Домино-28 задач 5класс

Домино-28 задач 5класс
0-0. Принесли 10 чемоданов и 10 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого
чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому
чемодану свой ключ?
Решение. Имеем 10 ключей. Первым из них в самом худшем случае придется сделать 9 проб. Вторым
ключом в самом худшем случае - 8 проб и т.д. Всего 45 проб.
0-1. Вова сказал: «Некоторые учащиеся нашего класса написали слова своим одноклассникам 2 или 4
записки. В результате каждый из 29 учащихся класса получил по 3 записки». Не ошибся ли Вова?
Решение. Вова ошибся, так как всего было написано четное число записок, а полученное 3∙29 –
нечетное число записок.
0-2. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий
справа от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот окажется крайним слева. В каком порядке
они сидят?
Решение.По условию крайний справа – это Шарик. В частности он сидит правее Матроскина. После
пересадки Шарика слева от Матроскина никого не оказалось. Значит, там никого не было! То есть
крайний слева – это Матроскин. Рядом с ним по условию, - дядя Федор. Ну а потом, на единственном
оставшемся свободным месте – почтальон.
0-3. Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их
поровну. Первой пришла Аня, взяла треть слив и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть
оставшихся слив и ушел. Затем пришел Витя и взял 4 сливы – треть от числа слив, которые он увидел.
Сколько слив оставила мама.
Решение: 27 слив.
0-4. В ящике лежат 12 одинаковых шаров, отличающихся только цветом: 6 красных, 3 белых, 2 зеленых
и 1 черный. Какое наименьшее число шаров надо взять из ящика наугад, чтобы среди вынутых шаров
оказался хотя бы один шар красный?
Решение. 7 шаров. Может оказаться, что вынули все белые, зеленые и черный шар, всего 6 шаров.
Следующий шар обязательно будет красным.
Ответ: 7 шаров.
0-5. Незнайка лжет по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит
правду. В какие дни недели незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»?
Ответ обоснуйте.
Решение. Незнайка может сказать фразу, приведенную в условии, в двух случаях:
1) в те дни, когда он говорит правду, если за два дня до этого и через два дня после этого он лжет.
2) в те дни, когда он лжет, если за два дня до этого или через два дня после этого он говорит правду.
Последовательной проверкой всех семи дней недели можно убедиться, что этим условиям
удовлетворяют все дни недели, кроме четверга и субботы.
Ответ: по понедельникам, вторникам, средам, пятницам и воскресеньям.
0-6. Когда у Вани спросили, сколько ему лет, он подумал и ответил: «Я втрое моложе папы, но зато
втрое старше брата Сережи». А маленький Сережа моложе папы на 40 лет. Сколько лет Ване?
Ответ: 15 лет.
1-1. Частное двух чисел в 12 раз меньше делимого и в 3 раза меньше делителя. Найдите делимое и
делитель.
Решение. Так как частное двух чисел в 12 раз меньше делимого, делитель равен 12. Так как частное в
3 раза меньше делителя, то частное равно 12:3=4. Тогда делимое равно 4∙12=48.
1-2. Имеются бревна разной длины. Какое из них распилили на несколько частей, и оказалось, что
частей получилось на 25 больше, чем сделали распилов. Сколько бревен было первоначально?
Решение. Если одно бревно распилить на любое число частей, то частей окажется на 1 больше, чем
сделано распилов. Поэтому если частей получилось на 25 больше, чем сделали распилов, то
первоначально было 25 бревен. Ответ: 25.
1-3. Разделите каждую из фигур по линиям сетки на четыре одинаковые части, чтобы в каждой части
был ровно один кружок.
Решение.
1-4. Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это
время при помощи имеющихся часов?
Решение: Перевернуть обои часы. Когда пройдёт 3 минуты в семиминутных часах останется 4 минуты.
Поставьте яйца в это время вариться. Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы
обратно 4 + 7 + 11 мин.
1-5. В деревне 10 домов, и из каждого выходит по 7 тропинок, идущих к другим домам. Сколько всего
тропинок проходит между домами?
Решение: Пусть дома – вершины графа, тропинки рёбра. Тогда степень каждой вершины равна 7, всего
сумма степеней вершин 7∙10=70, тогда число ребер (тропинок) 70:2=35.
1-6. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 – река, а
на 13 и то, и другое. На остальных картинах – не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что?
Решение: Количество картин, на которых есть хотя бы что-то, равно: 29  17  13  33 . Следовательно,
не пойми что изображают 42-33=9 картин.
2-2. Мама посчитала, что если детям дать по 4 конфеты, то 3 конфеты останутся лишними. А чтобы дать
по 5 конфет, 2-х конфет не хватает. Сколько всего детей?
Решение. 1-й способ. Представим, что мама дала детям по 4 конфеты, тогда у нее остались 3 конфеты.
