jihozlari:
Sinf doskasi, darsliklar, o’quv va uslubiy
qo’llanmalar, ma’ruzalar kursi, tarixiy ma’lumotlar, izohli lug’atlar, atamalar,
o’tilgan dars mavzusi bo’yicha savollar va muammoli topshiriqlar majmuasi, testlar,
kartochkalar, shaxsiy kompyuter, lazerli proyektor.
Dars o’tish usuli: Avval o’tilgan mavzu qay darajada o’zlashtirilganligini
tekshirish, o’z – o’zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish
bo’yicha munozarali jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu
bo’yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr – mulohazalarni bayon qilishga
o’rgatish, savol – javob usulidan foydalanib, o’zlashtirishga erishish; tayanch
iboralarga alohida izoh berish; o’tilgan mavzuni o’zlashtirish darajasini tekshirish va
mustahkamlash.
Darsning borishi: Tashkiliy qism (7 daqiqa): dars xonasining sanitariya
holatini kuzatish, davomat va
talabalarning darsga tayyorligini
tekshirish.
Talabalarni o’tgan ma’ruza boshida bajargan ishlari (o’z – o’zini tekshirish
savollariga javoblar va muammoli topshiriqlarni bajarish) natijalarini e’lon qilish.
Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa): (matn keltiriladi, matnda asosiy
materialdan tashqari, avvalgi mavzularda o’rganilgan tushunchalar, tasdiqlar hamda
mashhur olimlar haqida ma’lumotlarni o’zida mujassam qilgan glossariy ham
keltiriladi va ma’ruzaning elektron variantida giperssilkalar yordamida ularning
3
ekranda ko’rsatilishi ta’minlanadi). Mavzuning asosiy mazmuni–ma’ruza muloqot
uslubi vositasida talabalarga yetkaziladi.
31.1. Boshlang’ich funksiya tushunchasi. Harakat boshlangandan o’tgan t
vaqt ichida moddiy nuqta st  yo’l o’tgan bo’lsin, u holda, vt  oniy tezlik, st 
funksiyaning hosilasiga teng, ya’ni vt   s' t  . Amaliyotda teskari masala ham
uchraydi: moddiy nuqtaning vt  harakat tezligi berilganda, uning bosib o’tgan st 
yo’lini toping. Amaliyotdagi bunday masala, f x  funksiyaning boshlang’ich
funksiyasi tushunchasiga olib keladi.
f  x  va F  x  funksiyalar biror X (ochiq yoki yopiq: chekli yoki cheksiz)
oraliqda aniqlangan bo’lib, ular
F ' ( x)  f ( x )
(1)
munosabatda bo’lsin.
31.1–ta’rif. Agar F x  funksiya biror X oraliqda differensiallanuvchi
bo’lib, x  X lar uchun (1) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda F x  funksiyada X
oraliqda f x  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi deyiladi1.
31.2-ta’rif. Agar f  x  va F  x  funksiyalar X  [a; b] kesmada aniqlangan va
x (a, b) uchun F ' ( x )  f ( x ) yoki dF ( x)  f ( x)dx bo’lib, a va b nuqtalarda
F ' a  0   f a , F ' b  0   f b  tengliklar o’rinli bo’lsa, u holda F  x  funksiyaga
X  [a; b] kesmada f  x  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi deyiladi.
Misollar. 1) f x   x 4 bo’lsin. Bu funksiyaning R dagi boshlang’ich
x5
5x 4
bo’ladi, chunki F ' x  
 x 4 . 2) y  sin x funksiyaning R dagi
5
5
boshlang’ich funksiyasi F x    cos x bo’ladi.
31.1-teorema. G x  va F x  funksiyalarning har biri a, b  intervalda
funksiyasi F x  
differensiallanuvchi bo’lib, ularning xar biri bitta f x  funksiyaning boshlang’ich
funksiyalari bo’lsa, bu G x  va F x  funksiyalar a, b  intervalda bir-biridan
o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni
G  x   F  x   C , x  a, b 
(2)
Isboti. F x  funksiya, f x  funksiya uchun boshlang’ich funksiya, ya’ni
G ' x   f x 
bo’lsa, F x   C funksiya ham f x  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi,
chunki
F x   C '  F ' x   f x 
lemmaning shartiga ko’ra,
F '  x   f  x , Ф'  x   f  x ;
F x   Фx '  F ' x   Ф' x   0,
bundan yesa G x   F x   const , G x   F x   C yekanligi kelib chiqadi.
1
«Бошланғич» функция термини, биринчи бўлиб, XVIII асрнинг охири XIX асрнинг бошларида Лагранж
томонидан киритилган.
4
Demak a, b  intervalda berilgan f x  funksiyaning barcha boshlang’ich
funksiyalari bir-biridan o’zgarmas songa farq qilar yekan.
31.2.
