Применение векторов для решения задач кинематики. Теперь будем обсуждать чисто олимпиадные задачи. Есть круг задач, связанных с оптимизациями: как бросить как можно дальше, как с минимальной скоростью, через что-нибудь перебросить и т. д. Если решать в лоб, то поучим громоздкие выражения, потом их нужно исследовать на максимум. Это сложно. Во многих случаях более простое решение получается, если использовать не уравнения движения, а уравнение траектории y f x . Получим уравнение траектории. При движении брошенного из начала координат тела имеем такие выражения для координат: x v0t cos , (1) gt 2 y v t sin . 0 2 x Исключим время. Из первого уравнения t . Подставив во второе, полуv0 cos gx 2 чим: y x tg 2 . Теперь парабола хорошо видна, причем, она прохо2v0 cos2 дит через начало координат. Здесь плохо, что угол входит через разные триго1 нометрические функции. Но есть такое тождество: tg 2 1 . После за2 cos мены получим «правильное» уравнение параболической траектории gx 2 2 y x tg 2 tg 1. Это квадратичное выражение не только относительно 2v0 x , но и относительно tg . Многие задачи можно решить именно используя уравнение траектории. Например, задача 8: Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углом и к горизонту с одинаковой начальной скоростью v. На каком расстоянии от отверстия по горизонтали струи пересекутся? Ее невозможно решить, применяя уравнения движения (1) – пересекаются именно струи воды. В точке пересечения встречаются порции воды, которые вышли из шланга в разное время. А точка пересечения траекторий находится просто: gx 2 2 gx 2 2 y1 x tg 2 tg 1 y2 x tg 2 tg 1 2v 2v , . В точке пересечения координаты одинаковы: gx 2 gx 2 x tg 2 tg 2 1 x tg 2 tg 2 1 2v 2v . 1 gx tg 2 tg 2 2 2v . Раскрыв разность квадратов горизонтальную координату точки пересечения: tg tg Отсюда получаем: тангенсов находим 2v 2 tg tg xL g . 2v 2 tg tg Ответ: L g . Можно задавать вопрос, а под каким углом нужно бросить тело из начала координат, чтобы попасть в заданную точку? Для этого подставляем в уравнение траектории координаты ( x, y ) интересующей нас точки и относительно tg получаем квадратное уравнение. Решив это уравнение, в общем случае, мы получим два значения угла и две различных траектории. В артиллерии одна называется «настильной», а вторая «навесной». Но квадратное уравнение может иметь и один корень или вообще не иметь корней. Если точка слишком далека, то при ограниченной начальной скорости нельзя в нее попасть, бросая под любым углом — квадратное уравнение относительно tg не будет иметь ни одного корня. Значит нужно увеличить начальную скорость. Так мы приходим к возможности получения границы простреливаемой области. При заданной величине начальной скорости и выбираемом угле бросания такая граница обязательно существует. Например, при стрельбе вертикально вверх v02 предельная достижимая высота , максимальная дальность по горизонтали 2g v02 . Граница простреливаемой области — это множество точек, при которых два g решения квадратного уравнения относительно tg переходят в ноль решений. Например, при выбранном значении x мы поднимся верх и сначала будут два возможных угла, потом будет одно решение, а потом ни одного. Граница простреливаемой области — это набор координат x, y , при которых получается единственное значение tg . Чтобы найти границу простреливаемой области нужно составить выражение дискриминанта уравнения и приравнять его к нуgx 2 2 gx 2 лю. Сделаем это. Приведем уравнение к виду: 2 tg x tg y 2 0 2v0 2v0 . В этом уравнении a gx 2 gx 2 b x c y 2 2 v 2v02 , 0 , . b2 4ac 0 Дискриминант уравнения приравниваем к нулю: . В развернутом 2 2 2 v0 gx gx x 2 4 2 y 2 0 2 2v0 2v0 виде: . После умножения на 2gx получим уравнение границы простреливаемой области в таком виде: 2 v02 v02 gx 2 Это уравнение параболы с вершиной при x 0 , y . y 2g 2 g 2v02 . Коэффициент при x 2 отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз и v02 пересекают горизонтальную ось в точках x g . Мы нашли сечение граничной поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением этой параболы вокруг оси Oy . Отметим, что граница, изображенная на следующем графике пунктиром, является огибающей для семейства траекторий при различных направлениях начальной скорости и фиксированном значении начальной скорости v0 . Все такие траектории касаются границы в одной точке. 3 Зная уравнение границы простреливаемой области можно решить очень многие задачи. Например, вы стоите на расстоянии L от забора высотой h . С какой минимальной скоростью нужно бросить предмет, чтобы он перелетел через забор? Надо правильно задать вопрос. Под каким углом надо бросить, чтобы попасть в вершинку забора? Получаете уравнение траектории, а потом начинаете уменьшать скорость до тех пор, пока станет получаться единственный корень для тангенса стартового угла. Т.