Если бы у нее были еще 2 конфеты, то она смогла бы дать детям 5 конфет (3+2=5), дав каждому ребенку
еще по 1 конфете. Следовательно, детей было 5.2-й способ. Пусть было x детей, тогда конфет было
4x+3 или 5x-2. Решив уравнение 4x+3=5x-2; x=5.
Ответ: детей было 5.
2-3. Полный бидон с молоком весит 33 кг. Бидон, заполненный на половину, весит 17 кг. Какова масса
пустого бидона?
Решение. 33-17=16 кг - весит половина молока; 16∙2=32 кг – весит молоко; 33-32=1 кг – весит бидон
2-4. Из города А в город В можно проехать по четырем маршрутам, а из города В в город С - по трем.
Сколькими способами можно составить маршрут из горда А в город С, с обязательным заездом в город
В. Ответ: 12.
2-5. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а
затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. сколько гусей и сколько поросят было на школьном
дворе?
Решение: 1 шаг Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх
2 шаг на земле осталось стоять 30 * 2 = 60 ног
3 шаг подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги
4 шаг подняли 24 : 2 = 12 поросят
5 шаг 30 - 12 = 18 гусей
Ответ: 12 поросят и 18 гусей.
2-6. Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25.
Решение. "0" образуется приумножении 2∙5; "2"- множитель каждого четного, по крайней мере один
раз.
"5"- в числах 10, 15, 20, 25 ( 5 пятерок), т.е. пять нулей.
Ответ: 5 нулей.
3-3. 5 винтиков, 2 шпунтика и 3 гаечки весят столько же, сколько весят 1 винтик, 7 шпунтиков и 4
гаечки. Что тяжелее: винтик или шпунтик?
Решение. Массу одного винтика, одного шпунтика и одной гаечки обозначим В, Ш и Г. Тогда верно
равенство 5В+2Ш+3Г= В+7Ш+4Г, из которого следует , что верно равенство4В= 5Ш+Г. Это означает,
что 4В>5Ш, но тогда 4В>4Ш, то есть В>Ш. Итак, винтик тяжелее шпунтика.
3-4. Мальчики помогли учителю физкультуры в подготовке к соревнованиям по бегу – они написали
номера для всех участников соревнования. Коля утверждает, что при этом было написано 70 цифр. Прав
ли Коля?
Решение: Для первых девяти человек написано 9 цифр, значит, на оставшиеся двухзначные номера
осталась 61 цифра. Коля ошибся.
3-5. До царя дошла весть, что кто-то из трех богатырей убил Змея-Горыныча. Приказал им царь явиться
ко двору. Молвили богатыри: Илья Муромец: - Змея убил Добрыня Никитич. Добрыня Никитич: - Змея
убил Алеша Попович. Алеша Попович: - Я убил Змея. Известно, что только один богатырь сказал
правду, а двое слукавили. Кто убил Змея.
Решение: Добрыня Никитич и Алеша Попович сказали одно и то же, поэтому правду сказал Илья
Муромец. Змея убил Добрыня Никитич.
3-6. Блокнот дороже тетради в 5 раз. Хотят купить 3 тетради и 2 блокнота, но если купить5 тетрадей и
1 блокнот, то покупка будет дешевле на 6 рублей. Сколько стоит блокнот?
Решение Заменим каждый блокнот пятью тетрадями, тогда13 тетрадей дороже10 тетрадей на 6 рублей,
то есть 3 тетради стоят 6р, откуда стоимость 1 тетради
2 рубля, а блокнота 10 рублей.
4-4.Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание продолжается 100 часов.
Назовите день и час его возвращения.
Решение: пятница в 16:00 часов.
4-5.Дело происходит на острове, где живут рыцари (Они всегда говорят правду) и лжецы (Они всегда
лгут). Каждый из собравшихся на площади жителей заявил остальным: «Все вы лжецы». Сколько
рыцарей среди них?
Решение: Один рыцарь.
4-6. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг.сена, а для двух лошадей и одной коровы
– 35 кг. сена. Сколько сена выдают ежедневно одной лошади и сколько одной корове?
Решение: Для 1 лош. и 2 кор.
–34кг.
Для 2 лош.и 1 кор. –35 кг.
Для 3 лош. и 3 кор.-69кг.
Для 1 лош. и 1 кор.-23 кг.
Для 1 лош. –35-23=12кг.
Для 1 кор.- 23-12=11кг.
1
1
5-5.У Саши на дне рождения были 5 друзей. Первому он отрезал
часть пирога, второму - остатка,
5
6
1
1
третьему - того, что осталось, четвертому нового остатка. Последний кусок Саша разделил
3
4
пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?
1
Решение.Представим, что торт разрезали на 6 равных частей. Первому другу Саша дал пирога, т.е.
6
1
одну из 6 равных частей – осталось 5 таких же частей. Второму другу Саша отрезал остатка – такую
5
1
же часть как первому. Остались 4 такие же части. Третьему он дал 1 часть того, что осталось,
4
1
четвертому тоже один кусок – нового остатка. Последние две равные части Саша разделил с пятым
3
другом. Всем досталось поровну.