Aniqmas integral tushunchasi. Agar f x  funksiyaning biror
boshlang’ich funksiyasi F x  ma’lum bo’lsa, uning boshqa istalgan boshlang’ich
funksiyasi ushbu
F  x   C (C  const )
formula bilan topiladi .
3-ta’rif. f x  funksiya a, b  intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu funksiyaning
shu intervaldagi barcha boshlang’ich funksiyalarining to’plamiga f x  funksiyaning
aniqmas integrali deyiladi va
 f  x dx
kabi belgilanadi, bunda   integral belgisi, f x  integral ostidagi funksiya, f x dx esa
integral ostidagi ifoda deyiladi.
Agar F x  funksiya a, b  intervalda f x  funksiyaning biror boshlang’ich
funksiyasi bo’lsa, u holda f x  funksiyaning aniqmas integrali
(3)
 f x dx  F x   C
kabi yoziladi. Bunda C -ixtiyoriy o’zgarmas son. Ba’zi xollarda  f  x dx -ni f x 
funksiyaning boshlang’ich funksiyalari to’plami yemas, balki bu to’plamning
ixtiyoriy yelementi deb qarash mumkin.
Integral ostidagi ifodani, ya’ni f x dx - ni F '  x dx shaklida yoki
f  x dx  F '  x dx  dF  x 
deb yozish mumkin. Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amali, uni
defferensiallash amaliga teskari amal bo’lib xisoblanadi.
31.3. Aniqmas integralning xossalari. f x  funksiya a, b  intervalda
aniqlangan bo’lsin.
1-xossa. Agar F x  funksiya a, b  intervalda differensiallanuvchi bo’lsa,
(4)
 dF x   F x   C yoki  F ' x dx  F x   C
bo’ladi. (4) tenglik 3-ta’rifdan kelib chikadi.
2-xossa. f x  funksiya a, b  intervalda boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsin. U
holda uchun x  a, b 
d  f  x dx   f  x dx
(5)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isboti. F x  funksiya f x  uchun ixtiyoriy boshlang’ich funksiya bo’lsin. U
holda aniqmas integralning ta’rifiga ko’ra,
 f x dx  F x   C .
Bundan d  f x dx   d F x   C   dF x   dc  dF x , dc  0, dF x   F ' x dx  f x dx.
Demak d  f x dx   f x dx tenglik o’rinli bo’ladi.
3-xossa. Agar f x  va g x  funksiyalar a, b  intervalda boshlang’ich
funksiyalarga ega bo’lsa, u xolda f x  + g x  funksiya ham a, b  intervalda
boshlang’ich funksiyaga ega bo’ladi va
5
  f x   g x dx   f x dx   g x dx
(6)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. F1 x  va F2 x  funksiyalar mos ravishda a, b  intervalda f x  va g x 
funksiyalarning boshlang’ich funksiyalari, ya’ni
F1'  x   f  x ,
F2'  x   g  x 
belgilasak, F x  funksiya
bo’lsin. F x   F1 x   F2 x  deb
boshlang’ich funksiya bo’ladi, haqiqatdan ham
f x  + g x 
uchun
F '  x   F1'  x   F2' x   f  x   g  x , x  a, b 
Shuning uchun
  f x   g x dx  F x   C  F x   F x   C
1
2
(7)
Ikkinchi tamondan F1 x  va F2 x  funksiyalar mos ravishda f x  va g x 
funksiyalarning boshlang’ich funksiyalari bulgani uchun
 f x dx  F1 x   C ,  g x   F2 x   C2 ,
(bunda C1 va C2 -ixtiyoriy o’zgarmas sonlar) tengliklar o’rinli. Bu tengliklarni mos
ravishda qo’shsak
(8)
 f x dx   g x dx  F1 x   F2 x   C1  C2   F1 x   F2 x   C
(7) va (8) dan (6) kelib chiqadi.
4-xossa. Agar f x  funksiya a, b  intervalda boshlang’ich funksiyaga ega va
k  R \{0} bo’lsa, u holda k f  x  funksiya ham a, b  intervalda boshlang’ich
funksiyaga ega bo’ladi va
(9)
 kf x dx  k  f x dx
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isboti. F x  funksiya a, b  intervalda f x  funksiyaning boshlang’ich
funksiyasi bo’lsin, ya’ni
F '  x   f  x , x  a, b ,  f  x dx  F  x   C
(10)
Unda k F x  funksiya, k f x  funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’ladi, chunki
kF x '  kF ' x   kf x , x  a, b 
(10)
Shuning uchun 3-ta’rifga asosan
(11)
 kf x dx  kF x   C
(10) dan
k  f  x dx   k F  x   C   kF  x   k  C  kF  x   C ( C  const )
(12)
(11) va (12) dan (9) tenglik kelib chikadi.
Natija. Agar f x  va g x  funksiyalar a, b  intervalda boshlang’ich
funksiyalarga ega va 1 , 2  R bo’lib, 12  22  0 bo’lsa, u holda 1 f x   2 g x 
funksiya ham a, b  intervalda boshlang’ich funksiyaga ega bo’ladi va
(13)
 1 f x   2 g x dx  1  f x dx  2  g x dx
tenglik o’rinli bo’ladi.