е. вы приравниваете нулю дискриминант, а это граница проv02 gx 2 стреливаемой области: y . Подставляем сюда y h и x L , и вы 2 g 2v02 числяем величину минимальной скорости v0 . v04 2 ghv02 g 2 L2 0 . Решение этого уравнения: v02 g h h 2 L2 , v0 g h h 2 L2 а уже потом решаем уравнение относительно тангенса, причем с нулевым дискриминантом: 2 v02 h h 2 L2 h b x 2v02 v02 h tg 1 tg opt opt 2 gL L L 2a 2 gx gx . L . v0 g h h 2 L2 , тангенс оптимального Ответ: Минимальная скорость 2 h h 1 стартового угла tg opt L L . h на Следующая задача — стрельба с башни высотой максимальную дальность по горизонтали при заданной начальной скорости v0 . Строим границу простреливаемой области. При этом точка стрельбы имеет нулевые координаты, а уровень земли y h , а x L . Тогда получим v02 gL2 уравнение: h 2 g 2v02 . Отсюда максимальная дальность v0 v02 2 gh vv L 0 K L g g . Тангенс оптимального по горизонтали . Видно, что v02 v02 g v tg opt 0 gL gv0vK vK . Это означает, что начальная и конечная угла стрельбы скорости снаряда являются катетами некоего треугольника скоростей. И эти две скорости взаимно перпендикулярны. Заметим, что задача о стрельбе с башни на максимальное расстояние эквивалентна задаче о перебрасывании через забор с минимальной скоростью. Чтобы понять это, достаточно сравнить два последних рисунка. Меняются местами точка старта и точка финиша бросаемого тела. 4 Получился подозрительно простой ответ. Это означает, что должно быть более простое решение. Воспользуемся второй векторной формулой скоростей. Рисуем начальную и конечную скорости. Их концы соединяются вертикальным век gt тором (см. рисунок справа). С течением времени начальная скорость переходит в конечную и при этом горизонтальная скорость остается неизменной. Дальvx L vx t ность — это , умноженная на время полета: Удобнее умножить обе части на ускорение свободного падения. Тогда поgL vx gt vx gt лучаем: . Заметим, что — это удвоенная площадь треугольника, изображенного на рисунке. Нам нужно сделать эту площадь максимальной. Модуль конечной скорости не зависит от величины стартового угла: vK v02 2 gh . В рассматриваемом треугольнике величины обеих скоростей неизменны. Т.е. в треугольнике есть две стороны фиксированной длины. Какой угол должен быть между ними, чтобы площадь треугольника была наибольшей? 1 S ab sin 2 . Понятно, что угол должен быть прямым. Этот вывод является общим: при любой стрельбе для максимальной дальности начальная и конечная скорости должны быть перпендикулярны. Если угол прямой, то площадь это не только произведение основания на высоту, но и произведение катетов: gLmax vx gt v0vK . Отсюда следует, что максимальная дальность по горизонтали vv Lmax 0 K g . А если угол прямой, то в прямоугольном треугольнике угол равна: v0 vK . Когда мы рассматривали дальность полета при такой, что стрельбе с башни, мы уже говорили об этом. Перпендикулярность начальной и конечной скоростей выполняется всегда, если дальность максимальна при заданной величине начальной скорости. Если бросок производится на горизонтальной поверхности, то максимальная 45 дальность получается при (рисунок справа). Видно, что конечная и начальная скорости здесь взаимно перпендикулярны. Если бросаем с башни, то угол, обеспечивающий tg opt 5 максимальную дальность должен быть меньше 45, а если бросаем через забор, или выбрасываем из ямы, то стартовый угол должен быть наоборот, больше 45. Распространено заблуждение, что бросать нужно так, чтобы вершина препятствия совпадала с вершиной траектории. Это не так. Для забора нулевой высоты достаточно просто бросить до него и немного дальше. В правильном ответе вершина преграды должна быть на нисходящем участке траектории. Вернемся к задаче о стрельбе на наклонной плоскости. Мы получили там, что начальная скорость должна идти по биссектрисе угла между вертикалью и наклонной плоскостью. Для броска сверху вниз по наклонной плоскости ответ такой же — бросать по биссектрисе (см. рисунок справа). А биссектрисы перпендикулярны. Если хотите соединить две точки траектории с минимальной скоростью, или, что тоже самое, при заданной скорости получить максимальную дальность, то начальная и конечная скорости должны быть перпендикулярны. Из рисунка видно, что 90 . Разберем теперь задачи двойной оптимизации. Например, задача о переброске через дом, или через толстый забор. Когда мы рассматривали переброску через забор, то место броска было фиксировано. Мы могли менять только стартовый угол. Теперь вопрос в том, с какой минимальной скоростью можно перебросить тело через дом с плоской крышей высоты h и длины L. А бросать можно с любого места и в любом направлении. Здесь нужно подбирать несколько оптимальных величин. Это гораздо сложнее. Начать нужно с понимания того, что оптимальная парабола должна проходить через углы крыши. Если есть зазор между траекторией и углом, то начальную скорость можно еще уменьшить. Но таких парабол может быть много различной формы. Ответ состоит в том, что на углу крыши угол наклона скорости к горизонту должен быть 45. Такая парабола обеспечивает оптимальv02 v02 L sin 2 . Отсюда v02 gL . Тогда стартоg g ное преодоление крыши дома. вая скорость на земле v 2 v02 2 gh g L 2h . Это ответ. Интересно, что квадрат начальной скорости пропорционален периметру наземной части сечения дома L 2h . Усложним задачу. Перебросить через дом с покатой крышей. Даны три размера. 2 Тогда длина наклонной крыши L2 l 2 H h . На высоком углу крыши ско6 рость v0 . Это как бросок с башни. Тогда горизонтальная vv дальность l 0 K , где vk v02 2 g H h . g gl v0 v02 2 g H h . Отсюда g 2l 2 v02 v02 2 g H h, v04 2 g H hv02 g 2l 2 0 . Решение этого уравнения: v02 g H h g H h l 2 g H h gL . Скорость на месте броска: v 2 v02 2 gH g L h H . Это ответ к задаче. С какого места на земле бросать в задаче не спрашивается. 2 7
