Отчёт о лабораторной работе №1

Федеральное государственное образовательное
бюджетное учреждение высшего профессионального
образования «Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики» (ФГОБУ ВПО
«СибГУТИ»)
Межрегиональный учебный центр переподготовки
специалистов (МУЦПС)
Отчёт о лабораторной работе №1 по курсу общей
физики для студентов дистанционной формы
обучения
«Информатика и вычислительная техника»
Выполнила: студентка группы
ПБТ-02 Клабукова Ксения Андреевна
Преподаватель: ст. преподаватель кафедры
физики СибГУТИ Стрельцов А. И.
Цель работы:
1. Изобразить графически сечение
эквипотенциальных поверхностей
электростатического поля, созданного заданной
конфигурацией электрических зарядов
2. Используя изображение эквипотенциальных
поверхностей, построить силовые линии
электростатического поля заданной
конфигурации зарядов
3. При помощи полученной картины силовых и
эквипотенциальных линий проверить
справедливость формулы связи напряжённости
электрического поля с его потенциалом.
Теоретическое введение
В данной лабораторной работе нам нужно
проверить справедливость данной формулы:


   или    grad
(1)
Выражение называется градиентом потенциала.
Благодаря этой формуле мы можем определить
направление силовых линий электростатического
поля.
Градиентом скалярной функции называется вектор,
характеризующий скорость пространственного
изменения функции и направленный в сторону
максимального её возрастания.
По формуле мы видим, что вектор напряжённости
электрического
поля
направлен
в
сторону,
противоположную
максимальному
возрастанию
потенциала.
Так же формулу (1) можно записать в другом виде:

       
  
i
j
k 

x

y

z


(2)
Помимо механического взаимодействия тел в
природе существуют другие фундаментальные виды
взаимодействия. Одним из таких свойств является
электрический заряд. Обладающие электрическим
зарядом тела способны вступать в электрическое
(электромагнитное) взаимодействие.
Электрический заряд не может существовать без
материального
носителя.
Кроме
того,
электромагнитное взаимодействие может носить не
только характер притяжения, но и характер
отталкивания. Установлено, что в природе существует
два вида электрических зарядов, один из которых
условно был назван положительным, другой –
отрицательным. Эксперименты показывают, что
одинаковые
по
знаку
электрические
заряды
отталкиваются, а противоположного знака –
притягиваются.
Электрический заряд обладает свойством
сохранения: в замкнутой системе алгебраическая
сумма электрических зарядов остается неизменной
при любых взаимодействиях тел внутри такой
системы.
Это
есть
электрического заряда.
закон
сохранения
Кроме
того,
заряд
обладает
свойством
делимости: его можно распределять между телами.
Однако, существует предельное значение величины
заряда, дальше которой он уже не делится. Такой
минимальный заряд называется электроном. Заряд
электрона равен 1.6  10 19 Кл и условно считается
отрицательным.
Электрический заряд обозначается буквой q и
измеряется в кулонах (Кл). Единица заряда названа в
честь французского физика Шарля Огюстена Кулона
Тела действуют друг на друга посредством
электромагнитного поля.
Электромагнитное поле – это структурная
форма
материи,
посредством
которой
осуществляется
электромагнитное
взаимодействие.
Основные свойства силового поля:
 Электромагнитное поле создается только
электрически
заряженными
телами
(электрическими
зарядами).
Если
электрические
заряды
неподвижны
в
заданной системе отсчета, то создаваемое
поле называется электростатическим.
 Электромагнитное поле способно оказывать
силовое воздействие на помещенный в него
электрический заряд.
 Поле является объективной реальностью, то
есть, его существование не зависит от наших
знаний о нем. Обладая достаточными
знаниями, мы можем создать приборы,
способные обнаружить и использовать это
поле.
Напряжённость электрического поля – это
физическая величина, равная силе, действующей на
положительный
единичный
точечный
заряд,
помещённый в данную точку поля.