5-6.Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30,… число, стоящее на 6-м месте. Ответ объясните.
Решение. Можно заметить. Что 2=2∙1, 6=2∙3, 12=3∙4, и предположить, что n-ый член
последовательности равен n∙(n+1). Проверка на 4-м (20=4∙5) и 5-м (30=5∙6) показывает, что мы угадали.
Значит на 6-м месте стоит число 6∙7=42.
6-6. На кабинках колеса обозрения написаны номера 1, 2, 3, 4, …. Когда кабинка с номером 25
находится в верхней точке колеса, кабинка с номером 8 находится в самой нижней точке. Сколько
кабинок на колесе обозрения?
Решение: 34 т.к. (25-8)=17 – это будет ровно половина кабинок, и умножить на 2, будет 34.
Домино-28 задач 6 класс.
0-0. Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый
сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько
сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?
Решение.
Обозначим через а- число сторожей в бригаде, черезb-число бригад, черезn- число ночей, которые
проспал один сторож. Тогда a∙b∙n=1001. Но тогда, 1001=7∙11∙13, причем числа7, 11, 13- простые.
Учитывая по условию a<n<b, получаем, а=7.
0-1.Решите ребус: АХ∙УХ=2001
Решение.
Имеем 2001=3∙23∙29. Поэтому число 2001 можно представить в виде произведения двузначных чисел
лишь, следующими способами: 69∙29 или 23∙87. Из них подходит только первый вариант.
Ответ: 69∙29
0-2. Доктор Айболит раздал 4 заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на
одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон на одну больше, чем бегемот.
Сколько таблеток придется съесть слону?
Решение.
Пока звери не съели лекарства, заберем одну таблетку у носорога, две у бегемота и три у слона. Теперь
у всех четверых таблеток поровну. Забрали мы 6 таблеток, т.е. осталось их 2000 – по 500 у каждого. У
слона забрали 3 таблетки, т.е. Айболит прописал слону 503 таблетки.
Ответ: 503 таблетки
0-3.Слава взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочитал половину книги; во второй
треть оставшихся страниц; а количество страниц, прочитанных в третий день, было равно половине
числа страниц, прочитанных в первые два дня. Успел ли Слава прочитать книгу.
Решение.
За первые два дня Слава прочел 1/2+1/6 =2/3, а в третий день еще одну треть, тем самым завершив
чтение.
0-4. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить
возможное наибольшее число, делящиеся на 9?
Решение:
Из признака делимости на 9 следует, что сумма стёртых цифр должна быть 6. Т.к. больше то число, у
которого цифр больше, то стирать надо две тройки. Останется число из 10 цифр. Чтобы это число было
наибольшим надо в старших разрядах иметь большие цифры, поэтому стираем 2 последние тройки.
0-5. Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за 5 часов?
Решение.
Три землекопа за два часа выкопали три ямы, значит, 6 землекопов за два часа выкопают в два раза
больше, т.е. 6 ям. А 6 землекопов за 5 часов еще в два с половиной раза больше, т.е. 15 ям.
0-6.На олимпийских играх наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них золотых и бронзовых вместе
– 65, а золотых и серебряных - 61. Сколько золотых, серебряных, бронзовых медалей получили они
вотдельности?
Ответ: 30золотых, 31 серебряная, 35 бронзовых.
1-1.Покупатель купил у торговки яйцами половину всех яиц и еще половину яйца, второй покупатель
купил половину остатка и еще половину яйца. Тогда у торговки осталось 10 яиц. Сколько яиц было у
торговки сначала?
Ответ: 43 яйца.
1-2. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50см. Может ли он менее чем за 7
прыжков удалиться от начальной точки на ровно на 1м 70см.
Решение.
Удалиться на 1м 70см не означает обязательно удалиться вперед. Попробуем удалиться назад. 170=50∙580
1-3.Ученику на контрольной дали 20 задач. За каждую, верно решенную задачу, ему ставят 8 баллов, за
каждую не верно решенную задачу – минус 5 баллов, за задачу, которую он не брался решать - 0
баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач он пытался решить.
Решение: 13 задач.
1-4.У бабушки спросили: «Бабушка, сколько лет твоему внуку?» - «Моему внуку столько месяцев,
сколько лет мне, а вместе нам 65 лет». Сколько лет внуку?
Решение.
Бабушка в 12 раз старше внука. Значит, сумма их возрастов в 13 раз больше возраста внука. Поэтому
внуку 5 лет.
1-5.В книге 300 страниц. Найдите количество цифр, потребовавшихся для нумерации.
Решение:
Количество цифр от 1 до 9 нужно 9 цифр, от 10 до 99 - 99·2 цифр, от 100 до 300 - 3·201. Всего 792
цифры
1-6.Магазин продал одному покупателю 25 % полотна, второму - 30% остатка, а третьему 40 % нового остатка. Сколько процентов полотна осталось?
