1. Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих... x - 2│x│ + y

1. Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию:
x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0
2. Решите уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥
3. На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на
расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в
сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны?
4. Найти наименьшее значение функции y  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) .
Решения
1. Решение: Условие перепишем в виде : (│x│-1)2 + (│y│ - 1)2 ≤ 1.
x<0, y≥0
Y
x≥0, y≥0
1
1
1
x
-1
-1
x<0, y<0
x≥0, y≥0
2. Решение. Пусть √𝑥 − 1= a, а ≥ 0, x – 1 = a2;
√𝑥 + 3 = b, b ≥ 0, x + 3 = b2;
x2 + 2x – 3 = (x-1)(x+3).
2x = a2 + b2 - 2
Получим уравнение: a + b + 2ab = 4 - a2 - b2 + 2;
a + b + 2ab + a2 + b2 – 6 =0;
(a+b)2 + (a+b) - 6 = 0
Пусть a + b = t. По теореме Виета получим, t1= -3, t2 = 2. Т.к. а ≥ 0 и b ≥ 0, то a + b = 2.
Получаем уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 = 2.
Решив его, получим, что x = 1.
3. Решение. Пусть х — высота антенны в метрах, а α, β, γ— углы, под которыми она видна из
точек, отстоящих на 100, 200 и 300 м от ее основания. Тогда
tg α =
𝑥
, tg β =
100
𝑥
200
tg γ =
𝑥
;
300
По условию задачи α + β + γ = 90°, поэтому
tg γ =
100∙200−𝑥 2
300𝑥
𝑥
= 𝑡𝑔[90° − (𝛼 + 𝛽)] = 𝑐𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =
300
1
=
𝑡𝑔(𝛼+𝛽)
1−𝑡𝑔 𝛼∙𝑡𝑔𝛽
𝑡𝑔𝛼+𝑡𝑔𝛽
=
𝑥
𝑥
∙
100 200
𝑥
𝑥
+
100 200
1−
=
.
Следовательно, 2𝑥 2 = 100 - 200, а поскольку высота антенны х может выражаться
лишь положительным числом, то х = 100 м.
4. Решение. Преобразуем выражение функции, перемножив крайние скобки и средние:
y  ( x 2  7 x  10)( x 2  7 x  12) . Введем новую переменную t  x 2  7 x  11. Тогда функция y примет
вид y  (t  1)(t  1)  t 2  1 , наименьшее значение которого  1 . Остается убедиться, что существуют
значения переменной x , при которых t  0 . Поскольку дискриминант квадратичного уравнения
x 2  7 x  11  0 положителен, то такие x существуют.
VIІ региональный турнир
им. Г.Г. Ефграфова
10 класс
1.
Изобразить на координатной плоскости
множество точек плоскости, удовлетворяющих
условию: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0
2.
Решите уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 +
2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥
3.
На горизонтальной плоскости из трех
точек, отстоящих от основания радиоантенны
на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол,
под которым видна антенна. Измеренные углы
в сумме составляют 90°. Чему равна высота
антенны?
4.
Найти наименьшее значение функции
y  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) .
Каждое задание оценивается в 7 баллов.
VIІ региональный турнир
им. Г.Г. Ефграфова
10 класс
5.
Изобразить на координатной плоскости
множество точек плоскости, удовлетворяющих
условию: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0
6.
Решите уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 +
2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥
7.
На горизонтальной плоскости из трех
точек, отстоящих от основания радиоантенны
на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол,
под которым видна антенна. Измеренные углы
в сумме составляют 90°. Чему равна высота
антенны?
Найти наименьшее значение функции
y  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) .
8.
Каждое задание оценивается в 7 баллов.
VIІ регіональний турнір
ім. Г.Г. Ефграфова
10 клас
1. Зобразити на координатній площині
множину точок площині, що відповідають
умові: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0.
2. Розв’яжіть рівняння: √𝑥 − 1 +
√𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥
3. На горизонтальній площині з трьох
точок, що відстоять від основи радіоантени
на відстані 100, 200, 300 м, виміряли кут, під
яким видно антену. Виміряні кути в сумі
становлять90° градусів. Чому дорівнює
висота антени?
4. Знайти найменше значення функції .
y  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)
Кожне завдання оцінюється в 7 балів.
VIІ регіональний турнір
ім. Г.Г. Ефграфова
10 клас
5. Зобразити на координатній площині
множину точок площині, що відповідають
умові: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0.
6. Розв’яжіть рівняння: √𝑥 − 1 +
√𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥
7. На горизонтальній площині з трьох
точок, що відстоять від основи радіоантени
на відстані 100, 200, 300 м, виміряли кут, під
яким видно антену. Виміряні кути в сумі
становлять90° градусів. Чому дорівнює
висота антени?
8. Знайти найменше значення функції .
y  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)
Кожне завдання оцінюється в 7 балів.