 F

q
(3)
Из определения напряжённости мы можем найти
силу, действующую на точечный заряд:


F  q (4)
Единица напряжённости электрического поля в
системе СИ -
В
.
м
Из закона Кулона (5) и силы, действующей на
точечный заряд (4), мы можем рассчитать
напряжённость поля, создаваемого точечным
электрическим зарядом в вакууме.
Закон Кулона:
Qq
F k 2
r
(5)
где F - сила взаимодействия заряда с полем,
k
1
4 0
-
коэффициент пропорциональности, Q - величина
заряда, создающего поле, q - величина заряда,
помещенного в поле, r - расстояние между зарядами,
 - относительная диэлектрическая проницаемость
среды, заполняющей пространство между зарядами,
 0 - электрическая постоянная.
Формула напряжённости для заряда в вакууме:

Q 
  k  3  r (6)
r
Для расчета напряжённости электрического поля,
создаваемой
телами
произвольной
формы,
используется теорема Гаусса – поток вектора
напряжённости
электрического
поля
сквозь
произвольную замкнутую поверхность, содержащую
электрические
заряды,
равен
отношению
алгебраической суммы этих зарядов к электрической
постоянной и диэлектрической проницаемости
среды, которой заполнено пространство внутри
поверхности.
 qi
  
i
 EdS 
S
 0
(7)
С её помощью можно до просто рассчитать
электрическое поле, создаваемое сколь угодно
сложной конфигурацией электрических зарядов.
По принципу независимости действия сил,
результирующее значение напряжённости поля,
создаваемого
одновременно
несколькими
электрическими зарядами в одной и той же точке
пространства, определяется согласно принципу
суперпозиции: результирующая напряжённость
электрического поля равна векторной сумме
напряжённостей полей, создаваемых каждым из
имеющихся зарядов:
 N 
E   Ei
(8)
i 1
Электрическое
поле
характеризуется
потенциалом - энергетической величиной, равной
потенциальной энергии положительного единичного
точечного заряда, помещенного в данную точку
поля:

Wn
q
(9)
где  - потенциал, Wn - потенциальная энергия
взаимодействия электрического заряда с полем, q величина этого заряда. Размерность потенциала в
системе единиц СИ: B
Потенциал поля, создаваемого
точечным зарядом в вакууме:
 k
Q
r
одиночным
(10)
Результирующее
значение
потенциала,
создаваемого
одновременно
несколькими
электрическими зарядами в одной и той же точке
пространства, определяется согласно принципу
суперпозиции:
результирующий
потенциал
электрического поля равен алгебраической сумме
потенциалов полей, создаваемых каждым из
имеющихся зарядов:
N
    i
i 1
(11)
Потенциал - скалярная величина, которая
определяется
с
точностью
до
произвольной
постоянной. Разность потенциалов связана с работой
сил электрического поля по перемещению точечного
заряда следующим образом:
 A  Wn  W1  W2

 A  Q1   2 
(12)
где 1 ,  2 - потенциалы начальной и конечной точек
положения заряда.
Понятие потенциала и потенциальной энергии заряда
в электрическом поле связано с тем, что работа по
перемещению заряда в электрическом поле не
зависит от траектории его движения, а
определяется начальным и конечным положением
заряда. В соответствие с (10) эта работа определяется
разностью потенциалов начальной и конечной точек.
Напряжённость и потенциал - два физических
параметра одного и того же объекта – электрического
поля. Для нахождения связи между ними рассчитаем
работу при бесконечно малом перемещении точечного
заряда в электрическом поле из точки 0 в точку А .
Элементарная механическая работа при таком
перемещении вычисляется так:
 
dA  Fdr
(13)
В
соответствие с
формулой (12) эта же работа равна:
dA  qd
(14)
Рисунок 1. К расчёту связи напряжённости
электрического поля с его потенциалом
Сопоставляя формулы (14) и (13) и учитывая
явное выражение для силы (4), получим
 
  dr  d
(15)
Переместим теперь заряд из точки O в точку B на
расстояние
при фиксированных значениях
dx
координат y и z dy  dz  0 . В соответствии с формулой
(14) получим:
 x  dx  d
(16)
где E x - проекция вектора напряжённости на ось
Последнюю формулу перепишем так:
x  
 
x
x.
(17)
где
частная
производная
находится
путем
дифференцирования потенциала по координате x при
фиксированных значениях y и z . По аналогии можно
получить
выражения
для
проекции
вектора
напряжённости на другие оси координат:
y  
 