Решение:
1)
100 %-25%=75%=0,75 (п) - осталось после первой продажи
2)
0,75·0,3=0,225 (п) – продали во второй раз
3)
(0,75-0,225)·0,4=0,21(п) – продали в третий раз
4)
1-0,25-0,225-0,21=0,315=31,5 % (п) - осталось
2-2.Вычислить сумму всех нечетных чисел, находящихся в первой тысяче.
Решение.
(1+3+5+…+997+999)=(1+999)+(3+997)+…+(499+501)=1000∙250= 250 000.
Нечетных чисел – 500; пар слагаемых – 250.
Ответ: 250 000.
2-3.Если от задуманного числа отнять 11, результат разделить на 11, то останется 4. Если отнять 8 и
разделить, то останется 4. Если отнять 7 и разделить на 7, то останется 4. Найдите задуманное число.
Решение.Обозначим искомое число черезх. При делении на 11, 8 и 7 дает остаток 4, значит,
х=11∙8∙7+4=620.
Ответ: 620.
2-4.Незнайка разрезал фигуру на трехклеточные и четырехклеточные уголки, нарисованные справа от
фигуры. Сколько трехклеточных уголков могло получиться?
Решение.
Фигура состоит из 22 клеток. пусть х- число получившихся трехклеточных уголков, а у– число
четырехклеточных уголков. Тогда 3х+4у=22.
Заметим, что х – четно и х˂8, т.е. х=0, 2, 4, или 6. 0 и 4 не подходят, т.к. у получается не целым. Оба
оставшихся варианта 2 и 6 реализуются.
2-5. Чему равно выражение
Г  Р У  З  И  Я
. Буквам соответствуют цифры. Одинаковым буквам
Т  Б  И  Л  И С  И
– одинаковые цифры.
Решение.
10 букв разных, т.е. используется 10 цифр. Одна из цифр – нуль. На нуль делить нельзя, значит, нуль в
числителе. Если один из множителей нуль, то все произведение равно нулю. Значит, все выражение
равно нулю.
2-6. В сплаве весом 270 г. содержится 5% золота. Сколько граммов золота нужно добавить, чтобы после
переплавки получился сплав с 10%-м содержанием золота?
Решение: 270· (1-0,05)=256,5 г. – добавки до переплавки
100%-10%=90% добавки после добавления золота
256,05·100:90=285 г. – новый вес нового сплава
285-270=15 г. – вес добавленного золота
Ответ 15
3-3. Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чисел 1∙2∙3∙4∙5∙6∙…∙100?
Решение.
Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 делятся на 5, из них 4 делятся на 5∙5=25. Значит, 24 произведений 2∙5
дадут 24 нуля.
Ответ: 24 нуля.
3-4. Коза и корова съедают воз сена за 45 дней, корова и овца – за 60 дней, овца и коза – за 90
дней. За сколько дней съедят воз сена корова, овца и коза вместе?
Ответ: 40 дней
3-5. Коля купил 4 книги, все книги без первой стоят 48 руб., без второй – 46 руб., без третьей- 42 руб.,
без четвертой - 38 руб. Сколько стоит каждая книга?
Решение: Если сложить стоимость всех книг без первой, второй, третьей, без четвертой, то цена каждой
книги в сумму войдет три раза. Стоимость всех книг -58 руб. Значит, цена первой книги 58-48=10 руб. и
т.д. Вторая – 12, третья -16, четвертая - 20
3-6.Поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, мимо платформы длиной 200м за 15 секунд. Найдите
длину поезда см. выше
Решение.
Поезд проходит путь, равный его длине, за 5 секунд; чтобы проехать 200м платформы и еще путь,
равный его длине, поезду требуется 15 секунд. Значит, 200м поезд проезжает за 15-5=10 секунд.
Его скорость равна 200:10=20 (м/с).
Длина поезда равна 20∙5=100 (м).
Ответ100м.
4-4. Можно ли увести из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, и т.д., 468 кг, на 7
трехтонках?
Решение: Нет. Если бы камни увезли, то на какую то трехтонку положили бы 8 камней, но даже 8 самых легких
камней весят больше 3 тонн.
4-5. Кусок туалетного мыла имеет форму параллелепипеда. После семи дней использования все его
размеры уменьшились вдвое. На сколько дней хватит еще мыла?
Ответ: на один день




4-6.Найдите в последовательности2, 6, 12, 20, 30,… число, стоящее на 1994-м месте. Ответ объясните.
Решение.
Можно заметить. Что 2=2∙1, 6=2∙3, 12=3∙4, и предположить, что n-ый член последовательности равен
n∙(n+1). Проверка на 4-м (20=4∙5) и 5-м (30=5∙6) показывает, что мы угадали. Значит на 1994-м 1994∙1995=3 978 030.
5-5.Разность целых двух чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 45045.
Решение: Если (Х-Y)XY=45045, X и Y целые числа, то возможны 4 случая.
Оба числа X и Y четные,
X и Y не четные,
X четное, Y не четное,
X не четное, Y четное.
