DM1 v8

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1
Множества и операции над ними. Свойства операций.
1-10.А и В — числовые промежутки, I=[0, 10]
Найдите A  B, A  B, A \ B, B \ A, AB, A, B .
8. A  [4; 9], B  (3; 5)
Решение
Изобразим множества на числовых прямых
Получаем:
A  B  (3;9]
A  B  [4;5)
A \ B  [5;9]
B \ A  (3; 4)
AB  (3; 4)  [5;9]
A  [0; 4)  (9;10]
B  [0;3]  [5;10]
2-10. Доказать равенство взаимным включением и проиллюстрировать его с
помощью диаграмм Эйлера-Венна.
8. A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ).
Решение
Докажем равенство взаимным включением
 x  A
x  A

x  A
 ( x, y )  A  B

y  B
( x, y )  A  ( B  C )  
  y  B  

 ( x, y )  ( A  B )  ( A  C )
 x  A
y  B C
 ( x, y )  A  C
 y  C


  y  C
Следовательно A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ).
 x  A
x  A

 ( x, y )  A  B
x  A
y  B


( x, y )  ( A  B )  ( A  C )  

  y  B  
 ( x, y )  A  ( B  C )
 x  A
y

B

C
 ( x, y )  A  C

 y  C


y

C
 
Следовательно ( A  B)  ( A  C )  A  ( B  C )
Из двух взаимных включений следует равенство, значит,
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ).
Что и требовалось доказать
Проиллюстрируем равенство с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Левая часть равенства
Правая часть равенства
Итоговые диаграммы совпадают.