 y
(18)
z  
 
z
(19)
Электростатическое поле удобно
графически
с
помощью
силовых
эквипотенциальных поверхностей.
изображать
линий
и
Силовая линия электростатического поля –
это геометрическая кривая, в каждой точке которой
вектор
напряжённости
электрического
поля
направлен к ней по касательной. Принято считать, что
силовая линия начинается на положительных и
заканчивается на отрицательных электрических
зарядах.
Число силовых линий, приходящихся на единичную
перпендикулярную к ним площадь поверхности,
характеризует абсолютную величину напряжённости
поля: чем гуще расположены силовые линии, тем
больше величина напряжённости поля
Если
силовые
линии
электрического
поля
представляют
собой
параллельные
прямые,
расположенные на равных расстояниях между собой, и
направленные в одну и ту же сторону, то такое поле
называется однородным.
Примером такого поля может являться поле,
создаваемое
большой
равномерно
заряженной
плоскостью. Нарушение хотя бы одного из
перечисленных условий делает электрическое поле
неоднородным.
Эквипотенциальные поверхности – это
поверхности, во всех точках которых потенциал
имеет одно и то же значение. Эти поверхности
целесообразно проводить так, чтобы разность
потенциалов между соседними поверхностями была
одинаковой. На плоскости поверхности превращаются
в эквипотенциальные линии.
Формула (2) упрощается, если
электрическое поле обладает
аксиальной или центральной
симметрией:
r  
d
dr
(12)
где r показывает направление изменения
электрического поля.
Рисунок 2. Силовые линии электрического поля
При небольших расстояниях между исследуемыми
точками возможно перейти от дифференцирования к
конечным приращениям:
r  
  1

 2
x
x2  x1
(19)
где x1,x2 – координаты двух точек, лежащих на силовой
линии; φ1, φ2 – потенциалы этих точек.
Описание лабораторной установки
Лабораторная установка представляет собой
прямоугольную с электролитом (водопроводной
водой), в которую погружены два электрода. На дно
ванны нанесена координатная сетка. Для выполнения
первой части задания берут два одинаковых электрода
в виде небольших металлических колец, для второй
части одно из колец заменяют на плоскую
металлическую пластинку. Электроды присоединены к
источнику постоянного напряжения.
G
V
E1
E3
E2
Один из электродов подключен через вольтметр, к
подвижному зонду.
Неподвижные электроды ванны E1 и E 2 подключены
к источнику постоянного напряжения G.
Подвижный электрод-зонд E 3 подключен к
источнику тока через вольтметр V. При погружении
зонда в электролит вольтметр показывает разность
потенциалов между неподвижным левым по схеме
электродом E1 и подвижным зондом E 3 .
Экспериментальная часть
Задание №1 Исследование электростатического
поля между двумя заряженными электродами
одинаковой геометрической формы.
Таблица 1. Результаты исследований электрического
поля в ванне с двумя круглыми электродами
различной полярности.
Горизонтальная
координата x, см
Вертикальная
координата y, см
Потенциал φ, В
10,00
15,10
5
9,94
14,20
5
10,00
13,20
5
10,00
12,00
5
10,00
11,00
5
10,00
10,00
5
10,00
9,03
5
10,00
8,03
5
9,97
7,00
5
9,97
6,06
5
10,00
5,06
5
10,00
4,03
5
10,00
3,06
5
10,00
2,03
5
10,00
1,06
5
3,34
11,00
6
2,06
11,70
6
4,16
10,00
6
4,56
9,03
6
4,69
7,70
6
4,59
7,06
6
4,16
6,00
6
3,34
5,00
6
1,88
10,00
7
2,91
9,03
7
3,16
8,00
7
2,94
7,03
7
1,81
5,97
7
18,90
11,90
4
16,70
11,00
4
15,80
9,97
4
15,40
9,09
4
15,30
7,79
4
15,50
6,85
4
15,80
5,97
4
16,70
4,97
4
18,20
4,21
4
18,10
9,97
3
17,10
8,97
3
16,80
7,97
3
17,10
6,97
3
18,10
6,03
3
2. Построение эквипотенциальных и силовых линий.
Чёрным построены – эквипотенциальные.
Зелёным построены – силовые.
16
15
14
13
12
11
10
9
+
8
7
6
5
4
3
2
1
0/0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
3. Найдём значение напряжённости поля в точках
А(7,4); Б(10,4); В(13,4) по формуле
r  
  1

