Задача 1. Модель Солоу с человеческим капиталом[1]. Модель

Задача 1. Модель Солоу с человеческим капиталом1.
Модель Солоу оказалась неспособна объяснить экономический рост и различия в доходах
между странами. Одна из возможных причин состоит в том, что она учитывает только
физический капитал. В соответствии с эмпирическими исследованиями, доля человеческого
капитала в выпуске составляет, как и доля физического, примерно 1/3. Поэтому человеческий
капитал необходимо учитывать. В следующей модели присутствуют оба вида капитала.
Предлагается решить модель, руководствуясь подробными инструкциями.
Предпосылки модели:
Y  K  H  ( AL )1  
K  sK Y   K
H  sH Y   H
gL  n
gA  g
1. Перейдите
к
интенсивной форме записи переменных
K
H
Y
Пусть k 
. Выразите y , k , h через k и h
,h
,y
AL
AL
AL
и
уравнений
модели:
 k  ...
2. Запишите систему дифференциальных уравнений (1) 
 h  ...
 k  0
3. Найдите стационарную точку  k * , h*  , решив систему (2) 
 h  0
4. Нарисуйте фазовый портрет системы
a. Изобразите кривые k  0 и h  0 на фазовой диаграмме в координатах (k,h) (для
определенности, пусть k будет по горизонтали). Пересекаются ли кривые? Если да, то в
какой точке? Чтобы верно определить вид кривых, временно предполагайте, что
  1/ 3,   1/ 3 .
b. Нарисуйте фазовые траектории: возьмите по одной точке в каждой из 4 областей, на
которые делят плоскость кривые и изобразите динамику системы из этих точек.
c. Определите тип стационарной точки (седло, фокус или узел)
5. Определите стационарное значение y, используя найденные  k * , h*  , обозначьте его y * .
6. Каковы темпы роста K, H и Y на ТСР? Сравните с моделью Солоу.
*
7. Найдите эластичность k * по s K , h* по sH и y по s K и sH . Сравните с соответствующими
эластичностями в модели Солоу. Покажите, что новая модель, в отличие от модели Солоу,
*
может объяснить различия в y различиями в s K : во сколько раз должны различаться s K ,
*
чтобы y различались в 10 раз?
8. Найдите значения норм сбережений, соответствующих золотому правилу. (Подсказка:
должны получиться очень простые выражения) Проинтерпретируйте результат.
9. Проинтерпретируйте результаты: опишите, насколько данная модель позволяет нам
продвинуться в поиске ответов на фундаментальные вопросы теории роста.
1
Задача основана на статье A Contribution to the Empirics of Economic Growth, by N. Gregory Mankiw, David Romer and
David N. Weil, Quarterly Journal of Economics, 1992.
Задача 2. Модель R&D (Research and Development).
В модели два сектора: конечное производство и исследования. В каждом из секторов
используются как труд, так и капитал. Распределение труда и капитала между секторами
задано экзогенно: доля aK капитала и a L труда идет на исследования. Оставшаяся часть труда
и капитала используется в конечном производстве.
Предпосылки модели:

Y  1  aK  K   A 1  aL  L 
1
A  B  aK K   aL L  A


K  sY   K
L
n
L
1. Выпишите выражения для темпов роста А и К, разделив выражения для A и K на A и K
соответственно.
2. Используя тот факт, что темп роста произведения равен сумме темпов роста множителей, найдите
g
«темп роста темпа роста»: A
gA
3.
Аналогично предыдущему пункту найдите
gK
.
gK  
4. В стационарном состоянии темпы роста капитала и технологии постоянны: g K  0, g A  0 .
Поэтому
gA
gK
 0,
 0 (Предполагаем,
gA
gK  
что
g A  0 и g K   ).
Запишите
систему
 gK
 g    0,
 K
уравнений 
 gA  0
 g A
5. Изобразите оба уравнения на графике в координатах  g A , g K  (получается две прямые). Пусть g A
будет по горизонтали. Обратите внимание на наклоны прямых и точки пересечения с
вертикальной осью координат. При каком условии (строгое неравенство на параметры модели) в
модели существует ТСР (прямые пересекутся в положительной области)?
6. Предположите, что это условие выполнено. Найдите темпы роста капитала, технологии и выпуска
на ТСР. От чего они зависят? Есть ли зависимость от aK и a L ? Как это можно
проинтерпретировать?
7. Предположите, что условие не выполнено (строгое неравенство в обратную сторону). Как будет
вести себя экономика в этом случае?
8. Предположите, что условие выполнено как равенство. Дополнительно предположите, что n  0 .
Как выглядит фазовая диаграмма в этом случае? (Подсказка: прямые должны совпасть). Является
ли ТСР единственной?
9. Проинтерпретируйте результаты: какова роль исследований в объяснении экономического роста в
данной модели? В каком из трех случаев (п. 6, 7 и 8) модель является моделью АК и государство
может влиять на темп экономического роста на ТСР? Как?
Задача 3. Модель Лукаса (по статье Lucas “Ideas and Growth”).
Выведите условие, при котором в модели с неоднородным по возрасту населением существует
траектория сбалансированного роста с положительным темпом роста. В качестве отправной точки
используйте уравнение (1)

min( s ,t )
0
0
 (t )     ( s)

 (t  v)dvds  Q(t ) .
Подсказка: запишите общий вид функции  (t ) на ТСР, подставьте в (1) и рассмотрите (1) как
уравнение относительно темпа роста  (t ) .
Объясните экономический смысл полученного условия.
Найдите темп роста выпуска в случае экспоненциального распределения населения по возрасту
 (s)   e s и проинтерпретируйте результат.
*Для успешного выполнения задания рекомендуется посмотреть часть “A Cohort Structure” статьи
Лукаса.