Изучение нового материала Геометрический смысл производной: значение производной в точке является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной к графику функции с положительным направлением оси абсцисс в этой точке. №1 1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x2+ 4x в точке х0=1. Решение: f ′(х) = - 2х + 4; k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2. Ответ: 2. 2) Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2 + 8x – 3 в точке х0=-3 Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4. Производная пути в точке – это скорость в момент времени, производная скорости в точке – это ускорение в момент времени. №2 Задача1. Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t2, (s тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки? Решение: Т.к. скорость есть первая производная от перемещения по времени, то S’(t) = 30 – 10t, т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда 0=30–10t; 10t=30;t=3(сек). Тормозной путь S(t) = 30t - 5t2=30∙3-5∙32=90-45=45(м). Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м. Задача2. Координата тела меняется по закону х(t) = 5 - 3t2 + 2t3 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 секунды? Решение: S = S(t); Скорость V = S′(t) = x′(t); ускорение а = V′(t) = х″(t). V(t) = x′(t) = -6t + 6t2; V(2) = -6∙2 + 6∙4 = 12 (м/с); a(t) = -6 + 12t; a(2) = -6 + 12∙2 = 18(м/с2). Ответ: V = 12 м/с; а = 18м/с2.