Во всех случаях произведение (Х-Y)XY четное, что противоречит нечетности числа 45045.
5-6. Известно, что с полным баком топлива рыбак проплывет на моторной лодке 30 км по течению реки
или 20 км против течения реки. На какое наибольшее расстояние может проплыть рыбак по реке на этой
лодке, чтобы топлива хватило на обратный путь?
Решение.
1
На 1 км по течению реки моторная лодка расходует
бака топлива, а на 1 км против течения реки30
1
бака топлива. Представим, что рыбак проплыл 1км по течению и обратно( все равно в какой
20
1
1
1

 бака топлива. Это означает, что 1 км
последовательности). На эту поездку он затратит
30 20 12
1
составляет
от наибольшего расстояния, на которое может отплыть рыбак по реке на своей лодке,
12
чтобы топлива хватило и на обратный путь. Тогда это наибольшее расстояние равно 12 км.
Ответ: 12км.
6-6. Я отпил полчашечки черного кофе и долил ее молоком. Потом я отпил
1
чашки и долил ее
3
1
чашки и долил ее молоком. Наконец, я допил содержимое чашки до конца.
6
Чего я выпил больше: кофе или молока?
Решение.
1 1 1
Подсчитаем долитое молоко:    1 чашка. Кофе тоже была 1 чашка. Кофе и молока выпито
2 3 6
поровну.
молоком. Потом я отпил
Гонка-20 задач7 класс
1. 1Мальчики помогли учителю физкультуры в подготовке к соревнованиям по бегу – они написали
номера для всех участников соревнования. Коля утверждает, что при этом было написано 70
цифр. Прав ли Коля?
Решение:
Для первых девяти человек написано 9 цифр, значит, на оставшиеся двухзначные номера осталась 61
цифра. Коля ошибся.
2
4Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд , в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее
в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз?
Решение. 8С+16Т=24И 21С+3Т=24И 13С=13Т С=Т равноценны.
4Я отпил 1/6 чашечки кофе и долил ее молоком. Затем выпил 1/3 чашечки и долил ее молоком.
Потом я выпил 1/2 чашечки и опять долил ее молоком. Наконец, я выпил полную чашечку. Чего
я выпил больше?Кофе или молока?
Решение: 1/6+1/3+1/2=1. Я выпил чашку кофе и чашку молока.
1. 5В классе число отсутствующих учеников составляло 1/6 числа присутствующих. Когда из
класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих.
Сколько учеников в классе?
Решение: Изначально присутствующих было в 6 раз больше чем отсутствующих, т.е.
отсутствующие составляли 1/7 часть числа всех учащихся. После выхода одного ученика из класса
отсутствующие составили 1/6 часть от общего числа учащихся. Значит, один ученик составляет 1/61/7=1/42 части класса. В классе 42 ученика.
2. 5Проходя мимо пасеки, Вася поссорился с группой из 20 пчел. Защищаясь, он раздавил 2 пчелы,
но другие 3 ужалили его. Затем Вася убил еще несколько пчел, после чего получил ровно
столько же укусов. В результате всего этого Васе досталось столько же укусов, сколько пчел
осталось в живых. Сколько пчел укусило Васю?
Решение: Ужалив, пчела умирает. Поэтому после конфликта осталось в живых 20-(2+Х)-(3+Х) пчел.
Из уравнения 15-2Х=3+Х находим Х=4. Васю укусили 3+4=7 пчел.
3. 4Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше товара можно купить на ту же зарплату?
Решение: 1:(1-0,2)=1,25. Ответ - На 25%.
5Задача 1. Миша полил удобрением помидоры на участке из расчета 3 лейки на 4 куста, а надо было – 4
лейки на 5 кустов. Из какого расчета ему нужно дополнительно полить кусты, чтобы исправить
ошибку?
Решение.
3
4
лейки на куст, а надо было - лейки на куст.
4
5
4 3 1
Чтобы исправить ошибку, Мише надо полить помидоры из расчета  
лейки на куст, то есть из
5 4 20
расчета 1 лейка на 20 кустов.
Сначала Миша полил удобрением помидоры из расчета
4 можно не братьЗадача 2. Решите уравнение: x  674  1  4
Решение:
Модуль числа равен 4 только в двух случаях: когда это число равно 4 или -4. Поэтому корни данного
уравнения являются корнями уравнения
x  674  1  4 (1) или x  674  1  4 (2).
1)Уравнение (1) равносильно уравнению x  674  5 , корни которого являются корнями уравнения
x - 674=5 (1а) или x - 674= -5 (1б).
Уравнение (1а) имеет корень
x  679 , а уравнение (1б) имеет корень x  669 .
1
2
2) Уравнение (2) равносильно уравнению x  674  3 , которое не имеет корней, так как не существует
числа, модуль которого равен отрицательному числу -3.
Ответ: 669, 679.