 2
x
x2  x1
Для определения потенциала в этих точках
воспользуемся программой – симулятором.
Потенциал в данных точках равен:
А) 5.30 В
Б) 5.00 В
В) 4.70 В
Напряжённость в данных точках равна:
А) х1= 7; х2=10; φ1=5.30 B; φ2=5.00 В

5.00  5.30
r  

 0.1( В / м)
x
7  10
Б) х1= 10; х2=13; φ1=5.00 B; φ2=4.70 В
r  

4.70  5.00

 0.1( В / м)
x
13  10
В) х1= 13; х2=7; φ1=4,70 B; φ2=5,30 В
r  

5.30  4.70

 0.1( В / м)
x
7  13
Вывод:
Напряжённости равны в точках Б и В, а точка А
противоположна по знаку, но по модулю равна
напряжённости точек Б и В. Из этого можно
сделать вывод о том, что напряжённости
электрического поля равномерно распределена
между зарядами, но направление силовых линий
будет разным, а именно таким как показано на
нашем рисунке силовых и эквипотенциальных линий.
Точка А находится левее к положительному заряду,
следовательно, силовая линия будет возрастать.
В точке Б линия достигает своего максимума, не
возрастает и не убывает.
В точке В линия находится правее к
отрицательному заряду, следовательно, убывает.
4. Определить направление силовых линий по

       




i
j
k
формуле:
x
y
z  .


Так как нам дано только две координаты (x,y), то
формула направления силовых линий

     




i
j
приобретает вид:
x
y  .


Теперь нам нужно подставить значения в
получившуюся формулу. Найдём направление
одной силовой линии и убедимся в
справедливости формулы.
1) х=10; у=12; φ= 5
Градиентом функции z = f(x,y) называется
вектор, координатами которого являются
частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(10;12)
или
тогда



  10i  0 j   (10;0)
2) х=4,16; у=10; φ= 6
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(4,16;10)
или
тогда



  4,16i  0 j   (4,16;0)
3) х=1,88; у=10; φ= 7
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1,88;10)
или
тогда



  1,88i  0 j   (1,88;0)
4) х=16,70; у=11; φ= 4
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(16,70;11)
или
тогда




   16,70i  0 j   (16,70;0)
5) х=18,10; у=6,03; φ= 3
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(18.10;6,03)
или
тогда



  18,10i  0 j   (18,10;0)
5. Градиент скалярной функции - это вектор,
характеризующий скорость
пространственного изменения функции и
направленный в сторону максимального её
возрастания.
В данном случае он направлен по касательной к
силовой линии.
Как видно из формулы градиента потенциала,
вектор напряжённости электрического поля направлен
в
сторону,
противоположную
максимальному
возрастанию потенциала.
Изобразим получившиеся вектора на рисунке
(красным).
Вывод: После построения векторов градиента
потенциала мы убедились в справедливости формул