Yeslatma. Yuqoridagi keltirilgan (11) va (12) tengliklarni hamda kelgusida
uchraydigan shunga o’xshash tengliklarning o’ng va chap tamonlardagi ifodalar
6
orasidagi ayirma o’zgarmas songa barobarligi ma’nosida (o’zgarmas son aniqligida)
tengliklar deb qaraladi.
Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amali uning defferensialini
topish amaliga teskari amal bo’lgani uchun yelementar funksiyalarning hosilasini
topish formulasiga qarab, ularning aniqmas integrali uchun formulalarni yozish kiyin
emas.
4. Elementar funksiyalarning aniqmas integrallari uchun jadvallar.
1.

 x dx 
x  1
 C ,   1
 1
ax
 C , a  0, a  1
ln a
4.  Sinxdx  Cosx  C
3.  a x dx 
2.

dx
 ln x  C , x  1.
x
Xususiy holda
x
 e dx  e
x
C
5.  Cosxdx  Sinx  C
dx
 tgx  C
Cos 2 x
8.  Shxdx  Chx  C
dx
 Ctgx  C
Sin 2 x
9.  Chxdx  Shx  C
6. 
7. 
1
1
dx  thx  C
131.  2 dx  Chx  C
2
Ch x
Sh x
dx
1
xa
dx
1
x
1
12.  2 2  arctg  C   arcCtgx  C . 13.  2 2  ln
C
a x
2a x  a
a x
a
a
a
dx
x
x
14.  2 2  arcSin  C  arcCos  C , | x || a |
a
a
a x
dx
15.  2 2  ln x  x 2  a 2  C ,
| x || a |
a x
10. 
Aniqmas integralning ta’rifidan va xossalaridan foydalanib quydagi aniqmas
integralni xisoblaymiz.
Mavzuni o’zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash (10
daqiqa). Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o’z ifodasini topgan o’z –
o’zini tekshirish savollari va muammoli topshiriqlardan ba’zilari taklif etiladi va
talabalarning javoblari eshitiladi, so’ngra, mavzu bo’yicha o’z– o’zini tekshirish
savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga uyga
vazifa sifatida beriladi (ular ma’ruza matnining oxirida keltirilgan).
O’z – o’zini tekshirish uchun savollar
31.1. Boshlang’ich funksiya ta’hifini ayting.
31.2. Aniqmas integral deb nimaga aytiladi?
31.3. Aniqmas integralning xossalarini ayting.
31.4. Elementar funksiyalarning aniqmas integrallarini ayting.
7
31- ma’ruza bo’yicha muammoli topshiriqlar
1. Agar f x  va g x  funksiyalar a, b  intervalda boshlang’ich funksiyalarga
ega va 1 , 2  R bo’lib, 12  22  0 bo’lsa, u holda 1 f x   2 g x  funksiya ham a, b 
intervalda boshlang’ich funksiyaga ega bo’ladi va
  f x    g x dx    f x dx    g x dx
1
2
1
2
tenglik o’rinli bo’ladi. Ushbu xossani isbotlang.
2.

dx
2
a x
2
 ln x  x 2  a 2  C ,
| x || a | tenglikni isbotlang.
Ma’ruzada foydalanilgan va keltirilgan atamalarning
GLOSSARIYSI
Boshlang’ich funksiya-Agar F x 
funksiya biror X
oraliqda
differensiallanuvchi bo’lib, x  X lar uchun F ' ( x )  f ( x ) tenglik o’rinli bo’lsa, u
holda F x  funksiyada X oraliqda f x  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi
deyiladi.
X  [a; b] kesmada f  x  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi- Agar f  x 
va F  x  funksiyalar X  [a; b] kesmada aniqlangan va x (a, b) uchun
F ' ( x )  f ( x ) yoki
dF ( x)  f ( x)dx
bo’lib,
a
va
b
nuqtalarda
F ' a  0   f a , F ' b  0   f b  tengliklar o’rinli bo’lsa, u holda F  x  funksiyaga
X  [a; b] kesmada f  x  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi deyiladi.
Aniqmas integral- f x  funksiya a, b  intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu
funksiyaning shu intervaldagi barcha boshlang’ich funksiyalarining to’plamiga f x 
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.
8
31- ma’ruza uchun Klaster
Агар F x 
функция бирор X оралиқда
дифференсиалланувчи бўлиб, x  X лар учун
F ' ( x)  f ( x)
тенглик ўринли бўлса, у ҳолда
F  x  функцияда X оралиқда f  x  функциянинг
бошланғич функцияси дейилади.
Аниқмас
интеграл
Бошланғич
функция
тушунчаси
Элементар
функцияларнинг
.
аниқмас интеграллари.
Аниқмас
интегралнинг
хоссалари.
9