2Задача 4. Девочки составляют
3
1
нашего класса,
их числа – отличницы. Сколько учащихся в
5
7
нашем классе?
Решение.
1 3
3
3
х .Число отличниц
х , а отличниц  х 
7 5
35
5
будет целым при наименьшем числе учащихся, равном 35 ( классов по 70, 105 и т.д учащихся не
бывает).
Ответ: 35 учащихся.
Пусть в классе было хучащихся, тогда девочек было
2Задача 5.На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям - на 45
дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам и гусям вместе.
Решение.
1
1
За 1 день расходуется уткам , гусям привезенного корма, а всего за 1 день расходуется
30
45
1
1
1


привезенного корма. Значит, привезенного корма хватит на 18 дней.
30 45 18
Ответ: 18 дней
4Задача 6. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1м. Пролезет ли
кошка в образовавшийся зазор?
Решение.
Пусть первоначальный радиус обруча Rсм, тогда первоначальная длина обруча равна 2πR, а после
2R  100
100
 R
увеличения она равна (2πR+100) см. вычислим новый радиус обруча
см. Он
2
2
100
 15,9 см. В такой зазор кошка пролезет.
увеличился на
2
4Задача 7. Рядовой Степанов почистил ведро картошки за 4ч, и у него 20% всей картошки ушло в
очистки. За сколько часов он начистит такое же ведро картошки?
Решение.
За 4ч рядовой Степанов почистил ведро картошки, при этом он начистил 0,8 ведра. Тогда целое
ведро начистит за 4:0,8=5 часов.
Ответ: 5 часов.
4Задача 8. Найдите сумму внутренних углов произвольной пятиконечной звезды. 1
2
5
3
4
Решение.
6  1  4 , 7  2  5 , по свойству внешнего угла
треугольника, тогда
1  2  3  4  5  3  6  7  180 . Значит сумма внутренних углов произвольной,
пятиконечной звезды равна 180°.
1
2
5
6
7
3
4
3Задача 9. Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.
Решение.
Искомое число является делителем числа 2008. Разложим число 2008 на простые множители:
2008=2∙2∙2∙251. Выпишем все делители числа 2008: 1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008. Найдя сумму цифр
каждого из них, заметим, что условие задачи выполняется только для числа 251 (2008=251∙(2+5+1)).
Ответ: 251
3Задача 10. Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему
досталось мало. Тогда Пух ему отдал треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта
увеличилось втрое. Какая часть торта была в начале у Пуха и какая у Пятачка?
Решение.
Треть доли Пуха увеличила втрое порцию Пятачка, т.е. сама была вдвое больше нее. Значит, вся
6
1
доля Пуха была в 6 раз больше доли Пятачка, т.е. у Пуха было вначале торта, а у Пятачка - .
7
7
3Задача 11. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей – 90
рублей, а килограмм костей – 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
Решение.
Пусть в килограмме говядины х кг костей, тогда «чистой» говядины в нем (1-х) кг. Таким образом
15 х  90(1  х)  78 . Откуда х=0,16.
Ответ: 160гр
4Задача 12. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую
цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
Решение.
Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трехзначное простое число не может оканчиваться ни на
четную цифру (т.е. на 0,2,4,6,8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр
числа, равна удвоенной последней цифре, делится на три, а тогда само число делиться на три. Таким
образом осталась только цифра 7
5Задача 13.На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих
спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: « Один». Что сказал третий?
Решение.
Если первый – рыцарь, то в силу его слов второй и третий – лжецы, что невозможно из-за
высказывания второго островитянина. Значит первый – лжец. Если второй лжец – то в силу его слов
третий тоже лжец, но тогда первый сказал правду, а должен был соврать. Значит второй – рыцарь. В
силу его слов третий тоже рыцарь. Третий честно ответит: «Один»
6Задача 14. В корзине лежат 30грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов
имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и
сколько груздей в корзине?
Решение.
Так как среди любых 12 грибов имеется хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 11. Так как
среди любых 20 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 19.А так как всего в корзине
30 грибов, получаем, что груздей ровно 11, а рыжиков ровно 19.
6Задача 15. Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал Грибов на 20% больше, чем Алик, но на
20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
Решение.
Пусть Боря собрал хгрибов. Тогда 20% от количества грибов, собранных борей, равно 0,2х. Значит,
Алик собрал х-0,2х= 0,8х грибов, а Вася собрал х+0,2х=1,2х грибов. Получаем, что Вася собрал
грибов
1,2
 1,5 раза больше, чем Алик, т.е. на 50% больше количества грибов, собранных Аликом.
0,8
5Задача16.
Один сапфир и два топаза
ценней, чем изумруд в три раза.
А семь сапфиров и топаз
его ценнее в восемь раз.
Определить мы просим Вас,
сапфир ценнее иль топаз?
Решение.
