Document 625822

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона.
Скобки Пуассона и их свойства
Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа L  q1, q2;.....qs; q1, q2;.....qs; t  , как функция независимых обобщенных координат и
обобщенных скоростей q1, q2;.....qs; q1, q2;.....qs, а затем составляется система s уравнений
Лагранжа
d  L  L
,


dt  qi  qi
i  1, 2,.......s 
(1)
Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной.
Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных
выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы: qi и p i  L / qi .
Чтобы перейти от набора переменных q1, q2;.....qs; q1, q2;.....qs к новому набору переменных q1, q2;.....qs; p1, p2;.....ps нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа dL не через
дифференциалы dq и dq , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов dq и
dp i . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных qi ; p i  .
Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы
s  1, т.е. с одной обобщенной координатой q1  q  t  . Тогда L  L  q; q; t  , и уравнение
Лагранжа будет имеет вид:
d
dt
 L  L
 q   q


(2)
В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные q и q входят в него явно не симметричным образом. Время t играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. пара-
1
метра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная L / t . Уравнение (2) можно
формально записать в виде
dpq
dt

L
L
, где pq 
q
q
(3)
p q - обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате q .
В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим
полный дифференциал от функции Лагранжа L  q; q; t  :
dL  q; q; t  
L
L
L
L
dq  dq  dt  pq dq  pq dq  dt
q
q
t
t
(4)
В полученном выражении нужно исключить дифференциал dq , выразив его через дифференциал dpq . Для этого воспользуемся очевидным равенством
d  qpq   qdpq  pq dq
 pq dq  d  qpq   qdpq
(5)
Подставляя это в соотношение (4) получим
dL  q; q; t  
L
L
dq  d  qpq   qdpq  dt , т.е.
q
t
d L  qpq   pq dq  qdpq 
L
L
dt ;  d  pq q  L  qdpq  pq dq 
dt
t
t
(6)
Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению
L
qL  E
q
(7)
Величина L  qp q в уравнении (6) выражена через обобщенные координаты и импульсы, т.к. в
правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина
H  q; pq ; t   pq q  L
(8)
называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)
dH  q; p; t   qdpq  pq dq 
или
2
L
dt
t
(9)
 H
 q   pq  t  ;


 H  q  t  ;

 pq
(10)
Это и есть искомые уравнения в переменных q и p q - уравнения Гамильтона.
Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют
собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального
уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные q и p q входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.
Наличие слагаемого с dt в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную
явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях
Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что
 H 
 L 

  
 t q , pq  t q ,q
(11)
Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней
свободы s. В этом случае будем иметь:
s
H  qi ; pi t    pi qi  L
(12)
i 1
s
s
i 1
i 1
dH  qi ; pi ; t    qi dpi   pi dqi 

H / qi   pi  t  ;
,
2s 

H
/

p

q
t
;



i
i

L
dt
t
i  1, 2,...s 
(13)
(14)
Рассмотрим несколько простых примеров.
1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы m , движущейся в произвольном поле
U  x , y, z .
a). Функция и уравнения Лагранжа
3
 
mv 2
L r;r 
U r  ;
2
 d  L  L
; 
  
 dt  v  r
 mx  U / x;

 my  U / y;
 mz  U / z;

(15)
b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. v  p / m , то
H r; p 
p p p
2
x
2
y
2m
2
z
U r  ;
 H
 x   pi ;
 i
, т.е.

 H  x  t  ;
i
 pi
 px  U / x;

 x  t   px / m;
 p  U / y;
 y

 y  t   p y / m;
 p  U / z;
 z
 z  t   pz / m;
(16)
Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.
2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы m , движущейся в произвольном
поле U , , z  .
a). Функция и уравнения Лагранжа
 d  L  L
;
 

dt







 d  L  L
m   2   2 2  z 2 
;
L
 U   , , z  ;  

2
 dt    
 d  L  L
  
;
 dt  z  z
1 U

2
      m  ;

1 U

;
   2   
m  


1 U
;
z  
m z

b). Функция и уравнения Гамильтона
Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы
4
(17)
E  m   2   2 2  z 2  / 2  U   ,  , z  через обобщенные импульсы
p  L /   m 2 ;
p  L /   m  ;
pz  L / z  mz
(18)
Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:
  p / m 2 ;
  p / m ;
z  pz / m
(19)
Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:
H   ,  , z; p , p , pz  
2

1  2 p
p

 pz2   U   ,  , z 
 
2

2m 


(20)
Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах
 p  t   H /  ;

   t   H / p ;

 p  t   H /  ;

  t   H / p ;

 pz  t   H / z;
 z  t   H / p ;
z


 p  t    p2 / m  3  U /  ;

   t   p / m;

 p  t   U /  ;

2
  t   p / m  ;

 pz  t   U / z;
 z  t   p / m;
z

(21)
3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда
q  t   x  t  и U  x   kx 2 / 2 .
H  x; px  
2
x
2
p
kx

;
2m 2
x  t   px / m ;
 H
 x   px ;
 H

 x t  ;
 px
 px   kx;

 x  t   px / m;

 mx  t   kx ;  x  t    2 x;  2  k / m
(22)
(23)
Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.
4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника m длиной l , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось
Oy направлена вниз, так, что
U  mgy  mgl cos  .  - угол отклонения от положения равновесия.
В цилиндрических координатах
L
ml 2 2
  mgl cos  ;  p  L /   ml 2  M z ;
2
E  ml 2 2 / 2  mgl cos  ; 
5
H  ; p  
p2
2ml 2
 mgl cos 
(24)
Уравнения Гамильтона
 p  t   H /  ;
,

  t   H / p ;
 p  t   mgl sin  ;

2
  t   p / ml ;

(25)
т.е.
  t    p / ml 2 ;    t    2 sin  ;  2  g / l
(26)
Получили обычное уравнение колебания математического маятника.
Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной
степенью свободы: s  1. Её обобщенные координата q  t  и импульс p q  t  удовлетворяют
уравнениям Гамильтона (10)
 H
 q   pq  t  ;


 H  q  t  ;

 pq

Пусть f q; p q ; t
(27)
 - некоторая функция величин q , p q и времени t . Составим её полную про-
изводную по времени, учитывая, что величины q  t  и p q  t  тоже зависят от времени
df  q; pq ; t 
dt

f f
f
 q
pq
t q
pq
(28)
Поскольку q  t   H / p q и p q  t   H / q , то выражение (28) принимает вид
df  q; pq ; t 
dt
Здесь введено обозначение
H , f  
Выражение

f
 H , f 
t
(29)
H f H f

pq q q pq
(30)
H , f  , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин
H и f . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона
функции
Гамильтона
и
некоторой
функции
динамических
переменных
f  q1, q2 ,...; p1, p2 ,...; t  равна
 H f H f 


qi pi 
i 1  pi qi
s
H , f    
6
(31)
где s - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных
скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)
 g f g f 


qi pi 
i 1  pi qi
s
g , f    
(32)
Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства
1.  g , f     f , g
2.  f , c  0 где c - постоянная
3. ( g1  g 2 ), f    g1 , f    g 2 , f 
4.  g1 g 2 , f   g1  g 2 , f   g 2  g1 , f 
Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных
f  q1, q2 ,...; p1, p2 ,...; t  справедливо соотношение
df f

 H , f 
dt t
то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка
Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.
7
(33)