Векторы в пространстве

B1
A1
ТЕМА:
C1
D1
Векторы в
пространстве.
B
A
C
D
AC1  AB  AD  AA1
I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами.
Как и в плоскости, в пространстве вектор определяется как направленный
отрезок:
B
A
Точка А – начало вектора, В – конец вектора. Записывают:
AB
или
a.
Обычную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого
начало совпадает с конечной точкой. Такой вектор называется нулевым и
обозначается: 0 или AA .
0
A
Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем (или абсолютной
величиной) вектора, т.е.
AB  AB  åä.î ò ð. .
Естественно, что
B
AA  0.
Векторы AB и BA являются
противоположными. Очевидно, что:
AB  BA .
A
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых:
Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково направленными (или
сонаправленными) и противоположно направленными. В нашем случае:
a ↑↑ c
– сонаправленные векторы,
a ↑↓ b , c ↑↓ b
– противоположно
направленные векторы.
Два вектора называются равными, если: 1) они сонаправлены; и 2) их модули
равны, т.е.
a  b  a ↑↑ b è a  b
a
b
От произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор,
равный данному:
N
a
a  MN
M
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости:
b
a
c
Углом между векторами называется угол между их направлениями:
a
b
a,b  

Величина угла между векторами может изменятся от 00 до 1800. Подумайте, когда:
а) a,b  0 и б) a,b  1800 ?
0
Ответ: а)
a ↑↑ b ;
б)
a ↑↓ b
.
II. Действия с векторами.
Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух
векторов применяются правила треугольника или параллелограмма:
1) При применении правила треугольника один из векторов откладывают от конца
другого, т.е. MK  KF  MF :
ab
a
b
2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают из общей
начальной точки, т.е. MK  MN  MF , где F – вершина параллелограмма,
противоположная общей начальной точке векторов.
ab
a
b
При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника:
b
a
b
c
e
d
d
a
c
e
abcd e
Обратим внимание, что при сложении сонаправленных векторов получается
вектор, сонаправленный с данными и его модуль равен сумме модулей слагаемых
векторов:
a
a
b
b
ab  a  b
ab
При сложении противоположно направленных векторов получается вектор,
сонаправленный с вектором, имеющим бóльшую длину и его модуль равен …
(подумайте, чему?):
a
a
b
b
ab
ab  b  a
b  a
Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При
вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника –
вначале оба вектора строятся с общей начальной точкой, затем соединяются
концы этих векторов с выбором направления к «уменьшаемому» вектору:
b
a
ab
 
Или: т.к. a  b  a  b
, то можно вначале построить вектор, противоположный
вектору b , а затем оба вектора сложить по правилу треугольника.
a
–
b
ab
Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам:
1)
ab  ba
2)
a  b  c  a  b  c – сочетательный закон сложения;

 
– переместительный закон сложения;

a0 a ;
4) a   a  0 .
3)
 
Следующее действие с векторами – умножение вектора на число k. В результате
этого действия получается вектор, причем:
1) если k>0, то
2) если k<0, то
k a ↑↑ a
k a ↑↓ a
ka  k · a ;
и ka  k · a ;
и
3) если k=0, то 0 ·a  0 .
a
8
 a
3
0·a
3a
2a
4
a
3