Пусть s-стоимость сапфира, t–топаза, i- изумруда. Из первой строчки нашего стихотворения
получаем s+2t=3i. А из второй – 7s+t=8i. Посмотрим сколько стоят 24 изумруда.( А почему именно
24? А вот почему: если я могу брать изумруды по три штуки, а Вы по 8, то 24 – это первое число,
которое получится у нас обоих.)
Из первой строчки 8s + 16t=24i.
Аизвторой
21s + 3t =24i
Получается, что 8s + 16t = 21s + 3t или 13s = 13t.
То есть 13 сапфиров равны по стоимости 13 топазам, а значит, стоимость одного сапфира равна
стоимости одного топаза.
4Задача 17. Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за 5
часов?
Решение.
Три землекопа за 3 часа выкопали 3 ямы, значит, 6 землекопов за 3 часа выкопают в два раза больше,
5
т.е. 6 ям. А 6 землекопов за 5 часов еще в раза больше, т.е. 10 ям.
3
6Задача 18. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60км/ч, а возвратился
со скоростью 80км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля.
Решение.
х 
 х
  ч, поэтому
 60 80 
Весь путь 2х км, где х км – расстояние между двумя городами. Время движения 

ср

2х
х
х

60 80

2х
2 х  240 480
4


 68 км/ч.
4 х  3х
7х
7
7
240
4Задача 19. Капитан Врунгель погнался за кенгуру. Кенгуру в минуту делает 70 прыжков, каждый
прыжок - 10 м. Капитан Врунгель бежит со скоростью 10м/с. Догонит ли капитанВрунгель кенгуру?
Обосновать ответ.
Решение.
700
35
2
м/с 
м / с  11 м / с ,т.е.
Кенгуру за 1 мин=60с пробегает 10∙70= 700 м , т.е. его скорость
60 м
3
3
˃10м/с. Значит, капитан Врунгель не догонит кенгуру.
1можно и в 5Задача 20. Дорожка вокруг стадиона разделена на участки одинаковой длины. Ваня бегает
в три раза быстрее своей младшей сестры Тани. Они стартуют одновременно из точки Р, но в
противоположных направлениях. В какой точке они встретятся?
С
В
Д
А
Решение. До встречи Ваня пробежит
Е
3
1
круга, Ра Таня - куга. Встретятся они в точке Е.
4
4
5Задача 21. На складе имеются бочки с медом и дегтем. По недосмотру администрации в одной из
бочек с медом оказалось 10% дегтя. Чтобы исправить ситуацию, сторож решил добавить меда в эту
бочку, чтобы содержание дёгтя было только 6%. Сколько меда ему придется добавить, если
первоначально бочка содержит 60 кг смеси.
Решение.
6 кг дегтя было в бочке, значит, необходимо добавить (6:6∙100-60)=40 кг меда
Ответ: 40 кг меда
300
500
2Задача 22. Что больше 5 или 3 ?
Решение.
300
5
3
500
53
 35

100
 125
100
 243 , т.к. 125  243
100
100
100
100
5
300
3
500
.
4Задача 23.
В выражении 1 – 2 – 4 – 8 – 16 =19 расставьте несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало
верным.
Решение.
1  2  4  8  16  19 .
4Задача 24. Пять студентов стали победителями конкурса, набрав по 22, 21 и 20 баллов и заняв
соответственно. Первые, вторые и третьи места. Сколько студентов завоевали каждое призовое место,
если вместе они набрали 104 балла.
Решение. Три студента заняли три призовых места и набрали: 22+21+20=63 балла. 104-63=41, т.е. еще
двое других набрали 21 и 20 баллов. Таким образом, один студент завоевал первое место, двое
завоевали – вторые места и двое – третьи.
4Задача 25. Найти несократимую дробь, которая не меняет своего значения от прибавления к
числителю 14, а к знаменателю 21.
Решение.
х  14 х
 ,
у  21 у
ху  14 у  ху  21х ,
х 2

у 3
2
3
1. 3Сколько диагоналей в 17 –угольнике?
Решение:
Вершины 17 угольника – вершины графа, диагонали и стороны – рёбра графа. Всего 17∙(171):2=136 рёбер. Из них 17 сторон, остальные диагонали. Значит, диагоналей 136-17=119
Ответ:
2. 3Из Астрахани в Москву везли 80т. Персиков, которые содержали 99% воды. По дороге они
усохли и стали содержать 98% воды. Сколько тонн персиков привезли в Москву?
Решение:
В этой задаче инвариантом выступает вес «сухого остатка», т.е. разница между весом персиков и
весом содержащейся в них воды. В Астрахани содержался 1%, т.е. 8т. «сухого остатка», в
Москве эти 8т составляли уже 2% от привезенных персиков. Тогда вес персиков 8:2∙100=40т. Вес
уменьшился в двое!
1) Сколько воды надо добавить к 600 грамм жидкости, содержащей 40 % соли, чтобы получился 12
%-ый раствор этой соли.
Решение:
1) 600∙0,4=240 (г) – содержится соли в 600 г. жидкости
2) 240:0,12=2000 (г) – будет 12 % -й жидкости.