       
   i 
j
k
y
z 
 x
и


   или    grad , так
как
вектор градиента показал максимальное возрастание
вектора силовой линии электрического поля. Так же
не нарушилось свойство силовых линий, согласно
которому силовые линии выходят на
положительном заряде и заканчиваются на
отрицательном, при чём они всегда параллельны
эквипотенциальным линиям.
Задание № 2. Исследование электростатического
поля между двумя заряженными электродами
различной геометрической формы.
1. Результаты исследований электрического поля
в ванне с плоским и круглым электродами
различной полярности.
Горизонтальная
координата x, см
Вертикальная
координата y, см
Потенциал φ, В
0,45
13,00
1
0,45
12,00
1
0,45
10,90
1
0,45
9,98
1
0,45
8,83
1
0,45
7,00
1
0,45
6,00
1
0,45
5,00
1
0,45
4,00
1
0,45
3,00
1
1,23
15,00
2
1,23
14,00
2
1,21
13,00
2
1,21
12,00
2
1,21
11,00
2
1,21
9,98
2
1,20
9,02
2
1,20
8,00
2
1,20
6,98
2
1,21
6,00
2
1,21
5,00
2
1,21
3,98
2
1,21
3,00
2
1,23
2,00
2
1,23
1,02
2
3,26
15,00
3
3,26
14,00
3
3,24
13,00
3
3,22
12,00
3
3,20
11,00
3
3,20
10,00
3
3,20
8,98
3
3,20
7,98
3
3,20
6,98
3
3,19
6,00
3
3,21
5,00
3
3,22
3,98
3
3,22
2,98
3
3,24
1,98
3
3,29
1,00
3
8,47
15,00
4
8,34
14,00
4
8,24
13,00
4
8,11
12,00
4
8,04
11,00
4
7,99
9,98
4
7,91
9,00
4
7,91
7,98
4
7,91
6,98
4
7,96
6,02
4
8,03
5,02
4
8,14
4,00
4
8,21
3,00
4
8,32
1,98
4
8,46
0,98
4
17,70
14,00
5
16,20
13,00
5
15,30
12,00
5
14,60
11,00
5
14,20
9,98
5
14,00
9,02
5
13,90
7,98
5
14,00
7,00
5
14,30
5,98
5
14,60
4,98
5
15,30
3,98
5
16,20
3,00
5
17,60
2,00
5
17,10
9,98
6
16,50
9,00
6
16,30
7,98
6
16,50
6,98
6
17,20
5,98
6
17,50
7,00
7
17,20
8,10
7
17,50
8,98
7
2. Построение эквипотенциальных и силовых
линий.
Чёрным построены – эквипотенциальные.
Зелёным построены – силовые.
3. Найдём значение напряжённости поля в точках
А(7,4); Б(10,4); В(13,4) по формуле
r  
  1

 2
x
x2  x1
Для определения потенциала в этих точках
воспользуемся программой – симулятором.
Потенциал в данных точках равен:
А) 3,83 В
Б) 4,26 В
В) 4,66 В
Напряжённость в данных точках равна:
А) х1= 7; х2=10; φ1=3,83 B; φ2=4,46 В

4,46  3,83
r  

 0,21( В / м)
x
7  10
Б) х1= 10; х2=13; φ1=4,26 B; φ2=4.66 В
r  

4,66  4,26

 1.13( В / м)
x
13  10
В) х1= 13; х2=7; φ1=4,66 B; φ2=3,83 В
r  

3,83  4,66

 0,27( В / м)
x
7  13
Вывод: При использовании электродов разной формы
электростатическое поле становится неоднородным.
Если посмотреть на силовые линии ближе к
отрицательному электрону, то мы увидим, что они
прямы или практически прямы. Если посмотреть на
силовые линии ближе к положительному электроду, то
мы увидим кривые линии. Это связано с тем что
силовые линии выходят от отрицательного электрода
и заканчиваются на положительном. Так же берём в
учёт то что отрицательный электрод прямой, а
положительным является шар. Силовые линии так же
зависят от формы электрода.
4. Определить направление силовых линий по

       




i
j
k  .
формуле:
x
y
z


Так как нам дано только две координаты (x,y), то
формула направления силовых линий

     




i
j
приобретает вид:
x
y  .


Теперь нам нужно подставить значения в
получившуюся формулу. Найдём направление
одной силовой линии и убедимся в
справедливости формулы.
1) х=1,23; у=15; φ= 2
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1,23;15)
или
тогда



  1,23i  0 j   (1,23;0)
2) х=3,26; у=15; φ= 3
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(3,26;15)
или
тогда



  3,26i  0 j   (3,26;0)
3) х=8,47; у=15; φ= 4
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(8,47;15)
или
тогда



  8,47i  0 j   (8,47;0)
4) х=17,70; у=14; φ= 5
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(17,70;14)
или
тогда



