Реферат по СГМАМетрическое и нормированное пространства (2)

МИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
ИМЕНИ А.Ф. МОЖАЙСКОГО
6 факультет
61 кафедра
Реферат по дисциплине «Специальные главы математического анализа»
Тема: Метрическое и нормированные пространства
Выполнил:
Курсант 691/2 уч.гр.
рядовой Левицкий А.В
Проверил:
Профессор 111 кафедры
Фокин Р.Р.
Санкт-Петербург 2021
Оглавление
1. Определение метрического пространства ................................................. 3
2. Определение нормированного пространства ............................................ 5
3. Предел линейного нормированного пространства ................................... 7
4. Определение фундаментальной последовательности .............................. 9
Заключение ...................................................................................................... 11
Литература ....................................................................................................... 12
1. Определение метрического пространства
Именно
в
этих
пространствах
были
первоначально
исследованы
фундаментальные понятия сильной и слабой сходимости, компактности,
линейного функционала, линейного оператора и др. Банаховы пространства
названы по имени С. Банаха, к-рый в 1922 начал систематич. изучение этих
пространств на основе введенной им аксиоматики и получил глубокие
результаты.
Множество M называется метрическим пространством, если каждым
двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие
действительное число, обозначаемое
и называемое расстоянием между
элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:
для любых
1.
случае, когда
2.
, причем
в том и только в том
;
для любых
для любых
3.
;
.
Если x, y - два фиксированных элемента множества M, то
есть
действительное число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементам
множества M, получим, что
является функцией двух переменных x, y. Эта
функция называется метрикой данного пространства.
Множество можно наделить метрикой: например, достаточно положить
. Примером метрического пространства может также
служить множество точек плоскости, где расстояние между точками
и
определяется как
. При этом третья
аксиома, принимающая вид
(где A, B, C - произвольные
точки плоскости) имеет наглядную интерпретацию: длина любой из сторон
треугольника не превосходит суммы двух других сторон (равенство достигается,
если треугольник "вырожден": точка C лежит на отрезке AB). В связи с этим
третью аксиому метрического пространства часто называют неравенством
треугольника.
Приведем теперь менее тривиальный пример. В пространстве непрерывных
на отрезке
функций (действительных или комплексных) введем метрику
Выполнение первых двух аксиом метрического пространства при этом
очевидно, а выполнение третьей аксиомы следует из тривиальных свойств
модуля и того факта, что максимум суммы не превосходит суммы максимумов:
Разумеется, на одном и том же множестве метрику можно ввести поразному. Рассмотренная только что метрика в пространстве непрерывных
функций называется равномерной метрикой (пространство с этой метрикой
обозначают
). Однако на том же самом множестве непрерывных функций
можно ввести и так называемую среднеквадратичную метрику
(пространство с этой метрикой обозначают
), и некоторые другие
метрики. Выполнение неравенства треугольника для среднеквадратичной
метрики будет доказано несколько позже.
2. Определение нормированного пространства
В линейных пространствах наряду с метрикой используют понятие нормы
элемента.
Определение. Линейное пространство называется нормированным, если
каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие
действительное число
1.
(норма x), причем выполнены следующие аксиомы:
для любого x, причем
тогда и только тогда, когда
;
для любого x и любого комплексного;
2.
для любых x, y из данного пространства.
3.
Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится
понятие нормированного пространства с теми же аксиомами.
Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенством
Минковского. Простейшими примерами нормированных пространств могут
служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в
качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство
векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора. В
пространстве
непрерывных
функций
на
(действительном
или
комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:
,
Отметим
теперь
.
следующий
важный
факт.
В
любом
линейном
нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:
При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует
из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы
также очевидно:
.
Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует
из неравенства Минковского:
Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать
метрическим пространством указанным выше естественным способом (так,
указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают
соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают
пространства
и
соответственно). Обратное утверждение, вообще
говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму,
поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а
метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой.
Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой
(является
линейным
пространством),
то
его
всегда
можно
сделать
нормированным, введя норму
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно линейные
нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости) будем
подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной)
метрикой
.
3. Предел линейного нормированного пространства
Пусть теперь
- некоторая последовательность элементов линейного
нормированного пространства L, а
- некоторый фиксированный элемент L.
Для каждого номера n найдем
последовательность
. Тем самым получим числовую
.
Определение. Элемент
линейного нормированного пространства L
называется пределом последовательности элементов
(или
, если
).
Обозначение:
(если необходимо, то указывают, по какой норме
рассматривается предел).
Если последовательность
имеет предел, то она называется
сходящейся (по норме данного пространства), в противном случае расходящейся.
Пример. Рассмотрим последовательность функций
. Функция
в пространстве
является ее пределом, т.к.
при
Однако в пространстве
Действительно, допустим, что
При каждом фиксированном
,
.
эта же самая последовательность расходится.
в равномерной метрике. Тогда
очевидно,
,
и, следовательно,
, т.е.
Но
.
Итак,
.
Однако такая функция
не является непрерывной на
, т.е. вообще не
принадлежит рассматриваемому пространству. Таким образом, в
данная
последовательность предела не имеет.
Как видим, одна и та же последовательность может иметь предел в одной
метрике и не иметь в другой.
Если последовательность имеет предел, то этот предел единственен. В
самом деле, пусть
и
. Тогда
.
При
правая часть стремится к нулю, следовательно, левая часть также
стремится к нулю. Но
- константа, поэтому
=0, а значит,
.
Определение предела последовательности элементов нормированного
пространства основано на понятии предела числовой последовательности.
Используя определение предела числовой последовательности, "расшифруем"
более подробно понятие предела в нормированном пространстве.
Элемент
линейного нормированного пространства L является пределом
последовательности элементов
, если для любого (сколь угодно малого)
найдется номер N, такой, что для всех номеров n, больших N, выполнено
неравенство
. Или, в символьной записи,
4. Определение фундаментальной последовательности
Рассмотрим теперь понятие фундаментальной последовательности, тесно
связанные с понятием предела.
Определение.
Последовательность
элементов
линейного
нормированного пространства называется фундаментальной, если
Очевидно, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна: если
, то
тогда
для
всех
номеров
последовательности
что
и
доказывает
фундаментальность
.
Из курса анализа известен критерий Коши: числовая последовательность
сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Иными словами,
пространство R устроено так, что в нем не только из сходимости следует
фундаментальность, но и наоборот. Однако не любое линейное нормированное
пространство устроено таким образом: например, в пространстве рациональных
чисел Q (с обычными линейными операциями и нормой
)
фундаментальная последовательность может расходиться (такая ситуация имеет
место, если пределом последовательности рациональных чисел является число
иррациональное).
Определение. Линейное нормированное пространство называется полным,
если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели метрические и нормированные
пространства,
их
определения,
пределы
линейных
нормированного
пространства, а также определение фундаментальной последовательности
Нормированным
векторным
пространством называется векторное
пространство с заданной на нем нормой.
Более
точно,
для
векторного
пространства X над
полем K задано
отображение из X в K, такое что выполняются свойства, рассмотренные в нашей
работе, для любых
Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором
между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами,
определено расстояние, называемое ме́трикой.
Литература

Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. —
2004. — ISBN 5-93972-300-4.

Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.

Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.

Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека
«Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.

Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по
математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.