3) 2000-600=1400 (г) - воды надо добавить
2) 1 Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 часа, а другой – за 3,75 часа. За какое время наполнят
бассейн оба фонтана?
Решение: Производительность 1 бассейна - 1  2 ; 2 бассейна 2,5
Совместна производительность :
5
1
4

3,75 15
10 2
 . Значит, бассейн будет заполнен за 1,5 часа.
15 3
3) 4 оставить один вопросПоезд проходит мост длиной 900 м за 90 с., а мимо столба – за 15 с.
Найдите длину поезда и его скорость.
Решение: если А м. – длина поезда, а У м/с – его скорость, то А=15У (мимо столба поезд за 15 с
пройдет путь, равный своей длине), а за 90 с поезд пройдет путь, равный сумме длины моста и
длины поезда. Значит, 900+А=90У. Ответ: 180 м, 12 м/с
4) 1Представьте число 203 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых
тоже 203.
Решение: 203=7∙29∙1∙…∙1
( всего 203-7-29=167 единиц)
5) 5В пруд пустили 30 щук, которые поедали друг друга. Щука считается сытой, если она
съела
3 щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?
(Съеденная сытая щука учитывается при подсчете числа сытых щук)
Решение: Если 7 щук насытятся (каждая съест по 3 голодных), то останутся еще 2 голодные,
которые смогут насытиться (съев, каждая по 3 сытых щуки). Таким образом, 7+2=9 щук
смогут насытиться.
24.01
1) В поезде Москва – Тьмутаракань ввели сплошную нумерацию мест в вагонах. Во всех вагонах
одинаковое количество мест. Известно, что места 385 и 416 находятся в одном вагоне, а места 544 и 577
находятся в разных вагонах, причем эти вагоны - не соседние. Сколько мест в одном вагоне? Ответ
обоснуйте.
Решение.
Т.к. места 385 и 416 находятся в одном вагоне, то количество мест в вагоне не меньше, чем 416385+1=32. С другой стороны, между местами 544 и 577 находится 577-544-1=32 места. Это означает,
что в одном вагоне не больше, чем 32 места. Таким образом, в вагоне ровно 32 места.
Ответ: 32 места
2)На экране компьютера было записано число 123456789. Вася так вставил пробелы между некоторыми
цифрами этого числа, что оно разбилось на несколько кусочков, причем числа, записанные на любых
двух кусках, оказались взаимно простыми. Какое наибольшее количество кусков могло при этом
получиться? (Напомним, что взаимно простыми называются натуральные числа, у которых есть только
один общий делитель – единица.)
Решение.
Заметим, что из четырех четных цифр: 2, 4, 6 и 8 целый кусок может составить не более чем одна.
Остальные три обязаны войти в куски, состоящие из двух и более цифр( причем войти в куски не в
качестве последней цифры). Это значит, что кусков не может быть больше шести (три куска по две
цифры и три куска по одной цифре).
Один из возможных примеров разбиения данного куска на шесть кусков: 1 23 4 5 67 89.
Ответ: шесть
3)У Саши есть 20 разноцветных шариков: желтых, зеленых, синих и черных. Из этих шариков 17 – не
зеленые, 5 – черные, 12 – не желтые. Сколько синих шариков у Саши?
Решение.
Т.к. 17 шариков – не зеленые, то остальные 20-17=3 шарика – зеленые. Если 12 не желтые, то желтых
шариков 20-12=8. Значит, число синих шариков равно 20-3-5-8=4. Синих шариков 4 штуки.
4) Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли от орешника ее гнездо, если известно, что
налегке белка бежит со скоростью 5м/с, а с орехом 3м/с.
Решение.
Пусть х – искомый путь. 20 мин=20∙60=1200с.
х х
  1200
5 3
х  2250
Ответ: 2250 м.
5)Некий римлянин, умирая, составил завещание в пользу своей жены и ребенка, который должен был
родиться. Если на свет появиться мальчик, то он должен получить две трети наследства, а жена одну
треть. Если же на свет появится девочка, то она должна была получить одну треть, а две трети мать. Но
на свет появились близнецы: мальчик и девочка. Как разделить наследство?
Решение.
2х
1х
1 сл. Если родится сын, то сын получит - , мать ;
3
3
2х
1х
2сл. Если родится девочка, то мать получит ,а девочка 3
3
???
6)Чайку кормят с плывущего катера. Вниз бросают кусок хлеба, чайка за 3 секунды поднимает кусок с
поверхности моря, а затем за 12 секунд догоняет катер. Войдя в залив, катер уменьшил скорость в два
раза. Какое время теперь потребуется чайке, чтобы догнать катер, после того как она поднимет кусок
хлеба?
Решение.
???????
С лис точка.
1)Какое наибольшее число воскресений может быть в году?
Решение.
одно воскресенье обязательно есть в каждой семерке дней неделе.
365=-52∙7+1
366=52∙7+2, т.о. 53.