  17,70i  0 j   (17,70;0)
5. Градиент скалярной функции - это вектор,
характеризующий скорость
пространственного изменения функции и
направленный в сторону максимального её
возрастания.
В данном случае он направлен по касательной к
силовой линии.
Как видно из формулы градиента потенциала,
вектор напряжённости электрического поля направлен
в
сторону,
противоположную
максимальному
возрастанию потенциала.
Изобразим получившиеся вектора на рисунке
(красным).
Вывод: После построения векторов градиента
потенциала мы убедились в справедливости формул

       
   i 
j
k 

x

y

z


и


   или    grad , так
как
вектор градиента показал максимальное возрастание
вектора силовой линии электрического поля. Так же
не нарушилось свойство силовых линий, согласно
которому силовые линии выходят на
положительном заряде и заканчиваются на
отрицательном, при чём они всегда параллельны
эквипотенциальным линиям.
Контрольные вопросы.
1. Электрическое поле, его основные физические
свойства. Электростатическое поле.
Электромагнитное поле – это структурная
форма
материи,
посредством
которой
осуществляется
электромагнитное
взаимодействие. Основные свойства этого силового
поля таковы:
 Электромагнитное поле создается только
электрически
заряженными
телами
(электрическими
зарядами).
Если
электрические заряды, создающие поле,
неподвижны в заданной системе отсчета, то
создаваемое
поле
называется
электростатическим.
 Электромагнитное поле способно оказывать
силовое воздействие на помещенный в него
электрический заряд.
 Поле является объективной реальностью, то
есть, его существование не зависит от наших
знаний о нем. Обладая достаточными
знаниями, мы можем создать приборы,
способные обнаружить и использовать это
поле.
Электростатическое поле — поле, созданное
неподвижными в пространстве и неизменными во
времени электрическими зарядами (при
отсутствии электрических токов).
2. Основные параметры электрического поля:
напряжённость и потенциал, связь между ними (с
выводом).
Напряжённость электрического поля векторная физическая величина,
характеризующая электрическое поле в данной
точке и численно равная отношению силы.
действующей на неподвижный точечный заряд,
помещенный в данную точку поля, к величине
этого заряда.

 F

q
Потенциал - энергетическая величина, равная
потенциальной энергии положительного единичного
точечного заряда, помещенного в данную точку
поля:
Wn

q
Вывод: из этих определений и формул мы видим,
что обе характеристики поля зависят от величины
заряда.
3. Потенциал электрического поля, разность
потенциалов, электрическое напряжение. Связь
между этими физическими величинами.
Потенциал — скалярная энергетическая
характеристика электростатического поля,
характеризующая потенциальную энергию,
которой обладает единичный положительный
пробный заряд, помещенный в данную точку поля.
Разность потенциалов – это работа по
перемещению единичного заряда между двух
точек.
Напряжение – действие электрического поля на
заряженные частицы.
Связь характеристик: Мы знаем, что разность
потенциалов численно равна электрическому
напряжению. Потенциал мы можем найти как
отношение силы к единичному заряду. Тогда
напряжение будет прямо пропорционально
зависеть от разности сил, действующих на два
точечных заряда, и обратно пропорционально
разности двух единичных зарядов.
4. Схема лабораторной установки.
G
V
E1
E3
E2
5. Силовые
и
эквипотенциальные
линии.
Доказательство их взаимной перпендикулярности
в каждой точке поля.
Покажем, что в каждой точке пространства вектор

напряжённости
электрического
поля
E
перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и
направлен в сторону уменьшения потенциала.
Для этого рассчитаем работу по перемещению
заряда Q вдоль эквипотенциальной поверхности на
бесконечно малое расстояние dl (рисунок 1).
Рисунок 1. К доказательству взаимной
перпендикулярности
силовых
и
эквипотенциальных линий
Такая работа равна нулю, поскольку определяется
разностью потенциалов точек 1 и 2. С другой

 

стороны, в соответствии с F  q и dA  Fdr , работа
записывается так:
 
dA  q  dl  cos(^ el )  0
где el - единичный вектор, направленный по
касательной к эквипотенциальной поверхности.
  1

 2
x
x2  x1


векторами E и l
Из формулы
r  
следует, что косинус

угла между
равен нулю и вектор E
перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

Далее
переместимся
по
нормали
к
n
эквипотенциальной
поверхности
в
сторону
уменьшения потенциала. В этом случае d  0 и из
формулы

E
r  
d
dr
следует, что
Er  0 .
Значит, вектор
направлен по нормали в сторону уменьшения
потенциала.