Государственный университет- Высшая школа экономики

Министерство экономического развития
и торговли Российской Федерации
Государственный университетВысшая школа экономики
Факультет Экономики
Программа дисциплины
Динамическая оптимизация в экономике
для направления 080100.68 «Экономика»
подготовки магистра
Арефьев Н. Г.
Рекомендована секцией УМС
Экономической теории
Одобрена на заседании кафедры
макроэкономического анализа
Председатель проф. Ананьин О.И.
Зав. кафедрой проф. Л.Л.Любимов
____________________________
_____________________________
« _____» _______________2008г.
« _____» _______________2008г.
Утверждена УС факультета экономики
Ученый секретарь к.э.н. Протасевич Т.А.
_________________________________
« _____» _______________2008г.
Москва, 2008
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего часов по
дисциплине
Аудиторные часы
Лекции
1
2
3
4
5
6
Самостоятельн
ая работа
Основные подходы к задаче
динамической оптимизации на
примере задачи потребителя.
Неоклассическая модель роста
17
1
Сем. и
практ.
занятия
1
7
1
1
5
Задача потребителя с
несколькими переменными
состояния
Задача фирмы с издержками
приспособления
14
2
2
10
12
2
2
8
Задача динамической
оптимизации, дополненная
ограничениями в форме
неравенств
Динамическая оптимизация и
неопределенность
14
2
2
10
17
2
2
13
81
10
10
61
Итого:
15
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Базовые учебники
1. Alpha Chiang (1999). Elements of Dynamic Optimization. Waveland Pr Inc.
2. David Romer (2006). Advanced Macroeconomics. The MIT Press, 3rd ed. Ch. 2, 7.
3. Stephan Turnovsky (2002). Methods of Macroeconomic Dynamics. The MIT Press. Chapters on
neoclassical growth models and stochastic growth models.
4. Раздаточные материалы к курсу, доступные на groups.yahoo.com/group/DynOp
5. Сборник задач по курсу, доступный на groups.yahoo.com/group/DynOp
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Формы контроля:
 Домашнее задание (приблизительно 20 задач для самостоятельного решения)
 Финальный экзамен (2-3 задачи на 2 часа)
 Итоговая оценка определяется результатом финального экзамена. Условием допуска к экзамену
является сданное во время домашнее задание.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Содержание программы
1. Основные подходы к задаче динамической оптимизации.
Постановка задачи динамической оптимизации. Функция и функционал. Задача максимизации
функционала. Начальные и конечные условия задачи. Условия трансверсальности. Экономические
и физические примеры задач динамической оптимизации.
Задача поедания в дискретном времени. Вывод условий первого порядка. Оптимальная траектория
потребления. Интерпретация условий первого порядка: влияние ставки процента, нормы
предпочтений и эластичности межрвеменного замещения на оптимальную траекторию
потребления.
Постановка задачи динамической оптимизации методом калькуляции вариаций. Вывод уравнения
Эйлера. Решение задачи пирога с помощью уравнения Эйлера. Сравнение условий первого
порядка в непрерывном и дискретном времени.
Метод оптимального контроля. Принцип Понтрягина. Интерпретация гамильтониана как ВВП,
измеренного в единицах функции полезности. Интерпретация сопряженной переменной,
ассоциируемой с богатством домашнего хозяйства. Гамильтониан текущей и гамильтониан
приведенной стоимости.
Метод Беллмана. Принцип Беллмана. Функция стоимости. Вывод уравнения Беллмана.
Интерпретация уравнения Беллмана как ВВП, измеренного в единицах полезности домашнего
хозяйства. Решение задачи пирога методом Беллмана. Вывод принципа максимума Понтрягина из
уравнения Беллмана.
Конечный и бесконечный горизонт планирования.
Основная литература
1. Alpha Chiang (1999). Elements of Dynamic Optimization. Waveland Pr Inc.
2. Раздаточные материалы к курсу на groups.yahoo.com/group/DynOp.
Дополнительная литература
1. David Romer (2006). Advanced Macroeconomics. The MIT Press, 3rd ed. Ch. 2.
2. Aghion Howitt (1998). Endogenous Growth Theory. The MIT Press, Ch. 1.
3. Stephan Turnovsky (2002). Methods of Macroeconomic Dynamics. The MIT Press. Chapters on
neoclassical growth models.
4. Barro, Sala-i-Martin (1998). Economic Growth. The MIT Press. Chapters 1-2.
5. {Годится любой учебник по теории роста}
2. Неоклассическая модель роста
Гипотезы модели. Различные формы записи бюджетного ограничения домашнего хозяйства.
Условие отсутствия пирамид. Командный оптимум и децентрализованное равновесие. Постановка
задачи динамической оптимизации и условия первого порядка.
Анализ динамики модели с помощью фазовой диаграммы. Различные шоки и их распространение.
Основная литература
3. Alpha Chiang (1999). Elements of Dynamic Optimization. Waveland Pr Inc.
4. Раздаточные материалы к курсу на groups.yahoo.com/group/DynOp.
Дополнительная литература
6. Юрий Шараев (2006). Теория экономического роста. ГУ-ВШЭ.
7. Aghion and Howitt (1998). Endogenous Growth Theory. The MIT Press, Ch. 1.
8. Barro, Sala-i-Martin (1998). Economic Growth. The MIT Press. Chapters 1-2.
9. Romer (2006). Advanced Macroeconomics. The MIT Press, 3rd ed. Ch. 2.
10. Turnovsky (2002). Methods of Macroeconomic Dynamics. The MIT Press. Chapters on
neoclassical growth models.
11. {Годится любой учебник по теории роста}
3. Задача потребителя с несколькими переменными состояния.
Задача домашнего хозяйства, включающая различные виды капитала. Введение фиктивных
секторов. Запись условий трансверсальности в задаче с фиктивными секторами.
Решение задачи с фиктивными секторами. Интерпретация условий первого порядка. Решение
исходной задачи.
Основная литература
1. Раздаточные материалы к курсу на groups.yahoo.com/group/DynOp.
4. Задача фирмы с выпуклыми издержками приспособления.
Парадокс бесконечных инвестиций в задаче без издержек приспособления. Введение в анализ
издержек приспособления. Постановка задачи и условия первого порядка.
Анализ условий первого порядка на фазовой диаграмме. Теория q-инвестиций. Шоки и их
распространение в модели.
Основная литература
1. Alpha Chiang (1999). Elements of Dynamic Optimization. Waveland Pr Inc.
2. Romer (2006). Advanced Macroeconomics. The MIT Press, 3rd ed. Ch. 7.
5. Задача динамической оптимизации, дополненная ограничениями в форме неравенств.
Введение ограничений в форме неравенств в задачу динамической оптимизации. Решение задачи с
ограничениями на переменную контроля с помощью условий дополняющей нежесткости. Решение
задачи с ограничениями на переменную состояния.
Решение задачи домашнего хозяйства с ограничением ликвидности.
Основная литература
1. Раздаточные материалы к курсу на groups.yahoo.com/group/DynOp.
6. Динамическая оптимизация и неопределенность.
Винеровский процесс и его свойства. Лемма Ито. Постановка задачи домашнего хозяйства в
условиях неопределенности. Решение методом Беллмана. Методы подбора функции стоимости.
Частные случаи, в которых возможно явное решение модели. Решение модели в общем случае.
Уравнение теплопроводности и решение задачи Блека-Шоуза. Инвестиции и неопределенность.
1. Turnovsky (2002). Methods of Macroeconomic Dynamics. The MIT Press. Chapters on stochastic
models.
Основная литература
Примеры задач для домашнего задания или финального экзамена:
Тема 1.
Домашнее хозяйство максимизирует функцию полезности, которая зависит от потребления
конечных товаров и услуг C:
T
max  e  tU Ct dt
0
При ограничении
A  rA  Y  C ,
A0 - дано, AT  0
Где  - внутренняя норма предпочтений, A богатство, Y - доход, динамика которого задается
экзогенно.
Мгновенная функция полезности принимает вид:
U C   C  C * ,
2
Где C * задается экзогенно.
Задание.
1. Выпишите условия первого порядка задачи домашнего хозяйства.
2. Могут ли условия первого порядка быть выполненными для отрицательного значения С ?
В дальнейшем полагаем, что условия задачи подобраны таким образом, что в оптимуме
получается С  0 .
3. Могут ли при каких-то начальных условиях решением задачи быть траектории,
удовлетворяющие следующим условиям:
a. С  С*, t
b. С  С*, t
c. С  С*, t
d. t : C  C*; t : C  C *
4. Схематично изобразите все качественно различные случаи динамики потребления в данной
задаче.
Тема 2.
Предположим, в модели Рамсея-Касса-Купманса происходи неожиданное временное увеличение
налога на отдачу от капитала. Покажите распространение этого шока на фазовой плоскости.
Схематично покажите динамику во времени капиталовооруженности эффективного труда,
потребления в расчете на единицу эффективного труда, выпуска в расчете на единицу
эффективного труда, логарифма потребления, логарифма капитала, логарифма выпуска, темпов
экономического роста, реальной ставки процента и реальной заработной платы в экономике.
Тема 3.
Рассмотрим задачу следующую задачу потребителя:

max  e  tU C , H , L dt
0
A  rA  wH L  l   C  E
H  QH , E, l 
A0 , H 0 - дано.
Где C - потребление, H - человеческий капитал, L - время, потраченное либо на работу либо на
обучение, A - богатство в форме физического капитала или долговых обязательств правительства,
w - ставка базовой заработной платы, l - время, потраченное на обучение, E - плата за обучение,
Q - производственная функция для человеческого капитала.
Задание.
1. Поставьте задачу оптимального контроля и выпишите условия первого порядка.
2. Введите фиктивные сектор производства человеческого капитала и выпишите условия
соответствующей задачи оптимизации.
3. Продемонстрируйте идентичность моделей с фиктивным сектором и без него.
4. Запишите условия трансверсальности в модели с фиктивным сектором.
5. Проинтерпретируйте все условия первого порядка в модели.
Тема 4.
Придумайте способ, как поставить задачу фирмы с выпуклыми издержками приспособления,
чтобы учесть, что фирма является несовершенным конкурентом на рынке конечной продукции.
Решите задачу и постройте фазовую диаграмму. Покажите на фазовой диаграмме распространение
временного неожиданного увеличения монопольной власти фирмы. Какая в результате будет
наблюдаться динамика капитала, инвестиций, выпуска и q-Тобина?
Тема 5.
Рассмотрим задачу индивида, который живет T лет, в начале жизни N лет учится, а затем работает,
получая надбавку к заработной плате за каждый год обучения.
Поставьте задачу динамической оптимизации. Выпишите условия первого порядка для случая,
когда ограничение ликвидности отсутствует. Как изменятся условия первого порядка, если мы
введем ограничение ликвидности в данную задачу?
Тема 6.
Домашнее хозяйство максимизирует полезность, которая зависит от ожидаемого в будущем
потребления:

max E  e  t
0
C 1

dt
dA  r  dwA  C
A0 - дано,
Где dw - нормализованный винеровский процесс.
Покажите, как данная задача может быть решена в неявном виде (решение оставьте в виде
системы дифференциальных стохастических уравнений). Решите систему в явном виде.
Автор программы: _____________________________/ Арефьев Н.Г./