Тема: Производная Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной Рис. 1. График функции . Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию. Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где независимая переменная или аргумент (время), – зависимая переменная или функция (расстояние), – закон или правило, по которому каждому значению одно значение . Зафиксируем момент времени заданному закону данный момент времени прошло некоторое время это . ставится в соответствие только (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по , т.е. имеем точку , расстояние - . Эта точка показывает, что в . Дадим аргументу приращение . Момент времени, который будет рассматриваться - , т.е. Рис. 2. Секущая к графику функции . – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым. Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка наклонена к оси – секущая, . В результате получилась секущая под углом , которая . – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси . Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол - угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке. Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента. Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени . Физический смысл отношения ∆f/∆x Рассмотрим отношение рис.4). , где – приращение функции, – приращение аргумента (см. Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения . Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения С другой стороны отношение катета к катету . – это тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения секущей – тангенс угла – это тангенс угла наклона . Определение производной Пусть секущей . Понятно, что и будет стремиться к точке будет стремиться занять положение касательной в точке кривой , а положение к (см. рис.4). Имеем Зафиксируем эту касательную, точку . Точка , то отношение – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать зависит только от величины Если отношение число называется производной функции при . стремится к какому-то числу, то это в точке и обозначается . Определение. Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при . Определение производной с помощью пределов. Предел при разностного отношения производной функции в точке , если он существует, называется и обозначается . Геометрический и физический смысл производной , где – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной абсциссой , где - угол наклона касательной к кривой в точке с . Алгоритм нахождения производной Для того чтобы найти нужно: 1) Задать приращение приращение функции – это приращение аргумента и вычислить соответствующее или 2) Найти разностное соотношение 3) Если отношение при . , упростить его и сократить на . стремится к какому-то числу, то это число будет .
